Suluhisho la mtandaoni la milinganyo tofauti. Milinganyo ya tofauti ya mstari na homogeneous ya mpangilio wa kwanza. Mifano ya ufumbuzi

Wacha tukumbuke kazi ambayo ilitukabili wakati wa kupata viambatanisho dhahiri:

au dy = f(x)dx. Suluhisho lake:

na inakuja kwa kuhesabu kiunganishi kisicho na kikomo. Katika mazoezi, kazi ngumu zaidi hukutana mara nyingi zaidi: kutafuta kazi y, ikiwa inajulikana kuwa inakidhi uhusiano wa fomu

Uhusiano huu unahusiana na tofauti huru x, kitendakazi kisichojulikana y na derivatives yake hadi utaratibu n pamoja, wanaitwa .

Mlinganyo wa kutofautisha unajumuisha chaguo za kukokotoa chini ya ishara ya viasili (au tofauti) za mpangilio mmoja au mwingine. Agizo la juu zaidi linaitwa agizo (9.1) .

Milinganyo tofauti:

- agizo la kwanza,

Agizo la pili

- agizo la tano, nk.

Kazi ambayo inakidhi mlinganyo fulani wa tofauti inaitwa suluhisho lake , au muhimu . Kuisuluhisha kunamaanisha kutafuta suluhu zake zote. Ikiwa kwa kazi inayohitajika y imeweza kupata fomula ambayo inatoa suluhisho zote, basi tunasema kwamba tumeipata suluhisho la jumla, au kiunga cha jumla .

Suluhisho la jumla ina n mara kwa mara ya kiholela na inaonekana kama

Ikiwa kuna uhusiano unaohusiana x, y Na n viunga vya kiholela, katika fomu isiyoruhusiwa kwa heshima na y -

basi uhusiano kama huo unaitwa kiunga cha jumla cha equation (9.1).

Tatizo la uchungu

Kila suluhu mahususi, i.e., kila kazi mahususi ambayo inakidhi equation fulani ya kutofautisha na haitegemei viambata vya kiholela, inaitwa suluhu fulani. , au sehemu muhimu. Ili kupata suluhu maalum (muunganisho) kutoka kwa zile za jumla, viunga lazima vipewe maadili maalum ya nambari.

Grafu ya suluhisho fulani inaitwa curve muhimu. Suluhisho la jumla, ambalo lina suluhisho zote za sehemu, ni familia ya curves muhimu. Kwa equation ya utaratibu wa kwanza familia hii inategemea mara kwa mara moja ya kiholela, kwa equation n-th ili - kutoka n mara kwa mara ya kiholela.

Shida ya Cauchy ni kupata suluhisho fulani la equation n-agizo, kuridhisha n masharti ya awali:

ambayo n mara kwa mara c 1, c 2,..., c n imedhamiriwa.

Agizo la 1 la milinganyo tofauti

Kwa mlinganyo wa tofauti wa agizo la 1 ambao haujatatuliwa kwa heshima na derivative, ina fomu

au kwa kuruhusiwa kiasi

Mfano 3.46. Tafuta suluhisho la jumla la equation

Suluhisho. Kuunganisha, tunapata

ambapo C ni kiholela kiholela. Ikiwa tunapeana maadili maalum ya nambari kwa C, tunapata suluhisho fulani, kwa mfano,

Mfano 3.47. Fikiria kuongezeka kwa kiasi cha fedha zilizowekwa katika benki chini ya accrual ya 100 r riba ya kiwanja kwa mwaka. Hebu Yo iwe kiasi cha awali cha fedha, na Yx - mwishoni x miaka. Ikiwa riba imehesabiwa mara moja kwa mwaka, tunapata

ambapo x = 0, 1, 2, 3, .... Wakati riba inakokotolewa mara mbili kwa mwaka, tunapata

ambapo x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Wakati wa kuhesabu riba n mara moja kwa mwaka na ikiwa x inachukua maadili ya mfuatano 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., basi

Teua 1/n = h, basi usawa wa hapo awali utaonekana kama:

Kwa ukuzaji usio na kikomo n(saa ) kwa kikomo tunafika kwenye mchakato wa kuongeza kiwango cha pesa na ulimbikizaji wa riba unaoendelea:

Hivyo ni wazi kwamba kwa mabadiliko ya kuendelea x sheria ya mabadiliko katika utoaji wa fedha inaonyeshwa na equation ya tofauti ya utaratibu wa 1. Ambapo Y x ni kazi isiyojulikana, x- tofauti huru, r- mara kwa mara. Wacha tusuluhishe equation hii, kufanya hivi tunaiandika tena kama ifuatavyo:

wapi , au , ambapo P inaashiria e C.

Kutoka kwa hali ya awali Y (0) = Yo, tunapata P: Yo = Pe o, kutoka wapi, Yo = P. Kwa hiyo, suluhisho lina fomu:

Hebu tuangalie tatizo la pili la kiuchumi. Miundo ya uchumi mkuu pia inafafanuliwa kwa milinganyo ya mstari tofauti ya mpangilio wa 1, inayoelezea mabadiliko ya mapato au matokeo Y kama utendaji wa wakati.

