Začiatok lineárnej funkcie. Lineárna funkcia a jej graf

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov x(premenná x), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x).

Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty. X Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x

)..

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená. 7) Periodicita funkcie Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky

goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce). 19. Základné

elementárne funkcie

, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A volal sklon priamka, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia spojité v celej doméne definície, diferencovateľné a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy e-mailom atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V tomto článku sa pozrieme na lineárna funkcia, graf lineárnej funkcie a jej vlastnosti. A ako inak, na túto tému vyriešime niekoľko problémov.

Lineárna funkcia nazývaná funkcia formulára

Vo funkčnej rovnici sa číslo, ktorým vynásobíme, nazýva sklonový koeficient.

Napríklad vo funkčnej rovnici ;

v rovnici funkcie ;

vo funkčnej rovnici.

Graf lineárnej funkcie je priamka.

1. Na vykreslenie funkcie, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Ak ich chcete nájsť, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a použiť ich na výpočet zodpovedajúcich hodnôt y.

Napríklad na vykreslenie funkčného grafu je vhodné vziať a , potom sa súradnice týchto bodov budú rovnať a .

Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojme ich a získame graf funkcie:

2 . Vo funkčnej rovnici je koeficient zodpovedný za sklon funkčného grafu:

Title="k>0">!}

Koeficient je zodpovedný za posun grafu pozdĺž osi:

Title="b>0">!}

Obrázok nižšie zobrazuje grafy funkcií; ;

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách koeficient väčší ako nula správne. Navyše, čím je hodnota vyššia, tým je priamka strmšia.

Vo všetkých funkciách - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0;3)

Teraz sa pozrime na grafy funkcií; ;

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient menej ako nula a všetky grafy funkcií sú naklonené vľavo.

Všimnite si, že čím väčšie |k|, tým je priamka strmšia. Koeficient b je rovnaký, b=3 a grafy ako v predchádzajúcom prípade pretínajú os OY v bode (0;3)

Pozrime sa na grafy funkcií; ;

Teraz sú koeficienty vo všetkých funkčných rovniciach rovnaké. A dostali sme tri paralelné čiary.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:

Graf funkcie (b=3) pretína os OY v bode (0;3)

Graf funkcie (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.

Graf funkcie (b=-2) pretína os OY v bode (0;-2)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, tak si vieme hneď predstaviť, ako vyzerá graf funkcie.

Ak k<0 и b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k>0 a b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k>0 a b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k<0 и b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k=0, potom sa funkcia zmení na funkciu a jej graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov na grafe funkcie sú rovnaké

Ak b = 0, potom graf funkcie prechádza počiatkom:

Toto graf priamej úmernosti.

3. Chcel by som osobitne poznamenať graf rovnice. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou, ktorej všetky body majú úsečku.

Napríklad graf rovnice vyzerá takto:

Pozor! Rovnica nie je funkcia, pretože rôzne hodnoty argumentu zodpovedajú rovnakej hodnote funkcie, ktorá nezodpovedá.

4 . Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

Graf funkcie rovnobežne s grafom funkcie, Ak

5. Podmienka pre kolmosť dvoch priamok:

Graf funkcie kolmo na graf funkcie, ak alebo

6. Priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

S osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie namiesto x nahradiť nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; b).

S osou OX: Ordináta ktoréhokoľvek bodu prislúchajúceho k osi OX sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte v rovnici funkcie namiesto y nahradiť nulu. Dostaneme 0=kx+b. Odtiaľto. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (;0):

Pozrime sa na riešenie problémov.

1. Zostrojte graf funkcie, ak je známe, že prechádza bodom A(-3;2) a je rovnobežná s priamkou y=-4x.

Funkčná rovnica má dva neznáme parametre: k a b. Preto text úlohy musí obsahovať dve podmienky charakterizujúce graf funkcie.

a) Z toho, že graf funkcie je rovnobežný s priamkou y=-4x, vyplýva, že k=-4. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

b) Musíme len nájsť b. Je známe, že graf funkcie prechádza bodom A(-3;2). Ak bod patrí do grafu funkcie, potom pri dosadení jeho súradníc do rovnice funkcie dostaneme správnu rovnosť:

teda b = -10

Preto musíme funkciu vykresliť

Poznáme bod A(-3;2), zoberme si bod B(0;-10)

Umiestnime tieto body do súradnicovej roviny a spojíme ich priamkou:

2. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1;1); B(2;4).

Ak teda priamka prechádza bodmi s danými súradnicami, súradnice bodov vyhovujú rovnici priamky. To znamená, že ak do rovnice priamky dosadíme súradnice bodov, dostaneme správnu rovnosť.

Dosadíme súradnice každého bodu do rovnice a získame sústavu lineárnych rovníc.

Odčítajte prvú od druhej rovnice systému a získajte . Dosadíme hodnotu k do prvej rovnice sústavy a dostaneme b=-2.

Takže rovnica priamky.

