Tumegundua kuwa safu ya usambazaji ina sifa tofauti tofauti za nasibu. Walakini, tabia hii sio ya ulimwengu wote. Yeye yupo kwa ajili tu wingi tofauti. Kwa thamani endelevu mfululizo wa usambazaji hauwezi kujengwa. Kwa kweli, tofauti inayoendelea ya nasibu ina idadi isiyo na kikomo ya maadili yanayowezekana ambayo hujaza kabisa muda fulani. Haiwezekani kuunda meza ambayo inaweza kuorodhesha maadili yote yanayowezekana ya kiasi hiki. Kwa hivyo, kwa kuendelea kutofautiana nasibu hakuna safu ya usambazaji kwa maana ambayo ipo kwa idadi tofauti. Walakini, maeneo tofauti ya maadili yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu hayana uwezekano sawa, na kwa utofauti unaoendelea bado kuna "usambazaji wa uwezekano", ingawa sio kwa maana sawa na kwa moja tofauti.

Ili kuangazia usambazaji huu wa uwezekano, ni rahisi kutumia sio uwezekano wa tukio. R(X= X), inayojumuisha ukweli kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani fulani X, na uwezekano wa tukio R(X<X), inayojumuisha ukweli kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani chini ya X. Kwa wazi, uwezekano wa tukio hili inategemea X, i.e. ni baadhi ya kazi ya X.

Ufafanuzi. Kitendaji cha usambazaji kutofautiana nasibu X inayoitwa kazi F(x), ikionyesha kwa kila thamani X uwezekano kwamba kutofautiana kwa nasibu X itachukua thamani chini ya X:

F(x) = P(X < x).

(4.2)

Chaguo za kukokotoa za usambazaji pia huitwa limbikizo la kukokotoa la usambazaji au sheria muhimu ya usambazaji .

Chaguo za kukokotoa za usambazaji ndio sifa ya ulimwengu wote ya kigezo bila mpangilio. Inapatikana kwa anuwai zote za nasibu: zote mbili na zinazoendelea. Chaguo za kukokotoa za usambazaji hubainisha kikamilifu kigeuzo nasibu kutoka kwa mtazamo unaowezekana, i.e. ni moja ya aina ya sheria ya usambazaji.

Kazi ya usambazaji inaruhusu tafsiri rahisi ya kijiometri. Fikiria kutofautisha bila mpangilio X kwenye mhimili Oh(Mchoro 4.2), ambayo kutokana na uzoefu inaweza kuchukua nafasi moja au nyingine. Acha nukta kwenye mhimili ichaguliwe ambayo ina thamani X. Kisha, kama matokeo ya jaribio, kutofautiana kwa nasibu X inaweza kuwa kushoto au kulia kwa uhakika X. Ni wazi, uwezekano kwamba kutofautiana random X itakuwa upande wa kushoto wa uhakika X, itategemea nafasi ya uhakika X, i.e. kuwa kazi ya hoja X.

Kwa tofauti tofauti isiyo ya kawaida X, ambayo inaweza kuchukua maadili X 1 , X 2 , …, x n, kipengele cha kukokotoa cha usambazaji kina fomu

Tafuta na uonyeshe kitendakazi chake cha usambazaji.

Suluhisho. Tutaweka maadili tofauti X na kupata kwa ajili yao F(x) = = P(X < x).

1. Ikiwa X≤ 0, basi F(x) = P(X < X) = 0.

2. Ikiwa 0< X≤ 1, basi F(x) = P(X < X) = P(X = 0) = 0,08.

3. Ikiwa 1< X≤ 2, basi F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. Ikiwa X> 2, basi F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

Hebu tuandike kazi ya usambazaji.

