Milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gaussian. Njia ya Gaussian au kwa nini watoto hawaelewi hisabati

1. Mfumo wa mstari milinganyo ya algebra

1.1 Dhana ya mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

Mfumo wa milinganyo ni hali inayojumuisha utekelezaji wa equations kadhaa kwa kuzingatia vigezo kadhaa. Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari (ambayo itajulikana baadaye kama SLAE) iliyo na milinganyo ya m na n isiyojulikana inaitwa mfumo wa fomu:

ambapo nambari a ij huitwa mgawo wa mfumo, nambari b i huitwa maneno huru, ij Na b i(i=1,…, m; b=1,…, n) inawakilisha baadhi nambari zinazojulikana, na x 1 ,…, x n- haijulikani. Katika uteuzi wa coefficients ij faharisi ya kwanza i inaashiria nambari ya mlinganyo, na j ya pili ni nambari ya isiyojulikana ambayo mgawo huu unasimama. Nambari x n lazima zipatikane. Ni rahisi kuandika mfumo kama huo katika fomu ya matrix ya kompakt: AX=B. Hapa A ni matrix ya coefficients ya mfumo, inayoitwa tumbo kuu;

- vekta ya safu ya haijulikani xj.
ni vekta ya safu wima ya masharti huru bi.

Bidhaa ya matrices A*X imefafanuliwa, kwa kuwa kuna safu wima nyingi kwenye matrix A kama vile kuna safu katika matrix X (n vipande).

Matrix iliyopanuliwa ya mfumo ni matrix A ya mfumo, inayoongezewa na safu ya masharti ya bure

1.2 Kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

Suluhisho la mfumo wa equations ni seti iliyoamriwa ya nambari (maadili ya vigezo), wakati wa kuzibadilisha badala ya vigezo, kila moja ya hesabu za mfumo hugeuka kuwa usawa wa kweli.

Suluhisho la mfumo ni n thamani za zisizojulikana x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, baada ya kubadilisha ambapo milinganyo yote ya mfumo inakuwa usawa wa kweli. Suluhisho lolote la mfumo linaweza kuandikwa kama matrix ya safu wima

Mfumo wa milinganyo unaitwa thabiti ikiwa ina angalau suluhisho moja, na haiendani ikiwa haina suluhisho lolote.

Mfumo thabiti unasemekana kuwa wa kuamua ikiwa una suluhisho moja, na kwa muda usiojulikana ikiwa una suluhisho zaidi ya moja. Katika kesi ya mwisho, kila moja ya ufumbuzi wake inaitwa ufumbuzi fulani wa mfumo. Seti ya suluhisho zote maalum huitwa suluhisho la jumla.

Kusuluhisha mfumo kunamaanisha kubaini kama unaendana au hauendani. Ikiwa mfumo ni thabiti, pata suluhisho lake la jumla.

Mifumo miwili inaitwa sawa (sawa) ikiwa ina suluhisho sawa la jumla. Kwa maneno mengine, mifumo ni sawa ikiwa kila suluhisho la mmoja wao ni suluhisho la nyingine, na kinyume chake.

Mabadiliko, matumizi ambayo hugeuza mfumo kuwa mfumo mpya sawa na ule wa asili, huitwa mabadiliko sawa au sawa. Mifano ya mabadiliko sawa ni pamoja na mabadiliko yafuatayo: kubadilisha milinganyo miwili ya mfumo, kubadilishana mbili zisizojulikana pamoja na mgawo wa milinganyo yote, kuzidisha pande zote mbili za mlingano wowote wa mfumo kwa nambari isiyo ya kawaida.

Mfumo wa milinganyo ya mstari huitwa homogeneous ikiwa maneno yote ya bure ni sawa na sifuri:

Mfumo wa homogeneous ni thabiti kila wakati, kwani x1=x2=x3=…=xn=0 ni suluhisho la mfumo. Suluhisho hili linaitwa sifuri au ndogo.

2. Njia ya kuondoa Gaussian

2.1 Kiini cha mbinu ya kuondoa Gaussian

Njia ya kitamaduni ya kutatua mifumo ya hesabu za algebraic ni njia ya uondoaji wa mlolongo wa haijulikani - Njia ya Gaussian(pia inaitwa njia ya kuondoa Gaussian). Hii ni njia ya uondoaji wa mlolongo wa vigezo, wakati, kwa kutumia mabadiliko ya msingi, mfumo wa equations hupunguzwa kwa mfumo sawa wa fomu ya hatua (au triangular), ambayo vigezo vingine vyote hupatikana kwa mlolongo, kuanzia na mwisho (na. idadi) vigezo.

Mchakato wa suluhisho kwa kutumia njia ya Gaussian ina hatua mbili: kusonga mbele na nyuma.

1. Kiharusi cha moja kwa moja.

Katika hatua ya kwanza, kinachojulikana kama hoja ya moja kwa moja inafanywa, wakati, kupitia mabadiliko ya msingi juu ya safu, mfumo huletwa kwa sura iliyopigwa au ya pembetatu, au imeanzishwa kuwa mfumo haukubaliani. Yaani, kati ya vitu vya safu ya kwanza ya matrix, isiyo ya sifuri imechaguliwa, inahamishwa hadi nafasi ya juu kwa kupanga upya safu, na safu ya kwanza iliyopatikana baada ya upangaji upya hutolewa kutoka kwa safu zilizobaki, na kuzizidisha. kwa kiasi sawa na uwiano wa kipengele cha kwanza cha kila safu mlalo hizi kwa kipengele cha kwanza cha safu mlalo ya kwanza, ikiweka sifuri hivyo safu wima iliyo chini yake.

Baada ya mabadiliko yaliyoonyeshwa kukamilika, safu ya kwanza na safu wima ya kwanza hutolewa kiakili na kuendelea hadi matrix ya saizi ya sifuri inabaki. Ikiwa katika iteration yoyote hakuna kipengele kisicho na sifuri kati ya vipengele vya safu ya kwanza, kisha uende kwenye safu inayofuata na ufanyie operesheni sawa.

Katika hatua ya kwanza (kiharusi cha moja kwa moja), mfumo umepunguzwa kwa fomu iliyopigwa (hasa, triangular).

Mfumo hapa chini una fomu ya hatua kwa hatua:

,

Coefficients aii huitwa mambo kuu (ya kuongoza) ya mfumo.

