Zistili sme, že distribučný rad úplne charakterizuje diskrétnu náhodnú premennú. Táto vlastnosť však nie je univerzálna. Ona existuje len pre diskrétne množstvá. Pre spojitá hodnota nie je možné zostaviť distribučnú sériu. Spojitá náhodná premenná má skutočne nekonečný počet možných hodnôt, ktoré úplne vypĺňajú určitý interval. Nie je možné vytvoriť tabuľku, ktorá by uvádzala všetky možné hodnoty tejto veličiny. Preto za nepretržité náhodná premenná neexistuje žiadny distribučný rad v zmysle, v akom existuje pre diskrétne množstvo. Rôzne oblasti možných hodnôt náhodnej premennej však nie sú rovnako pravdepodobné a pre spojitú premennú stále existuje „distribúcia pravdepodobnosti“, aj keď nie v rovnakom zmysle ako pre diskrétnu.

Na kvantitatívnu charakterizáciu tohto rozdelenia pravdepodobnosti je vhodné použiť nie pravdepodobnosť udalosti R(X= X), ktorý spočíva v tom, že náhodná premenná bude nadobúdať určitú hodnotu X a pravdepodobnosť udalosti R(X<X), ktorý spočíva v tom, že náhodná premenná bude mať hodnotu menšiu ako X. Je zrejmé, že pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od X, t.j. je nejaká funkcia X.

Definícia. Distribučná funkcia náhodná premenná X nazývaná funkcia F(x), vyjadrenie pre každú hodnotu X pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude mať hodnotu menšiu ako X:

F(x) = P(X < x).

(4.2)

Distribučná funkcia sa tiež nazýva kumulatívna distribučná funkcia alebo integrálny zákon rozdeľovania .

Distribučná funkcia je najuniverzálnejšia charakteristika náhodnej premennej. Existuje pre všetky náhodné premenné: diskrétne aj spojité. Distribučná funkcia plne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska, t.j. je jednou z foriem distribučného zákona.

Distribučná funkcia umožňuje jednoduchú geometrickú interpretáciu. Zvážte náhodnú premennú X na osi Oh(obr. 4.2), ktorý v dôsledku skúseností môže zaujať ten či onen postoj. Nech je vybraný bod na osi, ktorý má hodnotu X. Potom, ako výsledok experimentu, náhodná premenná X môže byť vľavo alebo vpravo od bodu X. Je zrejmé, že pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude naľavo od bodu X, bude závisieť od polohy bodu X, t.j. byť funkciou argumentu X.

Pre diskrétnu náhodnú premennú X, ktorý môže nadobúdať hodnoty X 1 , X 2 , …, x n, distribučná funkcia má tvar

Nájdite a graficky znázornite jeho distribučnú funkciu.

Riešenie. Nastavíme rôzne hodnoty X a nájsť pre nich F(x) = = P(X < x).

1. Ak X≤ 0, potom F(x) = P(X < X) = 0.

2. Ak je 0< X≤ 1, potom F(x) = P(X < X) = P(X = 0) = 0,08.

3. Ak 1< X≤ 2, potom F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. Ak X> 2, teda F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

Zapíšme si distribučnú funkciu.

Znázornime distribučnú funkciu graficky (obr. 4.3). Všimnite si, že pri približovaní sa k bodom diskontinuity zľava si funkcia zachováva svoju hodnotu (takejto funkcii sa hovorí, že je spojitá vľavo). Tieto body sú na grafe zvýraznené. ◄

Tento príklad nám umožňuje dospieť k záveru distribučná funkcia ľubovoľnej diskrétnej náhodnej premennej je nespojitá skoková funkcia, ktorej skoky sa vyskytujú v bodoch zodpovedajúcich možným hodnotám náhodnej premennej a rovnajú sa pravdepodobnostiam týchto hodnôt.

Uvažujme všeobecné vlastnosti distribučných funkcií.

1. Distribučná funkcia náhodnej premennej je nezáporná funkcia medzi nulou a jednotkou:

3. V mínus nekonečne sa distribučná funkcia rovná nule, v plus nekonečne sa rovná jednej, t.j.

Príklad 4.3. Funkcia distribúcie náhodných premenných X má tvar:

Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude mať hodnotu v intervale a bude mať nulovú pravdepodobnosť.

