Susedné uhly a ich vlastnosti. Susedné uhly

Dva uhly umiestnené na rovnakej priamke a majúce rovnaký vrchol sa nazývajú susedné.

V opačnom prípade, ak sa súčet dvoch uhlov na jednej priamke rovná 180 stupňom a majú jednu stranu spoločnú, ide o susedné uhly.

1 susedný uhol + 1 susedný uhol = 180 stupňov.

Susedné uhly- sú to dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ostatné dve strany vo všeobecnosti tvoria priamku.

Súčet dvoch susedných uhlov je vždy 180 stupňov. Napríklad, ak je jeden uhol 60 stupňov, potom druhý bude nevyhnutne rovný 120 stupňom (180-60).

Uhly AOC a BOC sú susedné uhly, pretože sú splnené všetky podmienky pre charakteristiky susedných uhlov:

1.OS - spoločná strana dvoch rohov

2.AO - strana rohu AOS, OB - strana rohu BOS. Tieto strany spolu tvoria priamku AOB.

3. Existujú dva uhly a ich súčet je 180 stupňov.

Spomínanie školský kurz geometrie, o susedných uhloch môžeme povedať nasledovné:

susedné uhly majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany patria k tej istej priamke, to znamená, že sú na tej istej priamke. Ak podľa obrázku, potom uhly SOV a BOA sú susedné uhly, ktorých súčet sa vždy rovná 180, pretože delia priamy uhol a priamy uhol sa vždy rovná 180.

Susedné uhly sú v geometrii jednoduchým konceptom. Susedné uhly, uhol plus uhol, tvoria spolu 180 stupňov.

Dva susedné uhly budú jedným rozvinutým uhlom.

Existuje niekoľko ďalších nehnuteľností. So susednými uhlami sa problémy ľahko riešia a vety sa dajú dokázať.

Susedné uhly sa vytvárajú nakreslením lúča z ľubovoľného bodu na priamke. Potom sa tento ľubovoľný bod ukáže ako vrchol uhla, lúč je spoločnou stranou susedných uhlov a priamka, z ktorej je lúč nakreslený, sú dve zostávajúce strany susedných uhlov. Susedné uhly môžu byť rovnaké v prípade kolmice, alebo rôzne v prípade nakloneného nosníka. Je ľahké pochopiť, že súčet susedných uhlov sa rovná 180 stupňom alebo jednoducho priamke. Ďalší spôsob, ako vysvetliť tento uhol, je jednoduchý príklad- najprv ste išli jedným smerom po priamke, potom ste si to rozmysleli, rozhodli ste sa vrátiť a po otočení o 180 stupňov ste sa vydali po tej istej priamke opačným smerom.

Čo je teda susedný uhol? Definícia:

Dva uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou sa nazývajú susedné a ďalšie dve strany týchto uhlov ležia na rovnakej priamke.

A krátka video lekcia, ktorá rozumne ukazuje susedné uhly, vertikálne uhly a kolmé čiary, ktoré sú špeciálnym prípadom susedných a vertikálnych uhlov

Susedné uhly sú uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a druhá je jedna čiara.

Susedné uhly sú uhly, ktoré na sebe závisia. To znamená, že ak je spoločná strana mierne otočená, potom sa jeden uhol zníži o niekoľko stupňov a automaticky sa druhý uhol zväčší o rovnaký počet stupňov. Táto vlastnosť susedných uhlov umožňuje riešiť rôzne problémy v geometrii a vykonávať dôkazy rôznych viet.

Celkový súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.

Z kurzu geometrie, (pokiaľ si pamätám v 6. ročníku), sa dva uhly nazývajú susedné, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany sú dodatočné lúče, súčet susedných uhlov je 180. Každý z týchto dvoch priľahlé uhly dopĺňajú ostatné k rozšírenému uhlu. Príklad susedných uhlov:

Susedné uhly sú dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov. Vo všeobecnosti sa to všetko dá veľmi ľahko nájsť v Google alebo v učebnici geometrie.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú spoločný vrchol a jednu stranu a ďalšie dve strany tvoria priamku. Súčet susedných uhlov je 180 stupňov.

Na obrázku sú uhly AOB a BOC priľahlé.

