Matematické očakávanie. Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Úloha 1. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že zo štyroch zasiatych semien vyklíčia aspoň tri?

Riešenie. Nechajte udalosť A– zo 4 semien vyklíčia aspoň 3 semená; udalosť IN– zo 4 semien vyklíčia 3 semená; udalosť S– zo 4 semien vyklíčia 4 semienka. Podľa vety o sčítaní pravdepodobností

Pravdepodobnosti
A
určíme podľa Bernoulliho vzorca, aplikovaného v nasledujúcom prípade. Nechajte sériu konať n nezávislé testy, počas ktorých je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná a rovná sa r a pravdepodobnosť, že táto udalosť nenastane, sa rovná
. Potom pravdepodobnosť, že udalosť A V n testy sa objavia presne krát, vypočítané pomocou Bernoulliho vzorca

Kde
– počet kombinácií n prvky podľa . Potom

Požadovaná pravdepodobnosť

Úloha 2. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že zo 400 zasiatych semien vyklíči 350 semien.

Riešenie. Vypočítajte požadovanú pravdepodobnosť
použitie Bernoulliho vzorca je ťažké kvôli ťažkopádnosti výpočtov. Preto použijeme približný vzorec vyjadrujúci Laplaceovu lokálnu vetu:

Kde
A
.

Z problémových podmienok. Potom

Z tabuľky 1 príloh nájdeme. Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

Úloha 3. Semená pšenice obsahujú 0,02 % burín. Aká je pravdepodobnosť, že ak sa náhodne vyberie 10 000 semien, nájde sa 6 semien burín?

Riešenie. Aplikácia Laplaceovej lokálnej vety z dôvodu nízkej pravdepodobnosti
vedie k výraznej odchýlke pravdepodobnosti od presná hodnota
. Preto pri malých hodnotách r vypočítať
použiť asymptotický Poissonov vzorec

, Kde .

Tento vzorec sa používa, keď
, a tým menej r a ďalšie n, tým presnejší je výsledok.

Podľa podmienok problému
;
. Potom

Úloha 4. Percento klíčivosti semien pšenice je 90%. Zistite pravdepodobnosť, že z 500 zasiatych semien vyklíči 400 až 440 semien.

Riešenie. Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v každom n testy sú konštantné a rovnaké r, potom pravdepodobnosť
že udalosť A v takýchto testoch nebude nič menej raz a nie viac časy určené Laplaceovou integrálnou vetou podľa nasledujúceho vzorca:

, Kde

,
.

Funkcia
nazývaná Laplaceova funkcia. V dodatkoch (tabuľka 2) sú uvedené hodnoty tejto funkcie
. O
funkciu
. Pre záporné hodnoty X kvôli zvláštnosti Laplaceovej funkcie
. Pomocou Laplaceovej funkcie máme:

Podľa podmienok úlohy. Pomocou vyššie uvedených vzorcov nájdeme
A :

Úloha 5. Je daný zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X:

Nájdite: 1) matematické očakávanie; 2) disperzia; 3) štandardná odchýlka.

Riešenie. 1) Ak je distribučný zákon diskrétnej náhodnej veličiny daný tabuľkou

Ak prvý riadok obsahuje hodnoty náhodnej premennej x a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti týchto hodnôt, potom sa matematické očakávanie vypočíta pomocou vzorca

2) Rozptyl
diskrétna náhodná premenná X volal matematické očakávanieštvorec odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania, t.j.

Táto hodnota charakterizuje priemernú očakávanú hodnotu štvorcovej odchýlky X od
. Z posledného vzorca, ktorý máme

Rozptyl
možno nájsť iným spôsobom na základe jeho nasledujúcej vlastnosti: disperzia
rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a štvorec jeho matematického očakávania
, teda

Na výpočet
zostavme nasledujúci zákon rozdelenia množstva
:

3) Na charakterizáciu rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej priemernej hodnoty sa zavádza štandardná odchýlka
náhodná premenná X, ktorá sa rovná druhej odmocnine rozptylu
, teda

Z tohto vzorca máme:

Úloha 6. Spojitá náhodná premenná X daný kumulatívnou distribučnou funkciou

Nájdite: 1) funkciu diferenciálneho rozdelenia
; 2) matematické očakávanie
; 3) rozptyl
.