Avšak myšlienka udalosti, ktorá má nenulovú pravdepodobnosť, ale pozostáva z udalostí s nulovou pravdepodobnosťou, nie je o nič paradoxnejšia ako myšlienka segmentu, ktorý má určitú dĺžku, pričom na segmente nie je jediný bod. má nenulovú dĺžku. Segment pozostáva z takýchto bodov, ale jeho dĺžka sa nerovná súčtu ich dĺžok.

Z tejto vlastnosti vyplýva nasledujúci dôsledok.

Dôsledok. Ak je X spojitá náhodná premenná, potom pravdepodobnosť, že táto hodnota spadne do intervalu (x 1, x 2) nezávisí od toho, či je tento interval otvorený alebo uzavretý.:

P(x 1 < X < x 2) = P(x 1 ≤ X < x 2) = P(x 1 < X ≤ x 2) = P(x 1 ≤ X ≤ x 2).

Definícia distribučnej funkcie

Nech $X$ je náhodná premenná a $x$ je pravdepodobnosť distribúcie tejto náhodnej premennej.

Definícia 1

Distribučná funkcia je funkcia $F(x)$ spĺňajúca podmienku $F\left(x\right)=P(X

Aj inak sa niekedy nazýva distribučná funkcia kumulatívna distribučná funkcia alebo integrálny zákon rozdeľovania.

IN celkový pohľad Graf distribučnej funkcie je grafom neklesajúcej funkcie s rozsahom hodnôt patriacich do segmentu $\left$ (a 0 a 1 sú nevyhnutne zahrnuté v rozsahu hodnôt). V tomto prípade funkcia môže, ale nemusí mať funkčné skoky (obr. 1)

Obrázok 1. Príklad grafu distribučnej funkcie

Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej

Nech je náhodná premenná $X$ diskrétna. A nech je za to daný rad jeho distribúcie. Pre takúto hodnotu môže byť funkcia rozdelenia pravdepodobnosti napísaná v nasledujúcom tvare:

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej

Nech je teraz náhodná premenná $X$ spojitá.

Graf distribučnej funkcie takejto náhodnej veličiny vždy predstavuje neklesajúcu spojitú funkciu (obr. 3).

Uvažujme teraz o prípade, keď náhodná premenná $X$ je zmiešaná.

Graf distribučnej funkcie takejto náhodnej premennej je vždy neklesajúca funkcia, ktorá má minimálnu hodnotu 0 a maximálnu hodnotu 1, ktorá však nie je spojitou funkciou v celej oblasti definície (t. j. má v jednotlivých bodoch skoky) (obr. 4).

Obrázok 4. Zmiešaná funkcia rozdelenia náhodných premenných

Príklady problémov pri hľadaní distribučnej funkcie

Príklad 1

Je uvedený počet distribúcií výskytu udalosti $A$ v troch experimentoch.

Obrázok 5.

Nájdite funkciu rozdelenia pravdepodobnosti a nakreslite ju.

Riešenie.

Keďže náhodná premenná je diskrétna, môžeme použiť vzorec $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i

Pre $x>3$, $F\vľavo(x\vpravo)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$;

Odtiaľ dostaneme nasledujúcu funkciu rozdelenia pravdepodobnosti:

Obrázok 6.

Zostavme si jeho graf:

Obrázok 7.

Príklad 2

Uskutoční sa jeden experiment, v ktorom môže alebo nemusí nastať udalosť $A$. Pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane, je 0,6 $. Nájdite a zostrojte distribučnú funkciu náhodnej premennej.

Riešenie.

Keďže pravdepodobnosť, že nastane udalosť $A$, sa rovná $0,6$, potom pravdepodobnosť, že táto udalosť nenastane, sa rovná $1-0,6=0,4$.

Najprv zostavme distribučný rad pre túto náhodnú premennú:

Obrázok 8.

Keďže náhodná premenná je diskrétna, nájdeme distribučnú funkciu analogicky s problémom 1:

Keď $x\le 0$, $F\vľavo(x\vpravo)=0$;

Pre $x>1$, $F\vľavo(x\vpravo)=0,4+0,6=1$;

Získame tak nasledujúcu distribučnú funkciu:

Obrázok 9.

Zostavme si jeho graf:

Obrázok 10.