Susedné uhly sú tie, ktoré majú spoločný vrchol, jednu spoločnú stranu a ostatné strany sú pokračovaním jeden druhého a tvoria predĺžený uhol. Pozoruhodnou vlastnosťou susedných uhlov je, že súčet týchto uhlov sa vždy rovná 180 stupňom.

Uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou v geometrii sa nazývajú susedné

Súčet susedných uhlov je 180 stupňov

Treba poznamenať, že susedné uhly majú rovnaké sínusy

Ak sa chcete dozvedieť viac o susedných uhloch, prečítajte si tu

Uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany ležia na rovnakej priamke (na obrázku sú uhly 1 a 2 priľahlé). Ryža. k čl. Priľahlé rohy... Veľká sovietska encyklopédia

PRIľahlé ROHY- uhly, ktoré majú spoločný vrchol a jednu spoločnú stranu a ich ďalšie dve strany ležia na tej istej priamke... Veľká polytechnická encyklopédia

Pozri uhol... Veľký Encyklopedický slovník

ADJACENT ANGLES, dva uhly, ktorých súčet je 180°. Každý z týchto uhlov dopĺňa druhý do celého uhla... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Pozri Uhol. * * * PRIDAJÚCE ROHY PRIDAJÚCE ROHY, pozri Uhol (pozri UHOL) ... Encyklopedický slovník

- (Uhly susediace) tie, ktoré majú spoločný vrchol a spoločnú stranu. Väčšinou sa týmto názvom označujú také C. uhly, ktorých ďalšie dve strany ležia v opačných smeroch jednej priamky vedenej cez vrchol ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Pozri uhol... Prírodná veda. Encyklopedický slovník

Dve priame čiary sa pretínajú a vytvárajú pár vertikálnych uhlov. Jeden pár pozostáva z uhlov A a B, druhý z C a D. V geometrii sa dva uhly nazývajú vertikálne, ak sú vytvorené priesečníkom dvoch ... Wikipedia

Dvojica komplementárnych uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú do 90 stupňov Doplnkové uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa dopĺňajú do 90 stupňov. Ak dva komplementárne uhly susedia (t. j. majú spoločný vrchol a sú oddelené iba... ... Wikipedia

Dvojica doplnkových uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov Komplementárne uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov. Ak sú dva komplementárne uhly s... Wikipedia

knihy

O dôkaze v geometrii, A.I. Fetisov Táto kniha bude vyrobená v súlade s vašou objednávkou pomocou technológie Print-on-Demand.
Jedného dňa, na úplnom začiatku školského roka, som si vypočul rozhovor dvoch dievčat. Najstarší z nich...

Komplexný notebook na ovládanie vedomostí. Geometria. 7. trieda. Federálny štátny vzdelávací štandard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Príručka predstavuje kontrolné a meracie materiály (CMM) v geometrii na vykonávanie bežnej, tematickej a výstupnej kontroly kvality vedomostí žiakov 7. ročníka. Obsah návodu...

Začíname s uhlmi

Dajme nám dva ľubovoľné lúče. Položíme ich na seba. Potom

Definícia 1

Uhol nazveme dva lúče, ktoré majú rovnaký pôvod.

Definícia 2

Bod, ktorý je začiatkom lúčov v rámci Definície 3, sa nazýva vrchol tohto uhla.

Uhol budeme označovať jeho tromi bodmi: vrchol, bod na jednom z lúčov a bod na druhom lúči a vrchol uhla je napísaný v strede jeho označenia (obr. 1).

Teraz určme, aká je veľkosť uhla.

Aby sme to dosiahli, musíme zvoliť nejaký „referenčný“ uhol, ktorý budeme brať ako jednotku. Najčastejšie je tento uhol uhol, ktorý sa rovná $\frac(1)(180)$ časti rozvinutého uhla. Táto veličina sa nazýva stupeň. Po výbere takéhoto uhla s ním porovnávame uhly, ktorých hodnotu je potrebné nájsť.

Existujú 4 typy uhlov:

Definícia 3

Uhol sa nazýva ostrý, ak je menší ako $90^0$.

Uhol sa nazýva tupý, ak je väčší ako $90^0$.

Definícia 5

Uhol sa nazýva rozvinutý, ak sa rovná $180^0$.

Definícia 6

Uhol sa nazýva pravý, ak sa rovná $90^0$.