Riešenie. 1) Funkcia diferenciálneho rozdelenia
spojitá náhodná premenná X sa nazýva derivácia funkcie kumulatívneho rozdelenia
, teda

Hľadaná diferenciálna funkcia má nasledujúci tvar:

2) Ak je spojitá náhodná premenná X daný funkciou
, potom je jeho matematické očakávanie určené vzorcom

Od funkcie
pri
a pri
sa rovná nule, potom z posledného vzorca, ktorý máme

3) Rozptyl
určíme podľa vzorca

Úloha 7. Dĺžka časti je normálne rozložená náhodná premenná s matematickým očakávaním 40 mm a štandardnou odchýlkou 3 mm. Nájdite: 1) pravdepodobnosť, že dĺžka ľubovoľne vybranej časti bude väčšia ako 34 mm a menšia ako 43 mm; 2) pravdepodobnosť, že dĺžka súčiastky sa bude odchyľovať od matematického očakávania najviac o 1,5 mm.

Riešenie. 1) Nechajte X- dĺžka dielu. Ak náhodná premenná X daný diferenciálna funkcia
, potom pravdepodobnosť, že X bude nadobúdať hodnoty patriace do segmentu
, sa určuje podľa vzorca

Pravdepodobnosť prísnych nerovností
sa určuje podľa rovnakého vzorca. Ak náhodná premenná X sa rozdeľuje podľa normálneho zákona, teda

, (1)

Kde
- Laplaceova funkcia,
.

V probléme. Potom

2) Podľa podmienok problému, kde
. Nahradením do (1) máme

. (2)

Zo vzorca (2) máme.

– počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je úplne jasné, že toto číslo nie je vopred známe a ďalších desať narodených detí môže zahŕňať:

Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.

A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:

- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).

To nevie predpovedať ani majster športu :)

Avšak, vaše hypotézy?

2) Spojitá náhodná premenná – akceptuje Všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu.

Poznámka : V náučnej literatúry populárne skratky DSV a NSV

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- Toto korešpondencia medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Termín sa objavuje pomerne často riadok distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a tak sa budem držať „zákona“.

A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej Nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo ak je napísané skrátene:

Napríklad zákon o rozdelení pravdepodobnosti bodov hodených na kocke má nasledujúci tvar:

Žiadne komentáre.

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobúdať iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:

Príklad 1

Niektoré hry majú nasledujúci výherný distribučný zákon:

...o takýchto úlohách ste už asi dlho snívali :) Prezradím vám tajomstvo - ja tiež. Najmä potom, čo som skončil s prácou teória poľa.

Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina , čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhalenie „partizána“:

– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.

Kontrola: to je to, o čom sme sa potrebovali uistiť.

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, keď si zákon o distribúcii potrebujete vypracovať sami. Na to používajú klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace/sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:

Príklad 2

Balenie obsahuje 50 lotériové lístky, medzi ktorými je 12 výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon o rozdelení náhodnej veličiny - veľkosti výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket zo schránky.

Riešenie: ako ste si všimli, hodnoty náhodnej premennej sú zvyčajne umiestnené v vo vzostupnom poradí. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.

Takýchto lístkov je spolu 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
– pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket prehrá.

V iných prípadoch je všetko jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

Kontrola: – a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!

Odpoveď: požadovaný zákon rozdelenia výhier:

Nasledujúcu úlohu musíte vyriešiť sami:

Príklad 3

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Zostavte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.

...Vedel som, že ti chýba :) Poďme si zaspomínať vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

Distribučný zákon úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi môže byť užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich číselné charakteristiky .

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Jednoducho povedané, je to tak priemerná očakávaná hodnota keď sa testovanie mnohokrát opakuje. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty s príslušnými pravdepodobnosťami:

alebo zbalené:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov hodených kockou:

Teraz si spomeňme na našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je výhodné hrať túto hru vôbec? ...kto ma nejake dojmy? Takže to nemôžete povedať „na rovinu“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - vážený priemer podľa pravdepodobnosti výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.

Neverte svojim dojmom – dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 a dokonca 20-30 krát za sebou, no z dlhodobého hľadiska nás čaká neodvratná skaza. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.

Zo všetkého uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie už nie je NÁHODNÁ hodnota.

Kreatívna úloha Pre nezávislý výskum:

Príklad 4

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na „červenú“. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - jej výhry. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na najbližší kopeck. koľko v priemere Prehráva hráč za každú vsadenú stovku?

Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). Ak sa objaví „červená“, hráč dostane dvojnásobok stávky, inak ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože bolo s istotou stanovené, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Jediná vec, ktorá sa mení zo systému na systém, je

Okrem distribučných zákonov možno opísať aj náhodné premenné číselné charakteristiky .

Matematické očakávanie M (x) náhodnej premennej sa nazýva jej stredná hodnota.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej sa vypočíta pomocou vzorca

Kde – hodnoty náhodných premenných, s ja- ich pravdepodobnosti.

