Diferenciálne rovnice prvá objednávka. Príklady riešení.
Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová zvyčajne vydesia bežného človeka. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo zakázané a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako to všetko prežijem?!

Tento názor a tento postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE – JE TO JEDNODUCHÉ A AJ ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste sa naučili riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať difúzy, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej A Neurčitý integrál, tým ľahšie bude porozumieť diferenciálnym rovniciam. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je takmer zvládnutá! Čím viac integrálov rôznych typov dokážete vyriešiť, tým lepšie. prečo? Budete musieť veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež veľmi odporúčame naučiť sa nájsť.

V 95% prípadov v testy Existujú 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: oddeliteľné rovnice na ktoré sa pozrieme v tejto lekcii; homogénne rovnice A lineárne nehomogénne rovnice. Pre tých, ktorí začínajú študovať difúzory, vám odporúčam, aby ste si prečítali lekcie presne v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nebude na škodu upevniť si svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice redukujúce na homogénne.

Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: totálne diferenciálne rovnice, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Najdôležitejšie z posledných dvoch typov sú rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tejto diferenciálnej rovnice uvažujem nový materiál – čiastočná integrácia.

Ak vám zostáva len deň alebo dva, To pre ultra rýchlu prípravu Existuje bleskový kurz vo formáte pdf.

Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:

Najprv si spomeňme na obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké si všimnúť, že detská rovnica má jeden koreň: . Len pre zábavu, poďme skontrolovať a nahradiť nájdený koreň do našej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie bolo nájdené správne.

Difúzory sú navrhnuté v podstate rovnakým spôsobom!

Diferenciálna rovnica prvá objednávka V všeobecný prípad obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .

V niektorých rovniciach 1. rádu nemusia byť žiadne „x“ a/alebo „y“, ale to nie je podstatné – dôležitéísť do riadiacej miestnosti bol prvá derivácia a nebolo deriváty vyšších rádov – atď.

čo to znamená Riešenie diferenciálnej rovnice znamená hľadanie súbor všetkých funkcií, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar (– ľubovoľná konštanta), ktorý sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Príklad 1

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Plná munícia. Kde začať riešenie?

Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádne označenie, ktoré sa mnohým z vás zrejme zdalo smiešne a zbytočné. Toto vládne v difúzoroch!

V druhom kroku sa pozrime, či je to možné samostatné premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "Gréci", A na pravej strane organizovať iba "X". Rozdelenie premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: ich vyňatie zo zátvoriek, prenos termínov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.

Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V uvažovanom príklade sú premenné ľahko oddelené prehodením faktorov podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené. Na ľavej strane sú len „Y“, na pravej strane iba „X“.

Ďalšou fázou je integrácia diferenciálnej rovnice. Je to jednoduché, integrály vložíme na obe strany:

Samozrejme, musíme brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:

Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (keďže konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený na pravej strane.

Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Riešenie diferenciálnej rovnice v implicitnom tvare sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.

Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme sa dostať všeobecné riešenie.

prosím, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežný a často sa používa v praktické úlohy: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom v mnohých prípadoch (nie vždy!) je tiež vhodné zapísať konštantu pod logaritmus.

teda NAMIESTO TOHO záznamy sa zvyčajne píšu .

Prečo je to potrebné? A aby sa uľahčilo vyjadrenie „hry“. Použitie vlastnosti logaritmov . V tomto prípade:

Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:

Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.

Odpoveď: všeobecné riešenie: .

Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:

Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, čo je potrebné skontrolovať.

Dávať konštantu rôzne významy, môžete získať nekonečne veľa súkromné ​​riešenia diferenciálnu rovnicu. Je zrejmé, že niektorá z funkcií , atď. vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je všeobecné riešenie - toto je rodina lineárne funkcie alebo skôr rodina priamej úmernosti.

Po dôkladnom preštudovaní prvého príkladu je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach:

1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Dá sa to urobiť vždy? Nie, nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku, musíte ho najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte na nájdenie všeobecného riešenia použiť rôzne techniky a metódy. Rovnice so separovateľnými premennými, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.

2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie, nie vždy. Je veľmi ľahké prísť s „vymyslenou“ rovnicou, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré sa nedajú vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D'Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. Aby som práve teraz veľa čítal, takmer som dodal "z iného sveta."

3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu . Je vždy možné nájsť všeobecné riešenie zo všeobecného integrálu, teda explicitne vyjadriť „y“? Nie, nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžete vyjadriť „grécky“?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho je niekedy možné nájsť všeobecné riešenie, ale je napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu

4) ...možno to zatiaľ stačí. V prvom príklade sme sa stretli ďalší dôležitý bod, ale tak, aby nezasypali „figuríny“ lavínou nové informácie, nechám to na ďalšiu hodinu.

Nebudeme sa ponáhľať. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:

Príklad 2

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku

Riešenie: podľa stavu treba nájsť súkromné ​​riešenie DE, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Táto formulácia otázky je aj tzv Cauchy problém.

Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo zmiasť, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.

Prepíšeme deriváciu do v správnej forme:

Je zrejmé, že premenné môžu byť oddelené, chlapci vľavo, dievčatá vpravo:

Integrujme rovnicu:

Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s hviezdičkou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.