Okrem vyššie popísaných typov uhlov môžeme rozlišovať typy uhlov vo vzájomnom vzťahu, a to vertikálne a susedné uhly.

Susedné uhly

Zvážte obrátený uhol $COB$. Z jeho vrcholu nakreslíme lúč $OA$. Tento lúč rozdelí ten pôvodný na dva uhly. Potom

Definícia 7

Dva susedné uhly budeme nazývať, ak jeden pár ich strán je rozvinutý uhol a druhý pár sa zhoduje (obr. 2).

V tomto prípade uhly $COA$ a $BOA$ susedia.

Veta 1

Súčet susedných uhlov je $180^0$.

Dôkaz.

Pozrime sa na obrázok 2.

Podľa definície 7 bude uhol $COB$ v ňom rovný $180^0$. Keďže druhý pár strán susedných uhlov sa zhoduje, lúč $OA$ rozdelí rozvinutý uhol 2, preto

$∠COA+∠BOA=180^0$

Veta bola dokázaná.

Uvažujme o riešení problému pomocou tohto konceptu.

Príklad 1

Nájdite uhol $C$ z obrázku nižšie

Podľa definície 7 zistíme, že uhly $BDA$ a $ADC$ spolu susedia. Preto podľa vety 1 dostaneme

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Podľa vety o súčte uhlov v trojuholníku máme

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0 $

Odpoveď: $ 40^0 $.

Vertikálne uhly

Zvážte rozvinuté uhly $AOB$ a $MOC$. Zarovnajme ich vrcholy navzájom (to znamená, že bod $O"$ umiestnime na bod $O$) tak, aby sa žiadne strany týchto uhlov nezhodovali. Potom

Definícia 8

Dva uhly budeme nazývať vertikálne, ak dvojice ich strán sú rozvinuté uhly a ich hodnoty sa zhodujú (obr. 3).

V tomto prípade sú uhly $MOA$ a $BOC$ vertikálne a uhly $MOB$ a $AOC$ sú tiež vertikálne.

Veta 2

Vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

Dôkaz.

Pozrime sa na obrázok 3. Dokážme napríklad, že uhol $MOA$ sa rovná uhlu $BOC$.

V tejto lekcii sa pozrieme na koncept susedných uhlov a pochopíme ich. Zoberme si vetu, ktorá sa ich týka. Predstavme si pojem „vertikálne uhly“. Pozrime sa na niekoľko podporných faktov o týchto uhloch. Ďalej sformulujeme a dokážeme dva dôsledky o uhle medzi osami vertikálnych uhlov. Na konci lekcie sa pozrieme na niekoľko problémov na túto tému.

Začnime našu lekciu konceptom „susedných uhlov“. Obrázok 1 ukazuje rozvinutý uhol ∠AOC a lúč OB, ktorý rozdeľuje tento uhol na 2 uhly.

Ryža. 1. Uhol ∠AOC

Uvažujme uhly ∠AOB a ∠BOC. Je celkom zrejmé, že majú spoločnú stranu VO a strany AO a OS sú opačné. Lúče OA a OS sa navzájom dopĺňajú, čo znamená, že ležia na rovnakej priamke. Uhly ∠AOB a ∠BOC susedia.

Definícia: Ak majú dva uhly spoločnú stranu a ostatné dve strany sú komplementárne lúče, potom sa tieto uhly nazývajú priľahlé.

Veta 1: Súčet susedných uhlov je 180 o.

Ryža. 2. Kreslenie pre vetu 1

∠MOL + ∠LON = 180 o. Toto tvrdenie je pravdivé, keďže lúč OL rozdeľuje rozvinutý uhol ∠MON na dva susedné uhly. To znamená, že nepoznáme miery žiadneho zo susedných uhlov, ale poznáme len ich súčet – 180 stupňov.

Zvážte priesečník dvoch čiar. Obrázok ukazuje priesečník dvoch čiar v bode O.

Ryža. 3. Vertikálne uhly ∠ВОА a ∠СOD

Definícia: Ak sú strany jedného uhla pokračovaním druhého uhla, potom sa takéto uhly nazývajú vertikálne. To je dôvod, prečo obrázok ukazuje dva páry vertikálnych uhlov: ∠AOB a ∠COD, ako aj ∠AOD a ∠BOC.