Hebu tuonyeshe kazi ya usambazaji kwa graphically (Mchoro 4.3). Kumbuka kwamba unapokaribia pointi za kutoendelea kutoka upande wa kushoto, chaguo la kukokotoa huhifadhi thamani yake (kazi kama hiyo inasemekana kuwa endelevu upande wa kushoto). Pointi hizi zimeangaziwa kwenye grafu. ◄

Mfano huu unatuwezesha kufikia hitimisho kwamba kazi ya usambazaji wa tofauti yoyote ya nasibu ni kazi ya hatua isiyoendelea, kuruka ambayo hutokea kwa pointi zinazofanana na maadili yanayowezekana ya kutofautiana kwa nasibu na ni sawa na uwezekano wa maadili haya..

Hebu tuzingatie mali ya jumla kazi za usambazaji.

1. Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo nasibu ni chaguo za kukokotoa zisizo hasi kati ya sifuri na moja:

3. Katika minus infinity kazi ya usambazaji ni sawa na sifuri, kwa plus infinity ni sawa na moja, i.e.

Mfano 4.3. Kazi ya Usambazaji Zinazobadilika Nasibu X ina fomu:

Tafuta uwezekano kwamba kigeu cha nasibu X itachukua thamani katika muda na kuwa na uwezekano wa sifuri.

Walakini, wazo la tukio ambalo lina uwezekano usio na usawa, lakini linajumuisha matukio na uwezekano wa sifuri, sio kitendawili zaidi kuliko wazo la sehemu ambayo ina urefu fulani, wakati hakuna nukta moja kwenye sehemu. ina urefu wa nonzero. Sehemu ina alama kama hizo, lakini urefu wake sio sawa na jumla ya urefu wao.

Mfuatano ufuatao unafuata kutoka kwa mali hii.

Matokeo. Ikiwa X ni tofauti inayoendelea ya nasibu, basi uwezekano wa thamani hii kuanguka katika muda (x 1, x 2) hautegemei ikiwa muda huu umefunguliwa au umefungwa.:

P(x 1 < X < x 2) = P(x 1 ≤ X < x 2) = P(x 1 < X ≤ x 2) = P(x 1 ≤ X ≤ x 2).

Ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za usambazaji

Acha $X$ iwe kigezo cha nasibu, na $x$ iwe uwezekano wa usambazaji wa kigezo hiki bila mpangilio.

Ufafanuzi 1

Chaguo za kukokotoa za usambazaji ni kazi $F(x)$ inayokidhi hali $F\left(x\right)=P(X

Pia vinginevyo, kazi ya usambazaji wakati mwingine huitwa limbikizo la kukokotoa la usambazaji au sheria muhimu ya usambazaji.

KATIKA mtazamo wa jumla Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji ni grafu ya chaguo za kukokotoa zisizopungua na anuwai ya thamani zinazomilikiwa na sehemu $\left$ (na 0 na 1 lazima zijumuishwe katika anuwai ya thamani). Katika kesi hii, chaguo za kukokotoa zinaweza au zisiwe na kazi za kuruka (Mchoro 1)

Kielelezo 1. Mfano wa grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji

Chaguo za kukokotoa za ugawaji wa kigezo tofauti cha nasibu

Acha utofauti wa nasibu $X$ uwe tofauti. Na msururu wa usambazaji wake utolewe kwa ajili yake. Kwa thamani kama hiyo, chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano zinaweza kuandikwa katika fomu ifuatayo:

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigeu kisicho na mpangilio kinachoendelea

Acha utofauti wa nasibu $X$ sasa uendelee.

Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu kila mara huwakilisha chaguo za kukokotoa zisizopungua (Mchoro 3).

Wacha sasa tuzingatie kesi ambapo tofauti ya nasibu $X$ imechanganywa.

Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilishio nasibu kila mara ni chaguo la kukokotoa lisilopungua ambalo lina thamani ya chini zaidi ya 0 na thamani ya juu zaidi ya 1, lakini ambayo si chaguo la kukokotoa linaloendelea juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi (yaani, ni. ina anaruka kwa pointi ya mtu binafsi) (Mchoro 4).