Teraz sa pokúsime transformovať všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Pripomeňme si staré dobré veci zo školy: . V tomto prípade:

Konštanta v ukazovateli vyzerá akosi nekóšer, takže je zvyčajne privedená k zemi. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:

Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenme ju na písmeno:

Pamätajte, že „demolácia“ je konštanta druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.

Takže všeobecné riešenie je: . Toto je pekná rodina exponenciálnych funkcií.

V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Toto je tiež jednoduché.

aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnotu konštanty tak, aby bola podmienka splnená.

Dá sa naformátovať rôznymi spôsobmi, ale toto bude asi najprehľadnejší spôsob. Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme dvojku:



teda

Štandardné prevedenie:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.

Odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Skontrolujeme. Kontrola súkromného riešenia zahŕňa dve fázy:

Najprv musíte skontrolovať, či konkrétne nájdené riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto „X“ dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola prijatá dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.

Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:

Do pôvodnej rovnice dosadíme:

– dosiahne sa správna rovnosť.

Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 3

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme:

Hodnotíme, či je možné oddeliť premenné? Môže. Posúvame druhý výraz na pravú stranu so zmenou znamienka:

A prenášame multiplikátory podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené, integrujme obe časti:

Musím ťa varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, máte vyriešených niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - teraz ich budete musieť zvládnuť.

Integrál ľavej strany je ľahké nájsť. S integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, na ktorú sme sa pozreli v lekcii Integrácia goniometrických funkcií minulý rok:

Na pravej strane máme logaritmus a podľa môjho prvého technického odporúčania by sa pod logaritmus mala zapisovať aj konštanta.

Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Používaním známe vlastnosti Logaritmy „balíme“ čo najviac. Napíšem to veľmi podrobne:

Obal je dokončený tak, aby bol barbarsky potrhaný:

Dá sa vyjadriť „hra“? Môže. Je potrebné zarovnať obe časti.

Ale nemusíte to robiť.

Tretí technický tip: ak na získanie všeobecného riešenia je potrebné pozdvihnúť sa k moci alebo zakoreniť, potom vo väčšine prípadov mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať jednoducho hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným odpadom.

Preto odpoveď zapíšeme vo forme všeobecného integrálu. V dobrom zmysle Má sa za to, že ho predstavuje vo forme , to znamená na pravej strane, ak je to možné, ponechajte iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)

odpoveď: všeobecný integrál:

! Poznámka: Všeobecný integrál akejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.

Všeobecný integrál sa dá tiež celkom ľahko skontrolovať, hlavná vec je vedieť ho nájsť derivácia funkcie špecifikovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď:

Oba výrazy vynásobíme:

A rozdeliť podľa:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Dovoľte mi pripomenúť, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.

Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri vzor v príklade č. 2), je potrebné:
1) uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Príklad 5

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice , ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály, čo znamená, že riešenie je zjednodušené. Oddeľujeme premenné:

Integrujme rovnicu:

Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko:

Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môže. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, znamienka modulu sú zbytočné:

(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdime konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme logaritmus dvoch:

Známejší dizajn:

Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko bzučí.

Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdenie derivátu:

Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: – uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:

Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice :

Používame základnú logaritmickú identitu:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Druhá metóda kontroly je zrkadlová a známejšia: z rovnice Vyjadrime deriváciu, aby sme to urobili, rozdelíme všetky časti takto:

A do transformovanej DE dosadíme získané parciálne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.

Príklad 6

Riešiť diferenciálnu rovnicu. Uveďte odpoveď vo forme všeobecného integrálu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aké ťažkosti číhajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?

1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre „čajník“), že premenné možno oddeliť. Zoberme si podmienený príklad: . Tu musíte vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene: . Je jasné, čo robiť ďalej.

2) Ťažkosti so samotnou integráciou. Integrály často nie sú najjednoduchšie a ak existujú nedostatky v zručnostiach vyhľadávania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Navyše, medzi zostavovateľmi zbierok a tréningových príručiek je populárna logika „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, nech sú integrály aspoň komplikovanejšie“.

3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší podmienený príklad: . Odporúča sa vynásobiť všetky pojmy v ňom 2: . Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: . Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, je vhodné prepísať konštantu vo forme inej konštanty: .

Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu:

Aký druh kacírstva? Sú tam chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa stále získava premenná konštanta.

Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: . Formálne je tu ešte jedna chyba - malo by to byť napísané vpravo. Neformálne sa však predpokladá, že „mínus ce“ je stále konštanta ( čo môže rovnako ľahko nadobudnúť akýkoľvek význam!), takže dávať „mínus“ nedáva zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno.

Pokúsim sa vyhnúť nedbalému prístupu a pri prepočte stále priraďujem konštantám rôzne indexy.

