Nyumbani > Matairi na magurudumu > Kutatua mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya aljebra ya mstari. Pata suluhisho la jumla la mfumo na fsr

Kutatua mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya aljebra ya mstari. Pata suluhisho la jumla la mfumo na fsr

Mifumo milinganyo ya mstari, ambayo masharti yote ya bure ni sawa na sifuri yanaitwa zenye homogeneous :

Mfumo wowote wa homogeneous daima ni thabiti, kwa kuwa daima ina sufuri (yasiyo na maana ) suluhisho. Swali linatokea chini ya hali gani mfumo wa homogeneous utakuwa na suluhisho lisilo la kawaida.

Nadharia 5.2.Mfumo wa homogeneous una suluhisho lisilo la kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya msingi ni chini ya idadi ya haijulikani.

Matokeo. Mfumo wa homogeneous wa mraba una suluhisho lisilo la kawaida ikiwa na tu ikiwa kibainishi cha tumbo kuu la mfumo si sawa na sifuri.

Mfano 5.6. Amua maadili ya paramu l ambayo mfumo una suluhisho zisizo za kawaida, na upate suluhisho hizi:

Suluhisho. Mfumo huu utakuwa na suluhisho lisilo la maana wakati kibainishi cha matrix kuu ni sawa na sifuri:

Kwa hivyo, mfumo sio mdogo wakati l = 3 au l = 2. Kwa l=3, kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni 1. Kisha, ukiacha equation moja tu na kudhani kuwa y=a Na z=b, tunapata x=b-a, i.e.

Kwa l=2, kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni 2. Kisha, kuchagua ndogo kama msingi:

tunapata mfumo uliorahisishwa

Kuanzia hapa tunapata hiyo x=z/4, y=z/2. Kuamini z=4a, tunapata

Seti ya suluhisho zote za mfumo wa homogeneous ina muhimu sana mali ya mstari : ikiwa safu za X 1 na X 2 - suluhisho kwa mfumo wa homogeneous AX = 0, basi mchanganyiko wowote wa mstari wao a X 1 + b X 2 pia itakuwa suluhisho kwa mfumo huu. Kwa kweli, tangu AX 1 = 0 Na AX 2 = 0 , Hiyo A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ni kwa sababu ya mali hii kwamba ikiwa mfumo wa mstari una suluhisho zaidi ya moja, basi kutakuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi huu.

Safu wima zinazojitegemea E 1 , E 2 , Ek, ambayo ni ufumbuzi wa mfumo wa homogeneous, huitwa mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ikiwa suluhisho la jumla la mfumo huu linaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa safu wima hizi:

Ikiwa mfumo wa homogeneous una n vigezo, na cheo cha matrix kuu ya mfumo ni sawa na r, Hiyo k = n-r.

Mfano 5.7. Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:

Suluhisho. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu ya mfumo:

Kwa hivyo, seti ya suluhisho kwa mfumo huu wa milinganyo huunda nafasi ndogo ya kipimo n-r= 5 - 2 = 3. Wacha tuchague madogo kama msingi

.

Halafu, tukiacha hesabu za msingi tu (zilizobaki zitakuwa mchanganyiko wa mstari wa hesabu hizi) na vijiti vya msingi (tunasonga vilivyobaki, kinachojulikana kama vigeu vya bure kulia), tunapata mfumo uliorahisishwa wa hesabu:

Kuamini x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, tunapata


, .

Kuamini a= 1, b = c= 0, tunapata suluhisho la msingi la kwanza; kuamini b= 1, a = c= 0, tunapata suluhisho la pili la msingi; kuamini c= 1, a = b= 0, tunapata suluhisho la tatu la msingi. Matokeo yake, mfumo wa kawaida wa msingi wa ufumbuzi utachukua fomu

Kutumia mfumo wa kimsingi, suluhisho la jumla la mfumo wa homogeneous linaweza kuandikwa kama

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Wacha tuangalie mali kadhaa za suluhisho kwa mfumo usio na usawa wa hesabu za mstari AX=B na uhusiano wao na mfumo unaolingana wa milinganyo AX = 0.