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti.

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti F(x) náhodnej premennej X v bode x je pravdepodobnosť, že v dôsledku experimentu náhodná premenná nadobudne hodnotu menšiu ako x, t.j. F(x)=P(X< х}.
Uvažujme o vlastnostiach funkcie F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Podľa definície F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, keďže podľa definície F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является spoľahlivá udalosť. Preto F(∞)=P(X< ∞}=p{U}=1.

3. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu z intervalu [Α Β], sa rovná prírastku funkcie rozdelenia pravdepodobnosti na tomto intervale. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), ak x 2, > x 1, t.j. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti je neklesajúca funkcia.

5. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti zostáva spojitá. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) pre x→ x o

Rozdiely medzi funkciami rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnych a spojitých náhodných premenných možno dobre ilustrovať pomocou grafov. Nech má napríklad diskrétna náhodná premenná n možných hodnôt, ktorých pravdepodobnosti sa rovnajú P(X=x k )=p k, k=1,2,..n. Ak x ≤ x 1, potom F(X)=0, pretože naľavo od x neexistujú žiadne možné hodnoty náhodnej premennej. Ak x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

To znamená F(x)=P(X=x1)=p1.At x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Uvažujme pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Ak má F(x) v bode x diskontinuitu, potom sa pravdepodobnosť P(X=x) bude rovnať skoku funkcie v tomto bode. Pravdepodobnosť výskytu akejkoľvek možnej hodnoty pre spojitú veličinu je teda nulová. Výraz P(X=x)=0 treba chápať ako limit pravdepodobnosti pádu náhodnej premennej do infinitezimálneho okolia bodu x v bode P(Α).< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Pre diskrétne premenné nie sú tieto pravdepodobnosti rovnaké v prípade, keď sa hranice intervalu Α a (alebo) Β zhodujú s možnými hodnotami náhodnej premennej. Pre diskrétnu náhodnú premennú je potrebné striktne brať do úvahy typ nerovnosti vo vzorci P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej a jej vlastnosti.

Zvážte funkciu F(x), definovaná na celom číselnom rade takto: pre každú X význam F(x) sa rovná pravdepodobnosti, že diskrétna náhodná premenná nadobudne hodnotu menšiu ako X, t.j.

(18)

Táto funkcia sa nazýva funkcia rozdelenia pravdepodobnosti alebo krátko, distribučná funkcia.

Príklad 1 Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej uvedenej v príklade 1, bod 1.

Riešenie: Je jasné, že ak , tak F(x)=0, keďže nenaberá hodnoty menšie ako jedna. Ak , potom ; ak, tak. Ale udalosť<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Takže máme F(x) = 1/3. Funkčné hodnoty v intervaloch a sú vypočítané podobne. Nakoniec, ak x>6 To F(x)=1, pretože v tomto prípade akákoľvek možná hodnota (1, 2, 3, 4, 5, 6) menej ako x. Graf funkcie F(x) znázornené na obr. 4.

Príklad 2 Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej uvedenej v príklade 2, bod 1.

Riešenie: To je zrejmé

Rozvrh F(x) znázornené na obr. 5.

Poznanie distribučnej funkcie F(x), je ľahké nájsť pravdepodobnosť, že náhodná premenná vyhovie nerovnostiam.
Zvážte prípad, že náhodná premenná bude mať hodnotu menšiu ako . Táto udalosť sa rozdelí na súčet dvoch nekompatibilných udalostí: 1) náhodná premenná nadobúda hodnoty menšie ako , t.j. ; 2) náhodná premenná nadobúda hodnoty, ktoré spĺňajú nerovnosti. Pomocou axiómy sčítania dostaneme

Ale podľa definície distribučnej funkcie F(x)[cm. vzorec (18)], máme , ; preto

(19)

teda pravdepodobnosť, že diskrétna náhodná premenná spadne do intervalu, sa rovná prírastku distribučnej funkcie v tomto intervale.

Uvažujme o základných vlastnostiach distribučnej funkcie.
1°. Distribučná funkcia je neklesajúca.
V skutočnosti, nech< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Zo vzorca (19) teda vyplýva, že , t.j. .

2°. Hodnoty distribučnej funkcie uspokojujú nerovnosti .
Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že F(x) je definovaná ako pravdepodobnosť [viď vzorec (18)]. Je jasné, že * a .