Príklad 7

Riešiť diferenciálnu rovnicu. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Táto rovnica umožňuje oddelenie premenných. Oddeľujeme premenné:

Poďme integrovať:

Konštantu tu nie je potrebné definovať ako logaritmus, pretože z toho nebude nič užitočné.

odpoveď: všeobecný integrál:

Kontrola: Diferencujte odpoveď (implicitná funkcia):

Zlomkov sa zbavíme tak, že oba pojmy vynásobíme:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 8

Nájdite konkrétne riešenie DE.
,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Jediným náznakom je, že tu získate všeobecný integrál a správnejšie povedané, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale čiastočný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aplikácia

Riešenie diferenciálnych rovníc online na webovej stránke pre študentov, aby si upevnili látku, ktorú prebrali. A trénujte svoje praktické zručnosti. Diferenciálne rovnice online. Difurs online, riešenie matematiky online. Riešenie matematických problémov krok za krokom online. Poradie alebo stupeň diferenciálnej rovnice je najvyšším rádom derivácií, ktoré sú v nej zahrnuté. Diferenciálne rovnice online. Proces riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrácia. Problém integrácie diferenciálnej rovnice sa považuje za vyriešený, ak nájdenie neznámej funkcie môže viesť ku kvadratúre, bez ohľadu na to, či je výsledný integrál vyjadrený v konečnej forme v podmienkach známych funkcií alebo nie. Krok za krokom riešenie diferenciálnych rovníc online. Všetky diferenciálne rovnice možno rozdeliť na obyčajné diferenciálne rovnice (ODE), ktoré zahŕňajú iba funkcie (a ich deriváty) jedného argumentu, a parciálne diferenciálne rovnice (PDE), v ktorých vstupné funkcie závisia od mnohých premenných. Diferenciálne rovnice online. Existujú aj stochastické diferenciálne rovnice (SDE) zahŕňajúce náhodné procesy. Krok za krokom riešenie diferenciálnych rovníc online. V závislosti od kombinácií derivácií, funkcií a nezávislých premenných sa diferenciálne rovnice delia na lineárne a nelineárne, s konštantnými alebo premenlivými koeficientmi, homogénne alebo nehomogénne. Vzhľadom na dôležitosť aplikácií sú kvázilineárne (lineárne vzhľadom na vyššie derivácie) parciálne diferenciálne rovnice zaradené do samostatnej triedy. Riešenia diferenciálnych rovníc sa delia na všeobecné a partikulárne riešenia. Diferenciálne rovnice online. Všeobecné riešenia zahŕňajú neurčené konštanty a pre parciálne diferenciálne rovnice ľubovoľné funkcie nezávislých premenných, ktoré možno spresniť z dodatočných integračných podmienok (počiatočné podmienky pre obyčajné diferenciálne rovnice, počiatočné a okrajové podmienky pre parciálne diferenciálne rovnice). Krok za krokom riešenie diferenciálnych rovníc online. Po určení typu indikovaných konštantných a neurčitých funkcií sa riešenia stávajú partikulárnymi. Hľadanie riešení obyčajných diferenciálnych rovníc viedlo k založeniu triedy špeciálne funkcie- funkcie, s ktorými sa často stretávame v aplikáciách, ktoré nemožno vyjadriť prostredníctvom známych elementárne funkcie. Diferenciálne rovnice online. Podrobne sa študovali ich vlastnosti, zostavili sa tabuľky hodnôt, určili sa vzájomné súvislosti atď. Množinu vymenovaných čísel možno študovať. Najlepšia odpoveď na daný problém. Ako nájsť, ako prvú aproximáciu, vychádzajúci vektor do oblasti konvergencie o diferenciálnych rovniciach bez zistenia nájdenej hornej hranice. Voľba je jasná pre zvýšenie matematické funkcie. Nad úrovňou výskumu existuje progresívna metóda. Zarovnanie počiatočnej podmienky úlohy s riešením diferenciálnych rovníc vám pomôže nájsť jedinečne zvolenú hodnotu. Môže sa stať, že dokáže okamžite identifikovať neznáme. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade špecifikovania riešenia matematického problému, lineárne diferenciálne rovnice sú odpoveďou na konkrétny problém nastolený v určenom časovom rámci. Zachovanie postupu výskumu nie je lokálne určené. Bude to tak, že pre každého žiaka sa nájde príklad a riešenie diferenciálnych rovníc určí osoba pridelená zodpovednej osobe minimálne z dvoch hodnôt. Vezmite funkciu všeobecnej hodnoty na určitom segmente a varujte, pozdĺž ktorej osi dôjde k prerušeniu. Štúdiom diferenciálnych rovníc online je možné jednoznačne ukázať, aký dôležitý je výsledok, ak to umožňujú počiatočné podmienky. Vyrezanie oblasti z definície funkcie nie je možné, pretože neexistuje žiadna lokálna definícia úlohy. Odpoveď, ktorá bola nájdená zo systému rovníc, obsahuje premennú vypočítanú v vo všeobecnom zmysle, ale prirodzene bude možné riešiť diferenciálnu rovnicu online bez tohto úkonu na určenie uvedenej podmienky. Vedľa intervalu segmentu môžete vidieť, ako riešenie diferenciálnych rovníc online môže posunúť výsledok výskumu pozitívnym smerom v momente odrezania vedomostí študentov. To najlepšie nie vždy pochádza zo všeobecne akceptovaného prístupu k podnikaniu. Na úrovni 2x je užitočné zopakovať si všetky potrebné lineárne diferenciálne rovnice v prirodzenom znázornení, ale schopnosť vypočítať číselnú hodnotu povedie k zlepšeniu vedomostí. Podľa akejkoľvek metódy v matematike existujú diferenciálne rovnice, ktoré sú prezentované vo výrazoch, ktoré sú svojou povahou odlišné, ako napríklad homogénne alebo komplexné. Po vykonaní všeobecnej analýzy štúdie funkcie je zrejmé, že riešenie diferenciálov ako množiny možností predstavuje jasnú chybu v hodnotách. Pravda v ňom leží v priestore nad úsečkami. Niekde v doméne definície komplexná funkcia v určitom bode svojej definície budú lineárne diferenciálne rovnice schopné prezentovať odpoveď v analytickej forme. teda vo všeobecnosti ako podstatu. Pri zmene premennej sa nič nemení. Musíte sa však na odpoveď pozrieť so zvláštnym záujmom. Kalkulačka