Riešenie homogénnych sústav lineárnych algebraických rovníc. Nájdite všeobecné riešenie systému a fsr

systémy lineárne rovnice, pre ktoré sa všetky voľné členy rovnajú nule sa volajú homogénne :

Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.

Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.

Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pri ktorých má systém netriviálne riešenia, a nájdite tieto riešenia:

Riešenie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:

Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=a A z=b, dostaneme x=b-a, t.j.

Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základ vyberieme vedľajšiu:

dostaneme zjednodušený systém

Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Veriaci z=4a, dostaneme

Množina všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležité lineárna vlastnosť : ak stĺpce X 1 a X 2 - riešenia homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1 + b X 2 bude tiež riešením tohto systému. Skutočne, odvtedy AX 1 = 0 A AX 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Je to kvôli tejto vlastnosti, že ak má lineárny systém viac ako jedno riešenie, potom bude týchto riešení nekonečný počet.

Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazývajú základný systém riešení homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:

Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, To k = n-r.

Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:

Riešenie. Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému:

Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n-r= 5 - 2 = 3. Ako základ zvolíme moll

.

Potom ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné presunieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:

Veriaci x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nájdeme

, .

Veriaci a= 1, b = c= 0, získame prvé zásadité riešenie; veriaceho b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; veriaceho c= 1, a = b= 0, získame tretie základné riešenie. V dôsledku toho nadobudne formu normálny základný systém riešení

Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.

Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B, A Y- všeobecné riešenie heterogénnej sústavy, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akéhokoľvek lineárne systémy(algebraické, diferenciálne, funkčné atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp superpozície. Napríklad v teórii lineárnej elektrické obvody prúd v akomkoľvek obvode možno získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.

Homogénne sústavy lineárnych algebraických rovníc

V rámci vyučovacích hodín Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden z rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Na základe prvých odstavcov môže materiál pôsobiť nudne a priemerne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvoja technických techník bude veľa nové informácie, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen všetci rovnica systému je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade, čo vás upúta, je tzv triviálne riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bez predvádzania sa. Nie akademické, samozrejme, ale zrozumiteľné =) ...Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém nejaké iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Upozorňujeme, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných výrazov - koniec koncov, bez ohľadu na to, čo robíte s nulami, zostanú nulami:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.

Deliť tretí riadok 3 nemá veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a pomocou inverznej metódy Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade – 3 kusy).

Poďme sa zohriať a naladiť naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Z článku Ako zistiť hodnosť matice? Pripomeňme si racionálnu techniku ​​súčasného znižovania maticových čísel. V opačnom prípade budete musieť rezať veľké a často hryzavé ryby. Približný príklad úlohy na konci hodiny.

Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vznik všeobecného riešenia:

Príklad 3

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitej formy. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:

(1) K prvému riadku bol pridaný tretí riadok vynásobený –1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie transformácie.

(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol vypustený. Úprimne povedané, netlačil som na riešenie - ukázalo sa to tak. Ak vykonávate transformácie spôsobom podľa šablóny, potom lineárna závislosť linky by boli odhalené o niečo neskôr.

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 3.

(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém:

Algoritmus funguje presne rovnako ako pre nie homogénne systémy . Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „krok“ je voľná.

Vyjadrime základné premenné prostredníctvom voľnej premennej:

Odpoveď: všeobecné riešenie:

Triviálne riešenie je zahrnuté v všeobecný vzorec, a je zbytočné to vypisovať samostatne.

Kontrola sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí dosadiť na ľavú stranu každej rovnice systému a pre všetky substitúcie sa musí získať zákonná nula.

Dalo by sa to dokončiť potichu a pokojne, ale riešenie homogénneho systému rovníc je často potrebné znázorniť vo vektorovej forme používaním základný systém riešení. Prosím, nateraz na to zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som trochu otvoril v článku o maticová hodnosť. Nie je potrebné obchádzať terminológiu, všetko je celkom jednoduché.

systém m lineárne rovnice c n nazývané neznáme lineárny homogénny systém rovnice, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule. Takýto systém vyzerá takto:

Kde a ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dané čísla; x i– neznámy.

Systém lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentný, pretože r(A) = r(). Vždy má aspoň nulu ( triviálne) riešenie (0; 0; …; 0).

Uvažujme, za akých podmienok majú homogénne systémy nenulové riešenia.

Veta 1. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenia práve vtedy, ak je poradie jeho hlavnej matice r menej neznámych n, t.j. r < n.