Mfano 3.48. Acha mapato ya taifa Y yaongezeke kwa kiwango sawia na thamani yake:

na acha nakisi katika matumizi ya serikali iwiane moja kwa moja na mapato Y na mgawo wa uwiano q. Nakisi ya matumizi husababisha kuongezeka kwa deni la taifa D:

Masharti ya awali Y = Yo na D = Fanya kwa t = 0. Kutoka kwa mlingano wa kwanza Y= Yoe kt. Kubadilisha Y tunapata dD/dt = qYoe kt . Suluhisho la jumla lina fomu
D = (q/ k) Yoe kt +С, ambapo С = const, ambayo imedhamiriwa kutoka kwa hali ya awali. Kubadilisha hali ya awali, tunapata Do = (q/ k)Yo + C. Kwa hivyo, hatimaye,

D = Fanya +(q/ k)Yo (e kt -1),

hii inaonyesha kuwa deni la taifa linaongezeka kwa kiwango sawa k, sawa na mapato ya taifa.

Wacha tuangalie hesabu rahisi zaidi za kutofautisha n kwa mpangilio, hizi ni milinganyo ya fomu

Suluhisho lake la jumla linaweza kupatikana kwa kutumia n miunganisho ya nyakati.

Mfano 3.49. Fikiria mfano y """ = cos x.

Suluhisho. Kuunganisha, tunapata

Suluhisho la jumla lina fomu

Milinganyo ya tofauti ya mstari

Zinatumika sana katika uchumi; Ikiwa (9.1) ina fomu:

basi inaitwa linear, ambapo рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) hupewa kazi. Ikiwa f (x) = 0, basi (9.2) inaitwa homogeneous, vinginevyo inaitwa inhomogeneous. Suluhisho la jumla la equation (9.2) ni sawa na jumla ya masuluhisho yake yoyote Y(x) na suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana nayo:

Ikiwa mgawo р o (x), р 1 (x),..., р n (x) ni thabiti, basi (9.2)

(9.4) inaitwa mlinganyo wa kutofautisha wa mstari na mgawo thabiti wa mpangilio n .

Kwa (9.4) ina fomu:

Bila kupoteza kwa ujumla, tunaweza kuweka p o = 1 na kuandika (9.5) kwa fomu

Tutatafuta suluhisho (9.6) kwa fomu y = e kx, ambapo k ni mara kwa mara. Tunayo:; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Kubadilisha misemo inayotokana na kuwa (9.6), tutakuwa na:

(9.7) ni mlinganyo wa aljebra, haijulikani ni k, inaitwa tabia. Equation ya tabia ina shahada n Na n mizizi, kati ya ambayo inaweza kuwa nyingi na ngumu. Hebu k 1 , k 2 ,..., k n iwe halisi na tofauti, basi - ufumbuzi maalum (9.7), na jumla

Fikiria mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili wenye usawa na vipatanishi vya mara kwa mara:

Equation yake ya tabia ina fomu

(9.9)

kibaguzi wake D = p 2 - 4q, kulingana na ishara ya D, kesi tatu zinawezekana.

1. Ikiwa D>0, basi mizizi k 1 na k 2 (9.9) ni halisi na tofauti, na suluhisho la jumla lina fomu:

Suluhisho. Mlinganyo wa tabia: k 2 + 9 = 0, kutoka wapi k = ± 3i, a = 0, b = 3, suluhisho la jumla lina fomu:

y = C 1 cos 3x + C 2 dhambi 3x.

Milinganyo ya utofauti wa mstari wa mpangilio wa 2 hutumiwa wakati wa kusoma muundo wa kiuchumi wa aina ya wavuti na orodha ya bidhaa, ambapo kiwango cha mabadiliko katika bei P inategemea saizi ya hesabu (tazama aya ya 10). Katika kesi ugavi na mahitaji ni kazi za mstari bei, yaani

a ni mara kwa mara ambayo huamua kiwango cha majibu, basi mchakato wa mabadiliko ya bei unaelezewa na equation ya kutofautisha:

Kwa suluhisho fulani tunaweza kuchukua mara kwa mara

bei ya usawa ya maana. Mkengeuko inakidhi mlingano wa homogeneous

(9.10)

Equation ya tabia itakuwa kama ifuatavyo:

Ikiwa neno ni chanya. Hebu kuashiria . Mizizi ya equation ya tabia k 1,2 = ± i w, kwa hivyo suluhisho la jumla (9.10) lina fomu:

ambapo C na ni vidhibiti vya kiholela, vinatambuliwa kutoka kwa hali ya awali. Tulipata sheria ya mabadiliko ya bei kwa wakati:

Ingiza mlingano wako wa kutofautisha, apostroa "" inatumiwa kuingiza derivative, bonyeza wasilisha ili kupata suluhu.

Suluhisho la matatizo mbalimbali ya kijiometri, kimwili na uhandisi mara nyingi husababisha milinganyo ambayo inahusiana na vigezo vya kujitegemea vinavyoonyesha tatizo fulani na baadhi ya kazi ya vigezo hivi na derivatives ya kazi hii ya maagizo mbalimbali.

Kama mfano, tunaweza kuzingatia kesi rahisi zaidi ya mwendo ulioharakishwa kwa usawa nyenzo uhakika.

