Uveďte príklady rôznych spôsobov riešenia iracionálnych nerovností. Ako riešiť lineárne nerovnosti

Jednou z tém, ktorá si od žiakov vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť, je riešenie nerovností. Tak podobné rovniciam a zároveň veľmi odlišné od nich. Pretože ich riešenie si vyžaduje špeciálny prístup.

Vlastnosti, ktoré budú potrebné na nájdenie odpovede

Všetky sa používajú na nahradenie existujúceho záznamu ekvivalentným záznamom. Väčšina z nich je podobná tomu, čo bolo v rovniciach. Existujú však aj rozdiely.

Funkciu, ktorá je definovaná v ODZ, alebo ľubovoľné číslo, možno pridať na obe strany pôvodnej nerovnosti.
Rovnako je možné aj násobenie, ale len kladnou funkciou alebo číslom.
Ak sa táto akcia vykoná so zápornou funkciou alebo číslom, znamienko nerovnosti sa musí nahradiť opačným.
Funkcie, ktoré nie sú negatívne, môžu byť povýšené na kladnú moc.

Niekedy je riešenie nerovností sprevádzané akciami, ktoré poskytujú cudzie odpovede. Treba ich vylúčiť porovnávaním oblasť ODZ a veľa riešení.

Použitie intervalovej metódy

Jej podstatou je zmenšenie nerovnosti na rovnicu, v ktorej je na pravej strane nula.

Určite oblasť, kde ležia platné hodnoty premenné, teda ODZ.
Transformujte nerovnosť pomocou matematických operácií tak, aby pravá strana mala nulu.
Nahraďte znamienko nerovnosti „=“ a vyriešte zodpovedajúcu rovnicu.
Na číselnej osi vyznačte všetky odpovede, ktoré boli získané pri riešení, ako aj intervaly OD. V prípade striktnej nerovnosti musia byť body nakreslené ako prepichnuté. Ak existuje znamienko rovnosti, mali by byť premaľované.
Určte znamienko pôvodnej funkcie na každom intervale získanom z bodov ODZ a odpovedí, ktoré ho delia. Ak sa znamienko funkcie pri prechode bodom nezmení, potom je zahrnuté do odpovede. V opačnom prípade je to vylúčené.
Hraničné body pre ODZ je potrebné ďalej kontrolovať a až potom zahrnúť alebo nezaradiť do odpovede.
Výsledná odpoveď musí byť napísaná vo forme kombinovaných súborov.

Trochu o dvojitých nerovnostiach

Používajú dva znaky nerovnosti naraz. To znamená, že niektorá funkcia je obmedzená podmienkami dvakrát naraz. Takéto nerovnosti sa riešia systémom dvoch, kedy je originál rozdelený na časti. A v intervalovej metóde sú uvedené odpovede z riešenia oboch rovníc.

Na ich vyriešenie je tiež prípustné použiť vlastnosti uvedené vyššie. S ich pomocou je vhodné znížiť nerovnosť na nulu.

Čo s nerovnosťami, ktoré majú modul?

V tomto prípade riešenie nerovností využíva nasledujúce vlastnosti a platia pre kladnú hodnotu „a“.

Ak „x“ preberá algebraický výraz, potom sú platné nasledujúce náhrady:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a až x< -a или х >a.

Ak nerovnosti nie sú striktné, tak aj vzorce sú správne, len sa v nich okrem väčšieho alebo menšieho znamienka objaví „=“.

Ako sa rieši systém nerovností?

Táto znalosť sa bude vyžadovať v prípadoch, keď je zadaná takáto úloha alebo existuje záznam o dvojitej nerovnosti alebo sa v zázname objaví modul. V takejto situácii budú riešením hodnoty premenných, ktoré by uspokojili všetky nerovnosti v zázname. Ak takéto čísla neexistujú, systém nemá riešenia.

Plán, podľa ktorého sa vykonáva riešenie sústavy nerovností:

vyriešiť každý z nich samostatne;
znázorniť všetky intervaly na číselnej osi a určiť ich priesečníky;
zapíšte si odpoveď systému, ktorá bude kombináciou toho, čo sa stalo v druhom odseku.