□ 1). Nech má sústava lineárnych homogénnych rovníc nenulové riešenie. Keďže poradie nemôže presiahnuť veľkosť matice, potom, samozrejme, r ≤ n. Nechaj r = n. Potom jedna z menších veľkostí n n odlišný od nuly. Preto má zodpovedajúci systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie: . To znamená, že neexistujú žiadne iné riešenia ako triviálne. Takže, ak existuje netriviálne riešenie, potom r < n.

2). Nechaj r < n. Potom je homogénny systém, ktorý je konzistentný, neistý. To znamená, že má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Predstavte si homogénny systém n lineárne rovnice c n neznámy:

(2)

Veta 2. Homogénny systém n lineárne rovnice c n neznáma (2) má nenulové riešenia práve vtedy, ak sa jej determinant rovná nule: = 0.

□ Ak má sústava (2) nenulové riešenie, potom = 0. Pretože keď má sústava len jediné nulové riešenie. Ak = 0, potom poradie r hlavná matica systému je menšia ako počet neznámych, t.j. r < n. A teda systém má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Označme riešenie sústavy (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ako struna .

Riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc majú tieto vlastnosti:

1. Ak je linka je riešením sústavy (1), potom je riadok riešením sústavy (1).

2. Ak linky A - riešenia sústavy (1), potom pre ľubovoľné hodnoty s 1 a s 2 ich lineárna kombinácia je tiež riešením sústavy (1).

Platnosť týchto vlastností je možné overiť ich priamym dosadením do rovníc sústavy.

Z formulovaných vlastností vyplýva, že každá lineárna kombinácia riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc je riešením aj tejto sústavy.

Systém lineárne nezávislých riešení e 1 , e 2 , …, e r volal zásadný, ak každé riešenie sústavy (1) je lineárnou kombináciou týchto riešení e 1 , e 2 , …, e r.

Veta 3. Ak hodnosť r matice koeficientov pre systémové premenné lineárnych homogénnych rovníc (1) je menší ako počet premenných n, potom každý základný systém riešení systému (1) pozostáva z n–r rozhodnutia.

Preto všeobecné riešenie sústava lineárnych homogénnych rovníc (1) má tvar:

Kde e 1 , e 2 , …, e r– akýkoľvek základný systém riešení systému (9), s 1 , s 2 , …, s p – ľubovoľné čísla, r = n–r.

Veta 4. Všeobecné riešenie systému m lineárne rovnice c n neznámych sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy (1).

Príklad. Vyriešte systém

Riešenie. Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém iba triviálne riešenie: x = r = z = 0.

Príklad. 1) Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia systému

2) Nájdite základný systém riešení.

Riešenie. 1) Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém nenulové riešenia.

Pretože v systéme existuje iba jedna nezávislá rovnica

x + r – 4z = 0,

potom z nej vyjadríme x =4z- r. Kde získame nekonečný počet riešení: (4 z- r, r, z) – toto je všeobecné riešenie systému.

O z= 1, r= -1, dostaneme jedno konkrétne riešenie: (5, -1, 1). Umiestňovanie z= 3, r= 2, dostaneme druhé konkrétne riešenie: (10, 2, 3) atď.

2) Vo všeobecnom riešení (4 z- r, r, z) premenné r A z sú zadarmo a variabilné X- na nich závislý. Aby sme našli základný systém riešení, priraďme hodnoty voľným premenným: najprv r = 1, z= 0 teda r = 0, z= 1. Získame čiastkové riešenia (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ktoré tvoria základnú sústavu riešení.

Ilustrácie:

Ryža. 1 Klasifikácia sústav lineárnych rovníc

Ryža. 2 Štúdium sústav lineárnych rovníc

Prezentácie:

· Metóda riešenia SLAE_matrix

· Riešenie metódy SLAE_Cramer

· Riešenie SLAE_Gaussova metóda

· Balíky na riešenie matematických úloh Mathematica, MathCad: hľadanie analytických a numerických riešení sústav lineárnych rovníc

Bezpečnostné otázky :

1. Definujte lineárnu rovnicu

2. Aký typ systému to vyzerá? m lineárne rovnice s n neznámy?

3. Čo sa nazýva riešenie sústav lineárnych rovníc?