Inajulikana kuwa uhamishaji wa sehemu ya nyenzo wakati wa mwendo ulioharakishwa kwa usawa ni kazi ya wakati na inaonyeshwa na fomula:

Kwa upande wake, kuongeza kasi a ni derivative kwa kuzingatia wakati t kutoka kwa kasi V, ambayo pia ni derivative ya wakati t kutoka kwa kusonga S. Wale.

Kisha tunapata:
- equation inaunganisha kazi f (t) na kutofautiana huru t na derivative ya utaratibu wa pili wa kazi f (t).

Ufafanuzi. Mlinganyo wa tofauti ni mlinganyo unaohusiana na vigeu vinavyojitegemea, utendakazi wao, na viambajengo (au tofauti) vya chaguo hili la kukokotoa.

Ufafanuzi. Ikiwa equation tofauti ina tofauti moja ya kujitegemea, basi inaitwa equation ya kawaida ya kutofautisha , ikiwa kuna vigezo viwili au zaidi vya kujitegemea, basi equation hiyo ya kutofautisha inaitwa mlinganyo wa sehemu tofauti.

Ufafanuzi. Mpangilio wa juu zaidi wa derivatives kuonekana katika equation inaitwa mpangilio wa equation tofauti .

Mfano.

- equation ya kawaida ya kutofautisha ya agizo la 1. Kwa ujumla imeandikwa
.

- equation ya kawaida ya kutofautisha ya mpangilio wa 2. Kwa ujumla imeandikwa

- kwanza agiza usawa wa sehemu tofauti.

Ufafanuzi. Suluhisho la jumla mlinganyo tofauti ni chaguo la kukokotoa linaloweza kutofautishwa y = (x, C), ambayo, inapobadilishwa kuwa mlinganyo asili badala ya chaguo la kukokotoa lisilojulikana, hugeuza mlinganyo kuwa kitambulisho.

Tabia za suluhisho la jumla.

1) Kwa sababu C mara kwa mara ni thamani ya kiholela, basi kwa ujumla kusema equation ya kutofautisha ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

2) Chini ya hali yoyote ya awali x = x 0, y (x 0) = y 0, kuna thamani C = C 0 ambayo suluhisho la equation tofauti ni kazi y =  (x, C 0).

Ufafanuzi. Suluhisho la fomu y = (x, C 0) inaitwa suluhisho la kibinafsi equation tofauti.

Ufafanuzi. Tatizo la uchungu (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - mwanahisabati Mfaransa) ni ugunduzi wa suluhu lolote mahususi la mlinganyo tofauti wa fomu y = (x, C 0), unaokidhi masharti ya awali y(x 0) = y 0.

Nadharia ya Cauchy. (nadharia juu ya uwepo na upekee wa suluhu la mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa 1)

Ikiwa kazif(x, y) inaendelea katika eneo fulaniDndani ya ndegeXOYna ina sehemu inayoendelea ya derivative katika eneo hili
, basi jambo lolote lile (x 0 ,y 0 ) katika eneo hiloD, kuna suluhisho moja tu
milinganyo
, iliyofafanuliwa katika muda fulani iliyo na nukta x 0 , kuchukua kwa x = x 0 maana (X 0 ) = y 0 , i.e. kuna suluhisho la kipekee kwa mlinganyo wa kutofautisha.

Ufafanuzi. Muhimu Mlinganyo wa kutofautisha ni mlinganyo wowote ambao hauna viingilio na ambao mlingano wa tofauti uliotolewa ni tokeo.

Mfano. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha
.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha hutafutwa kwa kuunganisha pande za kushoto na kulia za equation, ambayo hapo awali ilibadilishwa kama ifuatavyo.

Sasa hebu tuunganishe:

ni suluhu la jumla kwa mlinganyo wa awali wa tofauti.

Hebu tuseme baadhi ya masharti ya awali yametolewa: x 0 = 1; y 0 = 2, basi tuna

Kwa kubadilisha thamani iliyopatikana ya mara kwa mara kwenye suluhisho la jumla, tunapata suluhisho fulani kwa masharti ya awali yaliyotolewa (suluhisho la tatizo la Cauchy).

Ufafanuzi. Curve muhimu inaitwa grafu y = (x) ya suluhisho la mlinganyo tofauti kwenye ndege ya XOY.

Ufafanuzi. Kwa uamuzi maalum ya equation ya kutofautisha ni suluhisho kama hilo katika sehemu zote ambazo hali ya kipekee ya Cauchy inaitwa (ona. Nadharia ya Cauchy.) haijatimizwa, i.e. katika kitongoji cha sehemu fulani (x, y) kuna angalau curves mbili muhimu.

Suluhisho maalum hazitegemei C mara kwa mara.

Suluhisho maalum haziwezi kupatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa thamani yoyote ya C. Ikiwa tunaunda familia ya curves muhimu ya equation tofauti, basi suluhisho maalum litawakilishwa na mstari unaogusa angalau curve moja muhimu katika kila hatua. .

Kumbuka kwamba si kila equation tofauti ina ufumbuzi maalum.

Mfano. Pata suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha:
Tafuta suluhisho maalum ikiwa lipo.