nakoniec v podstate zmení vzťah, teda to, ako je riešenie diferenciálnych rovníc proporcionálne celosvetový význam je určený v medziach požadovaného riešenia. V niektorých prípadoch sa masívnemu chybovému varovaniu nedá vyhnúť. Online diferenciálne rovnice implementujú všeobecnú predstavu o probléme, ale nakoniec je potrebné poskytnúť čo najskôr pozitívne aspekty vektorový produkt. V matematike nie sú prípady mylných predstáv v teórii čísel nezvyčajné. Určite bude potrebná kontrola. Prirodzene, je lepšie dať toto právo profesionálom vo svojom odbore a oni vám pomôžu vyriešiť diferenciálnu rovnicu online, pretože ich skúsenosti sú kolosálne a pozitívne. Rozdiel na povrchoch obrázkov a ploche je taký, že nejde o riešenie diferenciálnych rovníc online, ktoré vám umožní vidieť, ale množina nepretínajúcich sa objektov je taká, že priamka je rovnobežná s osou. V dôsledku toho môžete získať dvakrát toľko hodnôt. Aj keď to nie je explicitné, naše chápanie správnosti formálneho zápisu zahŕňa lineárne diferenciálne rovnice tak v oblasti zobrazenia, ako aj vo vzťahu k zámernému nadhodnoteniu kvality výsledku. Panelová diskusia na tému, ktorá je zaujímavá pre všetkých študentov, je opakovane kontrolovaná. Počas štúdia celého priebehu prednášok sa budeme pozorne sústrediť na diferenciálne rovnice a príbuzné oblasti vedeckého štúdia, ak to neodporuje pravde. Na začiatku cesty sa dá vyhnúť mnohým krokom. Ak je riešenie diferenciálnych rovníc pre študentov stále zásadne niečím novým, potom sa na staré vôbec nezabúda, ale postupuje do budúcnosti vysokou rýchlosťou. Spočiatku sa podmienky pre problém v matematike rozchádzajú, ale to je uvedené v odseku vpravo. Po uplynutí času určeného definíciou nemožno vylúčiť možnosť proporcionálne závislého výsledku na rôznych rovinách pohybu vektora. Takýto jednoduchý prípad je možné opraviť rovnakým spôsobom, ako sú lineárne diferenciálne rovnice opísané na kalkulačke vo všeobecnej forme, bude to rýchlejšie a posun výpočtov nepovedie k chybnému názoru. Len päť prípadov pomenovaných podľa teórie môže posunúť hranice toho, čo sa deje. Naše riešenie diferenciálnych rovníc vám pomôže manuálne vypočítať hodnotu v číslach už v prvých fázach rozkladu funkčný priestor. IN na správnych miestach je potrebné reprezentovať bod dotyku štyroch línií vo všeobecnom význame. Ale ak musíte úlohu nahradiť, potom bude ľahké prirovnať zložitosť. Počiatočné údaje sú dostatočné na návrh susednej vetvy a online diferenciálne rovnice vyzerajú zarovnané doľava a povrch je jednostranne nasmerovaný k rotoru vektora. Nad hornou hranicou sú možné aj číselné hodnoty mimo určeného stavu. Je možné vziať do úvahy matematický vzorec a riešiť diferenciálnu rovnicu online pomocou troch neznámych vo všeobecnej hodnote podielu. Miestna metóda výpočtu sa považuje za platnú. Súradnicový systém je pravouhlý v relatívnom pohybe roviny. Všeobecné riešenie diferenciálnych rovníc online nám umožňuje jednoznačne vyvodiť záver v prospech výpočtového behu cez maticové definície na celej priamke umiestnenej nad grafom explicitne špecifikovanej funkcie. Riešenie je jasne viditeľné, ak aplikujete pohybový vektor na bod dotyku troch hemisfér. Valec získame otáčaním obdĺžnika okolo strany a lineárne diferenciálne rovnice budú môcť ukázať smer pohybu bodu podľa daných vyjadrení jeho pohybového zákona. Počiatočné údaje sú správne a problém v matematike je zameniteľný za jednej jednoduchej podmienky. Diferenciálne rovnice však kvôli okolnostiam, kvôli zložitosti postavenej čiastkovej úlohy, zjednodušujú proces výpočtu numerických priestorov na úrovni trojrozmerného priestoru. Je ľahké dokázať opak, ale dá sa tomu vyhnúť, ako v uvedenom príklade. Vo vyššej matematike sa uvádzajú tieto body: keď je problém zredukovaný do zjednodušenej formy, treba naň vynaložiť čo najväčšie úsilie zo strany študentov. Zohľadňujú sa čiary navrstvené na seba. O riešení diferenciálov sa stále vracia výhoda uvedenej metódy na zakrivenej čiare. Ak najprv spoznáte niečo, čo nie je to, čo potrebujete, potom matematický vzorec vytvorí nový význam výrazu. Cieľom je optimálny prístup k riešeniu úloh stanovených profesorom. Nemali by ste predpokladať, že lineárne diferenciálne rovnice v zjednodušenej forme prekročia očakávaný výsledok. Na konečne zloženú plochu umiestnime tri vektory. navzájom ortogonálne. Vypočítajme súčin. Pridajme väčší počet symbolov a z výsledného výrazu vypíšme všetky premenné funkcie. Existuje pomer. Viaceré úkony pred ukončením výpočtu nedajú jednoznačnú odpoveď na riešenie diferenciálnych rovníc okamžite, ale až po uplynutí stanoveného času pozdĺž osi y. Naľavo od bodu nespojitosti, ktorý je implicitne špecifikovaný z funkcie, nakreslíme os ortogonálnu k najlepšiemu rastúcemu vektoru a umiestnime online diferenciálne rovnice pozdĺž najmenšej hraničnej hodnoty spodnej strany matematického objektu. Dodatočný argument pripojíme do oblasti prerušenia funkcie. Napravo od bodov, kde sa nachádza zakrivená čiara, vám vzorce, ktoré sme napísali na redukciu na spoločného menovateľa, pomôžu vyriešiť diferenciálnu rovnicu online. Použijeme jediný správny prístup, ktorý osvetlí neriešené problémy z teórie do praxe, vo všeobecnosti jednoznačne. Čiary v smere súradníc daných bodov nikdy neuzavreli krajnú polohu štvorca, ale riešenie diferenciálnych rovníc online pomôže študentom, nám, aj len začiatočníkom v tejto oblasti pri štúdiu matematiky. Hovoríme o možnosti dosadenia hodnotového argumentu do všetkých významných riadkov jedného poľa. V zásade, ako by sa dalo očakávať, naše lineárne diferenciálne rovnice sú niečo izolované do jedného konceptu daného významu. Na pomoc študentom jedna z najlepších kalkulačiek medzi podobnými službami. Absolvujte všetky kurzy a vyberte si pre seba ten najlepší.