4. Aké systémy sa nazývajú ekvivalentné?

5. Ktorý systém sa nazýva nekompatibilný?

6. Aký systém sa nazýva kĺb?

7. Ktorý systém sa nazýva určitý?

8. Ktorý systém sa nazýva neurčitý

9. Vymenujte elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc

10. Vymenujte elementárne transformácie matíc

11. Formulujte vetu o aplikácii elementárnych transformácií na sústavu lineárnych rovníc

12. Aké systémy je možné riešiť maticovou metódou?

13. Aké systémy možno vyriešiť Cramerovou metódou?

14. Aké sústavy možno riešiť Gaussovou metódou?

15. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

16. Opíšte maticovú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

17. Opíšte Cramerovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

18. Opíšte Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

19. Aké systémy je možné riešiť pomocou inverzná matica?

20. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Literatúra:

1. Vyššia matematika pre ekonómov: Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Všeobecný kurz vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica. / Ed. V.I. Ermakovej. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Zbierka úloh z vyššej matematiky pre ekonómov: Návod/ Spracoval V.I. Ermakovej. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a magmatickej štatistike. - M.: Vyššia škola, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. - M.: Vyššia škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Časť 1, 2. – M.: Onyx 21. storočie: Mier a vzdelanie, 2005. – 304 s. Časť 1; – 416 s. 2. časť

7. Matematika v ekonómii: Učebnica: V 2 častiach / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financie a štatistika, 2006.

8. Šipačov V.S. Vyššia matematika: Učebnica pre žiakov. univerzity - M.: Vyššia škola, 2007. - 479 s.

Súvisiace informácie.

Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.

Uvažujme o iných metódach riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto metódy využívajú koncept poradia matice a redukujú riešenie akéhokoľvek konzistentného systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.

Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúceho systému lineárnych rovníc pomocou základného systému riešení redukovaného homogénneho systému a konkrétneho riešenia nehomogénneho systému.

1. Vytvorenie matrice A a rozšírená matica systému (1)

2. Preskúmajte systém (1) pre spolupatričnosť. Na to nájdeme hodnosti matrík A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia kompatibility je založená na Kronecker-Capelliho vete).

a. nachádzame rA.

Ak chcete nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.

M1=1≠0 (berieme 1 z ľavého horného rohu matice A).

Hraničíme M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. . Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu M2′ druhého rádu.

Máme: (keďže prvé dva stĺpce sú rovnaké)

(keďže druhý a tretí riadok sú proporcionálne).

To vidíme rA=2, a je menšia báza matice A.

b. nachádzame.

Celkom základné drobné M2′ matice A ohraničenie stĺpcom voľných výrazov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).

. Z toho vyplýva M3′′ zostáva základnou moll matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Pretože M2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre M2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).

(3)

Od základnej malej https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 A x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 a potom - x2 = 0 , x4=1 .

O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:

.

Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť pomocou Cramerovho pravidla alebo akejkoľvek inej metódy). Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme:

Jej riešenie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 A x4 , ktorý sme pridali, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .

Teraz veríme (4) x2 = 0 , x4=1 . Získame:

.

Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:

.

Získame druhé základné riešenie systému (2) : .

Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tu C1 , C2 – ľubovoľné konštanty.

4. Nájdime jeden súkromné riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) Uvažujme o ekvivalentnom systéme (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .

(5)

Presuňme voľné neznáme na správnu stranu x2 A x4.

(6)

Dajme zadarmo neznáme x2 A x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a vložte ich (6) . Zoberme si systém

Tento systém má jedinečné riešenie (pretože je jeho determinantom M2'0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 A x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teraz už zostáva len zapísať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné ​​riešenie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica zmení na identitu ( C1 A C2 musia byť zničené), potom sa riešenie nájde správne.

Nahradíme (7) napríklad len posledná rovnica sústavy (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde –1=–1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .

Komentujte. Kontrola je zvyčajne dosť ťažkopádna. Možno odporučiť nasledujúcu „čiastočnú kontrolu“: vo všeobecnom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné čiastkové riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) , ktoré neboli zahrnuté v (5) ). Ak získate identity, potom pravdepodobnejšie, systémové riešenie (1) nájdené správne (ale takáto kontrola neposkytuje úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice sústavy (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce základné neznáme z hľadiska voľných.

Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej menšej (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ekvivalentný systému (1).

Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.

systém (9) Riešime Gaussovou metódou, pričom pravé strany považujeme za voľné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnosť 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnosť 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnosť 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnosť 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské čísloúlohy zo všetkých odvetví matematiky sú redukované na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc zvážením podrobných riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme notácie.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda sekvenčnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu sústav lineárnych algebraických rovníc celkový pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému singulárna. Sformulujme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (ak sú kompatibilné) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver zvážime systémy rovníc, ktoré možno redukovať na lineárne, ako aj rôzne problémy, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma záznamu sa nazýva SLAE koordinovať.