Kielelezo 4. Kazi ya usambazaji wa mchanganyiko wa kutofautiana bila mpangilio

Mifano ya matatizo ya kutafuta kitendakazi cha usambazaji

Mfano 1

Idadi ya usambazaji wa tukio la $A$ katika majaribio matatu imetolewa.

Kielelezo cha 5.

Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji na upange.

Suluhisho.

Kwa kuwa utofauti wa nasibu ni tofauti, tunaweza kutumia fomula $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i

Kwa $x>3$, $F\left(x\right)=0.2+0.1+0.3+0.4=1$;

Kuanzia hapa tunapata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano zifuatazo:

Kielelezo cha 6.

Wacha tujenge grafu yake:

Kielelezo cha 7.

Mfano 2

Jaribio moja linafanywa ambapo tukio $A$ linaweza kutokea au lisitokee. Uwezekano wa tukio hili kutokea ni $0.6$. Tafuta na uunde chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilishaji nasibu.

Suluhisho.

Kwa kuwa uwezekano kwamba tukio $A$ litatokea ni sawa na $0.6$, basi uwezekano kwamba tukio hili halitatokea ni sawa na $1-0.6=0.4$.

Kwanza, wacha tuunde safu ya usambazaji kwa utofauti huu wa nasibu:

Kielelezo cha 8.

Kwa kuwa utofauti wa nasibu ni tofauti, tunapata kazi ya usambazaji kwa mlinganisho na Tatizo la 1:

Wakati $x\le 0$, $F\left(x\right)=0$;

Kwa $x>1$, $F\left(x\right)=0.4+0.6=1$;

Kwa hivyo, tunapata kazi ifuatayo ya usambazaji:

Kielelezo cha 9.

Wacha tujenge grafu yake:

Kielelezo cha 10.

Kitendaji cha usambazaji wa uwezekano na sifa zake.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano F(x) ya kigezo cha nasibu X katika nukta x ni uwezekano kwamba, kutokana na jaribio, kigezo cha nasibu kitachukua thamani iliyo chini ya x, i.e. F(x)=P(X< х}.
Hebu tuzingatie sifa za kazi F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Hakika, kwa ufafanuzi, F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, kwani kwa ufafanuzi, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является tukio la kuaminika. Kwa hivyo, F(∞)=P(X< ∞}=p{U}=1.

3. Uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitachukua thamani kutoka kwa muda [Α Β] ni sawa na nyongeza ya chaguo za kukokotoa za usambaaji katika muda huu. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), ikiwa x 2, > x 1, i.e. Chaguo za kukokotoa za usambazaji ni chaguo za kukokotoa zisizopungua.

5. Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano huachwa zikiendelea. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) kwa x→ x o

Tofauti kati ya chaguo za kukokotoa za usambaaji wa vipengee visivyo na mpangilio maalum na vinavyoendelea vinaweza kuonyeshwa vyema na grafu. Wacha, kwa mfano, kigezo kisicho na mpangilio kiwe na maadili n iwezekanavyo, ambayo uwezekano wake ni sawa na P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Ikiwa x ≤ x 1, basi F(X)=0, kwani hakuna maadili yanayowezekana ya utofauti wa nasibu upande wa kushoto wa x. Ikiwa x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Hii ina maana F(x)=P(X=x 1 )=p 1 .Saa x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Wacha tuzingatie uwezekano wa kutofautisha bila mpangilio kuanguka kwenye muda , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Ikiwa F(x) ina kutoendelea kwa nukta x, basi uwezekano P(X=x) utakuwa sawa na mruko wa chaguo za kukokotoa katika hatua hii. Kwa hivyo, uwezekano wa thamani yoyote inayowezekana kutokea kwa thamani inayoendelea ni sifuri. Usemi P(X=x)=0 unapaswa kueleweka kama kikomo cha uwezekano wa kigezo cha nasibu kuanguka katika kitongoji kisicho na kikomo cha nukta x kwa P(Α).< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Kwa anuwai tofauti, uwezekano huu sio sawa katika kesi wakati mipaka ya muda Α na (au) Β inalingana na maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio. Kwa utofauti wa nasibu maalum, ni muhimu kuzingatia madhubuti aina ya ukosefu wa usawa katika fomula P(Α ≤X).<Β}=F(Β)-F(Α).