3. Graf rovnice

Ak chcete zistiť, pri akých hodnotách neznáma sa súčin niekoľkých faktorov rovná nule, musíte každý faktor prirovnať k nule a vziať do úvahy každý multiplikátor.

Táto rovnica nemá žiadne obmedzenia na ODZ. Rozložme druhú zátvorku na faktor a každý faktor nastavíme na nulu. Získame súbor rovníc:

Zostrojme grafy všetkých rovníc množiny v jednej súradnicovej rovine. Toto je graf rovnice :

4. Zostrojte graf funkcie, ak je kolmý na priamku a prechádza bodom M(-1;2)

Nebudeme zostavovať graf, nájdeme len rovnicu priamky.

a) Keďže graf funkcie, ak je kolmý na priamku, teda. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

b) Vieme, že graf funkcie prechádza bodom M(-1;2). Dosadíme jej súradnice do rovnice funkcie. Získame:

Odtiaľto.

Naša funkcia teda vyzerá takto: .

5. Graf funkcie

Zjednodušme výraz na pravej strane rovnice funkcie.

Dôležité! Pred zjednodušením výrazu nájdime jeho ODZ.

Menovateľ zlomku nemôže byť nula, takže title="x1">, title="x-1">.!}

Potom má naša funkcia tvar:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

To znamená, že musíme vytvoriť graf funkcie a vyrezať na ňom dva body: s x=1 a x=-1:

Pokyny

Existuje niekoľko spôsobov riešenia lineárnych funkcií. Uveďme si najviac z nich. Najčastejšie používanou metódou je postupná substitučná metóda. V jednej z rovníc je potrebné vyjadriť jednu premennú inou a dosadiť ju do inej rovnice. A tak ďalej, kým v jednej z rovníc nezostane iba jedna premenná. Aby ste to vyriešili, musíte na jednej strane znamienka rovnosti ponechať premennú (môže byť aj s koeficientom) a na druhej strane znamienka rovnosti všetky číselné údaje, pričom nezabudnite zmeniť znamienko čísla na opačnú pri prenose. Po vypočítaní jednej premennej ju dosaďte do iných výrazov a pokračujte vo výpočtoch pomocou rovnakého algoritmu.

Zoberme si napríklad lineárny systém funkcie pozostávajúce z dvoch rovníc:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Je vhodné vyjadriť x z druhej rovnice:
x=y+2.
Ako vidíte, pri prechode z jednej časti rovnosti do druhej sa zmenilo znamienko y a premenných, ako bolo popísané vyššie.
Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice, čím z nej vylúčime premennú x:
2*(y+2)+y-7=0.
Rozšírenie zátvoriek:
2r+4+y-7=0.
Dáme dokopy premenné a čísla a spočítame ich:
3u-3=0.
Presunieme ho na pravú stranu rovnice a zmeníme znamienko:
3r=3.
Po vydelení celkovým koeficientom dostaneme:
y=1.
Výslednú hodnotu dosadíme do prvého výrazu:
x=y+2.
Dostaneme x = 3.

Ďalším spôsobom, ako vyriešiť podobné, je pridať dve rovnice po členoch, aby ste získali novú rovnicu s jednou premennou. Rovnica sa dá vynásobiť určitým koeficientom, hlavnou vecou je vynásobiť každý člen rovnice a nezabudnúť a potom jednu rovnicu pridať alebo odčítať. Táto metóda je veľmi ekonomická pri hľadaní lineárneho funkcie.

Zoberme si už známy systém rovníc s dvoma premennými:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Je ľahké si všimnúť, že koeficient premennej y je v prvej a druhej rovnici identický a líši sa iba znamienkom. To znamená, že keď tieto dve rovnice sčítame po členoch, dostaneme novú, ale s jednou premennou.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Číselné údaje prenesieme na pravú stranu rovnice a zmeníme znamienko:
3x=9.
Nájdeme spoločný faktor rovný koeficientu v x a vydelíme ním obe strany rovnice:
x=3.
Výsledok možno nahradiť do ktorejkoľvek zo systémových rovníc na výpočet y:
x-y-2=0;
3-u-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Údaje môžete vypočítať aj vytvorením presného grafu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nuly funkcie. Ak sa jedna z premenných rovná nule, potom sa takáto funkcia nazýva homogénna. Po vyriešení takýchto rovníc získate dva body potrebné a postačujúce na zostrojenie priamky - jeden z nich bude umiestnený na osi x, druhý na osi y.

Zoberieme ľubovoľnú rovnicu systému a dosadíme tam hodnotu x=0:
2*0+y-7=0;
Dostaneme y=7. Teda prvý bod, nazvime ho A, bude mať súradnice A(0;7).
Na výpočet bodu ležiaceho na osi x je vhodné dosadiť hodnotu y=0 do druhej rovnice sústavy:
x-0-2=0;
x=2.
Druhý bod (B) bude mať súradnice B (2;0).
Získané body označíme na súradnicovej mriežke a nakreslíme cez ne priamku. Ak to vykreslíte pomerne presne, ďalšie hodnoty x a y sa dajú vypočítať priamo z toho.