Equation hii ya kutofautisha pia ina suluhisho maalum saa= 0. Suluhisho hili haliwezi kupatikana kutoka kwa lile la jumla, lakini tunapobadilisha katika mlinganyo wa asili tunapata utambulisho. Maoni kwamba suluhisho y = 0 inaweza kupatikana kutoka kwa suluhisho la jumla na NA 1 = 0 vibaya, kwa sababu C 1 = e C  0.

Agizo la kwanza la milinganyo tofauti limetatuliwa kwa heshima na derivative

Jinsi ya kutatua equations za mpangilio wa kwanza

Wacha tuwe na mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza kusuluhishwa kuhusiana na derivative:
.
Kugawanya equation hii kwa , saa , tunapata equation ya fomu:
,
Wapi.

Ifuatayo, tunatazamia kuona ikiwa milinganyo hii ni ya mojawapo ya aina zilizoorodheshwa hapa chini. Ikiwa sivyo, basi tutaandika tena equation kwa namna ya tofauti. Ili kufanya hivyo, tunaandika na kuzidisha equation kwa .
.

Tunapata equation kwa namna ya tofauti:
.
Ikiwa mlinganyo huu sio mlinganyo wa jumla wa kutofautisha, basi tunazingatia kwamba katika mlinganyo huu ni kigezo huru, a ni kitendakazi cha .

Gawanya equation kwa:
,
Kisha, tunatazamia kuona ikiwa mlinganyo huu ni wa mojawapo ya aina zilizoorodheshwa hapa chini, kwa kuzingatia kwamba tumebadilishana mahali.
.

Ikiwa aina haijapatikana kwa mlinganyo huu, basi tunaona ikiwa inawezekana kurahisisha mlinganyo kwa uingizwaji rahisi. Kwa mfano, ikiwa equation ni:

basi tunagundua hilo.

;
.
Kisha tunafanya mbadala.
.

Baada ya hayo, equation itachukua fomu rahisi zaidi:

Ikiwa hii haisaidii, basi tunajaribu kupata sababu ya kuunganisha.

Milinganyo inayoweza kutenganishwa
,
Kugawanya na kuunganisha. Tunapopata:
;
.
Milinganyo inapungua hadi milinganyo inayoweza kutenganishwa

Milinganyo ya homogeneous

Tunatatua kwa kubadilisha:
;
.
iko wapi kazi ya .
;
.
Kisha Tunatenganisha vigezo na kuunganisha. Equations kupunguza kwa homogeneous

Ingiza vigezo na:

Tunachagua viunga na ili masharti ya bure yatoweke:

Milinganyo ya tofauti ya mstari

Matokeo yake tunapata

mlinganyo wa homogeneous
katika vigezo na.
.
;
.
Milinganyo ya homogeneous ya jumla
.

Hebu tufanye mbadala.
Tunapata equation ya homogeneous katika vigezo na.

Kuna njia tatu za kutatua milinganyo ya mstari.
,
2) Mbinu ya Bernoulli.
.
Tunatafuta suluhisho katika mfumo wa bidhaa ya kazi mbili na kutofautisha:

Tunaweza kuchagua mojawapo ya chaguo hizi za kukokotoa kiholela. Kwa hivyo, tunachagua suluhisho lolote lisilo la sifuri la equation kama:

3) Njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara (Lagrange). Hapa tunatatua kwanza equation ya homogeneous:.

Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous lina fomu:
.
iko wapi mara kwa mara. Ifuatayo, tunabadilisha mara kwa mara na kazi ambayo inategemea kutofautisha:
;
.
Badilisha katika mlingano asilia. Kama matokeo, tunapata equation ambayo kwayo tunaamua .
.
Milinganyo ya Bernoulli

Kwa kubadilisha mlinganyo wa Bernoulli umepunguzwa hadi

mlinganyo wa mstari

Mlinganyo huu pia unaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya Bernoulli. Hiyo ni, tunatafuta suluhisho katika mfumo wa bidhaa ya kazi mbili kulingana na kutofautisha:
,
Badilisha katika mlinganyo wa asili:
Ifuatayo, kwa kubadilisha:

imepunguzwa kwa fomu:
,
Wapi.

Sifa za mlinganyo wa Riccati na visa vingine maalum vya suluhisho lake vinawasilishwa kwenye ukurasa
Mlinganyo wa kutofautisha wa Riccati >>>

Milinganyo ya Jacobi

Kutatuliwa kwa uingizwaji:
.

Milinganyo katika tofauti za jumla

Kwa kuzingatia hilo
.
Ikiwa hali hii itafikiwa, usemi ulio upande wa kushoto wa usawa ni tofauti ya kazi fulani:
.
Kisha
.
Kuanzia hapa tunapata muunganisho wa equation ya kutofautisha:
.

Ili kupata kazi, njia rahisi zaidi ni njia ya uchimbaji tofauti wa mlolongo. Ili kufanya hivyo, tumia fomula:
;
;
;
.

Kipengele cha kuunganisha

Ikiwa mlinganyo wa tofauti wa agizo la kwanza hauwezi kupunguzwa kuwa yoyote kati ya hizo aina zilizoorodheshwa, basi unaweza kujaribu kupata sababu ya kuunganisha.