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano wa kigezo cha nasibu na sifa zake.

Fikiria kazi F(x), iliyofafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari kama ifuatavyo: kwa kila moja X maana F(x) ni sawa na uwezekano kwamba kigezo tofauti cha nasibu kitachukua thamani chini ya X, i.e.

(18)

Kazi hii inaitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano au kwa ufupi, kitendakazi cha usambazaji.

Mfano 1. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu kilichotolewa katika mfano 1, nukta 1.

Suluhisho: Ni wazi kwamba ikiwa, basi F(x)=0, kwani haichukui maadili chini ya moja. Ikiwa, basi; kama, basi. Lakini tukio<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Hivyo kwa sisi tuna F(x)=1/3. Thamani za chaguo za kukokotoa katika vipindi , na hukokotwa sawa. Hatimaye, ikiwa x>6 Hiyo F(x)=1, kwani katika kesi hii thamani yoyote inayowezekana (1, 2, 3, 4, 5, 6) chini ya x. Grafu ya kipengele F(x) inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 4.

Mfano 2. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu kilichotolewa katika mfano 2, nukta 1.

Suluhisho: Ni dhahiri kwamba

Ratiba F(x) inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 5.

Kujua chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x), ni rahisi kupata uwezekano kwamba kigezo bila mpangilio kinakidhi ukosefu wa usawa.
Zingatia tukio ambalo utofauti wa nasibu utachukua thamani chini ya . Tukio hili linagawanyika katika jumla ya matukio mawili ambayo hayaoani: 1) utofauti wa nasibu huchukua thamani chini ya , i.e. ; 2) utofauti wa nasibu huchukua maadili ambayo yanakidhi ukosefu wa usawa. Kwa kutumia axiom ya kuongeza, tunapata

Lakini kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)[cm. formula (18)], tunayo , ; kwa hiyo,

(19)

Hivyo, uwezekano wa tofauti tofauti nasibu kuanguka katika muda ni sawa na ongezeko la chaguo za kukokotoa za usambazaji katika kipindi hiki.

Hebu fikiria sifa za msingi za kazi ya usambazaji.
1°. Chaguo za kukokotoa za usambazaji hazipungui.
Kwa kweli, basi< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Kwa hivyo, kutoka kwa formula (19) inafuata hiyo , i.e. .

2°. Thamani za chaguo za kukokotoa za usambazaji zinakidhi ukosefu wa usawa .
Mali hii inafuatia ukweli kwamba F(x) hufafanuliwa kama uwezekano [ona fomula (18)]. Ni wazi kwamba * na .

3°. Uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua mojawapo ya thamani zinazowezekana xi ni sawa na kuruka kwa chaguo za kukokotoa za usambazaji katika nukta xi..
Kweli, basi xi ni thamani inayochukuliwa na utofauti wa nasibu, na . Kwa kudhani , , katika fomula (19), tunapata

Wale. maana p(xi) sawa na kuruka kazi** xi. Mali hii imeonyeshwa wazi katika Mtini. 4 na mtini. 5.

* Baada ya hapo nukuu zifuatazo zinaletwa: , .
** Inaweza kuonyeshwa hivyo F(xi)=F(xi-0), i.e. kazi ni nini F(x) imeachwa ikiendelea kwa uhakika xi.