(ikiwa ni a11=0, panga upya safu za matrix ili a 11 haikuwa sawa na 0. Hii inawezekana kila wakati, kwa sababu vinginevyo matrix ina safu ya sifuri, kiashiria chake ni sawa na sifuri na mfumo haufanani).

Wacha tubadilishe mfumo kwa kuondoa x1 isiyojulikana katika hesabu zote isipokuwa ya kwanza (kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi ya mfumo). Ili kufanya hivyo, zidisha pande zote mbili za equation ya kwanza kwa

na ongeza neno baada ya muhula na mlingano wa pili wa mfumo (au kutoka kwa mlingano wa pili toa neno kwa neno na la kwanza, likizidishwa na ). Kisha tunazidisha pande zote mbili za equation ya kwanza na kuziongeza kwenye equation ya tatu ya mfumo (au kutoka kwa tatu tunatoa ya kwanza iliyozidishwa na ). Kwa hivyo, tunazidisha mstari wa kwanza kwa nambari na kuongeza i mstari wa th, kwa i= 2, 3, …,n.

Kuendeleza mchakato huu, tunapata mfumo sawa:

- maadili mapya ya coefficients kwa haijulikani na maneno ya bure katika milinganyo ya mwisho ya m-1 ya mfumo, ambayo imedhamiriwa na fomula:

Kwa hivyo, katika hatua ya kwanza, coefficients zote zilizo chini ya kipengele cha kwanza cha 11 zinaharibiwa

0, katika hatua ya pili vipengele vilivyo chini ya kipengele cha pili kinachoongoza 22 (1) vinaharibiwa (ikiwa ni 22 (1) 0), nk. Kuendeleza mchakato huu zaidi, hatimaye, katika hatua ya (m-1), tunapunguza mfumo wa awali kwa mfumo wa pembetatu.

Ikiwa, katika mchakato wa kupunguza mfumo kwa fomu ya hatua, usawa wa sifuri huonekana, i.e. usawa wa fomu 0=0, zinatupwa. Ikiwa inaonekana equation ya fomu

basi hii inaonyesha kutokubaliana kwa mfumo.

Hapa ndipo uendelezaji wa moja kwa moja wa njia ya Gauss unaisha.

2. Kiharusi cha nyuma.

Katika hatua ya pili, kinachojulikana kama hoja ya kurudi nyuma inafanywa, kiini cha ambayo ni kuelezea vigezo vyote vya msingi vinavyotokana na zisizo za msingi na kujenga mfumo wa msingi wa ufumbuzi, au, ikiwa vigezo vyote ni vya msingi. , kisha eleza kwa nambari suluhu la pekee kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Utaratibu huu huanza na equation ya mwisho, ambayo tofauti ya msingi inayolingana inaonyeshwa (kuna moja tu ndani yake) na kubadilishwa katika equations zilizopita, na kadhalika, kwenda juu ya "hatua".

Kila mstari unalingana na kutofautisha kwa msingi mmoja, kwa hivyo katika kila hatua isipokuwa ya mwisho (ya juu kabisa), hali hiyo inarudia kesi ya mstari wa mwisho.

Kumbuka: kwa mazoezi, ni rahisi zaidi kufanya kazi sio na mfumo, lakini kwa matrix yake iliyopanuliwa, kufanya mabadiliko yote ya msingi kwenye safu zake. Ni rahisi kwa mgawo a11 kuwa sawa na 1 (panga upya milinganyo, au ugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa a11).

2.2 Mifano ya kutatua SLAE kwa kutumia mbinu ya Gaussian

Katika sehemu hii kuna tatu mifano mbalimbali Hebu tuonyeshe jinsi njia ya Gaussian inaweza kutatua SLAE.

Mfano 1. Tatua agizo la 3 la SLAE.

Wacha tuweke upya mgawo kwa

katika mstari wa pili na wa tatu. Ili kufanya hivyo, zizidishe kwa 2/3 na 1, mtawaliwa, na uwaongeze kwenye mstari wa kwanza:

Ufafanuzi na maelezo ya njia ya Gaussian

Mbinu ya ugeuzaji ya Gaussia (pia inajulikana kama mbinu ya uondoaji mfuatano wa vigeu visivyojulikana kutoka kwa mlinganyo au matriki) kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni mbinu ya kitamaduni ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra (SLAE). Njia hii ya classical pia hutumiwa kutatua shida kama vile kupata matrices kinyume na kuamua kiwango cha matrix.

Mabadiliko kwa kutumia njia ya Gaussian inajumuisha kufanya mabadiliko madogo (ya msingi) ya mfuatano kwa mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari, na kusababisha uondoaji wa vigeu kutoka juu hadi chini na kuunda mfumo mpya wa pembetatu wa milinganyo ambayo ni sawa na ya asili. moja.

Ufafanuzi 1

Sehemu hii ya suluhisho inaitwa suluhisho la Gaussian mbele, kwani mchakato mzima unafanywa kutoka juu hadi chini.

Baada ya kupunguza mfumo wa awali wa equations kwa moja ya triangular, tunapata yote vigezo vya mfumo kutoka chini hadi juu (hiyo ni, vigezo vya kwanza vilivyopatikana vinachukua mistari ya mwisho ya mfumo au tumbo). Sehemu hii ya suluhisho pia inajulikana kama inverse ya suluhisho la Gaussian. Algorithm yake ni kama ifuatavyo: kwanza, vijiti vilivyo karibu na chini ya mfumo wa equations au matrix huhesabiwa, basi maadili yanayotokana yanabadilishwa juu na kwa hivyo tofauti nyingine hupatikana, na kadhalika.