=

6.1. ZÁKLADNÉ POJMY A DEFINÍCIE

Pri riešení rôznych úloh z matematiky a fyziky, biológie a medicíny sa pomerne často nepodarí okamžite stanoviť funkčný vzťah vo forme vzorca spájajúceho premenné, ktoré opisujú skúmaný proces. Väčšinou musíte použiť rovnice, ktoré obsahujú okrem nezávislej premennej a neznámej funkcie aj jej derivácie.

Definícia. Nazýva sa rovnica spájajúca nezávislú premennú, neznámu funkciu a jej derivácie rôznych rádov diferenciál.

Zvyčajne sa označuje neznáma funkcia y(x) alebo len tak y, a jeho deriváty - y", y" atď.

Možné sú aj iné označenia, napr.: ak r= x(t), potom x"(t), x""(t)- jeho deriváty a t- nezávislá premenná.

Definícia. Ak funkcia závisí od jednej premennej, potom sa diferenciálna rovnica nazýva obyčajná. Celkový pohľad obyčajná diferenciálna rovnica:

alebo

Funkcie F A f nemusí obsahovať nejaké argumenty, ale aby boli rovnice diferenciálne, prítomnosť derivácie je nevyhnutná.

Definícia.Poradie diferenciálnej rovnice sa nazýva poradie najvyššej derivácie, ktorá je v ňom zahrnutá.

napr. x 2 y"- r= 0, y" + hriech x= 0 sú rovnice prvého poriadku a y"+ 2 y"+ 5 r= x- rovnica druhého rádu.

Pri riešení diferenciálnych rovníc sa používa integračná operácia, ktorá je spojená so vznikom ľubovoľnej konštanty. Ak sa použije integračná akcia nčasy, potom samozrejme riešenie bude obsahovať nľubovoľné konštanty.

6.2. DIFERENČNÉ ROVNICE PRVÉHO RÁDU

Celkový pohľad diferenciálna rovnica prvého rádu je určený výrazom

Rovnica nemusí explicitne obsahovať x A y, ale nevyhnutne obsahuje y“.

Ak možno rovnicu zapísať ako

potom dostaneme diferenciálnu rovnicu prvého rádu vyriešenú vzhľadom na deriváciu.

Definícia. Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice prvého rádu (6.3) (alebo (6.4)) je množina riešení , Kde S- ľubovoľná konštanta.

Graf riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.

Dávať ľubovoľnú konštantu S rôzne hodnoty, možno získať čiastočné riešenia. V lietadle xOy všeobecné riešenie je skupina integrálnych kriviek zodpovedajúcich každému konkrétnemu riešeniu.

Ak si stanovíte bod A (x 0, y 0), cez ktorý musí prechádzať integrálna krivka, teda spravidla z množiny funkcií Jeden môže vyčleniť - súkromné ​​riešenie.

Definícia.Súkromné ​​rozhodnutie diferenciálnej rovnice je jej riešenie, ktoré neobsahuje ľubovoľné konštanty.

Ak je všeobecné riešenie, potom z podm

môžete nájsť konštantu S. Podmienka je tzv počiatočný stav.

Úloha nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (6.3) alebo (6.4) spĺňajúce počiatočnú podmienku pri volal Cauchy problém. Má tento problém vždy riešenie? Odpoveď je obsiahnutá v nasledujúcej vete.

Cauchyho veta(teorém o existencii a jedinečnosti riešenia). Vpustite diferenciálnu rovnicu y"= f(x,y) funkciu f(x,y) a jej

čiastočná derivácia definované a nepretržité v niekt

regiónu D, obsahujúci bod Potom v oblasti D existuje

jediné riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku pri

Cauchyho veta hovorí, že za určitých podmienok existuje jedinečná integrálna krivka r= f(x), prechod cez bod Body, v ktorých nie sú splnené podmienky vety

Cauchies sú tzv špeciálne. V týchto bodoch sa to zlomí f(x, y) alebo.