Kipengele cha kuunganisha ni kazi, inapozidishwa na ambayo, equation tofauti inakuwa equation katika tofauti za jumla. Mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa kwanza una idadi isiyo na kikomo ya vipengele vya kuunganisha. Walakini, hakuna njia za jumla za kupata sababu ya kuunganisha.

Milinganyo haijatatuliwa kwa derivative y"

Milinganyo ambayo inaweza kutatuliwa kwa heshima na derivative y"

Kwanza unahitaji kujaribu kutatua equation kwa heshima na derivative.

Ikiwezekana, equation inaweza kupunguzwa kwa moja ya aina zilizoorodheshwa hapo juu.
,
Milinganyo ambayo inaweza kuwa factorized
;
;

;
Ikiwa unaweza kuhesabu equation:
basi shida hupunguzwa kwa kusuluhisha hesabu rahisi zaidi:
.
;
.
Tunaamini.

Kisha au .:
Ifuatayo, tunaunganisha equation:
Matokeo yake, tunapata usemi wa kutofautiana kwa pili kupitia parameter.
Zaidi
;
.

milinganyo ya jumla

au

pia hutatuliwa kwa fomu ya parametric. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchagua kazi ambayo kutoka kwa equation ya awali unaweza kueleza au kupitia parameter.

Ili kuelezea tofauti ya pili kupitia parameta, tunaunganisha equation:

Milinganyo imetatuliwa kwa y

Milinganyo ya Clairaut

Equation hii ina suluhisho la jumla

Milinganyo ya lagrange
Tunatafuta suluhisho katika fomu ya parametric. Tunadhani parameter iko wapi. Milinganyo inayoongoza kwenye mlinganyo wa Bernoulli Milinganyo hii imepunguzwa hadi mlinganyo wa Bernoulli ikiwa tutatafuta masuluhisho yao katika hali ya kigezo kwa kuanzisha kigezo na kubadilisha .
Maandishi yaliyotumika:

V.V. Stepanov, kozi milinganyo tofauti Unaweza kutatua equations tofauti za aina yoyote na utata: inhomogeneous, homogeneous, nonlinear, linear, kwanza, utaratibu wa pili, na vigezo vinavyoweza kutenganishwa au visivyoweza kutenganishwa, nk. Unapata suluhisho la milinganyo ya kutofautisha katika fomu ya uchanganuzi na maelezo ya kina. Watu wengi wanavutiwa: kwa nini ni muhimu kutatua milinganyo tofauti mtandaoni? Aina hii equations ni ya kawaida sana katika hisabati na fizikia, ambapo itakuwa vigumu kutatua matatizo mengi bila kuhesabu equation tofauti. Milinganyo tofauti pia ni ya kawaida katika uchumi, dawa, biolojia, kemia na sayansi zingine. Kutatua equation kama hii mkondoni hurahisisha sana kazi zako, hukupa fursa ya kuelewa nyenzo na kujijaribu. Manufaa ya kutatua milinganyo tofauti mtandaoni. Tovuti ya kisasa ya huduma ya hisabati inakuwezesha kutatua milinganyo tofauti mtandaoni ya utata wowote. Kama unavyojua, kuna idadi kubwa ya aina za hesabu za kutofautisha na kila moja ina njia zake za suluhisho. Kwenye huduma yetu unaweza kupata masuluhisho ya milinganyo tofauti ya agizo lolote na chapa mtandaoni. Ili kupata suluhisho, tunapendekeza ujaze data ya awali na ubofye kitufe cha "Suluhisho". Makosa katika uendeshaji wa huduma hayajajumuishwa, kwa hivyo unaweza kuwa na uhakika wa 100% kuwa umepokea jibu sahihi. Tatua milinganyo tofauti na huduma zetu. Tatua milinganyo tofauti mtandaoni. Kwa chaguo-msingi, katika mlingano kama huo, chaguo la kukokotoa y ni chaguo la kukokotoa la mabadiliko ya x. Lakini unaweza pia kutaja jina lako la kutofautisha. Kwa mfano, ukibainisha y(t) katika mlinganyo tofauti, basi huduma yetu itabainisha kiotomatiki kuwa y ni chaguo la kukokotoa la t tofauti. Mpangilio wa mlinganyo mzima wa utofautishaji utategemea mpangilio wa juu zaidi wa derivative ya chaguo za kukokotoa zilizopo katika mlinganyo. Kutatua equation kama hiyo inamaanisha kupata kitendakazi unachotaka. Huduma yetu itakusaidia kutatua milinganyo tofauti mtandaoni. Haihitaji juhudi nyingi kwa upande wako kutatua mlinganyo. Unahitaji tu kuingiza pande za kushoto na kulia za equation yako kwenye sehemu zinazohitajika na ubofye kitufe cha "Suluhisho". Wakati wa kuingia, derivative ya kazi lazima ionyeshe na apostrophe. Katika suala la sekunde utapokea bidhaa iliyokamilishwa ufumbuzi wa kina equation tofauti. Huduma yetu ni bure kabisa. Milinganyo tofauti yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Ikiwa katika equation ya kutofautisha kuna usemi upande wa kushoto ambao unategemea y, na upande wa kulia kuna usemi unaotegemea x, basi equation hiyo ya kutofautisha inaitwa na vigezo vinavyoweza kutenganishwa. Upande wa kushoto unaweza kuwa na derivative ya y; suluhu ya milinganyo ya kutofautisha ya aina hii itakuwa katika mfumo wa kazi ya y, iliyoonyeshwa kupitia sehemu muhimu ya upande wa kulia wa equation. Ikiwa upande wa kushoto kuna tofauti ya kazi ya y, basi katika kesi hii pande zote mbili za equation zimeunganishwa. Vigeu katika mlinganyo tofauti havijatenganishwa, vitahitajika kutenganishwa ili kupata mlingano wa tofauti uliotenganishwa. Mlinganyo wa tofauti wa mstari. Mlinganyo wa kutofautisha ambao kazi yake na viasili vyake vyote viko katika daraja la kwanza huitwa mstari. Mtazamo wa jumla milinganyo: y’+a1(x)y=f(x). f(x) na a1(x) ni kazi zinazoendelea kutoka kwa x. Kutatua milinganyo tofauti ya aina hii kunapunguza kuunganisha milinganyo miwili tofauti na viambajengo vilivyotenganishwa. Utaratibu wa equation tofauti. Mlinganyo wa kutofautisha unaweza kuwa wa mpangilio wa kwanza, wa pili, wa nth. Mpangilio wa mlinganyo tofauti huamua mpangilio wa derivative ya juu zaidi ambayo ina. Katika huduma yetu unaweza kutatua equations tofauti mtandaoni kwanza, pili, tatu, nk. agizo. Suluhisho la equation litakuwa kazi yoyote y=f(x), ukiibadilisha kuwa equation, utapata kitambulisho. Mchakato wa kutafuta suluhu kwa mlinganyo tofauti unaitwa ushirikiano. Tatizo la uchungu. Ikiwa, pamoja na equation tofauti yenyewe, hali ya awali y(x0)=y0 imetolewa, basi hii inaitwa tatizo la Cauchy. Viashiria y0 na x0 huongezwa kwenye suluhisho la equation na thamani ya C ya kiholela imedhamiriwa, na kisha suluhisho fulani la equation kwa thamani hii ya C imedhamiriwa. Tatizo la Cauchy pia huitwa tatizo na hali ya mipaka, ambayo ni ya kawaida sana katika fizikia na mechanics. Pia una fursa ya kuweka tatizo la Cauchy, yaani, kutoka kwa ufumbuzi wote unaowezekana kwa equation, chagua quotient ambayo inakidhi masharti ya awali yaliyotolewa.