Maelezo ya algorithm ya njia ya Gaussian

Mfuatano wa vitendo kwa utatuzi wa jumla wa mfumo wa milinganyo kwa kutumia mbinu ya Gaussian inajumuisha kutumia vipigo vya mbele na vya nyuma kwa matrix kulingana na SLAE. Wacha mfumo wa awali wa equations uwe na fomu ifuatayo:

$\anza(kesi) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \mwisho(kesi)$

Ili kutatua SLAEs kwa kutumia njia ya Gaussian, ni muhimu kuandika mfumo wa asili wa equations katika mfumo wa matrix:

$A = \anza(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\anza(pmmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \mwisho(pmmatrix)$

Matrix $A$ inaitwa matrix kuu na inawakilisha coefficients ya vigezo vilivyoandikwa kwa utaratibu, na $b$ inaitwa safu ya maneno yake ya bure. Matrix $A$, iliyoandikwa kupitia upau na safu wima ya maneno bila malipo, inaitwa matrix iliyopanuliwa:

$A = \anza(safu)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \mwisho(safu)$

Sasa inahitajika, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi kwenye mfumo wa equations (au kwenye tumbo, kwani hii ni rahisi zaidi), kuileta kwa fomu ifuatayo:

$\anza(kesi) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \mwisho(kesi)$ (1)

Matrix iliyopatikana kutoka kwa mgawo wa mfumo uliobadilishwa wa equation (1) inaitwa matrix ya hatua, hivi ndivyo matrices ya hatua kawaida huonekana kama:

$A = \anza(safu)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \mwisho(safu)$

Matrices haya yana sifa ya seti ifuatayo ya mali:

1. Mistari yake yote ya sifuri inakuja baada ya mistari isiyo ya sifuri
2. Ikiwa safu mlalo fulani ya matrix yenye nambari $k$ sio sifuri, basi safu mlalo ya awali ya matrix hiyo hiyo ina sufuri chache kuliko hii yenye nambari $k$.

Baada ya kupata matrix ya hatua, ni muhimu kubadilisha vigezo vinavyotokana na hesabu zilizobaki (kuanzia mwisho) na kupata maadili yaliyobaki ya vigezo.

Sheria za msingi na mabadiliko yanayoruhusiwa unapotumia njia ya Gauss

Wakati wa kurahisisha matrix au mfumo wa hesabu kwa kutumia njia hii, unahitaji kutumia mabadiliko ya kimsingi tu.

Mabadiliko kama haya yanazingatiwa kuwa shughuli ambazo zinaweza kutumika kwa matrix au mfumo wa milinganyo bila kubadilisha maana yake:

• upangaji upya wa mistari kadhaa,
• kuongeza au kupunguza kutoka safu moja ya matrix safu nyingine kutoka kwayo,
• kuzidisha au kugawanya kamba kwa mara kwa mara isiyo sawa na sifuri,
• mstari unaojumuisha zero tu, uliopatikana katika mchakato wa kuhesabu na kurahisisha mfumo, lazima ufutwe;
• Pia unahitaji kuondoa mistari isiyo ya lazima ya uwiano, ukichagua kwa mfumo pekee ulio na coefficients ambayo yanafaa zaidi na rahisi kwa mahesabu zaidi.

Mabadiliko yote ya kimsingi yanaweza kutenduliwa.

Uchambuzi wa kesi tatu kuu zinazotokea wakati wa kusuluhisha hesabu za mstari kwa kutumia njia ya mabadiliko rahisi ya Gauss.

Kuna kesi tatu zinazotokea wakati wa kutumia njia ya Gaussian kutatua mifumo:

1. Wakati mfumo hauendani, yaani, hauna masuluhisho yoyote
2. Mfumo wa equations una suluhisho, na la kipekee, na idadi ya safu na safu zisizo za sifuri kwenye tumbo ni sawa kwa kila mmoja.
3. Mfumo una idadi fulani au seti ya ufumbuzi iwezekanavyo, na idadi ya safu ndani yake ni chini ya idadi ya safu.

Matokeo ya suluhisho na mfumo usio sawa

Kwa chaguo hili, wakati wa kutatua equation ya matrix kwa kutumia njia ya Gaussian, ni kawaida kupata mstari fulani na kutowezekana kwa kutimiza usawa. Kwa hiyo, ikiwa angalau usawa mmoja usio sahihi hutokea, mifumo inayotokana na ya awali haina ufumbuzi, bila kujali equations nyingine zinazo. Mfano wa matrix isiyo sawa:

$\anza(safu)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(safu)$

Katika mstari wa mwisho usawa usiowezekana ulitokea: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Mfumo wa milinganyo ambao una suluhisho moja tu

Mifumo hii, baada ya kupunguzwa kwa matrix ya hatua na kuondoa safu na sifuri, ina idadi sawa ya safu na safu kwenye tumbo kuu. Hapa mfano rahisi zaidi mfumo kama huu:

$\anza(kesi) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \mwisho(kesi)$

Wacha tuandike kwa namna ya matrix:

$\anza(safu)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \mwisho(safu)$

Ili kuleta seli ya kwanza ya safu ya pili hadi sifuri, tunazidisha safu ya juu kwa $ -2 $ na kuiondoa kutoka safu ya chini ya matrix, na kuacha safu ya juu katika fomu yake ya asili, kwa hivyo tunayo yafuatayo. :

$\anza(safu)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \mwisho(safu)$

Mfano huu unaweza kuandikwa kama mfumo:

$\anza(kesi) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \mwisho(kesi)$

Mlinganyo wa chini hutoa thamani ifuatayo ya $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Weka thamani hii kwenye mlinganyo wa juu: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, tunapata $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Mfumo ulio na suluhisho nyingi zinazowezekana

Mfumo huu una sifa ya idadi ndogo ya safu muhimu kuliko idadi ya safu ndani yake (safu za matrix kuu zinazingatiwa).

Vigezo katika mfumo huo umegawanywa katika aina mbili: msingi na bure. Wakati wa kubadilisha mfumo huo, vigezo kuu vilivyomo ndani yake lazima kushoto katika eneo la kushoto hadi ishara "=", na vigezo vilivyobaki lazima zihamishwe kwa upande wa kulia wa usawa.

Mfumo kama huo una suluhisho la jumla tu.

Wacha tuchambue mfumo ufuatao wa equations:

$\anza(kesi) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \mwisho(kesi)$

Wacha tuandike kwa namna ya matrix:

$\anza(safu)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \mwisho(safu)$

Kazi yetu ni kupata suluhisho la jumla kwa mfumo. Kwa tumbo hili, vigezo vya msingi vitakuwa $y_1$ na $y_3$ (kwa $y_1$ - kwa kuwa inakuja kwanza, na katika kesi ya $y_3$ - iko baada ya zero).

Kama vigeu vya msingi, tunachagua zile ambazo ni za kwanza kwenye safu na sio sawa na sifuri.

Vigezo vilivyobaki vinaitwa bure tunahitaji kueleza yale ya msingi kupitia kwao.

