S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s riešením naformátovaným vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných. Môžete tiež nájsť intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

y=

na segmente [ ;]

Zahrňte teóriu

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Rovnica f" 0 (x *) = 0 je nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Identifikuje stacionárne body x c, v ktorých funkcia nezaniká. zvýšiť alebo znížiť.

Dostatočná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D. Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je lokálny (globálny) minimálny bod funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č.1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente.
Riešenie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f’(x) = 0). Tento bod patrí do segmentu. (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pri x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č.2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y’’=2sin(x), vypočítame , čo znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , čo znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č.3. Preskúmajte extrémnu funkciu v blízkosti bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nevyčerpajú sa možné situácie ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií v extréme.

Z praktického hľadiska je najväčší záujem použiť deriváciu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíme riešiť problémy s optimalizáciou niektorých parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie sa zvyčajne hľadajú na určitom intervale X, ktorý je buď celým oborom funkcie, alebo časťou oblasti definície. Samotný interval X môže byť segment, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne špecifikovanej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Pozrime sa stručne na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota na uvažovanom intervale na vodorovnej osi.

Stacionárne body– toto sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa derivácia funkcie stáva nulou.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, v ktorých prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a funkcia samotná je definovaná.

Okamžite odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie, nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a mnohé bude jasnejšie.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňme segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3;2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri otvoreného intervalu (-6;6).

O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade uvedenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

V priebehu intervalu funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď sa x=2 približuje sprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keď sa úsečka blíži k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu definície funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne takéto body nájdeme vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určíme všetky stacionárne body spadajúce do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší bod.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus na riešenie príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na segmente [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel, teda s výnimkou nuly. Oba segmenty spadajú do definičnej domény.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionárne body. Jediný skutočný koreň je x=2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote - pri x=2.

V druhom prípade vypočítame funkčné hodnoty iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na určitom segmente, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšie hodnoty na tomto segmente. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných problémov, najmä optimalizačných, sú dôležité problémy s nájdením najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorý môže byť konečný alebo nekonečný.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchného obdĺžnikového rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej objem 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Uveďte rôzne typy neistôt, na vyriešenie ktorých možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcej a klesajúcej funkcie.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Načrtnite všeobecnú schému na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom intervale.

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcií) v helikoptére, streľbu na určité body z dela na veľké vzdialenosti a výber veľmi špeciálnych bodov. z týchto bodov na kontrolné výstrely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určitých pravidiel. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak je funkcia r = f(x) je spojitá na intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom z nich vyberte najmenší a najväčší.

Povedzme napríklad, že chcete určiť najväčšiu hodnotu funkcie f(x) na segmente [ a, b]. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

Kritický bod nazývaný bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát buď sa rovná nule alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .

Problémy s nájdením najmenšie funkčné hodnoty .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie. Prirovnajme deriváciu k nule () a získajme dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode, pretože bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú: , , . Z toho vyplýva, že najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), rovná sa 9, - v kritickom bode.

Ak je funkcia v určitom intervale spojitá a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusí byť najmenšia a najväčšia. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najvyššia hodnota rovná 1 v bode .

Naďalej spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú študentom na riešenie príklady, ktoré sú zložitejšie ako tie, o ktorých sme práve hovorili, teda také, v ktorých je funkcia polynóm alebo zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú takí, ktorí radi nútia študentov premýšľať v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmická a goniometrická funkcia.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najvyššia hodnota, rovné e², v bode.

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie:

Derivát prirovnáme k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najvyššia hodnota, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (maximálnych) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale tie hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalšia ťažkosť - skladanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8. Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Akú veľkosť by mala mať nádrž, aby sa na jej zakrytie spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Nechaj x- základná strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť sa S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Poďme preskúmať túto funkciu do jej extrému. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže toto je jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Od tohto minimum je jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by mala byť 2 m a jej výška by mala byť .

Príklad 9. Z bodu A nachádza na železničnej trati, do bodu S, ktorý sa nachádza v určitej vzdialenosti od neho l, treba prepravovať náklad. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu Mželezničná trať by mala byť vybudovaná ako diaľnica, aby sa z nej mohol prepravovať náklad A V S bola najhospodárnejšia (oddiel AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?