Uvažujme o vlastnostiach matematického očakávania:

1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante

2. Ak sa náhodná premenná vynásobí určitým číslom k, potom sa matematické očakávanie vynásobí rovnakým číslom

M (kx) = kM (x)

3. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní

M (x 1 + x 2 + ... + x n) = M (x 1) + M (x 2) +...+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Pre nezávislé náhodné premenné x 1, x 2, … x n sa matematické očakávanie súčinu rovná súčinu ich matematických očakávaní.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Vypočítajme matematické očakávanie pre náhodnú premennú z príkladu 11.

M(x) = = .

Príklad 12. Nech sú náhodné premenné x 1, x 2 špecifikované podľa distribučných zákonov:

x 1 Tabuľka 2

x 2 Tabuľka 3

Vypočítajme M (x 1) a M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Matematické očakávania oboch náhodných premenných sú rovnaké – rovnajú sa nule. Charakter ich distribúcie je však odlišný. Ak sa hodnoty x 1 líšia len málo od ich matematického očakávania, potom sa hodnoty x 2 líšia do značnej miery od ich matematického očakávania a pravdepodobnosti takýchto odchýlok nie sú malé. Tieto príklady ukazujú, že z priemernej hodnoty nie je možné určiť, aké odchýlky od nej sa vyskytujú, či už menšie alebo väčšie. Takže s tým istým priemer Na základe ročných zrážok v dvoch oblastiach nemožno povedať, že tieto oblasti sú rovnako priaznivé pre poľnohospodárske práce. Podobne ako priemer mzdy Nie je možné posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Preto sa zavádza číselná charakteristika - disperzia D(x) , ktorý charakterizuje mieru odchýlky náhodnej premennej od jej priemernej hodnoty:

D (x) = M (x - M (x))2. (2)

Disperzia je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od matematického očakávania. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa rozptyl vypočíta pomocou vzorca:

D(x)= = (3)

Z definície disperzie vyplýva, že D (x) 0.

Disperzné vlastnosti:

1. Rozptyl konštanty je nulový

2. Ak sa náhodná premenná vynásobí určitým číslom k, potom sa rozptyl vynásobí druhou mocninou tohto čísla

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Pre párovo nezávislé náhodné premenné x 1 , x 2 , … x n sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +...+ D (x n)

Vypočítajme rozptyl pre náhodnú premennú z príkladu 11.

Matematické očakávanie M (x) = 1. Preto podľa vzorca (3) máme:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2

Všimnite si, že je jednoduchšie vypočítať rozptyl, ak použijete vlastnosť 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Vypočítajme rozptyly pre náhodné premenné x 1 , x 2 z príkladu 12 pomocou tohto vzorca. Matematické očakávania oboch náhodných premenných sú nulové.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 + 20 = 260

Čím je hodnota rozptylu bližšie k nule, tým je rozptyl náhodnej premennej v porovnaní so strednou hodnotou menší.

Množstvo je tzv smerodajná odchýlka. Režim náhodnej premennej x diskrétny typ Md Hodnota náhodnej premennej, ktorá má najväčšiu pravdepodobnosť, sa nazýva.

Režim náhodnej premennej x spojitý typ Md, je reálne číslo definované ako bod maxima hustoty rozdelenia pravdepodobnosti f(x).

Medián náhodnej premennej x spojitý typ Mn je reálne číslo, ktoré spĺňa rovnicu

Základné numerické charakteristiky diskrétnych a spojitých náhodných premenných: matematické očakávanie, rozptyl a smerodajná odchýlka. Ich vlastnosti a príklady.

Distribučný zákon (distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisuje správanie náhodnej premennej. Pri mnohých problémoch však na zodpovedanie položenej otázky stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej hodnoty (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej). Uvažujme o hlavných numerických charakteristikách diskrétnych náhodných premenných.

Definícia 7.1.Matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností:

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Ak je počet možných hodnôt náhodnej premennej nekonečný, potom ak výsledná séria absolútne konverguje.

Poznámka 1. Matematické očakávanie sa niekedy nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov.

Poznámka 2. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia.

Poznámka 3. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodné(konštantný. Neskôr uvidíme, že to isté platí pre spojité náhodné premenné.

Príklad 1. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet štandardných dielov spomedzi troch vybraných zo série 10 dielov vrátane 2 chybných. Vytvorme distribučnú sériu pre X. Z problémových podmienok vyplýva, že X môže nadobúdať hodnoty 1, 2, 3. Potom

Príklad 2. Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet hodov mincou pred prvým výskytom erbu. Toto množstvo môže nadobudnúť nekonečný počet hodnôt (množina možných hodnôt je množina prirodzených čísel). Jeho distribučná séria má tvar:

X			…	n	…
r	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)n	…

+ (pri výpočte bol dvakrát použitý vzorec pre súčet nekonečne klesajúceho súčtu geometrická progresia: , kde ).