Kwa kutumia kinachojulikana kama kiharusi cha nyuma, tunachambua mfumo kutoka chini kwenda juu, kwanza tunaelezea $y_3$ kutoka mstari wa chini wa mfumo:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Sasa tunabadilisha $y_3$ iliyoonyeshwa kwenye mlingano wa juu wa mfumo $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Tunatoa $y_1$ kulingana na vigeu visivyolipishwa $y_2$ na $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Suluhisho liko tayari.

Mfano 1

Tatua polepole kwa kutumia njia ya Gaussian. Mifano. Mfano wa kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari uliotolewa na matrix 3 hadi 3 kwa kutumia njia ya Gaussian.

$\anza(kesi) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \mwisho(kesi)$

Wacha tuandike mfumo wetu katika mfumo wa matrix iliyopanuliwa:

$\anza(safu)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \mwisho(safu)$

Sasa, kwa urahisi na vitendo, unahitaji kubadilisha matrix ili $1$ iko kwenye kona ya juu ya safu ya nje.

Ili kufanya hivyo, kwa mstari wa 1 unahitaji kuongeza mstari kutoka katikati, uliozidishwa na $ -1 $, na uandike mstari wa kati yenyewe kama ilivyo, inageuka:

$\anza(safu)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \mwisho(safu)$

$\anza(safu)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \mwisho(safu) $

Zidisha mistari ya juu na ya mwisho kwa $-1$, na pia ubadilishe mistari ya mwisho na ya kati:

$\anza(safu)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \mwisho(safu)$

$\anza(safu)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \mwisho(safu)$

Na ugawanye mstari wa mwisho kwa $3$:

$\anza(safu)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \mwisho(safu)$

Tunapata mfumo ufuatao wa milinganyo, sawa na ule wa asili:

$\anza(kesi) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \mwisho(kesi)$

Kutoka kwa mlinganyo wa juu tunaelezea $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Mfano 2

Mfano wa kutatua mfumo uliofafanuliwa kwa kutumia matrix 4 kwa 4 kwa kutumia njia ya Gaussian

$\anza(safu)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \mwisho(safu)$.

Mwanzoni, tunabadilisha mistari ya juu inayoifuata ili kupata $1$ kwenye kona ya juu kushoto:

$\anza(safu)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \mwisho(safu)$.

Sasa zidisha mstari wa juu kwa $-2$ na uongeze kwenye 2 na 3. Kwa ya 4 tunaongeza mstari wa 1, unaozidishwa na $-3$:

$\anza(safu)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \mwisho(safu)$

Sasa kwa mstari wa nambari 3 tunaongeza mstari wa 2 unaozidishwa na $ 4 $, na kwa mstari wa 4 tunaongeza mstari wa 2 unaozidishwa na $ -1 $.

$\anza(safu)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \mwisho(safu)$

Tunazidisha mstari wa 2 kwa $-1$, na kugawanya mstari wa 4 kwa $3$ na kubadilisha mstari wa 3.

$\anza(safu)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \mwisho(safu)$

Sasa tunaongeza kwenye mstari wa mwisho wa mwisho, unaozidishwa na $-5$.

$\anza(safu)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \mwisho(safu)$

Tunatatua mfumo unaosababishwa wa equations:

$\anza(kesi) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\mwisho(kesi)$

Njia ya Gaussian, pia inaitwa njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani, ni kama ifuatavyo. Kutumia mabadiliko ya kimsingi, mfumo wa hesabu za mstari huletwa kwa fomu ambayo matrix yake ya mgawo inageuka kuwa. trapezoidal (sawa na triangular au kupitiwa) au karibu na trapezoidal (kiharusi cha moja kwa moja cha njia ya Gaussian, baada ya hapo - kiharusi cha moja kwa moja). Mfano wa mfumo huo na ufumbuzi wake ni katika takwimu hapo juu.

Katika mfumo kama huo, mlinganyo wa mwisho una kigezo kimoja tu na thamani yake inaweza kupatikana bila utata. Thamani ya utaftaji huu basi inabadilishwa kuwa equation iliyotangulia ( kinyume cha njia ya Gaussian , basi tu kinyume chake), ambayo tofauti ya awali inapatikana, na kadhalika.

Katika mfumo wa trapezoidal (pembetatu), kama tunavyoona, equation ya tatu haina tena vigeuzo. y Na x, na equation ya pili ni kutofautiana x .

Mara tu tumbo la mfumo limechukua sura ya trapezoidal, si vigumu tena kuelewa suala la utangamano wa mfumo, kuamua idadi ya ufumbuzi na kupata ufumbuzi wenyewe.

Faida za mbinu:

1. wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari yenye zaidi ya milinganyo mitatu na isiyojulikana, njia ya Gauss si ngumu kama mbinu ya Cramer, kwani kusuluhisha kwa njia ya Gauss kunahitaji mahesabu machache;
2. njia ya Gauss inaweza kutatua mifumo isiyojulikana ya equations za mstari, yaani, kuwa na suluhisho la jumla (na tutachambua katika somo hili), na kwa kutumia njia ya Cramer, tunaweza kusema tu kwamba mfumo haujajulikana;
3. unaweza kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani si sawa na idadi ya equations (tutazichambua pia katika somo hili);
4. Njia hiyo inategemea njia za msingi (shule) - njia ya kubadilisha haijulikani na njia ya kuongeza hesabu, ambayo tuligusa katika nakala inayolingana.

Ili kila mtu aelewe unyenyekevu ambao mifumo ya trapezoidal (pembe tatu, hatua) ya milinganyo ya mstari hutatuliwa, tunawasilisha suluhisho kwa mfumo kama huo kwa kutumia mwendo wa nyuma. Suluhisho la haraka la mfumo huu lilionyeshwa kwenye picha mwanzoni mwa somo.

Mfano 1. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia kinyume:

Suluhisho. Katika mfumo huu wa trapezoidal kutofautiana z inaweza kupatikana kwa njia ya kipekee kutoka kwa mlinganyo wa tatu. Tunabadilisha thamani yake katika equation ya pili na kupata thamani ya kutofautiana y:

Sasa tunajua maadili ya vigezo viwili - z Na y. Tunazibadilisha katika equation ya kwanza na kupata thamani ya kutofautiana x:

Kutoka kwa hatua zilizopita tunaandika suluhisho la mfumo wa equations:

Ili kupata mfumo kama huu wa trapezoidal wa equations za mstari, ambazo tulitatua kwa urahisi sana, ni muhimu kutumia kiharusi cha mbele kinachohusishwa na mabadiliko ya msingi ya mfumo wa equations za mstari. Pia sio ngumu sana.