3°. Pravdepodobnosť, že diskrétna náhodná premenná nadobudne jednu z možných hodnôt xi, sa rovná skoku v distribučnej funkcii v bode xi.
Skutočne, nech xi je hodnota získaná diskrétnou náhodnou premennou a . Za predpokladu, , vo vzorci (19), dostaneme

Tie. význam p(xi) rovná sa skoku funkcie** xi. Táto vlastnosť je jasne znázornená na obr. 4 a obr. 5.

* Ďalej uvádzame nasledujúce označenia: , .
** Dá sa to ukázať F(xi)=F(xi-0), t.j. aká je funkcia F(x) je ponechaná súvislá v bode xi.

3. Spojité náhodné premenné.

Okrem diskrétnych náhodných premenných, ktorých možné hodnoty tvoria konečnú alebo nekonečnú postupnosť čísel, ktoré úplne nevypĺňajú žiadny interval, často existujú náhodné premenné, ktorých možné hodnoty tvoria určitý interval. Príkladom takejto náhodnej veličiny je odchýlka od nominálnej hodnoty určitej veľkosti dielca pri správne nastavenom technologickom postupe. Tento druh náhodných premenných nemožno špecifikovať pomocou zákona rozdelenia pravdepodobnosti p(x). Môžu sa však špecifikovať pomocou funkcie rozdelenia pravdepodobnosti F(x). Táto funkcia je definovaná presne rovnakým spôsobom ako v prípade diskrétnej náhodnej premennej:

Teda aj tu funkcia F(x) definovaná na celej číselnej osi a jej hodnota v bode X sa rovná pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobudne hodnotu menšiu ako X.
Vzorec (19) a vlastnosti 1° a 2° platia pre distribučnú funkciu ľubovoľnej náhodnej premennej. Dôkaz sa vykonáva podobne ako v prípade diskrétnej veličiny.
Náhodná premenná sa nazýva nepretržitý, ak pre ňu existuje nezáporná po častiach spojitá funkcia*, ktorá vyhovuje ľubovoľným hodnotám x rovnosť

Na základe geometrického významu integrálu ako plochy môžeme povedať, že pravdepodobnosť splnenia nerovností sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka so základňou , ohraničený hore krivkou (obr. 6).

Od a na základe vzorca (22)

Všimnite si, že pre spojitú náhodnú premennú je distribučná funkcia F(x) nepretržité v akomkoľvek bode X, kde funkcia je spojitá. Vyplýva to zo skutočnosti, že F(x) je v týchto bodoch diferencovateľná.
Na základe vzorca (23), za predpokladu x 1 = x, , máme

Z dôvodu kontinuity funkcie F(x) dostaneme to

Preto

teda pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná môže nadobudnúť akúkoľvek jednotlivú hodnotu x, je nulová.
Z toho vyplýva, že udalosti spočívajúce v naplnení každej z nerovností

Majú rovnakú pravdepodobnosť, t.j.

V skutočnosti napr.

Pretože

Komentujte. Ako vieme, ak je udalosť nemožná, pravdepodobnosť jej výskytu je nulová. Pri klasickej definícii pravdepodobnosti, keď je počet výsledkov testu konečný, platí aj opačná veta: ak je pravdepodobnosť udalosti nulová, potom je udalosť nemožná, pretože v tomto prípade ju žiadny z výsledkov testu nepodporuje. V prípade spojitej náhodnej premennej je počet jej možných hodnôt nekonečný. Pravdepodobnosť, že táto veličina nadobudne určitú hodnotu x 1 ako sme videli, sa rovná nule. Z toho však nevyplýva, že táto udalosť je nemožná, pretože v dôsledku testu môže náhodná premenná nadobudnúť najmä hodnotu x 1. Preto pri spojitej náhodnej premennej má zmysel hovoriť o pravdepodobnosti, že náhodná premenná spadne do intervalu, a nie o pravdepodobnosti, že nadobudne nejakú konkrétnu hodnotu.
Takže napríklad pri výrobe valčeka nás nezaujíma pravdepodobnosť, že jeho priemer bude rovný nominálnej hodnote. Pre nás je dôležitá pravdepodobnosť, že priemer valčeka je v rámci tolerancie.