3. Vigezo vya nasibu vinavyoendelea.

Kwa kuongezea anuwai za nasibu, maadili yanayowezekana ambayo huunda mlolongo usio na kikomo au usio na kipimo wa nambari ambazo hazijaza kabisa muda wowote, mara nyingi kuna anuwai za nasibu ambazo maadili yanayowezekana huunda muda fulani. Mfano wa tofauti hiyo ya nasibu ni kupotoka kutoka kwa thamani ya kawaida ya ukubwa fulani wa sehemu na mchakato wa kiteknolojia uliorekebishwa vizuri. Aina hii ya vigeu vya nasibu haiwezi kubainishwa kwa kutumia sheria ya usambazaji wa uwezekano p(x). Hata hivyo, zinaweza kubainishwa kwa kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano F(x). Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa kwa njia sawa na katika kesi ya kutofautisha kwa nasibu:

Hivyo, hapa pia kazi F(x) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na thamani yake kwa uhakika X ni sawa na uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani chini ya X.
Fomula (19) na sifa 1° na 2° ni halali kwa utendakazi wa usambazaji wa kigezo chochote cha nasibu. Uthibitisho unafanywa sawa na kesi ya wingi tofauti.
Tofauti ya nasibu inaitwa kuendelea, ikiwa kwake kuna kitendakazi kisicho hasi kwa sehemu inayoendelea* ambacho kinatosheleza thamani zozote x usawa

Kulingana na maana ya kijiometri ya muhimu kama eneo, tunaweza kusema kwamba uwezekano wa kutimiza usawa ni sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear na msingi. , imefungwa juu na curve (Mchoro 6).

Kwa kuwa , na kulingana na fomula (22)

Kumbuka kwamba kwa tofauti inayoendelea bila mpangilio chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) kuendelea wakati wowote X, ambapo kazi ni ya kuendelea. Hii inafuatia kutokana na ukweli kwamba F(x) inaweza kutofautishwa katika sehemu hizi.
Kulingana na fomula (23), ikizingatiwa x 1 =x,, tunayo

Kutokana na kuendelea kwa kazi F(x) tunapata hiyo

Kwa hiyo

Hivyo, uwezekano kwamba mabadiliko ya nasibu yanayoendelea yanaweza kuchukua thamani yoyote ya x ni sifuri.
Inafuata kwamba matukio yanayojumuisha utimilifu wa kila moja ya ukosefu wa usawa

Wana uwezekano sawa, i.e.

Kwa kweli, kwa mfano,

Kwa sababu

Maoni. Kama tunavyojua, ikiwa tukio haliwezekani, basi uwezekano wa kutokea kwake ni sifuri. Kwa ufafanuzi wa classical wa uwezekano, wakati idadi ya matokeo ya mtihani ni ya mwisho, pendekezo la mazungumzo pia linashikilia: ikiwa uwezekano wa tukio ni sifuri, basi tukio hilo haliwezekani, kwa kuwa katika kesi hii hakuna matokeo ya mtihani yanayopendelea. Katika kesi ya kutofautisha kwa nasibu, idadi ya maadili yake iwezekanavyo haina kikomo. Uwezekano kwamba kiasi hiki kitachukua thamani maalum x 1 kama tulivyoona, ni sawa na sifuri. Walakini, haifuati kutoka kwa hii kwamba tukio hili haliwezekani, kwani kama matokeo ya jaribio utofauti wa nasibu unaweza, haswa, kuchukua thamani. x 1. Kwa hiyo, katika kesi ya kutofautiana kwa nasibu inayoendelea, ni mantiki kuzungumza juu ya uwezekano wa kutofautiana kwa random kuanguka katika muda, na si kuhusu uwezekano kwamba itachukua thamani maalum.
Kwa hiyo, kwa mfano, wakati wa kufanya roller, hatuna nia ya uwezekano kwamba kipenyo chake kitakuwa sawa na thamani ya majina. Nini muhimu kwetu ni uwezekano kwamba kipenyo cha roller iko ndani ya safu ya uvumilivu.