Vlastnosti matematického očakávania.

1) Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante:

M(S) = S.(7.2)

Dôkaz. Ak uvažujeme S ako diskrétna náhodná premenná s iba jednou hodnotou S s pravdepodobnosťou r= 1 teda M(S) = S?1 = S.

2) Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dôkaz. Ak náhodná premenná X dané distribučnými sériami

Potom M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = S(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definícia 7.2. Volajú sa dve náhodné premenné nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké hodnoty nadobudol druhý. Inak náhodné premenné závislý.

Definícia 7.3. Zavolajme súčin nezávislých náhodných premenných X A Y náhodná premenná XY, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčinom všetkých možných hodnôt X pre všetky možné hodnoty Y a zodpovedajúce pravdepodobnosti sa rovnajú súčinom pravdepodobností faktorov.

3) Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dôkaz. Pre zjednodušenie výpočtov sa obmedzíme na prípad, kedy X A Y mať iba dve možné hodnoty:

teda M(XY) = x 1 r 1 ?p 1 g 1 + x 2 r 1 ?p 2 g 1 + x 1 r 2 ?p 1 g 2 + x 2 r 2 ?p 2 g 2 = r 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + r 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (r 1 g 1 + r 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Poznámka 1. Túto vlastnosť môžeme podobne dokázať aj pre viac možné hodnoty faktorov.

Poznámka 2. Vlastnosť 3 platí pre súčin ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných, čo je dokázané matematickou indukciou.

Definícia 7.4. Poďme definovať súčet náhodných premenných X A Y ako náhodná premenná X + Y, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčtom každej možnej hodnoty X so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti takýchto súčtov sa rovnajú súčinom pravdepodobností členov (pre závislé náhodné premenné súčinom pravdepodobnosti jedného členu o podmienená pravdepodobnosť druhý).

4) Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných (závislých alebo nezávislých) sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dôkaz.

Uvažujme opäť náhodné premenné definované distribučným radom uvedeným v dôkaze vlastnosti 3. Potom možné hodnoty X + Y sú X 1 + pri 1 , X 1 + pri 2 , X 2 + pri 1 , X 2 + pri 2. Označme ich pravdepodobnosti resp r 11 , r 12 , r 21 a r 22. nájdeme M(X+Y) = (x 1 + r 1)p 11 + (x 1 + r 2)p 12 + (x 2 + r 1)p 21 + (x 2 + r 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + r 1 (p 11 + p 21) + r 2 (p 12 + p 22).

Dokážme to r 11 + r 22 = r 1. Skutočne, udalosť, ktorá X + Y nadobudne hodnoty X 1 + pri 1 alebo X 1 + pri 2 a ktorej pravdepodobnosť je r 11 + r 22 sa zhoduje s udalosťou, ktorá X = X 1 (jeho pravdepodobnosť je r 1). Dokazuje sa podobným spôsobom, že p 21 + p 22 = r 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. znamená,

M(X + Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + r 1 g 1 + r 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Komentujte. Z vlastnosti 4 vyplýva, že súčet ľubovoľného počtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie súčtu počtu bodov získaných pri hode piatimi kockami.

Nájdime matematické očakávanie počtu hodených bodov pri hode jednou kockou:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Rovnaké číslo sa rovná matematickému očakávanému počtu bodov hodených na ľubovoľnej kocke. Preto podľa majetku 4 M(X)=

Disperzia.

Aby sme mali predstavu o správaní náhodnej premennej, nestačí poznať iba jej matematické očakávania. Zoberme si dve náhodné premenné: X A Y, špecifikované distribučnými sériami tlačiva

X
r	0,1	0,8	0,1

Y
p	0,5	0,5

nájdeme M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Ako vidíte, matematické očakávania oboch veličín sú rovnaké, ale ak pre HM(X) dobre opisuje správanie náhodnej premennej, ktorá je jej najpravdepodobnejšou možnou hodnotou (a zvyšné hodnoty sa príliš nelíšia od 50), potom hodnoty Y výrazne odstránené z M(Y). Preto je spolu s matematickým očakávaním žiaduce vedieť, ako veľmi sa od nej líšia hodnoty náhodnej premennej. Na charakterizáciu tohto indikátora sa používa disperzia.

