Kutatua mifano ya milinganyo ya quadratic na suluhisho la kina. Mizizi ya equation ya quadratic

Matatizo ya equation ya quadratic pia yanasomwa ndani mtaala wa shule na katika vyuo vikuu. Wanamaanisha milinganyo ya fomu a*x^2 + b*x + c = 0, wapi x- kutofautiana, a,b,c - mara kwa mara; a<>0 . Kazi ni kupata mizizi ya equation.

Maana ya kijiometri ya equation ya quadratic

Grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo inawakilishwa na mlinganyo wa quadratic ni parabola. Suluhisho (mizizi) ya equation ya quadratic ni pointi za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa (x). Inafuata kwamba kuna kesi tatu zinazowezekana:
1) parabola haina pointi za makutano na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba iko kwenye ndege ya juu na matawi juu au chini na matawi chini. Katika hali hiyo, equation ya quadratic haina mizizi halisi (ina mizizi miwili tata).

2) parabola ina sehemu moja ya makutano na mhimili wa Ox. Hatua kama hiyo inaitwa vertex ya parabola, na equation ya quadratic ndani yake hupata thamani yake ya chini au ya juu. Katika kesi hii, equation ya quadratic ina mizizi moja halisi (au mizizi miwili inayofanana).

3) Kesi ya mwisho ni ya kuvutia zaidi katika mazoezi - kuna pointi mbili za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa. Hii ina maana kwamba kuna mizizi miwili halisi ya equation.

Kulingana na uchanganuzi wa coefficients kwa nguvu za anuwai, tunaweza kutengeneza hitimisho la kuvutia kuhusu uwekaji wa parabola.

1) Ikiwa mgawo a ni mkubwa kuliko sifuri, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu ikiwa ni hasi, matawi ya parabola yanaelekezwa chini.

2) Ikiwa mgawo b ni mkubwa zaidi kuliko sifuri, basi vertex ya parabola iko katika nusu ya kushoto ya ndege, ikiwa inachukua thamani hasi, basi katika nusu ya kulia ya ndege.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic

Hebu tuhamishe mara kwa mara kutoka kwa equation ya quadratic

kwa ishara sawa, tunapata usemi

Zidisha pande zote mbili kwa 4a

Ili kupata mraba kamili upande wa kushoto, ongeza b^2 pande zote mbili na ufanye mabadiliko

Kutoka hapa tunapata

Mfumo wa kibaguzi na mizizi ya mlingano wa quadratic

Ubaguzi ni thamani ya usemi mkali Ikiwa ni chanya, basi equation ina mizizi miwili halisi, iliyohesabiwa na fomula Wakati kibaguzi ni sifuri, mlinganyo wa quadratic una suluhisho moja (mizizi miwili inayofanana), ambayo inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa fomula iliyo hapo juu ya D=0 Wakati kibaguzi ni hasi, mlinganyo hauna mizizi halisi. Walakini, suluhisho la equation ya quadratic hupatikana kwenye ndege ngumu, na thamani yao inahesabiwa kwa kutumia formula.

Nadharia ya Vieta

Hebu tuzingatie mizizi miwili ya mlinganyo wa quadratic na tuunde mlingano wa quadratic kwa msingi wao nadharia ya Vieta yenyewe inafuata kwa urahisi kutoka kwa nukuu: ikiwa tunayo mlingano wa quadratic wa fomu. basi jumla ya mizizi yake ni sawa na mgawo p iliyochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ya equation ni sawa na neno la bure q. Uwakilishi wa fomula wa yaliyo hapo juu utaonekana kama Ikiwa katika mlingano wa kitamaduni a mara kwa mara ni nonzero, basi unahitaji kugawanya equation nzima nayo, na kisha utumie nadharia ya Vieta.

Factoring quadratic equation ratiba

Wacha kazi iwekwe: sababu ya equation ya quadratic. Ili kufanya hivyo, sisi kwanza kutatua equation (kupata mizizi). Ifuatayo, tunabadilisha mizizi iliyopatikana kwenye fomula ya upanuzi ya mlinganyo wa quadratic Hii itasuluhisha shida.

Matatizo ya equation ya quadratic

Jukumu la 1. Pata mizizi ya equation ya quadratic

x^2-26x+120=0 .

Suluhisho: Andika coefficients na ubadilishe katika fomula ya kibaguzi

Mzizi wa thamani iliyopewa ni sawa na 14, ni rahisi kupata na calculator, au kukumbuka kwa matumizi ya mara kwa mara, hata hivyo, kwa urahisi, mwishoni mwa makala nitakupa orodha ya mraba ya namba ambazo zinaweza kukutana mara nyingi katika matatizo hayo.
Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi

na tunapata

Jukumu la 2. Tatua mlinganyo

2x 2 +x-3=0.

Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic, andika coefficients na utafute kibaguzi.

Kwa kutumia fomula zinazojulikana tunapata mizizi ya equation ya quadratic

Jukumu la 3. Tatua mlinganyo

9x 2 -12x+4=0.

Suluhisho: Tuna equation kamili ya quadratic. Kuamua mbaguzi

Tulipata kesi ambapo mizizi inalingana. Pata maadili ya mizizi kwa kutumia formula

Jukumu la 4. Tatua mlinganyo

x^2+x-6=0 .

Suluhisho: Katika hali ambapo kuna coefficients ndogo za x, inashauriwa kutumia nadharia ya Vieta. Kwa hali yake tunapata milinganyo miwili

Kutoka kwa hali ya pili tunaona kwamba bidhaa lazima iwe sawa na -6. Hii ina maana kwamba moja ya mizizi ni hasi. Tunayo jozi ifuatayo ya masuluhisho (-3;2), (3;-2) . Kuzingatia hali ya kwanza, tunakataa jozi ya pili ya ufumbuzi.
Mizizi ya equation ni sawa

Tatizo la 5. Tafuta urefu wa pande za mstatili ikiwa mzunguko wake ni 18 cm na eneo lake ni 77 cm 2.

Suluhisho: Nusu ya mzunguko wa mstatili ni sawa na jumla ya pande zake zilizo karibu. Wacha tuonyeshe x kama upande mkubwa, kisha 18-x ndio upande wake mdogo. Eneo la mstatili ni sawa na bidhaa ya urefu huu:
x(18-x)=77;
au
x 2 -18x+77=0.
Wacha tupate ubaguzi wa equation

Kuhesabu mizizi ya equation

Kama x=11, Hiyo 18's=7 , kinyume pia ni kweli (ikiwa x=7, basi 21's=9).

Tatizo la 6. Weka alama kwenye mlingano wa quadratic 10x 2 -11x+3=0.

Suluhisho: Wacha tuhesabu mizizi ya equation, kufanya hivyo tunapata kibaguzi

Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula ya mizizi na kuhesabu

Tunatumia fomula ya kuoza equation ya quadratic kwa mizizi

Kufungua mabano tunapata kitambulisho.

Mlinganyo wa quadratic wenye kigezo

Mfano 1. Kwa maadili gani ya parameter A , je equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ina mzizi mmoja?

Suluhisho: Kwa ubadilishaji wa moja kwa moja wa thamani a=3 tunaona kuwa haina suluhu. Ifuatayo, tutatumia ukweli kwamba kwa ubaguzi wa sifuri equation ina mzizi mmoja wa kuzidisha 2. Tuandike kibaguzi

Wacha tuirahisishe na tuilinganishe na sifuri

Tumepata equation ya quadratic kwa heshima na parameter a, suluhisho ambalo linaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia theorem ya Vieta. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa zao ni 12. Kwa utafutaji rahisi tunathibitisha kwamba nambari 3,4 zitakuwa mizizi ya equation. Kwa kuwa tayari tumekataa suluhisho a=3 mwanzoni mwa mahesabu, sahihi pekee itakuwa - a=4. Kwa hivyo, kwa = 4 equation ina mzizi mmoja.

Mfano 2. Kwa maadili gani ya parameter A , mlingano a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ina mizizi zaidi ya moja?

Suluhisho: Wacha kwanza tuzingatie alama za umoja, zitakuwa maadili a=0 na a=-3. Wakati a=0, mlinganyo utarahisishwa kwa fomu 6x-9=0; x=3/2 na kutakuwa na mzizi mmoja. Kwa = -3 tunapata kitambulisho 0=0.
Hebu tuhesabu ubaguzi

na kupata thamani ya a ambayo ni chanya

Kutoka kwa hali ya kwanza tunapata > 3. Kwa pili, tunapata ubaguzi na mizizi ya equation

Hebu tufafanue vipindi ambapo kazi inachukua maadili chanya. Kwa kubadilisha nukta a=0 tunayopata 3>0 . Kwa hivyo, nje ya muda (-3;1/3) chaguo la kukokotoa ni hasi. Usisahau uhakika a=0, ambayo inapaswa kutengwa kwa sababu equation asili ina mzizi mmoja ndani yake.
Matokeo yake, tunapata vipindi viwili vinavyokidhi hali ya tatizo

Kutakuwa na kazi nyingi zinazofanana katika mazoezi, jaribu kufikiria kazi mwenyewe na usisahau kuzingatia hali ambazo ni za kipekee. Jifunze fomula za suluhisho vizuri milinganyo ya quadratic, zinahitajika mara nyingi katika mahesabu katika shida na sayansi mbali mbali.

Quadratic equation - rahisi kutatua! *Hapa inajulikana kama "KU". Marafiki, inaweza kuonekana kuwa hakuna kitu rahisi zaidi katika hisabati kuliko kutatua equation kama hiyo. Lakini kuna kitu kiliniambia kwamba watu wengi wana matatizo naye. Niliamua kuona ni maoni ngapi ya mahitaji ambayo Yandex hutoa kwa mwezi. Hiki ndicho kilichotokea, angalia:

Ina maana gani? Hii ina maana kwamba takriban watu 70,000 kwa mwezi wanatafuta habari hii, hii inahusiana nini na majira ya joto, na nini kitatokea wakati wa mwaka wa shule - kutakuwa na maombi mara mbili zaidi. Hii haishangazi, kwa sababu wale wavulana na wasichana ambao walihitimu shuleni muda mrefu uliopita na wanajiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja wanatafuta habari hii, na watoto wa shule pia wanajitahidi kuburudisha kumbukumbu zao.

Licha ya ukweli kwamba kuna tovuti nyingi zinazokuambia jinsi ya kutatua equation hii, niliamua pia kuchangia na kuchapisha nyenzo. Kwanza, ninataka wageni waje kwenye tovuti yangu kulingana na ombi hili; pili, katika makala nyingine, wakati mada ya "KU" inakuja, nitatoa kiungo kwa makala hii; tatu, nitakuambia zaidi kidogo juu ya suluhisho lake kuliko inavyosemwa kwenye tovuti zingine. Hebu tuanze! Yaliyomo katika kifungu:

Equation ya quadratic ni equation ya fomu:

ambapo mgawo a,bna nambari za kiholela, ambapo a≠0.

KATIKA kozi ya shule nyenzo imetolewa kwa fomu ifuatayo - equations kawaida imegawanywa katika madarasa matatu:

1. Wana mizizi miwili.

2. *Kuwa na mzizi mmoja tu.

3. Hawana mizizi. Inastahili kuzingatia hapa kwamba hawana mizizi halisi

Je, mizizi huhesabiwaje? Tu!

Tunahesabu ubaguzi. Chini ya neno hili "mbaya" kuna fomula rahisi sana:

Njia za mizizi ni kama ifuatavyo:

*Unahitaji kujua fomula hizi kwa moyo.

Unaweza kuandika mara moja na kutatua:

Mfano:

1. Ikiwa D > 0, basi equation ina mizizi miwili.

2. Ikiwa D = 0, basi equation ina mizizi moja.

3. Ikiwa D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Wacha tuangalie equation:

Katika suala hili, wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, kozi ya shule inasema kwamba mzizi mmoja unapatikana, hapa ni sawa na tisa. Kila kitu ni sawa, ni hivyo, lakini ...

Wazo hili si sahihi kwa kiasi fulani. Kwa kweli, kuna mizizi miwili. Ndio, ndio, usishangae, unapata mizizi miwili sawa, na kuwa sahihi kihesabu, basi jibu linapaswa kuandika mizizi miwili:

x 1 = 3 x 2 = 3

Lakini hii ni hivyo - digression ndogo. Shuleni unaweza kuiandika na kusema kwamba kuna mzizi mmoja.

Sasa mfano unaofuata:

Kama tunavyojua, mzizi wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa, kwa hivyo hakuna suluhisho katika kesi hii.

Huo ndio mchakato mzima wa maamuzi.

Utendaji wa Quadratic.

Hii inaonyesha jinsi suluhisho linaonekana kama kijiometri. Hii ni muhimu sana kuelewa (katika siku zijazo, katika moja ya vifungu tutachambua kwa undani suluhisho la usawa wa quadratic).

Hii ni kazi ya fomu:

ambapo x na y ni vigezo

a, b, c - nambari ulizopewa, na ≠ 0

Grafu ni parabola:

Hiyo ni, zinageuka kuwa kwa kutatua equation ya quadratic na "y" sawa na sifuri, tunapata pointi za makutano ya parabola na mhimili wa x. Kunaweza kuwa na pointi mbili kati ya hizi (kibaguzi ni chanya), moja (kibaguzi ni sifuri) na hakuna (kibaguzi ni hasi). Maelezo kuhusu kitendakazi cha quadratic unaweza kuangalia makala na Inna Feldman.

Hebu tuangalie mifano:

Mfano 1: Tatua 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jibu: x 1 = 8 x 2 = -12

*Iliwezekana kugawanya mara moja pande za kushoto na kulia za equation na 2, yaani, kurahisisha. Mahesabu yatakuwa rahisi zaidi.

Mfano 2: Amua x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Tuligundua kuwa x 1 = 11 na x 2 = 11

Inaruhusiwa kuandika x = 11 katika jibu.

Jibu: x = 11

Mfano 3: Amua x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ubaguzi ni hasi, hakuna suluhisho kwa idadi halisi.

Jibu: hakuna suluhisho

Mbaguzi ni hasi. Kuna suluhisho!

Hapa tutazungumzia juu ya kutatua equation katika kesi wakati ubaguzi mbaya unapatikana. Je! unajua chochote kuhusu nambari changamano? Sitaingia kwa undani hapa juu ya kwanini na wapi waliibuka na jukumu na hitaji lao mahususi katika hisabati ni nini; hii ni mada ya nakala kubwa tofauti.

Dhana ya nambari changamano.

Nadharia kidogo.

Nambari changamano z ni nambari ya fomu

z = a + bi

ambapo a na b ni nambari halisi, i ni kile kinachoitwa kitengo cha kufikiria.

a+bi - hii ni NAMBA MOJA, sio nyongeza.

Sehemu ya kufikiria ni sawa na mzizi wa minus moja:

Sasa fikiria equation:

Tunapata mizizi miwili ya kuunganisha.

Mlinganyo wa quadratic usio kamili.

Hebu tuzingatie kesi maalum, hii ni wakati mgawo "b" au "c" ni sawa na sifuri (au zote mbili ni sawa na sifuri). Wanaweza kutatuliwa kwa urahisi bila ubaguzi wowote.

Kesi ya 1. Mgawo b = 0.

Equation inakuwa:

Hebu tubadilishe:

Mfano:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Kesi ya 2. Coefficient c = 0.

Equation inakuwa:

Wacha tubadilishe na tuimarishe:

*Bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya vipengele ni sawa na sifuri.

Mfano:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 au x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kesi ya 3. Viwiliwili b = 0 na c = 0.

Hapa ni wazi kuwa suluhisho la equation litakuwa x = 0 kila wakati.

Mali muhimu na mifumo ya coefficients.

Kuna mali ambayo inakuwezesha kutatua equations na coefficients kubwa.

Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia

a + b+ c = 0, Hiyo

- ikiwa kwa coefficients ya equation Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia

a+ c =b, Hiyo

Tabia hizi husaidia kutatua aina fulani ya equation.

Mfano 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumla ya uwezekano ni 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ambayo ina maana

Mfano 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Usawa unashikilia a+ c =b, Maana

Kanuni za coefficients.

1. Ikiwa katika shoka ya equation 2 + bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.

shoka 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.

shoka 2 - (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 15x 2 -226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ikiwa katika Eq. shoka 2 + bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo "c" kwa nambari ni sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa

shoka 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 17x 2 +288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo c ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.

shoka 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 10x 2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Nadharia ya Vieta.

Nadharia ya Vieta imepewa jina la mwanahisabati maarufu wa Ufaransa Francois Vieta. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, tunaweza kueleza jumla na bidhaa ya mizizi ya KU kiholela kulingana na viambajengo vyake.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kwa jumla, nambari ya 14 inatoa 5 na 9 tu. Hizi ni mizizi. Kwa ustadi fulani, kwa kutumia nadharia iliyowasilishwa, unaweza kutatua hesabu nyingi za quadratic kwa mdomo mara moja.

Nadharia ya Vieta, kwa kuongeza. Ni rahisi kwa kuwa baada ya kutatua equation ya quadratic kwa njia ya kawaida (kwa njia ya kibaguzi), mizizi inayotokana inaweza kuchunguzwa. Ninapendekeza kufanya hivi kila wakati.

NJIA YA USAFIRI

Kwa njia hii, mgawo "a" unazidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, ndiyo sababu inaitwa. njia ya "uhamisho". Njia hii inatumika wakati unaweza kupata kwa urahisi mizizi ya equation kwa kutumia nadharia ya Vieta na, muhimu zaidi, wakati kibaguzi ni mraba halisi.

Kama A± b+c≠ 0, basi mbinu ya uhamishaji inatumika, kwa mfano:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Kwa kutumia nadharia ya Vieta katika mlinganyo (2), ni rahisi kubainisha kuwa x 1 = 10 x 2 = 1

Mizizi inayotokana ya equation lazima igawanywe na 2 (kwani hizo mbili "zilitupwa" kutoka x 2), tunapata.

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Mantiki ni nini? Tazama kinachoendelea.

Wabaguzi wa milinganyo (1) na (2) ni sawa:

Ukiangalia mizizi ya hesabu, unapata tu madhehebu tofauti, na matokeo inategemea haswa juu ya mgawo wa x 2:

Ya pili (iliyorekebishwa) ina mizizi ambayo ni mara 2 zaidi.

Kwa hivyo, tunagawanya matokeo na 2.

*Ikiwa tunasonga tatu, tutagawanya matokeo na 3, nk.

Jibu: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie na Uchunguzi wa Jimbo Moja.

Nitakuambia kwa ufupi juu ya umuhimu wake - LAZIMA UWEZE KUAMUA haraka na bila kufikiria, unahitaji kujua kanuni za mizizi na ubaguzi kwa moyo. Matatizo mengi yaliyojumuishwa katika majukumu ya Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa yanatokana na kusuluhisha mlinganyo wa quadratic (zile za kijiometri zimejumuishwa).

Kitu cha kuzingatia!

1. Njia ya kuandika equation inaweza kuwa "implicit". Kwa mfano, kiingilio kifuatacho kinawezekana:

15+ 9x 2 - 45x = 0 au 15x+42+9x 2 - 45x=0 au 15 -5x+10x 2 = 0.

Unahitaji kuleta kwa fomu ya kawaida (ili usichanganyike wakati wa kutatua).

2. Kumbuka kwamba x ni kiasi kisichojulikana na inaweza kuonyeshwa na barua nyingine yoyote - t, q, p, h na wengine.

Natumaini kwamba baada ya kujifunza makala hii utajifunza jinsi ya kupata mizizi ya equation kamili ya quadratic.

Kwa kutumia kibaguzi, hesabu kamili za quadratic pekee ndizo zinazotatuliwa; ili kutatua hesabu zisizo kamili za quadratic, njia zingine hutumiwa, ambazo utapata katika kifungu "Kutatua hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika."

Ni milinganyo gani ya quadratic inayoitwa kamili? Hii milinganyo ya fomu shoka 2 + b x + c = 0, ambapo viambajengo a, b na c si sawa na sifuri. Kwa hivyo, ili kutatua mlingano kamili wa quadratic, tunahitaji kukokotoa kibaguzi D.

D = b 2 - 4ac.

Kulingana na thamani ya kibaguzi, tutaandika jibu.

Ikiwa kibaguzi ni nambari hasi (D< 0),то корней нет.

Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi x = (-b)/2a. Wakati kibaguzi ni nambari chanya (D > 0),

kisha x 1 = (-b - √D)/2a, na x 2 = (-b + √D)/2a.

Kwa mfano. Tatua mlinganyo x 2- 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jibu: 2.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jibu: hakuna mizizi.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jibu: - 3.5; 1.

Kwa hivyo, hebu tufikirie suluhisho la milinganyo kamili ya quadratic kwa kutumia mchoro kwenye Mchoro 1.

Kwa kutumia fomula hizi unaweza kutatua mlinganyo wowote kamili wa quadratic. Unahitaji tu kuwa makini equation iliandikwa kama polynomial ya fomu ya kawaida

A x 2 + bx + c, vinginevyo unaweza kufanya makosa. Kwa mfano, kwa kuandika equation x + 3 + 2x 2 = 0, unaweza kuamua kimakosa kwamba

a = 1, b = 3 na c = 2. Kisha

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 na kisha equation ina mizizi miwili. Na hii si kweli. (Angalia suluhisho la mfano 2 hapo juu).

Kwa hivyo, ikiwa equation haijaandikwa kama polynomia ya fomu ya kawaida, kwanza equation kamili ya quadratic lazima iandikwe kama polynomia ya fomu ya kawaida (monomia yenye kipeo kikubwa zaidi inapaswa kuja kwanza, yaani. A x 2 , kisha na kidogo – bx na kisha mwanachama huru Na.

Wakati wa kutatua equation iliyopunguzwa ya quadratic na equation ya quadratic na mgawo hata katika muhula wa pili, unaweza kutumia fomula zingine. Hebu tufahamiane na fomula hizi. Ikiwa katika equation kamili ya quadratic mgawo katika muhula wa pili ni sawa (b = 2k), basi unaweza kutatua equation kwa kutumia fomula zilizotolewa kwenye mchoro kwenye Mchoro 2.

Mlinganyo kamili wa quadratic unaitwa kupunguzwa ikiwa mgawo uko x 2 ni sawa na moja na mlinganyo huchukua fomu x 2 + px + q = 0. Equation kama hiyo inaweza kutolewa kwa suluhisho, au inaweza kupatikana kwa kugawa mgawo wote wa equation na mgawo. A, amesimama x 2 .

Mchoro wa 3 unaonyesha mchoro wa kutatua mraba uliopunguzwa
milinganyo. Wacha tuangalie mfano wa matumizi ya fomula zilizojadiliwa katika nakala hii.

Mfano. Tatua mlinganyo

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Wacha tusuluhishe mlingano huu kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 1.

D = 6 2 - 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3

Unaweza kugundua kwamba mgawo wa x katika mlinganyo huu ni nambari sawa, ambayo ni, b = 6 au b = 2k, kutoka wapi k = 3. Kisha hebu tujaribu kutatua equation kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro wa takwimu D. 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3. Tukigundua kuwa viambajengo vyote katika mlinganyo huu wa quadratic vinaweza kugawanywa na 3 na kutekeleza mgawanyiko, tunapata equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 + 2x - 2 = 0 Tatua mlingano huu kwa kutumia fomula za quadratic iliyopunguzwa.
equations takwimu 3.

D 2 = 2 2 - 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3.

Kama unavyoona, wakati wa kutatua equation hii kwa kutumia fomula tofauti, tulipokea jibu sawa. Kwa hivyo, baada ya kufahamu kikamilifu kanuni zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 1, utaweza kutatua mlinganyo wowote kamili wa quadratic.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Natumaini kwamba baada ya kujifunza makala hii utajifunza jinsi ya kupata mizizi ya equation kamili ya quadratic.

D = b 2 - 4ac.

Kulingana na thamani ya kibaguzi, tutaandika jibu.

Ikiwa kibaguzi ni nambari hasi (D< 0),то корней нет.

Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi x = (-b)/2a. Wakati kibaguzi ni nambari chanya (D > 0),

kisha x 1 = (-b - √D)/2a, na x 2 = (-b + √D)/2a.

Kwa mfano. Tatua mlinganyo x 2- 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jibu: 2.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jibu: hakuna mizizi.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jibu: - 3.5; 1.

Kwa hivyo, hebu tufikirie suluhisho la milinganyo kamili ya quadratic kwa kutumia mchoro kwenye Mchoro 1.

Kwa kutumia fomula hizi unaweza kutatua mlinganyo wowote kamili wa quadratic. Unahitaji tu kuwa makini equation iliandikwa kama polynomial ya fomu ya kawaida

A x 2 + bx + c, vinginevyo unaweza kufanya makosa. Kwa mfano, kwa kuandika equation x + 3 + 2x 2 = 0, unaweza kuamua kimakosa kwamba

a = 1, b = 3 na c = 2. Kisha

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 na kisha equation ina mizizi miwili. Na hii si kweli. (Angalia suluhisho la mfano 2 hapo juu).

Mchoro wa 3 unaonyesha mchoro wa kutatua mraba uliopunguzwa
milinganyo. Wacha tuangalie mfano wa matumizi ya fomula zilizojadiliwa katika nakala hii.

Mfano. Tatua mlinganyo

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Wacha tusuluhishe mlingano huu kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 1.

D = 6 2 - 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 - 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3.

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Katika makala haya tutaangalia utatuzi wa milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Lakini kwanza, hebu turudie ni equations gani zinazoitwa quadratic. Mlinganyo wa fomu shoka 2 + bx + c = 0, ambapo x ni kigezo, na mgawo a, b na c ni nambari fulani, na ≠ 0, inaitwa. mraba. Kama tunavyoona, mgawo wa x 2 si sawa na sifuri, na kwa hivyo vibali vya x au neno huria vinaweza kuwa sawa na sifuri, ambapo tunapata mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika.

Kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

1) Ikiwa b = 0, c ≠ 0, kisha shoka 2 + c = 0;

2) Ikiwa b ≠ 0, c = 0, kisha shoka 2 + bx = 0;

3) Ikiwa b = 0, c = 0, kisha shoka 2 = 0.

Wacha tujue jinsi ya kutatua milinganyo ya fomu shoka 2 + c = 0.

Ili kutatua equation, tunahamisha neno la bure c kwa upande wa kulia wa equation, tunapata

shoka 2 = ‒s. Tangu ≠ 0, tunagawanya pande zote mbili za equation na, kisha x 2 = ‒c/a.

Ikiwa ‒с/а > 0, basi equation ina mizizi miwili

x = ±√(–c/a) .

Ikiwa ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Hebu jaribu kuelewa na mifano jinsi ya kutatua equations vile.

Mfano 1. Tatua mlingano 2x 2 ‒ 32 = 0.

Jibu: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Mfano 2. Tatua mlingano 2x 2 + 8 = 0.

Jibu: equation haina suluhu.

Hebu tujue jinsi ya kulitatua milinganyo ya fomu shoka 2 + bx = 0.

Ili kutatua shoka ya equation 2 + bx = 0, hebu tuifanye, yaani, kuchukua x nje ya mabano, tunapata x (shoka + b) = 0. Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya mambo ni sawa. hadi sifuri. Kisha ama x = 0, au shoka + b = 0. Kutatua shoka ya equation + b = 0, tunapata shoka = - b, wapi x = - b/a. Mlinganyo wa fomu shoka 2 + bx = 0 daima ina mizizi miwili x 1 = 0 na x 2 = ‒ b/a. Tazama jinsi suluhu ya milinganyo ya aina hii inavyoonekana kwenye mchoro.

Hebu tuunganishe ujuzi wetu kwa mfano maalum.

Mfano 3. Tatua mlingano 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 au 3x - 12 = 0

Jibu: x 1 = 0, x 2 = 4.

Milinganyo ya aina ya tatu shoka 2 = 0 yanatatuliwa kwa urahisi sana.

Ikiwa shoka 2 = 0, basi x 2 = 0. Mlinganyo una mizizi miwili sawa x 1 = 0, x 2 = 0.

Kwa uwazi, hebu tuangalie mchoro.

Wacha tuhakikishe tunaposuluhisha Mfano wa 4 kwamba milinganyo ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana.

Mfano 4. Tatua mlingano 7x 2 = 0.

Jibu: x 1, 2 = 0.

Si mara zote huwa wazi mara moja ni aina gani ya mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika tunapaswa kutatua. Fikiria mfano ufuatao.

Mfano 5. Tatua mlinganyo

Wacha tuzidishe pande zote mbili za mlinganyo kwa dhehebu moja, ambayo ni, kwa 30.

Hebu tuikate

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Hebu tufungue mabano

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

Wacha tupe sawa

Wacha tusogeze 99 kutoka upande wa kushoto wa equation kwenda kulia, tukibadilisha ishara kuwa kinyume

Jibu: hakuna mizizi.

Tuliangalia jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inavyotatuliwa. Natumai kuwa sasa hautakuwa na shida na kazi kama hizo. Kuwa mwangalifu wakati wa kuamua aina ya equation ya quadratic isiyo kamili, basi utafaulu.

Ikiwa una maswali juu ya mada hii, jiandikishe kwa masomo yangu, tutatatua matatizo yanayotokea pamoja.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.