I. Milinganyo ya kawaida tofauti

1.1. Dhana za kimsingi na ufafanuzi

Mlinganyo tofauti ni mlinganyo unaohusiana na kigezo huru x, kitendakazi kinachohitajika y na derivatives au tofauti zake.

Kwa mfano, equation ya kutofautisha imeandikwa kama ifuatavyo:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Equation ya kutofautisha inaitwa kawaida ikiwa kazi inayohitajika inategemea tofauti moja huru.

Kutatua equation tofauti inaitwa chaguo la kukokotoa ambalo hugeuza mlinganyo huu kuwa kitambulisho.

Utaratibu wa mlinganyo wa kutofautisha ni mpangilio wa derivative ya juu zaidi iliyojumuishwa katika mlingano huu

Mifano.

1. Fikiria mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza

Suluhisho la mlinganyo huu ni kazi y = 5 ln x. Kwa kweli, kuchukua nafasi y" kwenye equation, tunapata utambulisho.

Na hii ina maana kwamba kazi y = 5 ln x- ni suluhisho la mlinganyo huu wa kutofautisha.

2. Fikiria mpangilio tofauti wa mpangilio wa pili y" - 5y" +6y = 0. Kazi ndio suluhisho la mlinganyo huu.

Kweli,.

Kubadilisha misemo hii kwenye equation, tunapata: , - utambulisho.

Na hii ina maana kwamba kazi ni suluhisho la equation hii tofauti.

Kuunganisha milinganyo tofauti ni mchakato wa kutafuta suluhu za milinganyo tofauti.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha inayoitwa kazi ya fomu , ambayo inajumuisha viambajengo vingi vinavyojitegemea kama mpangilio wa mlinganyo.

Suluhisho la sehemu ya equation tofauti ni suluhisho lililopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili anuwai ya nambari za viboreshaji vya kiholela. Thamani za viwango vya kiholela hupatikana katika maadili fulani ya awali ya hoja na kazi.

Grafu ya suluhisho fulani kwa usawa wa kutofautisha inaitwa curve muhimu.

Mifano

1. Tafuta suluhu mahususi kwa mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza

xdx + ydy = 0,Kama y= 4 kwa x = 3.

Suluhisho. Kuunganisha pande zote mbili za equation, tunapata

Maoni. C ya kiholela ya mara kwa mara iliyopatikana kama matokeo ya ujumuishaji inaweza kuwakilishwa kwa njia yoyote inayofaa kwa mabadiliko zaidi. Katika kesi hii, kwa kuzingatia equation ya kisheria ya mduara, ni rahisi kuwakilisha C ya kiholela ya mara kwa mara katika fomu.

- ufumbuzi wa jumla wa equation tofauti.

Suluhisho maalum la equation inayokidhi masharti ya awali y = 4 kwa x = 3 hupatikana kutoka kwa jumla kwa kubadilisha hali ya awali katika suluhisho la jumla: 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

Kubadilisha C = 5 kwenye suluhisho la jumla, tunapata x 2 +y 2 = 5 2 .

Hili ni suluhisho maalum kwa usawa wa tofauti uliopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla chini ya masharti ya awali.

2. Tafuta suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha

Suluhisho la equation hii ni kazi yoyote ya fomu , ambapo C ni ya kudumu ya kiholela. Hakika, kubadilisha , katika milinganyo, tunapata: , .

Kwa hivyo, equation hii ya kutofautisha ina idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, kwani kwa maadili tofauti ya C ya mara kwa mara usawa huamua. ufumbuzi mbalimbali milinganyo

Kwa mfano, kwa uingizwaji wa moja kwa moja unaweza kuthibitisha kwamba utendakazi ni suluhisho la equation.

Tatizo ambalo unahitaji kupata suluhisho fulani kwa equation y" = f(x,y) kukidhi hali ya awali y(x 0) = y 0, inaitwa shida ya Cauchy.

Kutatua equation y" = f(x,y) kukidhi hali ya awali, y(x 0) = y 0, inaitwa suluhu kwa tatizo la Cauchy.

Suluhisho la tatizo la Cauchy lina maana rahisi ya kijiometri. Hakika, kwa mujibu wa ufafanuzi huu, kutatua tatizo la Cauchy y" = f(x,y) kutokana na hilo y(x 0) = y 0, inamaanisha kupata mkunjo muhimu wa mlinganyo y" = f(x,y) ambayo hupitia kupewa point M0 (x 0,y 0).

II. Agiza kwanza milinganyo tofauti

2.1. Dhana za Msingi

Mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza ni mlinganyo wa fomu F(x,y,y") = 0.

Mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa kwanza unajumuisha derivative ya kwanza na haijumuishi viingilio vya mpangilio wa juu.

Mlingano y" = f(x,y) inaitwa mlinganyo wa mpangilio wa kwanza unaotatuliwa kuhusiana na derivative.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha ya mpangilio wa kwanza ni kazi ya fomu , ambayo ina moja ya kiholela ya mara kwa mara.

Mfano. Fikiria mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza.

Suluhisho la equation hii ni kazi.

Hakika, kuchukua nafasi ya equation hii na thamani yake, tunapata

yaani 3x=3x

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa ni suluhu la jumla kwa mlinganyo kwa C yoyote isiyobadilika.

Tafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo huu ambao unakidhi hali ya awali y(1)=1 Kubadilisha hali ya awali x = 1, y =1 katika suluhisho la jumla la equation, tunapata kutoka wapi C=0.

Kwa hivyo, tunapata suluhu fulani kutoka kwa lile la jumla kwa kubadilisha katika mlingano huu thamani inayotokana C=0- suluhisho la kibinafsi.

2.2. Milinganyo tofauti yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa

Equation ya kutofautisha na vigeu vinavyoweza kutenganishwa ni equation ya fomu: y"=f(x)g(y) au kupitia tofauti, wapi f(x) Na g(y)- kazi maalum.

Kwa wale y, ambayo , mlinganyo y"=f(x)g(y) ni sawa na equation, ambayo kutofautiana y iko upande wa kushoto tu, na mabadiliko ya x iko upande wa kulia tu. Wanasema, "katika Eq. y"=f(x)g(y Hebu tutenganishe vigezo."

Mlinganyo wa fomu inayoitwa mlinganyo tofauti tofauti.

Kuunganisha pande zote mbili za equation Na x, tunapata G(y) = F(x) + C ni suluhisho la jumla la equation, wapi G(y) Na F(x)- baadhi ya antiderivatives ya kazi na f(x), C mara kwa mara kiholela.

Algorithm ya kutatua mlingano wa kutofautisha wa agizo la kwanza na vigeu vinavyoweza kutenganishwa

Mfano 1

Tatua mlinganyo y" = xy

Suluhisho. Nyingi ya chaguo za kukokotoa y" badala yake

tutenganishe vigezo

Wacha tuunganishe pande zote mbili za usawa:

Mfano 2

2yy" = 1- 3x 2,Kama y 0 = 3 saa x 0 = 1

Huu ni mlinganyo tofauti uliotenganishwa. Wacha tuifikirie katika tofauti. Ili kufanya hivyo, tunaandika tena usawa huu kwa fomu Kutoka hapa

Kuunganisha pande zote mbili za usawa wa mwisho, tunapata

Kubadilisha maadili ya awali x 0 = 1, y 0 = 3 tutapata NA 9=1-1+C, i.e. C = 9.

Kwa hiyo, sehemu ya sehemu inayohitajika itakuwa au

Mfano 3

Andika mlinganyo wa mkunjo unaopita kwenye nukta M(2;-3) na kuwa na tanjiti yenye mgawo wa angular

Suluhisho. Kulingana na hali

Huu ni mlinganyo wenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Kugawanya vigezo, tunapata:

Kuunganisha pande zote mbili za equation, tunapata:

Kwa kutumia masharti ya awali, x = 2 Na y = - 3 tutapata C:

Kwa hiyo, equation inayohitajika ina fomu

2.3. Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa kwanza

Mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza ni mlinganyo wa fomu y" = f(x)y + g(x)

Wapi f(x) Na g(x)- baadhi ya kazi maalum.