Suluhisho la jumla la mfumo wa inhomogeneousni sawa na jumla ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous AX = 0 na suluhisho la kiholela la mfumo usio na usawa.. Kweli, basi Y 0 ni suluhisho la kiholela la mfumo usio na usawa, i.e. AY 0 = B, Na Y- ufumbuzi wa jumla wa mfumo wa kutofautiana, i.e. AY=B. Kuondoa usawa mmoja kutoka kwa mwingine, tunapata
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ni suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous AX=0. Kwa hivyo, Y-Y 0 = X, au Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Wacha mfumo usio na usawa uwe na fomu AX = B 1 + B 2 . Kisha suluhisho la jumla la mfumo kama huo linaweza kuandikwa kama X = X 1 + X 2 , wapi AX 1 = B 1 na AX 2 = B 2. Mali hii inaonyesha mali ya ulimwengu ya yoyote mifumo ya mstari(algebraic, tofauti, kazi, nk). Katika fizikia mali hii inaitwa kanuni ya nafasi ya juu, katika uhandisi wa umeme na redio - kanuni ya superposition. Kwa mfano, katika nadharia ya mstari nyaya za umeme sasa katika saketi yoyote inaweza kupatikana kama jumla ya aljebra ya mikondo inayosababishwa na kila chanzo cha nishati kivyake.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya aljebra ya mstari

Kama sehemu ya masomo Njia ya Gaussian Na Mifumo/mifumo isiyolingana na suluhisho la kawaida tulizingatia mifumo isiyo na usawa ya milinganyo ya mstari, Wapi mwanachama huru(ambayo kwa kawaida iko upande wa kulia) angalau moja kutoka kwa milinganyo ilikuwa tofauti na sifuri.
Na sasa, baada ya joto-up nzuri na cheo cha matrix, tutaendelea kupiga mbinu mabadiliko ya msingi juu mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari.
Kulingana na aya za kwanza, nyenzo zinaweza kuonekana kuwa za kuchosha na za wastani, lakini maoni haya ni ya udanganyifu. Mbali na maendeleo zaidi ya mbinu za kiufundi, kutakuwa na wengi habari mpya, kwa hivyo tafadhali jaribu kutopuuza mifano katika nakala hii.

Je! ni mfumo gani wa usawa wa milinganyo ya mstari?

Jibu linapendekeza lenyewe. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa ni neno huru kila mtu equation ya mfumo ni sifuri. Kwa mfano:

Ni wazi kabisa kwamba mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, yaani, daima ina ufumbuzi. Na, kwanza kabisa, kinachoshika jicho lako ni kinachojulikana yasiyo na maana suluhisho . Trivial, kwa wale ambao hawaelewi maana ya kivumishi hata kidogo, ina maana bila show-off. Sio kitaaluma, la hasha, lakini inaeleweka =) ...Kwa nini upite msituni, wacha tujue ikiwa mfumo huu una masuluhisho mengine yoyote:

Mfano 1

Suluhisho: kutatua mfumo wa homogeneous ni muhimu kuandika matrix ya mfumo na kwa msaada wa mabadiliko ya kimsingi kuleta kwa fomu ya hatua. Tafadhali kumbuka kuwa hapa hakuna haja ya kuandika bar ya wima na safu ya sifuri ya maneno ya bure - baada ya yote, bila kujali unafanya nini na zero, zitabaki zero:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3.

(2) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.

Kugawanya mstari wa tatu na 3 haina maana sana.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa homogeneous hupatikana , na, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, ni rahisi kuthibitisha kuwa suluhisho ni la kipekee.

Jibu:

Hebu tutengeneze kigezo kilicho wazi: mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ina suluhisho dogo tu,Kama kiwango cha matrix ya mfumo(katika kesi hii 3) ni sawa na idadi ya vigezo (katika kesi hii - vipande 3).

Wacha tuchangamshe na kuelekeza redio yetu kwa wimbi la mabadiliko ya kimsingi:

Mfano 2

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari

Kutoka kwa makala Jinsi ya kupata kiwango cha matrix? Wacha tukumbuke mbinu ya busara ya kupunguza wakati huo huo nambari za matrix. Vinginevyo, italazimika kukata samaki kubwa, na mara nyingi kuuma. Mfano wa takriban wa kazi mwishoni mwa somo.

Zero ni nzuri na rahisi, lakini katika mazoezi kesi hiyo ni ya kawaida zaidi wakati safu za matrix ya mfumo tegemezi kwa mstari. Na kisha kuibuka kwa suluhisho la jumla ni kuepukika:

Mfano 3

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari

Suluhisho: hebu tuandike tumbo la mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya msingi, tulete kwa fomu ya hatua. Kitendo cha kwanza kinalenga sio tu kupata thamani moja, lakini pia kupunguza nambari kwenye safu ya kwanza:

(1) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa kwanza, ukizidishwa na -1. Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Katika sehemu ya juu kushoto nilipata kitengo kilicho na "minus", ambayo mara nyingi ni rahisi zaidi kwa mabadiliko zaidi.

(2) Mistari miwili ya kwanza ni sawa, mmoja wao ulifutwa. Kwa uaminifu, sikusukuma suluhisho - ikawa hivyo. Ikiwa unafanya mabadiliko kwa njia ya template, basi utegemezi wa mstari mistari ingefunuliwa baadaye kidogo.

(3) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 3.