Singulárnym bodom neprechádza buď niekoľko integrálnych kriviek, alebo žiadna.

Definícia. Ak sa riešenie (6.3), (6.4) nachádza vo formulári f(x, y, c)= 0, nie je povolené vzhľadom na y, potom sa volá všeobecný integrál diferenciálnu rovnicu.

Cauchyho veta len zaručuje, že riešenie existuje. Keďže neexistuje jediná metóda na nájdenie riešenia, zvážime len niektoré typy diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré možno integrovať do kvadratúry.

Definícia. Diferenciálna rovnica sa nazýva integrovateľné v kvadratúre, ak nájdenie jeho riešenia vedie k integrácii funkcií.

6.2.1. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva rovnica s oddeliteľné premenné,

Pravá strana rovnice (6.5) je súčinom dvoch funkcií, z ktorých každá závisí len od jednej premennej.

Napríklad rovnica je rovnica s oddeľovaním

s premennými
a rovnica

nemožno zastupovať vo formulári (6.5).

Vzhľadom na to , prepíšeme (6.5) do tvaru

Z tejto rovnice získame diferenciálnu rovnicu so separovanými premennými, v ktorej sú diferenciály funkciami, ktoré závisia iba od príslušnej premennej:

Integrujeme termín po termíne, máme

kde C = C 2 - C 1 - ľubovoľná konštanta. Výraz (6.6) je všeobecný integrál rovnice (6.5).

Delením oboch strán rovnice (6.5) môžeme stratiť riešenia, pre ktoré napr. Skutočne, ak pri

To je zrejme riešením rovnice (6.5).

Príklad 1 Nájdite riešenie rovnice, ktoré vyhovuje

podmienka: r= 6 at x= 2 (y(2) = 6).

Riešenie. Nahradíme y" potom . Vynásobte obe strany

dx, keďže pri ďalšej integrácii nie je možné odísť dx v menovateli:

a potom delením oboch častí dostaneme rovnicu,

ktoré je možné integrovať. Poďme integrovať:

Potom ; potenciovaním dostaneme y = C. (x + 1) - ob-

všeobecné riešenie.

Pomocou počiatočných údajov určíme ľubovoľnú konštantu a dosadíme ju do všeobecného riešenia

Konečne sa dostávame r= 2(x + 1) je konkrétne riešenie. Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov riešenia rovníc so separovateľnými premennými.

Príklad 2 Nájdite riešenie rovnice

Riešenie. Vzhľadom na to , dostaneme .

Integráciou oboch strán rovnice máme

kde

Príklad 3 Nájdite riešenie rovnice Riešenie. Obe strany rovnice delíme na tie faktory, ktoré závisia od premennej, ktorá sa nezhoduje s premennou pod diferenciálnym znamienkom, t.j. a integrovať. Potom dostaneme

a nakoniec

Príklad 4. Nájdite riešenie rovnice

Riešenie. Vedieť, čo dostaneme. oddiel

lim premenné. Potom

Integrácia, dostaneme

Komentujte. V príkladoch 1 a 2 je požadovaná funkcia r výslovne vyjadrené (všeobecné riešenie). V príkladoch 3 a 4 - implicitne (všeobecný integrál). V budúcnosti nebude forma rozhodnutia špecifikovaná.

Príklad 5. Nájdite riešenie rovnice Riešenie.

Príklad 6. Nájdite riešenie rovnice , uspokojujúce

stave y(e)= 1.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru

Vynásobením oboch strán rovnice dx a ďalej, dostávame

Integráciou oboch strán rovnice (integrál na pravej strane je prevzatý po častiach) dostaneme

Ale podľa stavu r= 1 at x= e. Potom

Nájdené hodnoty dosadíme S k vseobecnemu rieseniu:

Výsledný výraz sa nazýva čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice.

6.2.2. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva homogénny, ak môže byť zastúpený vo forme

Predstavme si algoritmus na riešenie homogénnej rovnice.

1. Namiesto toho r predstavme si novú funkciuPotom a preto

2.Z hľadiska funkcie u rovnica (6.7) nadobúda tvar

t.j. výmena znižuje homogénna rovnica na rovnicu s oddeliteľnými premennými.

3. Pri riešení rovnice (6.8) najskôr nájdeme u a potom r= ux.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru

Robíme náhradu:
Potom

Nahradíme

Vynásobte dx: Deliť podľa x a ďalej Potom

Po integrácii oboch strán rovnice cez zodpovedajúce premenné máme

alebo, keď sa vrátime k starým premenným, konečne sa dostaneme

Príklad 2Vyriešte rovnicu Riešenie.Nechaj Potom

Vydeľme obe strany rovnice x2: Otvorme zátvorky a usporiadajme výrazy:

Ak prejdeme k starým premenným, dostaneme sa ku konečnému výsledku:

Príklad 3Nájdite riešenie rovnice vzhľadom na to

Riešenie.Vykonanie štandardnej výmeny dostaneme

alebo

alebo

To znamená, že konkrétne riešenie má formu Príklad 4. Nájdite riešenie rovnice

Riešenie.