Kama g(x)=0 basi equation ya tofauti ya mstari inaitwa homogeneous na ina fomu: y" = f(x)y

Ikiwa basi equation y" = f(x)y + g(x) inaitwa tofauti.

Suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa y" = f(x)y inatolewa na formula: wapi NA- mara kwa mara kiholela.

Hasa, ikiwa C =0, basi suluhisho ni y = 0 Ikiwa equation ya homogeneous ya mstari ina fomu y" = sawa Wapi k ni baadhi ya mara kwa mara, basi ufumbuzi wake wa jumla una fomu:.

Suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa y" = f(x)y + g(x) inatolewa na formula ,

hizo. ni sawa na jumla ya suluhu la jumla la mlinganyo unaolingana wa usawa na suluhu mahususi la mlingano huu.

Kwa mlinganyo usio na usawa wa fomu y" = kx + b,

Wapi k Na b- idadi fulani na suluhisho fulani itakuwa kazi ya mara kwa mara. Kwa hivyo, suluhisho la jumla lina fomu.

Mfano. Tatua mlinganyo y" + 2y +3 = 0

Suluhisho. Wacha tuwakilishe equation katika fomu y" = -2y - 3 Wapi k = -2, b= -3 Suluhisho la jumla hutolewa na formula.

Kwa hiyo, ambapo C ni mara kwa mara kiholela.

2.4. Kutatua milinganyo ya utofauti ya mstari wa mpangilio wa kwanza kwa mbinu ya Bernoulli

Kupata Suluhisho la Jumla kwa Mlingano wa Tofauti wa Mstari wa Agizo la Kwanza y" = f(x)y + g(x) inapunguza kusuluhisha milinganyo miwili tofauti na viambajengo vilivyotenganishwa kwa kutumia uingizwaji y=uv, Wapi u Na v- kazi zisizojulikana kutoka x. Njia hii ya suluhisho inaitwa njia ya Bernoulli.

Algorithm ya kusuluhisha mpangilio tofauti wa mpangilio wa mstari wa kwanza

y" = f(x)y + g(x)

1. Ingiza mbadala y=uv.

2. Tofautisha usawa huu y" = u"v + uv"

3. Mbadala y Na y" katika equation hii: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) au u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Panga masharti ya mlingano ili u iondoe kwenye mabano:

5. Kutoka kwa bracket, ukilinganisha na sifuri, pata kazi

Huu ni mlinganyo unaoweza kutenganishwa:

Wacha tugawanye anuwai na tupate:

Wapi . .

6. Badilisha thamani inayotokana v kwenye equation (kutoka hatua ya 4):

na upate kazi Hii ni equation iliyo na viambishi vinavyoweza kutenganishwa:

7. Andika suluhisho la jumla katika fomu: , i.e. .

Mfano 1

Tafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo y" = -2y +3 = 0 Kama y =1 saa x = 0

Suluhisho. Wacha tuitatue kwa kutumia mbadala y=uv,.y" = u"v + uv"

Kubadilisha y Na y" katika equation hii, tunapata

Kwa kuweka kambi maneno ya pili na ya tatu upande wa kushoto wa equation, tunachukua sababu ya kawaida u nje ya mabano

Tunalinganisha usemi katika mabano na sifuri na, baada ya kusuluhisha equation inayosababishwa, tunapata kazi. v = v(x)

Tunapata equation na vigezo tofauti. Wacha tuunganishe pande zote mbili za mlinganyo huu: Pata chaguo la kukokotoa v:

Wacha tubadilishe thamani inayosababisha v katika equation tunapata:

Huu ni mlinganyo tofauti uliotenganishwa. Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation: Hebu tupate kazi u = wewe (x,c) Wacha tupate suluhisho la jumla: Wacha tupate suluhisho maalum kwa mlinganyo ambao unakidhi masharti ya awali y = 1 saa x = 0:

III. Milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa juu

3.1. Dhana za kimsingi na ufafanuzi

Mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili ni mlinganyo ulio na viasili vya si zaidi ya mpangilio wa pili. Katika hali ya jumla, equation ya mpangilio wa pili imeandikwa kama: F(x,y,y",y") = 0

Suluhisho la jumla la equation ya mpangilio wa pili ni kazi ya fomu, ambayo inajumuisha viunga viwili vya kiholela. C 1 Na C 2.

Suluhisho fulani la usawa wa mpangilio wa pili ni suluhisho linalopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili fulani ya viwango vya kiholela. C 1 Na C 2.

3.2. Milinganyo ya tofauti yenye usawa ya mpangilio wa pili na mgawo wa mara kwa mara.

Mlinganyo wa tofauti wenye usawa wa mpangilio wa pili wenye vigawo vya mara kwa mara inayoitwa equation ya fomu y" + py" +qy = 0, Wapi uk Na q- maadili ya mara kwa mara.

Algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa pili wa homogeneous na coefficients ya mara kwa mara

1. Andika mlinganyo wa kutofautisha katika fomu: y" + py" +qy = 0.

2. Unda equation yake ya tabia, inayoashiria y" kupitia r 2, y" kupitia r, y katika 1: r 2 + pr +q = 0