Čo robiť s zlomkovými nerovnosťami?

Keďže ich riešenie môže vyžadovať zmenu znamienka nerovnosti, musíte veľmi pozorne a pozorne sledovať všetky body plánu. V opačnom prípade môžete dostať opačnú odpoveď.

Pri riešení zlomkových nerovností sa využíva aj intervalová metóda. A akčný plán bude takýto:

Pomocou opísaných vlastností dajte zlomku taký tvar, aby napravo od znamienka zostala iba nula.
Nahraďte nerovnosť znakom „=“ a určte body, v ktorých sa funkcia bude rovnať nule.
Označte ich na súradnicovej osi. V tomto prípade budú čísla získané ako výsledok výpočtov v menovateli vždy vyrazené. Všetky ostatné sú založené na podmienke nerovnosti.
Určte intervaly stálosti znamienka.
V odpovedi zapíšte spojenie tých intervalov, ktorých znamienko zodpovedá tomu v pôvodnej nerovnosti.

Situácie, keď sa v nerovnosti objavuje iracionalita

Inými slovami, v zápise je matematický koreň. Keďže v r školský kurz V algebre je väčšina úloh pre druhú odmocninu, takže sa to bude brať do úvahy.

Riešenie iracionálne nerovnosti ide o získanie systému dvoch alebo troch, ktorý bude ekvivalentný pôvodnému.

Pôvodná nerovnosť	stave	ekvivalentný systém
√ n (x)< m(х)	m(x) menšie alebo rovné 0	žiadne riešenia
√ n (x)< m(х)	m(x) väčšie ako 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) väčšie alebo rovné 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) menej ako 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) menej ako 0	žiadne riešenia
√n(x) ≤ m(x)	m(x) väčšie alebo rovné 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) väčšie alebo rovné 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) menej ako 0
√ n (x)< √ m(х)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) menej ako m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) väčšie ako 0 m(x) menej ako 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) väčšie ako 0 m(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) sa rovná 0 m(x) - ľubovoľný
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) sa rovná 0 m(x) - ľubovoľný

Príklady riešenia rôznych druhov nerovností

Aby bola teória o riešení nerovností objasnená, nižšie sú uvedené príklady.

Prvý príklad. 2x - 4 > 1 + x

Riešenie: Ak chcete určiť ADI, všetko, čo musíte urobiť, je pozorne sa pozrieť na nerovnosť. Tvorí sa z lineárne funkcie, teda definované pre všetky hodnoty premennej.

Teraz musíte odpočítať (1 + x) od oboch strán nerovnosti. Ukazuje sa: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov bude mať nerovnosť tento tvar: x - 5 > 0.

Ak to prirovnáme k nule, je ľahké nájsť riešenie: x = 5.

Teraz musí byť tento bod s číslom 5 označený na súradnicovom lúči. Potom skontrolujte znaky pôvodnej funkcie. Na prvom intervale od mínus nekonečna do 5 môžete vziať číslo 0 a dosadiť ho do nerovnosti získanej po transformáciách. Po výpočtoch to vychádza -7 >0. pod oblúkom intervalu musíte podpísať znamienko mínus.

Na ďalšom intervale od 5 do nekonečna si môžete vybrať číslo 6. Potom sa ukáže, že 1 > 0. Pod oblúkom je znamienko „+“. Tento druhý interval bude odpoveďou na nerovnosť.

Odpoveď: x leží v intervale (5; ∞).

Druhý príklad. Je potrebné vyriešiť systém dvoch rovníc: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Riešenie. VA týchto nerovností tiež leží v oblasti ľubovoľných čísel, pretože sú dané lineárne funkcie.

Druhá nerovnosť bude mať tvar nasledujúcej rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformácii: -x - 4 =0. To vytvorí hodnotu pre premennú rovnajúcu sa -4.