Mabadiliko ya kimsingi ya mfumo wa milinganyo ya mstari

Kurudia njia ya shule ya kuongeza hesabu za mfumo kwa algebra, tuligundua kuwa kwa moja ya hesabu za mfumo tunaweza kuongeza equation nyingine ya mfumo, na kila hesabu inaweza kuzidishwa na nambari kadhaa. Kwa hivyo, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu. Ndani yake, equation moja tayari ina tofauti moja tu, ikibadilisha thamani ambayo ndani ya milinganyo mingine, tunapata suluhisho. Nyongeza kama hiyo ni moja wapo ya aina ya mabadiliko ya kimsingi ya mfumo. Wakati wa kutumia njia ya Gaussian, tunaweza kutumia aina kadhaa za mabadiliko.

Uhuishaji hapo juu unaonyesha jinsi mfumo wa milinganyo unageuka hatua kwa hatua kuwa trapezoidal. Hiyo ni, ile ambayo uliona kwenye uhuishaji wa kwanza kabisa na ukajihakikishia kuwa ni rahisi kupata maadili ya yote yasiyojulikana kutoka kwake. Jinsi ya kufanya mabadiliko kama haya na, kwa kweli, mifano itajadiliwa zaidi.

Wakati wa kutatua mifumo ya hesabu za mstari na idadi yoyote ya equations na haijulikani katika mfumo wa equations na katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Unaweza:

1. panga upya mistari (hii ilitajwa mwanzoni mwa kifungu hiki);
2. ikiwa mabadiliko mengine husababisha safu sawa au za uwiano, zinaweza kufutwa, isipokuwa moja;
3. ondoa safu za "sifuri" ambapo coefficients zote ni sawa na sifuri;
4. kuzidisha au kugawanya kamba yoyote kwa nambari fulani;
5. kwa mstari wowote ongeza mstari mwingine, unaozidishwa na nambari fulani.

Kama matokeo ya mabadiliko, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu.

Algorithm na mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na matrix ya mraba ya mfumo kwa kutumia njia ya Gauss.

Wacha kwanza tuzingatie utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani ni sawa na idadi ya milinganyo. Matrix ya mfumo kama huo ni mraba, ambayo ni, idadi ya safu ndani yake ni sawa na idadi ya safu.

Mfano 2. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu za shule, tulizidisha moja ya milinganyo baada ya muhula, ili migawo ya lahaja ya kwanza katika milinganyo miwili iwe nambari kinyume. Wakati wa kuongeza equations, tofauti hii huondolewa. Njia ya Gauss inafanya kazi vivyo hivyo.

Ili kurahisisha mwonekano ufumbuzi wacha tuunde matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Katika tumbo hili, coefficients ya haijulikani iko upande wa kushoto kabla ya mstari wa wima, na masharti ya bure iko upande wa kulia baada ya mstari wa wima.

Kwa urahisi wa kugawanya mgawo kwa anuwai (kupata mgawanyiko kwa umoja) Wacha tubadilishane safu ya kwanza na ya pili ya matrix ya mfumo. Tunapata mfumo sawa na huu, kwa kuwa katika mfumo wa milinganyo ya mstari milinganyo inaweza kubadilishwa:

Kwa kutumia mlingano mpya wa kwanza kuondokana na kutofautiana x kutoka kwa milinganyo ya pili na yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya pili ya matrix tunaongeza safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na ), hadi safu ya tatu - safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Hili linawezekana kwa sababu

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza kwenye milinganyo yote inayofuata mstari wa kwanza, unaozidishwa na uwiano wa migawo inayolingana, iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata matrix sawa na mfumo huu wa mfumo mpya wa equations, ambapo milinganyo yote, kuanzia ya pili. usiwe na kigezo x :

Ili kurahisisha safu ya pili ya mfumo unaosababishwa, zidisha na tena pata matrix ya mfumo wa equations sawa na mfumo huu:

Sasa, kuweka equation ya kwanza ya mfumo unaosababishwa bila kubadilika, kwa kutumia equation ya pili tunaondoa kutofautisha y kutoka kwa milinganyo yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya tatu ya matrix ya mfumo tunaongeza safu ya pili iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza mstari wa pili kwa milinganyo yote inayofuata, ikizidishwa na uwiano wa migawo inayolingana iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata tena matrix ya mfumo sawa na mfumo huu wa milinganyo ya mstari:

Tumepata mfumo sawa wa trapezoidal wa milinganyo ya mstari:

Ikiwa idadi ya milinganyo na vigeu ni kubwa kuliko katika mfano wetu, basi mchakato wa kuondoa vigeu kwa mpangilio unaendelea hadi matriki ya mfumo inakuwa trapezoidal, kama ilivyo katika mfano wetu wa onyesho.

Tutapata suluhisho "kutoka mwisho" - hoja ya nyuma. Kwa hili kutoka kwa equation ya mwisho tunayoamua z:
.
Kubadilisha thamani hii katika mlinganyo uliopita, tutapata y:

Kutoka kwa equation ya kwanza tutapata x:

Jibu: suluhisho la mfumo huu wa milinganyo ni .

: katika kesi hii jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una suluhisho la kipekee. Ikiwa mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, basi hii itakuwa jibu, na hii ndiyo somo la sehemu ya tano ya somo hili.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gaussian mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Hapa tena tuna mfano wa mfumo thabiti na wa uhakika wa milinganyo ya mstari, ambapo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana. Tofauti kutoka kwa mfano wetu wa onyesho kutoka kwa algorithm ni kwamba tayari kuna milinganyo minne na nne zisizojulikana.

Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Wacha tufanye kazi ya maandalizi. Ili kuifanya iwe rahisi zaidi na uwiano wa coefficients, unahitaji kupata moja kwenye safu ya pili ya safu ya pili. Ili kufanya hivyo, toa ya tatu kutoka kwa mstari wa pili, na kuzidisha mstari wa pili unaosababishwa na -1.