Príklad 5.Nájdite riešenie rovnice Riešenie.

Samostatná práca

Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými (1-9).

Nájdite riešenie homogénnych diferenciálnych rovníc (9-18).

6.2.3. Niektoré aplikácie diferenciálnych rovníc prvého rádu

Problém rádioaktívneho rozpadu

Rýchlosť rozpadu Ra (rádia) v každom časovom okamihu je úmerná jeho dostupnej hmotnosti. Nájdite zákon rádioaktívneho rozpadu Ra, ak je známe, že v počiatočnom okamihu bolo Ra a polčas rozpadu Ra je 1590 rokov.

Riešenie. Nech je v okamihu hmotnosť Ra x= x(t) g, a Potom sa rýchlosť rozpadu Ra rovná

Podľa podmienok problému

Kde k

Oddelením premenných v poslednej rovnici a integráciou dostaneme

kde

Na určenie C používame počiatočnú podmienku: kedy .

Potom a preto

Faktor proporcionality k určená z dodatočnej podmienky:

máme

Odtiaľto a požadovaný vzorec

Problém rýchlosti reprodukcie baktérií

Rýchlosť rozmnožovania baktérií je úmerná ich počtu. Na začiatku bolo 100 baktérií. Do 3 hodín sa ich počet zdvojnásobil. Nájdite závislosť počtu baktérií od času. Koľkokrát sa počet baktérií zvýši za 9 hodín?

Riešenie. Nechaj x- počet baktérií naraz t. Potom, podľa stavu,

Kde k- koeficient proporcionality.

Odtiaľto Zo stavu je známe, že . znamená,

Z dodatočnej podmienky . Potom

Funkcia, ktorú hľadáte:

Takže, kedy t= 9 x= 800, t.j. v priebehu 9 hodín sa počet baktérií zvýšil 8-krát.

Problém zvýšenia množstva enzýmu

V kultúre pivovarských kvasníc je rýchlosť rastu aktívneho enzýmu úmerná jeho počiatočnému množstvu x. Počiatočné množstvo enzýmu a zdvojnásobil za hodinu. Nájdite závislosť

x(t).

Riešenie. Podľa podmienky má diferenciálna rovnica procesu tvar

odtiaľto

Ale . znamená, C= a a potom

Je tiež známe, že

teda

6.3. ROVNICE DRUHÉHO RADU

6.3.1. Základné pojmy

Definícia.Diferenciálna rovnica druhého rádu sa nazýva relácia spájajúca nezávislú premennú, požadovanú funkciu a jej prvú a druhú deriváciu.

V špeciálnych prípadoch môže v rovnici chýbať x, pri alebo y". Rovnica druhého rádu však musí nevyhnutne obsahovať y." Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako:

alebo, ak je to možné, vo forme vyriešenej vzhľadom na druhý derivát:

Rovnako ako v prípade rovnice prvého rádu, aj pre rovnicu druhého rádu môžu existovať všeobecné a konkrétne riešenia. Všeobecné riešenie je:

Hľadanie konkrétneho riešenia

za počiatočných podmienok – dané

čísla) sa volá Cauchy problém. Geometricky to znamená, že musíme nájsť integrálnu krivku pri= y(x), prechádzajúci cez daný boda majúci v tomto bode dotyčnicu, ktorá je

zarovná s kladným smerom osi Oxšpecifikovaný uhol. e. (obr. 6.1). Cauchyho problém má jedinečné riešenie, ak pravá strana rovnice (6.10), nepretržitý

je nespojitý a má spojité parciálne derivácie vzhľadom na uh, uh" v nejakom susedstve východiskového bodu

Ak chcete nájsť konštanty zahrnuté v súkromnom riešení, systém musí byť vyriešený

Ryža. 6.1. Integrálna krivka

I. Obyčajné diferenciálne rovnice

1.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej x, požadovaná funkcia r a jeho deriváty alebo diferenciály.

Symbolicky je diferenciálna rovnica napísaná takto:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.

Riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie zahrnuté v tejto rovnici

Príklady.

1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého poriadku

Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahrádzanie y" do rovnice dostaneme identitu.

A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" +6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.

Naozaj,.

Dosadením týchto výrazov do rovnice získame: , – identitu.

A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Integrovanie diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice nazývaná funkcia formulára , ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.

Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.

Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.

Príklady

1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého poriadku

xdx + ydy = 0, Ak r= 4 at x = 3.

Riešenie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme

Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu C v tvare .

- všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Konkrétne riešenie rovnice spĺňajúce počiatočné podmienky r = 4 at x = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x 2 + y 2 = 5 2 .

Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získanej zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.

2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Skutočne, dosadením , do rovníc dostaneme: , .

V dôsledku toho má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C určuje rovnosť rôzne riešenia rovnice

Napríklad priamou substitúciou môžete overiť, že funkcie sú riešenia rovnice.

Problém, v ktorom musíte nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x,y) splnenie počiatočnej podmienky y(x 0) = y 0, sa nazýva Cauchyho problém.

Riešenie rovnice y" = f(x,y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x 0) = y 0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.

Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x,y) vzhľadom na to y(x 0) = y 0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x,y) ktorý prechádza daným bodom M 0 (x 0,y 0).

II. Diferenciálne rovnice prvého rádu

2.1. Základné pojmy

Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.

Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.

Rovnica y" = f(x,y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.

Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.

Riešením tejto rovnice je funkcia.

Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne dostaneme

to jest 3x = 3x

Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre akúkoľvek konštantu C.

Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice sa dostaneme odkiaľ C=0.

Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie dosadením výslednej hodnoty do tejto rovnice C=0– súkromné ​​riešenie.

2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály, kde f(x) A g(y)– špecifikované funkcie.

Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici, v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je iba na pravej strane. Hovoria: „v rov. y"=f(x)g(y Poďme oddeliť premenné."

Rovnica formulára nazývaná separovaná premenná rovnica.

Integrácia oboch strán rovnice Autor: x, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) A F(x)– niektoré primitívne deriváty funkcií a f(x), Cľubovoľná konštanta.

Algoritmus na riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Príklad 1

Vyriešte rovnicu y" = xy

Riešenie. Derivácia funkcie y" nahradiť ho

oddeľme premenné

Poďme integrovať obe strany rovnosti:

Príklad 2

2yy" = 1- 3x 2, Ak y0 = 3 pri x 0 = 1

Toto je oddelená premenná rovnica. Predstavme si to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru Odtiaľto

Zistíme, že integrujeme obe strany poslednej rovnosti

Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, yo = 3 nájdeme S 9=1-1+C, t.j. C = 9.

Preto požadovaný parciálny integrál bude alebo

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a majúci dotyčnicu s uhlovým koeficientom

Riešenie. Podľa stavu

Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými. Rozdelením premenných dostaneme:

Integráciou oboch strán rovnice dostaneme:

Pomocou počiatočných podmienok, x = 2 A y = - 3 nájdeme C:

Požadovaná rovnica má teda tvar

2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnicou tvaru y" = f(x)y + g(x)

Kde f(x) A g(x)- niektoré špecifikované funkcie.

Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y

Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) sa nazýva heterogénny.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y je dané vzorcom: kde S– ľubovoľná konštanta.

Najmä ak C = 0, potom je riesenie y = 0 Ak má lineárna homogénna rovnica tvar y" = ky Kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) je daný vzorcom ,

tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.

Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,

Kde k A b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou. Preto má všeobecné riešenie tvar .

Príklad. Vyriešte rovnicu y" + 2 y + 3 = 0

Riešenie. Predstavme si rovnicu vo forme y" = -2r -3 Kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom.

Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.

2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou

Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, Kde u A v- neznáme funkcie z x. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.

Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu

y" = f(x)y + g(x)

1. Zadajte náhradu y=uv.

2. Diferencujte túto rovnosť y" = u"v + uv"

3. Náhradník r A y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to zo zátvoriek:

5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu

Toto je oddeliteľná rovnica:

Rozdeľme premenné a získame:

Kde . .

6. Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice (z kroku 4):

a nájdite funkciu Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými:

7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: , t.j. .

Príklad 1

Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 Ak y = 1 pri x = 0

Riešenie. Vyriešme to pomocou substitúcie y=uv,.y" = u"v + uv"

Nahrádzanie r A y" do tejto rovnice dostaneme

Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice odstránime spoločný faktor u mimo zátvoriek

Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)

Dostaneme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujme obe strany tejto rovnice: Nájdite funkciu v:

Výslednú hodnotu dosadíme v do rovnice dostaneme:

Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujme obe strany rovnice: Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) Poďme nájsť všeobecné riešenie: Nájdime konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y = 1 pri x = 0:

III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

3.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššieho ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje dve ľubovoľné konštanty C 1 A C 2.

Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného riešenia pre určité hodnoty ľubovoľných konštánt C 1 A C 2.

3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné koeficienty.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi nazývaná rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, Kde p A q- konštantné hodnoty.

Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi

1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.

2. Vytvorte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r 2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0

Dané online kalkulačka umožňuje riešiť diferenciálne rovnice online. Stačí zadať svoju rovnicu do príslušného poľa a označiť deriváciu funkcie pomocou apostrofu a kliknúť na tlačidlo „vyriešiť rovnicu“ a systém implementovaný na základe populárnej webovej stránky WolframAlpha vám poskytne podrobné informácie riešenie diferenciálnej rovniceúplne zadarmo. Môžete tiež definovať Cauchyho problém a vybrať z celej množiny možných riešení kvocient, ktorý zodpovedá daným počiatočným podmienkam. Cauchyho problém sa zadáva do samostatného poľa.

Diferenciálna rovnica

Štandardne funkcia v rovnici r je funkciou premennej x. Môžete si však určiť vlastné označenie premennej, ak do rovnice napíšete napríklad y(t), kalkulačka to automaticky rozpozná r existuje funkcia z premennej t. Pomocou kalkulačky môžete riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti a typu: homogénne a nehomogénne, lineárne alebo nelineárne, prvého rádu alebo druhého a vyššieho rádu, rovnice so separovateľnými alebo neoddeliteľnými premennými atď. Riešenie rozdiel. rovnica je uvedená v analytickej forme, má podrobný popis. Diferenciálne rovnice sú veľmi bežné vo fyzike a matematike. Bez ich výpočtu nie je možné vyriešiť mnohé problémy (najmä v matematickej fyzike).

Jednou z etáp riešenia diferenciálnych rovníc je integrovanie funkcií. Na riešenie diferenciálnych rovníc existujú štandardné metódy. Je potrebné zredukovať rovnice do tvaru so separovateľnými premennými y a x a separátne integrovať separované funkcie. Na to je niekedy potrebné vykonať určitú náhradu.