Definícia 7.5.Rozptyl (rozptyl) náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od jej matematického očakávania:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Poďme nájsť rozptyl náhodnej premennej X(počet normalizovaných častí spomedzi vybraných) v príklade 1 tejto prednášky. Vypočítajme druhú mocninu každej možnej hodnoty od matematického očakávania:

(1 - 2,4)2 = 1,96; (2 - 2,4)2 = 0,16; (3 - 2,4)2 = 0,36. teda

Poznámka 1. Pri určovaní rozptylu sa nehodnotí odchýlka od samotného priemeru, ale jeho druhá mocnina. Deje sa tak tak, aby sa odchýlky rôznych znakov navzájom nezrušili.

Poznámka 2. Z definície disperzie vyplýva, že táto veličina nadobúda len nezáporné hodnoty.

Poznámka 3. Existuje vzorec na výpočet rozptylu, ktorý je vhodnejší pre výpočty, ktorého platnosť je dokázaná v nasledujúcej vete:

Veta 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dôkaz.

Pomocou čoho M(X) je konštantná hodnota a vlastnosti matematického očakávania transformujeme vzorec (7.6) do tvaru:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), čo bolo potrebné dokázať.

Príklad. Vypočítajme rozptyly náhodných premenných X A Y diskutované na začiatku tejto časti. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Takže rozptyl druhej náhodnej premennej je niekoľko tisíckrát väčší ako rozptyl prvej. Teda aj bez poznania zákonitostí rozloženia týchto veličín podľa známe hodnoty rozptyl môžeme povedať, že X sa len málo odchyľuje od svojho matematického očakávania, kým pre Y táto odchýlka je dosť významná.

Vlastnosti disperzie.

1) Rozptyl konštantnej hodnoty S rovná nule:

D (C) = 0. (7.8)

Dôkaz. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konštantný faktor možno odstrániť zo znamienka rozptylu jeho umocnením:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dôkaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dôkaz. D(X + Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Dôsledok 1. Rozptyl súčtu viacerých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov.

Dôsledok 2. Rozptyl súčtu konštanty a náhodnej premennej sa rovná rozptylu náhodnej premennej.

4) Rozptyl rozdielu medzi dvoma nezávislými náhodnými premennými sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dôkaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Rozptyl udáva priemernú hodnotu štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od priemeru; Na vyhodnotenie samotnej odchýlky sa používa hodnota nazývaná smerodajná odchýlka.

Definícia 7.6.Smerodajná odchýlkaσ náhodná veličina X volal druhá odmocnina z disperzie:

Príklad. V predchádzajúcom príklade štandardné odchýlky X A Y sú rovnaké resp

Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej premennej X danej na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore je číslo m =M[X]=∑x i p i, ak rad absolútne konverguje.

Účel služby. Používanie online služby vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F(X).

Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej

Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná sebe samej: M[C]=C, C – konštanta;
M=C M[X]
Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M=M[X]+M[Y]
Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M=M[X] M[Y] , ak X a Y sú nezávislé.

Disperzné vlastnosti

Rozptyl konštantnej hodnoty je nula: D(c)=0.
Konštantný faktor možno vybrať spod znamienka rozptylu jeho umocnením: D(k*X)= k 2 D(X).
Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Pre disperziu platí nasledujúci výpočtový vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2

Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z=9X-8Y+7.
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základe vlastností disperzie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmus na výpočet matematického očakávania

Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; každá hodnota je spojená s nenulovou pravdepodobnosťou.

Dvojice po jednom násobíme: x i podľa p i .
Pridajte súčin každého páru x i p i .
Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti sú kladné.

Príklad č.1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematické očakávanie nájdeme pomocou vzorca m = ∑x i p i .
Očakávanie M[X].
M[x] = 1 x 0,1 + 3 x 0,2 + 4 x 0,1 + 7 x 0,3 + 9 x 0,3 = 5,9
Rozptyl nájdeme pomocou vzorca d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Smerodajná odchýlka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Príklad č.2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:

X	-10	-5	0	5	10
r	A	0,32	2a	0,41	0,03

Nájdite hodnotu a, matematické očakávanie a smerodajnú odchýlku tejto náhodnej premennej.

Riešenie. Hodnota a sa zistí zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a , odkiaľ a = 0,08

Príklad č.3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1 x 1 = 6; x2 = 9; x3 = x; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x) = 12,96

Riešenie.
Tu musíte vytvoriť vzorec na nájdenie rozptylu d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očakávanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pre naše údaje
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
alebo -9/100 (x2 -20x+96)=0
Preto musíme nájsť korene rovnice a budú dva.
x3=8, x3=12
Vyberte ten, ktorý spĺňa podmienku x 1 x 3 = 12

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2 = 9; x3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3