Hebu sasa tufanye uondoaji halisi wa kutofautiana kutoka kwa equations ya tatu na ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa pili, ukizidishwa na , hadi mstari wa tatu, na wa pili, umeongezeka kwa , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na. Tunapata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tumepata mfumo wa milinganyo ambao ni sawa na mfumo huu:

Kwa hivyo, mifumo inayotokana na iliyotolewa inaendana na ya uhakika. Tunapata suluhisho la mwisho "kutoka mwisho". Kutoka kwa equation ya nne tunaweza kuelezea moja kwa moja thamani ya kutofautisha "x nne":

Tunabadilisha thamani hii katika equation ya tatu ya mfumo na kupata

,

,

Hatimaye, badala ya thamani

Equation ya kwanza inatoa

,

tunapata wapi "x kwanza":

Jibu: mfumo huu wa milinganyo una suluhisho la kipekee .

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Kutatua matatizo yaliyotumika kwa kutumia njia ya Gauss kwa kutumia mfano wa tatizo kwenye aloi

Mifumo ya milinganyo ya mstari hutumiwa kuiga vitu halisi katika ulimwengu wa kimwili. Hebu tutatue mojawapo ya matatizo haya - aloi. Shida zinazofanana ni shida kwenye mchanganyiko, gharama au sehemu ya bidhaa za kibinafsi katika kundi la bidhaa, na kadhalika.

Mfano 5. Vipande vitatu vya aloi vina uzito wa kilo 150. Aloi ya kwanza ina 60% ya shaba, ya pili - 30%, ya tatu - 10%. Zaidi ya hayo, katika aloi za pili na za tatu zilizochukuliwa pamoja kuna kilo 28.4 chini ya shaba kuliko katika aloi ya kwanza, na katika aloi ya tatu kuna kilo 6.2 chini ya shaba kuliko ya pili. Pata wingi wa kila kipande cha aloi.

Suluhisho. Tunaunda mfumo wa milinganyo ya mstari:

Tunazidisha hesabu za pili na tatu kwa 10, tunapata mfumo sawa wa milinganyo ya mstari:

Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Tahadhari, moja kwa moja mbele. Kwa kuongeza (kwa upande wetu, kutoa) safu moja iliyozidishwa na nambari (tunaitumia mara mbili), mabadiliko yafuatayo hufanyika na matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Hatua ya moja kwa moja imekwisha. Tulipata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tunatumia hoja ya nyuma. Tunapata suluhisho kutoka mwisho. Tunaona hilo.

Kutoka kwa equation ya pili tunapata

Kutoka kwa equation ya tatu -

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Urahisi wa njia ya Gauss inathibitishwa na ukweli kwamba ilimchukua mwanahisabati wa Ujerumani Carl Friedrich Gauss dakika 15 tu kuivumbua. Mbali na njia iliyopewa jina lake, msemo "Hatupaswi kuchanganya kile kinachoonekana kuwa cha kushangaza na kisicho cha asili kwetu na kisichowezekana kabisa" kinajulikana kutoka kwa kazi za Gauss - aina ya maagizo mafupi juu ya uvumbuzi.

Katika matatizo mengi yaliyotumiwa kunaweza kuwa hakuna kizuizi cha tatu, yaani, equation ya tatu, basi unapaswa kutatua mfumo wa equations mbili na haijulikani tatu kwa kutumia njia ya Gaussian, au, kinyume chake, kuna wachache wasiojulikana kuliko equations. Sasa tutaanza kutatua mifumo kama hii ya milinganyo.

Kwa kutumia mbinu ya Gaussian, unaweza kubaini ikiwa mfumo wowote unaafikiana au hauoani n milinganyo ya mstari na n vigezo.

Mbinu ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari yenye idadi isiyo na kikomo ya suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo thabiti lakini usio na kipimo wa milinganyo ya mstari, yaani, kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Baada ya kufanya mabadiliko katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo (kupanga upya safu, kuzidisha na kugawanya safu kwa nambari fulani, na kuongeza nyingine kwenye safu moja), safu kama vile.

Ikiwa katika milinganyo yote ina fomu

Maneno ya bure ni sawa na sifuri, hii ina maana kwamba mfumo ni wa muda usiojulikana, yaani, una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, na equations ya aina hii ni "superfluous" na tunawatenga kutoka kwenye mfumo.

Mfano 6.

Suluhisho. Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kisha, kwa kutumia equation ya kwanza, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa usawa unaofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza kwa mstari wa pili, wa tatu na wa nne wa kwanza, ukizidishwa na:

Sasa hebu tuongeze mstari wa pili kwa tatu na nne.

Matokeo yake, tunafika kwenye mfumo

Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa milinganyo ya fomu. Milinganyo hii imeridhika kwa thamani yoyote ya zisizojulikana na inaweza kutupwa.

Ili kukidhi mlinganyo wa pili, tunaweza kuchagua thamani kiholela za na , kisha thamani yake itabainishwa kipekee: . Kutoka kwa equation ya kwanza thamani ya pia inapatikana kwa kipekee: .

Mifumo iliyopewa na ya mwisho ni thabiti, lakini haina uhakika, na fomula

kwa kiholela na kutupa suluhisho zote za mfumo fulani.

Njia ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari bila suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo usiolingana wa milinganyo ya mstari, yaani, ule ambao hauna suluhu. Jibu la matatizo hayo limeundwa kwa njia hii: mfumo hauna ufumbuzi.

Kama ilivyoelezwa tayari kuhusiana na mfano wa kwanza, baada ya kufanya mabadiliko, safu za fomu zinaweza kuonekana kwenye matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

sambamba na mlinganyo wa fomu

Ikiwa kati yao kuna angalau equation moja na neno la bure lisilo la sifuri (yaani), basi mfumo huu wa usawa haufanani, yaani, hauna ufumbuzi na ufumbuzi wake umekamilika.

Mfano 7. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Suluhisho. Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kwa kutumia equation ya kwanza, tunatenga tofauti kutoka kwa milinganyo inayofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na mstari wa pili, mstari wa kwanza ulizidishwa na mstari wa tatu, na mstari wa kwanza ukiongezeka kwa mstari wa nne.

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Ili kupata uwiano kamili wa coefficients, tunabadilisha safu ya pili na ya tatu ya matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

Ili kuwatenga equations ya tatu na ya nne, tunaongeza ya pili iliyozidishwa na , kwa mstari wa tatu, na ya pili iliyozidishwa na , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na.

Kwa hivyo, mfumo uliotolewa ni sawa na ufuatao:

Mfumo unaosababishwa hauendani, kwani equation yake ya mwisho haiwezi kuridhika na maadili yoyote ya haijulikani. Kwa hiyo, mfumo huu hauna ufumbuzi.