Veta 2: Vertikálne uhly sú rovnaké.

Použijeme obrázok 3. Uvažujme uhol natočenia ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Uvažujme uhol natočenia ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

Z týchto úvah usudzujeme, že ∠AOB = ∠COD = α. Podobne ∠AOD = ∠BOS = β.

Dôsledok 1: Uhol medzi osami susedných uhlov je 90°.

Ryža. 4. Nákres pre záver 1

Keďže OL je osou uhla ∠BOA, potom uhol ∠LOB = , podobne ako ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, pretože tieto uhly susedia.

Dôsledok 2: Uhol medzi osami vertikálnych uhlov je 180°.

Ryža. 5. Nákres pre záver 2

KO je os ∠AOB, LO je os ∠COD. Je zrejmé, že ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, keďže tieto uhly spolu susedia.

Uvažujme o niektorých úlohách:

Nájdite uhol susediaci s ∠AOC, ak ∠AOC = 111 o.

Urobme nákres pre úlohu:

Ryža. 6. Kreslenie napríklad 1

Pretože ∠AOC = β a ∠COD = α sú susedné uhly, potom α + β = 180 o. To znamená, že 111 o + β = 180 o.

To znamená β = 69 o.

Tento typ úlohy využíva vetu o súčte susedných uhlov.

Jeden zo susedných uhlov je pravý, aký je druhý uhol (ostrý, tupý alebo pravý)?

Ak je jeden z uhlov pravý a súčet týchto dvoch uhlov je 180°, potom je aj druhý uhol pravý. Tento problém testuje znalosti o súčte susedných uhlov.

Je pravda, že ak sú susedné uhly rovnaké, potom sú to pravé uhly?

Zostavme rovnicu: α + β = 180 o, ale keďže α = β, potom β + β = 180 o, čo znamená β = 90 o.

Odpoveď: Áno, tvrdenie je pravdivé.

Sú dané dva rovnaké uhly. Je pravda, že uhly susediace s nimi budú tiež rovnaké?

Ryža. 7. Kreslenie napríklad 4

Ak sa dva uhly rovnajú α, potom ich zodpovedajúce susedné uhly budú 180 o - α. To znamená, že si budú navzájom rovní.

Odpoveď: Výrok je správny.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a iné Geometria 7. - M.: Vzdelávanie.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a iné Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
\Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.

Meranie segmentov ().
Všeobecná lekcia o geometrii v 7. ročníku ().
Rovná čiara, segment ().

č.13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.
Nájdite dva susedné uhly, ak je jeden 4-krát väčší ako druhý.
Vzhľadom na uhol. Zostrojte pre ňu susedné a vertikálne uhly. Koľko takýchto uhlov možno zostrojiť?
* V akom prípade sa získa viac párov vertikálnych uhlov: keď sa tri priamky pretínajú v jednom bode alebo v troch bodoch?

V procese štúdia kurzu geometrie sa pomerne často objavujú pojmy „uhol“, „vertikálne uhly“, „susedné uhly“. Pochopenie každého z výrazov vám pomôže pochopiť problém a správne ho vyriešiť. Čo sú susedné uhly a ako ich určiť?

Susedné uhly - definícia pojmu

Pojem „susedné uhly“ charakterizuje dva uhly tvorené spoločným lúčom a dve ďalšie polpriamky ležiace na tej istej priamke. Všetky tri lúče vychádzajú z toho istého bodu. Spoločná polpriamka je súčasne stranou jedného aj druhého uhla.

Susedné uhly - základné vlastnosti

1. Na základe formulácie susedných uhlov je ľahké si všimnúť, že súčet takýchto uhlov vždy tvorí opačný uhol, ktorého miera stupňov je 180°:

Ak sú μ a η susedné uhly, potom μ + η = 180°.
Keď poznáte veľkosť jedného zo susedných uhlov (napríklad μ), môžete ľahko vypočítať mieru druhého uhla (η) pomocou výrazu η = 180° – μ.

2. Táto vlastnosť uhlov nám umožňuje vyvodiť nasledujúci záver: uhol, ktorý susedí pravý uhol, bude tiež priamy.

3. Zvažovanie goniometrické funkcie(sin, cos, tg, ctg) na základe redukčných vzorcov pre susedné uhly μ a η platí: