Triviálny systém rovníc. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, metódy riešenia, príklady

Homogénne sústavy lineárnych algebraických rovníc

V rámci vyučovacích hodín Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme heterogénne systémy lineárne rovnice , Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden z rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Na základe prvých odstavcov môže materiál pôsobiť nudne a priemerne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvoja technických techník bude veľa nové informácie, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen všetci rovnica systému je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade, čo vás upúta, je tzv triviálne riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bez predvádzania sa. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ...Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Upozorňujeme, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných výrazov - koniec koncov, bez ohľadu na to, čo robíte s nulami, zostanú nulami:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a pomocou inverznej metódy Gaussovej metódy je ľahké overiť, či je riešenie jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade – 3 kusy).

Poďme sa zohriať a naladiť naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Z článku Ako zistiť hodnosť matice? Pripomeňme si racionálnu techniku ​​súčasného znižovania maticových čísel. V opačnom prípade budete musieť rezať veľké a často hryzavé ryby. Približný príklad úlohy na konci hodiny.

Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vznik všeobecného riešenia:

Príklad 3

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitej formy. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:

(1) K prvému riadku bol pridaný tretí riadok vynásobený –1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie transformácie.

(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol vypustený. Úprimne povedané, netlačil som na riešenie - ukázalo sa to tak. Ak vykonávate transformácie podľa šablóny, potom lineárna závislosť linky by boli odhalené o niečo neskôr.

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 3.

(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém:

Algoritmus funguje presne rovnako ako pre heterogénne systémy. Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „krok“ je voľná.

Vyjadrime základné premenné prostredníctvom voľnej premennej:

Odpoveď: všeobecné riešenie:

Triviálne riešenie je zahrnuté v všeobecný vzorec, a je zbytočné to vypisovať samostatne.

Kontrola sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí dosadiť na ľavú stranu každej rovnice systému a pre všetky substitúcie sa musí získať zákonná nula.

Toto sa mohlo skončiť potichu a pokojne, ale rozhodnutie homogénny systém rovnice je často potrebné reprezentovať vo vektorovej forme používaním základný systém riešení. Prosím, nateraz na to zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som trochu otvoril v článku o maticová hodnosť. Nie je potrebné obchádzať terminológiu, všetko je celkom jednoduché.

Dané matice

Nájdite: 1) aA - bB,

Riešenie: 1) Nájdeme to postupne pomocou pravidiel násobenia matice číslom a sčítania matíc.

2. Nájdite A*B, ak

Riešenie: Používame pravidlo násobenia matice

odpoveď:

3. Pre danú maticu nájdite vedľajšiu M 31 a vypočítajte determinant.

Riešenie: Vedľajší M 31 je determinant matice, ktorá sa získa z A

po prečiarknutí riadku 3 a stĺpca 1. Nájdeme

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformujme maticu A bez zmeny jej determinantu (urobme nuly v riadku 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Teraz vypočítame determinant matice A expanziou pozdĺž riadku 1

Odpoveď: M 31 = 0, detA = 0

Riešte pomocou Gaussovej metódy a Cramerovej metódy.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Riešenie: Poďme to skontrolovať

Môžete použiť Cramerovu metódu

Riešenie sústavy: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Aplikujme Gaussovu metódu.

Zredukujme rozšírenú maticu systému na trojuholníkový tvar.

Pre uľahčenie výpočtu vymeníme riadky:

Vynásobte druhý riadok (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) a pridajte k 3.:

	1 / 2		7 / 2

Vynásobte prvý riadok (k = -2 / 2 = -1 ) a pridajte k 2.:

Teraz môže byť pôvodný systém napísaný ako:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Od 2. riadku vyjadrujeme

Od 1. riadku vyjadrujeme

Riešenie je rovnaké.

Odpoveď: (2; -5; 3)

Nájdite všeobecné riešenie systému a FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 – 4x 4 – 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Riešenie: Aplikujme Gaussovu metódu. Zredukujme rozšírenú maticu systému na trojuholníkový tvar.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Vynásobte 1. riadok číslom (-11). Vynásobte 2. riadok číslom (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

	-2		-2	-3

Vynásobte 2. riadok (-5). Vynásobme 3. riadok (11). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobte 3. riadok číslom (-7). Vynásobme 4. riadok (5). Pridajme 4. riadok k 3.:

Druhá rovnica je lineárna kombinácia ostatných

Poďme nájsť hodnosť matice.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Vybraná vedľajšia skupina má najvyššie poradie (z možných vedľajších) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na opačnej diagonále), preto zazvonil(A) = 2.

Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1 , x 2 , čo znamená, že neznáme x 1 , x 2 sú závislé (základné) a x 3 , x 4 , x 5 sú voľné.

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Pomocou metódy eliminácie neznámych nájdeme všeobecné riešenie:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Nájdeme základný systém riešení (FSD), ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n=5, r=2 teda základná sústava riešení pozostáva z 3 riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.

Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, teda 3.

Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3 , x 4 , x 5 z riadkov determinantu 3. rádu nenulové a vypočítať x 1 , x 2 .

Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica identity.

Ale je to pohodlnejšie vziať sem

Nájdeme pomocou všeobecného riešenia:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I rozhodnutie FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II roztok FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III rozhodnutie FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Dané: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Nájdite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Riešenie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z1z2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i2 = -1) = 12 + 26i

Odpoveď: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Budeme pokračovať v leštení našej technológie elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Na základe prvých odstavcov môže materiál pôsobiť nudne a priemerne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho vývoja techník pribudne aj množstvo nových informácií, preto sa prosím snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen všetci rovnica systému je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade, čo vás upúta, je tzv triviálne riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bez predvádzania sa. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ...Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Upozorňujeme, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných výrazov - koniec koncov, bez ohľadu na to, čo robíte s nulami, zostanú nulami:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a pomocou inverznej metódy Gaussovej metódy je ľahké overiť, či je riešenie jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade – 3 kusy).

Poďme sa zohriať a naladiť naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Aby sme konečne skonsolidovali algoritmus, analyzujme poslednú úlohu:

Príklad 7

Vyriešte homogénnu sústavu, odpoveď napíšte vo vektorovej forme.

Riešenie: zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitej podoby:

(1) Znamienko prvého riadku bolo zmenené. Ešte raz dávam do pozornosti mnohokrát už narazenú techniku, ktorá umožňuje výrazne zjednodušiť ďalší úkon.

(1) Prvý riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku. Prvý riadok, vynásobený 2, bol pridaný k 4. riadku.

(3) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich boli odstránené.

V dôsledku toho sa získa štandardná kroková matica a riešenie pokračuje pozdĺž vrúbkovanej dráhy:

– základné premenné;
– voľné premenné.

Vyjadrime základné premenné pomocou voľných premenných. Z druhej rovnice:

– dosaďte do 1. rovnice:

Takže všeobecné riešenie je:

Keďže v uvažovanom príklade sú tri voľné premenné, základný systém obsahuje tri vektory.

Dosadíme trojicu hodnôt do všeobecného riešenia a získajte vektor, ktorého súradnice vyhovujú každej rovnici homogénneho systému. A opäť opakujem, že je veľmi vhodné skontrolovať každý prijatý vektor - nezaberie to veľa času, ale úplne vás to ochráni pred chybami.

Pre trojnásobok hodnôt nájsť vektor

A nakoniec pre troch dostaneme tretí vektor:

Odpoveď: , Kde

Tí, ktorí sa chcú vyhnúť zlomkovým hodnotám, môžu zvážiť triplety a dostanete odpoveď v ekvivalentnej forme:

Keď už hovoríme o zlomkoch. Pozrime sa na maticu získanú v úlohe a položme si otázku: je možné zjednodušiť ďalšie riešenie? Veď tu sme najprv cez zlomky vyjadrili základnú premennú, potom cez zlomky základnú premennú a musím povedať, že tento proces nebol najjednoduchší a ani najpríjemnejší.

Druhé riešenie:

Cieľom je vyskúšať vyberte iné základné premenné. Pozrime sa na maticu a všimnime si dve jednotky v treťom stĺpci. Tak prečo nemať nulu navrchu? Urobme ešte jednu základnú transformáciu:

Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :

Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.

Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.

Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant fundamentálny matice systém nie je nulový.

Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pri ktorých má systém netriviálne riešenia, a nájdite tieto riešenia:

Riešenie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:

Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a za predpokladu, že r=a A z=b, dostaneme x=b-a, t.j.

Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základ vyberieme vedľajšiu:

dostaneme zjednodušený systém

Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Veriaci z=4a, dostaneme

Množina všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležité lineárna vlastnosť : ak stĺpce X 1 a X 2 - riešenia homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1 + b X 2 bude tiež riešením tohto systému. Naozaj, odkedy AX 1 = 0 A AX 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Je to kvôli tejto vlastnosti, že ak má lineárny systém viac ako jedno riešenie, potom bude týchto riešení nekonečný počet.

Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazývajú základný systém riešení homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:

Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, To k = n-r.

Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:

Riešenie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:

Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n-r= 5 - 2 = 3. Ako základ zvolíme moll

.

Potom ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné presunieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:

Veriaci x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nájdeme

, .

Veriaci a= 1, b = c= 0, získame prvé zásadité riešenie; veriaceho b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; veriaceho c= 1, a = b= 0, získame tretie základné riešenie. V dôsledku toho nadobudne formu normálny základný systém riešení

Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.

Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B, A Y- všeobecné riešenie heterogénnej sústavy, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akéhokoľvek lineárne systémy(algebraické, diferenciálne, funkčné atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp superpozície. Napríklad v teórii lineárnej elektrické obvody prúd v akomkoľvek obvode možno získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.