Mojawapo ya njia za ulimwengu na bora za kutatua mifumo ya algebraic ni Njia ya Gaussian , inayojumuisha uondoaji wa mfululizo wa haijulikani.

Kumbuka kwamba mifumo miwili inaitwa sawa (sawa) ikiwa seti za suluhu zao zinapatana. Kwa maneno mengine, mifumo ni sawa ikiwa kila suluhisho la mmoja wao ni suluhisho la nyingine na kinyume chake. Mifumo sawa hupatikana wakati mabadiliko ya msingi equations ya mfumo:

kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;

kuongeza kwa mlinganyo sehemu zinazolingana za mlingano mwingine, ikizidishwa na nambari nyingine isipokuwa sifuri;

kupanga upya milinganyo miwili.

Wacha mfumo wa milinganyo utolewe

Mchakato wa kutatua mfumo huu kwa kutumia njia ya Gaussian ina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza (mwendo wa moja kwa moja), mfumo, kwa kutumia mabadiliko ya msingi, umepunguzwa hadi hatua kwa hatua , au pembetatu fomu, na katika hatua ya pili (reverse) kuna mlolongo, kuanzia nambari ya mwisho ya kutofautisha, uamuzi wa haijulikani kutoka kwa mfumo unaotokana na hatua.

Hebu tuchukue kwamba mgawo wa mfumo huu
, vinginevyo katika mfumo safu ya kwanza inaweza kubadilishwa na safu nyingine yoyote ili mgawo uwe ilikuwa tofauti na sifuri.

Wacha tubadilishe mfumo kwa kuondoa haijulikani katika milinganyo yote isipokuwa ya kwanza. Ili kufanya hivyo, zidisha pande zote mbili za equation ya kwanza kwa na kuongeza muda baada ya muda na mlingano wa pili wa mfumo. Kisha zidisha pande zote mbili za mlingano wa kwanza kwa na uiongeze kwenye equation ya tatu ya mfumo. Kuendeleza mchakato huu, tunapata mfumo sawa

Hapa
- maadili mapya ya coefficients na masharti ya bure ambayo hupatikana baada ya hatua ya kwanza.

Vile vile, kwa kuzingatia kipengele kuu
, kuwatenga wasiojulikana kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo isipokuwa ya kwanza na ya pili. Wacha tuendelee mchakato huu kwa muda mrefu iwezekanavyo, na matokeo yake tutapata mfumo wa hatua

,

Wapi ,
,…,- mambo kuu ya mfumo
.

Ikiwa, katika mchakato wa kupunguza mfumo kwa fomu ya hatua, equations inaonekana, yaani, usawa wa fomu.
, hutupwa kwa vile zimeridhika na seti yoyote ya nambari
.
Ikiwa katika

Ikiwa equation ya fomu inaonekana kuwa haina ufumbuzi, hii inaonyesha kutokubaliana kwa mfumo. Wakati wa kiharusi cha nyuma, kwanza haijulikani inaonyeshwa kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo wa hatua iliyobadilishwa
kupitia vitu vingine vyote visivyojulikana ambazo zinaitwa . bure Kisha usemi wa kutofautiana
kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo inabadilishwa kuwa equation ya mwisho na kutofautisha kunaonyeshwa kutoka kwake.
. Vigezo hufafanuliwa kwa kufuatana kwa njia sawa
. Vigezo , iliyoonyeshwa kwa njia ya vigezo vya bure, huitwa msingi

(tegemezi). Matokeo yake ni suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari. Kupata suluhisho la kibinafsi
mifumo, bure haijulikani
.

katika suluhisho la jumla maadili ya kiholela hupewa na maadili ya vigezo huhesabiwa

.

Kitaalam ni rahisi zaidi kutegemea mabadiliko ya kimsingi sio hesabu za mfumo wenyewe, lakini matrix iliyopanuliwa ya mfumo.
Njia ya Gauss ni njia ya ulimwengu wote ambayo hukuruhusu kutatua sio mraba tu, bali pia mifumo ya mstatili ambayo idadi ya haijulikani.
.

si sawa na idadi ya milinganyo
Faida ya njia hii pia ni kwamba katika mchakato wa kutatua sisi wakati huo huo tunachunguza mfumo wa utangamano, kwani, baada ya kutoa matrix iliyopanuliwa. kwa fomu ya hatua kwa hatua, ni rahisi kuamua safu za matrix
na matrix iliyopanuliwa na kuomba .

Nadharia ya Kronecker-Capelli Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gauss

Suluhisho. Idadi ya milinganyo
na idadi ya wasiojulikana
.

Wacha tuunde matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa kugawa mgawo upande wa kulia wa matrix safu huru ya wanachama .

Wacha tuwasilishe matrix kwa mtazamo wa pembetatu; Ili kufanya hivyo, tutapata "0" chini ya vitu vilivyo kwenye diagonal kuu kwa kutumia mabadiliko ya msingi.

Ili kupata "0" katika nafasi ya pili ya safu ya kwanza, zidisha safu ya kwanza na (-1) na uiongeze kwenye safu ya pili.

Tunaandika mabadiliko haya kama nambari (-1) dhidi ya mstari wa kwanza na kuiashiria kwa mshale unaotoka mstari wa kwanza hadi mstari wa pili.

Ili kupata "0" katika nafasi ya tatu ya safu ya kwanza, zidisha safu ya kwanza na (-3) na uongeze kwenye safu ya tatu; Hebu tuonyeshe kitendo hiki kwa kutumia mshale kutoka mstari wa kwanza hadi wa tatu.

.

Katika matrix inayosababisha, iliyoandikwa pili katika mlolongo wa matrices, tunapata "0" kwenye safu ya pili katika nafasi ya tatu. Ili kufanya hivyo, tulizidisha mstari wa pili na (-4) na kuiongeza kwa tatu. Katika matrix inayosababisha, zidisha safu ya pili na (-1), na ugawanye ya tatu na (-8). Vipengele vyote vya tumbo hili vilivyo chini ya vipengele vya diagonal ni sifuri.

Kwa sababu , mfumo ni shirikishi na umefafanuliwa.

Mfumo wa equations unaolingana na matrix ya mwisho una fomu ya pembetatu:

Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho (wa tatu).
. Badilisha katika equation ya pili na upate
.

Hebu tubadilishe
Na
katika equation ya kwanza, tunapata


.