Tieto dve čísla je potrebné vyznačiť na osi zobrazujúcej intervaly. Keďže nerovnosť nie je striktná, všetky body musia byť zatienené. Prvý interval je od mínus nekonečna do -4. Nech je zvolené číslo -5. Prvá nerovnosť dá hodnotu -3 a druhá 1. To znamená, že tento interval nie je zahrnutý v odpovedi.

Druhý interval je od -4 do -2. Môžete si zvoliť číslo -3 a dosadiť ho do oboch nerovností. V prvom a druhom je hodnota -1. To znamená, že pod oblúkom „-“.

V poslednom intervale od -2 do nekonečna je najlepšie číslo nula. Musíte ho nahradiť a nájsť hodnoty nerovností. Prvý z nich vytvára kladné číslo a druhý nulu. Táto medzera musí byť tiež vylúčená z odpovede.

Z troch intervalov je len jeden riešením nerovnosti.

Odpoveď: x patrí do [-4; -2].

Tretí príklad. |1 – x| > 2 |x - 1|.

Riešenie. Prvým krokom je určiť body, v ktorých funkcie zmiznú. Pre ľavé bude toto číslo 2, pre pravé - 1. Treba ich označiť na nosníku a určiť intervaly stálosti znamienka.

Na prvom intervale, od mínus nekonečna do 1, preberá funkcia z ľavej strany nerovnosti kladné hodnoty, a sprava - negatívny. Pod oblúk musíte napísať dve znamienka „+“ a „-“ vedľa seba.

Ďalší interval je od 1 do 2. Na ňom obe funkcie nadobúdajú kladné hodnoty. To znamená, že pod oblúkom sú dve plusy.

Tretí interval od 2 do nekonečna poskytne nasledujúci výsledok: ľavá funkcia je záporná, pravá funkcia je kladná.

Berúc do úvahy výsledné znaky, musíte vypočítať hodnoty nerovností pre všetky intervaly.

Prvý spôsobí nasledujúcu nerovnosť: 2 - x > - 2 (x - 1). Mínus pred dvojkou v druhej nerovnosti je spôsobený tým, že táto funkcia je záporná.

Po transformácii nerovnosť vyzerá takto: x > 0. Okamžite dáva hodnoty premennej. To znamená, že z tohto intervalu bude zodpovedaný iba interval od 0 do 1.

Na druhom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformácia poskytne nasledujúcu nerovnosť: -3x + 4 je väčšia ako nula. Jeho nula bude x = 4/3. Ak vezmeme do úvahy znamienko nerovnosti, ukáže sa, že x musí byť menšie ako toto číslo. To znamená, že tento interval sa skráti na interval od 1 do 4/3.

Ten dáva nasledujúcu nerovnosť: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jej transformácia vedie k nasledovnému: -x > 0. To znamená, že rovnica platí, keď x je menšie ako nula. To znamená, že v požadovanom intervale nerovnosť neposkytuje riešenia.

V prvých dvoch intervaloch sa ukázalo, že limitné číslo je 1. Je potrebné ho skontrolovať samostatne. To znamená, že ju dosaďte do pôvodnej nerovnosti. Ukazuje sa: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Výpočet ukazuje, že 1 je väčšia ako 0. Toto je pravdivé tvrdenie, takže jeden je zahrnutý v odpovedi.

Odpoveď: x leží v intervale (0; 4/3).

Koncept matematickej nerovnosti vznikol v staroveku. Toto sa stalo, keď primitívny človek bolo treba počítať a operovať s rôzne položky porovnaj ich počet a veľkosť. Od staroveku Archimedes, Euclid a ďalší slávni vedci: matematici, astronómovia, dizajnéri a filozofi používali nerovnosti vo svojich úvahách.

Vo svojich dielach však spravidla používali slovnú terminológiu. Po prvýkrát boli v Anglicku vynájdené a uvedené do praxe moderné značky na označenie pojmov „viac“ a „menej“ v podobe, v akej ich dnes pozná každý školák. Takúto službu poskytol svojim potomkom matematik Thomas Harriot. A to sa stalo asi pred štyrmi storočiami.

Je známych veľa druhov nerovností. Sú medzi nimi jednoduché, obsahujúce jednu, dve alebo viac premenných, kvadratické, zlomkové, komplexné pomery a dokonca aj tie, ktoré sú reprezentované sústavou výrazov. Najlepší spôsob, ako pochopiť, ako riešiť nerovnosti, je použiť rôzne príklady.

Nenechajte si ujsť vlak

Na začiatok si predstavme, že vidiecky obyvateľ sa ponáhľa na železničnú stanicu, ktorá sa nachádza 20 km od jeho dediny. Aby nezmeškal vlak odchádzajúci o 11. hodine, musí odísť z domu včas. V akom čase to treba urobiť, ak je rýchlosť 5 km/h? Riešenie tohto praktického problému spočíva v splnení podmienok výrazu: 5 (11 - X) ≥ 20, kde X je čas odchodu.

Je to pochopiteľné, pretože vzdialenosť, ktorú musí dedinčan prejsť na stanicu, sa rovná rýchlosti pohybu vynásobenej počtom hodín na ceste. Poď predtým človek možno, ale v žiadnom prípade nemôže meškať. Keď viete, ako vyriešiť nerovnosti a uplatníte svoje zručnosti v praxi, skončíte s X ≤ 7, čo je odpoveď. To znamená, že dedinčan by mal ísť na železničnú stanicu o siedmej ráno alebo o niečo skôr.

Číselné intervaly na súradnicovej čiare

Teraz poďme zistiť, ako mapovať opísané vzťahy na vyššie uvedenú nerovnosť nie je striktná. To znamená, že premenná môže nadobúdať hodnoty menšie ako 7 alebo sa môže rovnať tomuto číslu. Uveďme ďalšie príklady. Aby ste to dosiahli, starostlivo zvážte štyri obrázky uvedené nižšie.

Na prvom z nich je možné vidieť grafické znázornenie intervalu [-7; 7]. Pozostáva zo sady čísel umiestnených na súradnicovej čiare a umiestnených medzi -7 a 7, vrátane hraníc. V tomto prípade sú body na grafe zobrazené ako vyplnené kruhy a interval sa zaznamenáva pomocou

Druhý údaj je grafickým znázornením striktnej nerovnosti. V tomto prípade hraničné čísla -7 a 7, znázornené prepichnutými (nevyplnenými) bodkami, nie sú zahrnuté v špecifikovanej sade. A samotný interval sa píše v zátvorkách takto: (-7; 7).

To znamená, že keď sme prišli na to, ako vyriešiť nerovnosti tohto typu a dostali podobnú odpoveď, môžeme dospieť k záveru, že pozostáva z čísel, ktoré sú medzi príslušnými hranicami, okrem -7 a 7. Nasledujúce dva prípady musia byť vyhodnotené v podobným spôsobom. Tretí obrázok ukazuje obrázky intervalov (-∞; -7] U (0) (0).

Zhrňme si, čo sme sa naučili.
Povedzme, že je potrebné vyriešiť sústavu nerovností: $\začiatok(prípady)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\koniec(prípady)$.
Potom je interval ($x_1; x_2$) riešením prvej nerovnosti.
Interval ($y_1; y_2$) je riešením druhej nerovnosti.
Riešenie systému nerovníc je priesečníkom riešení každej nerovnosti.

Systémy nerovností môžu pozostávať nielen z nerovností prvého rádu, ale aj z akýchkoľvek iných typov nerovností.

Dôležité pravidlá riešenia sústav nerovníc.
Ak jedna z nerovností systému nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Ak je jedna z nerovností splnená pre akékoľvek hodnoty premennej, potom riešením systému bude riešenie druhej nerovnosti.

Príklady.
Vyriešte systém nerovností: $\začiatok(prípady)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \koniec(prípady)$
Riešenie.
Riešime každú nerovnosť samostatne.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.

Vyriešme druhú nerovnosť.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Riešením nerovnosti je interval.
Nakreslíme oba intervaly na rovnakú čiaru a nájdeme priesečník.
Priesečníkom intervalov je segment (4; 6].
Odpoveď: (4;6].

Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\koniec (prípady) )$.

Riešenie.
a) Prvá nerovnosť má riešenie x>1.
Nájdime diskriminant pre druhú nerovnosť.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Pamätajme na pravidlo: keď jedna z nerovností nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

B) Prvá nerovnica má riešenie x>1.
Druhá nerovnosť je väčšia ako nula pre všetky x. Potom sa riešenie sústavy zhoduje s riešením prvej nerovnosti.
Odpoveď: x>1.

Úlohy na sústavách nerovníc na samostatné riešenie

Riešenie systémov nerovností:
a) $\začiatok(prípady)4x-5>11\\2x-12 b) $\začiatok(prípady)-3x+1>5\\3x-11 c) $\začiatok(prípady)x^2-25 d) $\začiatok(prípady)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \koniec(prípady)$
e) $\začiatok(prípady)x^2+36

Nerovnosť je výraz s, ≤ alebo ≥. Napríklad 3x - 5 Vyriešenie nerovnosti znamená nájdenie všetkých hodnôt premenných, pre ktoré platí nerovnosť. Každé z týchto čísel je riešením nerovnosti a množina všetkých takýchto riešení je jeho veľa riešení. Nerovnice, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalentné nerovnosti.

Lineárne nerovnosti

Princípy riešenia nerovníc sú podobné princípom riešenia rovníc.

Zásady riešenia nerovností
Pre akékoľvek reálne čísla a, b a c:
Princíp sčítania nerovností: Ak a Princíp násobenia nerovností: Ak a 0 je pravda, potom ac Ak je pravda aj bc.
Podobné tvrdenia platia aj pre a ≤ b.

Keď sa obe strany nerovnosti vynásobia záporným číslom, znamienko nerovnosti sa musí obrátiť.
Nerovnosti prvej úrovne, ako v príklade 1 (nižšie), sa nazývajú lineárne nerovnosti.

Príklad 1 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Potom nakreslite sadu riešení.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Riešenie
Akékoľvek číslo menšie ako 11/5 je riešením.
Množina riešení je (x|x
Pre kontrolu môžeme nakresliť graf y 1 = 3x - 5 a y 2 = 6 - 2x. Potom je jasné, že pre x
Súbor riešení je (x|x ≤ 1) alebo (-∞, 1]. Graf súboru riešení je uvedený nižšie.

Dvojité nerovnosti

Keď sú dve nerovnosti spojené slovom A, alebo, potom sa vytvorí dvojitá nerovnosť. Ako dvojitá nerovnosť
-3 A 2x + 5 ≤ 7
volal pripojený, pretože používa A. Zadanie -3 Dvojité nerovnosti je možné riešiť pomocou princípov sčítania a násobenia nerovností.

Príklad 2 Riešiť -3 Riešenie máme

Súbor riešení (x|x ≤ -1 alebo x > 3). Riešenie môžeme zapísať aj pomocou intervalového zápisu a symbolu pre združenia alebo vrátane oboch súborov: (-∞ -1] (3, ∞). Graf súboru riešení je uvedený nižšie.

Pre kontrolu zostrojme graf y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 a y 3 = 1. Všimnite si, že pre (x|x ≤ -1 alebo x > 3), y1 ≤ y2 alebo y1 > y3.

Nerovnosti s absolútnou hodnotou (modul)

Nerovnosti niekedy obsahujú moduly. Na ich riešenie sa používajú nasledujúce vlastnosti.
Pre a > 0 a algebraický výraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentné x alebo x > a.
Podobné výroky pre |x| ≤ a a |x| ≥ a.

napr.
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentné y ≤ -1 alebo y > 1;
a |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentné -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Príklad 4 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Zostavte graf súboru riešení.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Riešenie
a) |3x + 2|

Sada riešení je (x|-7/3