IN matricový formulár písanie tohto systému rovníc má tvar,
Kde - hlavná matica systému, - stĺpcová matica neznámych premenných, - stĺpcová matica voľných členov.

Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj.

Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež stáva identitou.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekĺbový.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať v r stredná škola. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

S týmto zápisom sa neznáme premenné počítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou Cramerovej metódy.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Poskladajme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant získame nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov a nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov) :

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc v sústave viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je systém lineárnych algebraických rovníc daný v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie matice-stĺpca neznámych premenných. Takto sme získali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou maticovej metódy.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť pomocou maticovej metódy. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice z algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do maticového stĺpca voľných členov (ak je to potrebné, pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť hľadania inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného odstraňovania neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc, počnúc treťou atď., až kým v nej nezostane iba neznáma premenná x n posledná rovnica. Tento proces transformácie rovníc systému na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného zdvihu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice sa vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice sústavy k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť výmenou rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom stranám druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp.

Teraz odstránime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

Tým sa dokončí dopredný ťah Gaussovej metódy, začneme spätný ťah.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým dokončíme opak Gaussovej metódy.

odpoveď:

Xi = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

IN všeobecný prípad počet rovníc systému p sa nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre systémy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a singulárna.

Kroneckerova-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekonzistentný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
Aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, tj. , Poradie (A) = Poradie (T).

Uvažujme ako príklad použitie Kronecker-Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Pozrime sa na maloletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice sa rovná dvom.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže maloletý je tretieho rádu

odlišný od nuly.

teda Rang(A) teda pomocou Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Aby sme to dosiahli, potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa minor najvyššieho rádu matice A, odlišný od nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko vedľajších základov;

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky riadkové (a stĺpcové) prvky matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich riadkových (a stĺpcových) prvkov tvoriacich základ minor.

Čo nám hovorí veta o poradí matice?

Ak sme podľa Kronecker-Capelliho vety stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú menšiu bázu hlavnej matice systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria vybraný základ moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže maloletý je druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, keďže jediný menší stupeň tretieho rádu je nula

a vyššie uvažovaná neplnoletá osoba druhého poriadku sa líši od nuly. Na základe Kronecker-Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2.

Ako základ berieme drobné . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe bázy moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom na ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základ menšie a zvyšné členy prenesieme na pravé strany rovnice. rovnice sústavy s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (z nich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavné.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz veríme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo hlavné neznáme premenné budú vyjadrené prostredníctvom voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy.

Pozrime sa na to na príklade.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú mollovú hodnotu prvého rádu. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu ohraničujúcu tento moll:


Takto sme našli nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Za základ berieme nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Na ľavej strane systémových rovníc necháme výrazy zapojené do základnej menšej časti a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Dajme voľným neznámym premenným x 2 a x 5 ľubovoľné hodnoty, teda akceptujeme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Vyriešme výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Poďme si to zhrnúť.

Aby sme vyriešili systém všeobecných lineárnych algebraických rovníc, najprv určíme jeho kompatibilitu pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme vedľajšiu bázu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej vedľajšej bázy.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie menšieho základu menšie ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane systémových rovníc ponecháme výrazy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné výrazy prenesieme na pravé strany a zadáme ľubovoľné hodnoty. voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy hlavné neznáme premenné.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv testovala ich konzistencia. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z výpočtového hľadiska je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to podrobný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.

V tejto časti budeme hovoriť o simultánnych homogénnych a nehomogénnych systémoch lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný systém riešení homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je súborom (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE označíme ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpcové matice rozmeru n pomocou 1) , potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi C 1, C 2, ..., C (n-r), teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1, C 2, ..., C (n-r), pomocou vzorca budeme získať jeden z roztokov pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, potom môžeme definovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Vyberieme minoritný základ pôvodného systému lineárnych rovníc, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,...,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad pomocou Cramerovej metódy. Výsledkom bude X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak voľným neznámym premenným priradíme hodnoty 0,0,...,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Týmto spôsobom sa skonštruuje základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané v tvare .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty ​​0,0,…,0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Pomocou metódy ohraničenia maloletých nájdime hodnosť hlavnej matice. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdime hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Bol nájdený minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto sa poradie hlavnej a rozšírenej matice rovná dvom. Vezmime si . Pre prehľadnosť si všimnime prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základu minor je rovné dvom. Na nájdenie X (1) dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.