Mifumo miwili ya milinganyo ya mstari inaitwa sawa ikiwa seti ya masuluhisho yao yote yanalingana.

Mabadiliko ya kimsingi ya mfumo wa equations ni:

1. Inafuta kutoka kwa mfumo milinganyo isiyo na maana, i.e. wale ambao coefficients wote ni sawa na sifuri;
2. Kuzidisha mlinganyo wowote kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;
3. Inaongeza kwa mlinganyo wowote wa i-th mlingano wowote wa j-th unaozidishwa na nambari yoyote.

Tofauti x i inaitwa bure ikiwa utofauti huu hauruhusiwi, lakini mfumo mzima wa milinganyo unaruhusiwa.

Nadharia. Mabadiliko ya kimsingi hubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa sawa.

Maana ya mbinu ya Gaussian ni kubadilisha mfumo asili wa milinganyo na kupata mfumo sawa uliotatuliwa au sawa na kutofautiana.

Kwa hivyo, njia ya Gaussian ina hatua zifuatazo:

1. Wacha tuangalie equation ya kwanza. Wacha tuchague mgawo wa kwanza usio na sifuri na tugawanye equation nzima nayo. Tunapata equation ambayo baadhi ya kutofautiana x i huingia na mgawo wa 1;
2. Hebu tuondoe equation hii kutoka kwa wengine wote, tukizidisha kwa namba hizo kwamba coefficients ya kutofautiana x i katika equations iliyobaki ni sifuri. Tunapata mfumo uliotatuliwa kwa heshima na tofauti x i na sawa na ile ya awali;
3. Ikiwa equations zisizo na maana zinatokea (mara chache, lakini hutokea; kwa mfano, 0 = 0), tunawavuka nje ya mfumo. Matokeo yake, kuna equations moja chache;
4. Tunarudia hatua za awali si zaidi ya mara n, ambapo n ni idadi ya equations katika mfumo. Kila wakati sisi kuchagua variable mpya kwa ajili ya "usindikaji". Ikiwa milinganyo isiyolingana itatokea (kwa mfano, 0 = 8), mfumo hauendani.

Matokeo yake, baada ya hatua chache tutapata ama mfumo uliotatuliwa (labda na vigezo vya bure) au usio sawa. Mifumo inayoruhusiwa iko katika kesi mbili:

1. Idadi ya vigezo ni sawa na idadi ya milinganyo. Hii ina maana kwamba mfumo umefafanuliwa;
2. Idadi ya vigezo ni kubwa kuliko idadi ya milinganyo. Tunakusanya anuwai zote za bure upande wa kulia - tunapata fomula za anuwai zinazoruhusiwa. Fomula hizi zimeandikwa katika jibu.

Ni hayo tu! Mfumo wa milinganyo ya mstari umetatuliwa! Hii ni algorithm rahisi, na ili kuijua sio lazima uwasiliane na mwalimu wa juu wa hisabati. Hebu tuangalie mfano:

Kazi. Tatua mfumo wa equations:

Maelezo ya hatua:

1. Ondoa equation ya kwanza kutoka kwa pili na ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Tunazidisha equation ya pili kwa (-1), na kugawanya equation ya tatu na (-3) - tunapata equations mbili ambazo kutofautiana x 2 huingia na mgawo wa 1;
3. Tunaongeza equation ya pili kwa ya kwanza, na toa kutoka kwa tatu. Tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 2;
4. Hatimaye, tunaondoa equation ya tatu kutoka kwa kwanza - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 3;
5. Tumepokea mfumo ulioidhinishwa, andika majibu.

Suluhisho la jumla la mfumo wa samtidiga wa milinganyo ya mstari ni mfumo mpya, sawa na ule wa awali, ambapo vigezo vyote vinavyoruhusiwa vinaonyeshwa kwa suala la bure.

Suluhisho la jumla linaweza kuhitajika lini? Iwapo itabidi ufanye hatua chache kuliko k (k ni milinganyo ngapi). Walakini, sababu kwa nini mchakato unaisha kwa hatua fulani l< k , может быть две:

1. Baada ya hatua ya lth, tulipata mfumo ambao hauna equation na nambari (l + 1). Kwa kweli, hii ni nzuri, kwa sababu ... mfumo ulioidhinishwa bado unapatikana - hata hatua chache mapema.
2. Baada ya hatua ya lth, tulipata equation ambayo coefficients zote za vigezo ni sawa na sifuri, na mgawo wa bure ni tofauti na sifuri. Huu ni usawa unaopingana, na, kwa hiyo, mfumo haufanani.

Ni muhimu kuelewa kwamba kuibuka kwa equation isiyoendana kwa kutumia njia ya Gaussian ni msingi wa kutosha wa kutofautiana. Wakati huo huo, tunaona kuwa kama matokeo ya hatua ya lth, hakuna hesabu ndogo zinaweza kubaki - zote zinavuka moja kwa moja kwenye mchakato.

Maelezo ya hatua:

1. Ondoa mlingano wa kwanza, ukizidishwa na 4, kutoka kwa pili. Pia tunaongeza equation ya kwanza kwa ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Ondoa equation ya tatu, iliyozidishwa na 2, kutoka kwa pili - tunapata equation inayopingana 0 = -5.

Kwa hivyo, mfumo hauendani kwa sababu equation isiyolingana imegunduliwa.

Kazi. Chunguza utangamano na upate suluhisho la jumla kwa mfumo:

Maelezo ya hatua:

1. Tunaondoa equation ya kwanza kutoka kwa pili (baada ya kuzidisha kwa mbili) na ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Ondoa equation ya pili kutoka ya tatu. Kwa kuwa mgawo wote katika milinganyo hii ni sawa, mlinganyo wa tatu utakuwa mdogo. Wakati huo huo, zidisha mlinganyo wa pili kwa (-1);
3. Ondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza - tunapata tofauti inayoruhusiwa x 2. Mfumo mzima wa milinganyo sasa pia umetatuliwa;
4. Kwa kuwa vigezo x 3 na x 4 ni bure, tunawahamisha kwa haki ili kueleza vigezo vinavyoruhusiwa. Hili ndilo jibu.

Kwa hiyo, mfumo huo ni thabiti na usio na kipimo, kwa kuwa kuna vigezo viwili vinavyoruhusiwa (x 1 na x 2) na mbili za bure (x 3 na x 4).