(4) Alama ya mstari wa kwanza ilibadilishwa.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa ulipatikana:

Algorithm inafanya kazi sawa na kwa Sivyo mifumo ya homogeneous . Vigezo "vikaa juu ya hatua" ndio kuu, tofauti ambayo haikupata "hatua" ni bure.

Wacha tuonyeshe vigeu vya msingi kupitia utofauti wa bure:

Jibu: suluhisho la jumla:

Suluhisho lisilo na maana limejumuishwa formula ya jumla, na sio lazima kuiandika tofauti.

Cheki pia inafanywa kulingana na mpango wa kawaida: suluhisho la jumla linalosababishwa lazima libadilishwe kwa upande wa kushoto wa kila equation ya mfumo na sifuri ya kisheria inapaswa kupatikana kwa uingizwaji wote.

Itawezekana kumaliza hii kwa utulivu na amani, lakini suluhisho la mfumo wa usawa wa milinganyo mara nyingi linahitaji kuwakilishwa. katika fomu ya vector kwa kutumia mfumo wa msingi wa suluhisho. Tafadhali sahau kuhusu hilo kwa sasa jiometri ya uchambuzi, kwa kuwa sasa tutazungumza juu ya vekta kwa maana ya jumla ya algebra, ambayo nilifungua kidogo katika nakala hiyo. cheo cha matrix. Hakuna haja ya kuangaza juu ya istilahi, kila kitu ni rahisi sana.

Mfumo m milinganyo ya mstari c n inayoitwa haijulikani mfumo wa mstari wa homogeneous milinganyo ikiwa masharti yote ya bure ni sawa na sifuri. Mfumo kama huo unaonekana kama hii:

Wapi na ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - nambari zilizopewa; x i- haijulikani.

Mfumo wa milinganyo ya homogeneous ya mstari daima ni thabiti, tangu r(A) = r(). Daima ina angalau sifuri ( yasiyo na maana) suluhisho (0; 0; …; 0).

Hebu tuchunguze chini ya hali gani mifumo ya homogeneous ina ufumbuzi usio na sifuri.

Nadharia 1. Mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari una masuluhisho yasiyo ya kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki yake kuu ni. r wachache wasiojulikana n, i.e. r < n.

□ 1). Wacha mfumo wa milinganyo yenye usawa uwe na suluhu isiyo ya kawaida. Kwa kuwa kiwango hakiwezi kuzidi saizi ya matrix, basi, ni wazi, r ≤ n. Hebu r = n. Kisha moja ya ukubwa mdogo n n tofauti na sifuri. Kwa hivyo, mfumo unaolingana wa equations za mstari una suluhisho la kipekee: . Hii ina maana kwamba hakuna masuluhisho mengine isipokuwa yale madogo. Kwa hiyo, ikiwa kuna ufumbuzi usio na maana, basi r < n.

2). Hebu r < n. Kisha mfumo wa homogeneous, kuwa thabiti, hauna uhakika. Hii ina maana kwamba ina idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, i.e. ina suluhu zisizo za sifuri. ■

Fikiria mfumo wa homogeneous n milinganyo ya mstari c n haijulikani:

(2)

Nadharia 2. Mfumo wa homogeneous n milinganyo ya mstari c n haijulikani (2) ina masuluhisho yasiyo ya sifuri ikiwa na tu ikiwa kibainishi chake ni sawa na sifuri: = 0.

□ Ikiwa mfumo (2) una ufumbuzi usio na sifuri, basi = 0. Kwa sababu wakati mfumo una suluhisho moja tu la sifuri. Ikiwa = 0, basi cheo r matrix kuu ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani, i.e. r < n. Na, kwa hiyo, mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, i.e. ina suluhu zisizo za sifuri. ■

Wacha tuonyeshe suluhisho la mfumo (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kama kamba .

Suluhisho la mfumo wa milinganyo ya usawa yenye usawa ina sifa zifuatazo:

1. Ikiwa mstari ni suluhisho la mfumo (1), basi mstari ni suluhisho la mfumo (1).

2. Ikiwa mistari Na - ufumbuzi wa mfumo (1), basi kwa maadili yoyote Na 1 na Na 2 mchanganyiko wao wa mstari pia ni suluhisho la mfumo (1).

Uhalali wa sifa hizi unaweza kuthibitishwa kwa kuzibadilisha moja kwa moja kwenye milinganyo ya mfumo.

Kutoka kwa sifa zilizoundwa inafuata kwamba mchanganyiko wowote wa mstari wa ufumbuzi kwa mfumo wa usawa wa usawa wa usawa pia ni suluhisho kwa mfumo huu.

Mfumo wa ufumbuzi wa kujitegemea wa mstari e 1 , e 2 , …, e r kuitwa msingi, ikiwa kila suluhisho la mfumo (1) ni mchanganyiko wa mstari wa suluhu hizi e 1 , e 2 , …, e r.

Nadharia 3. Kama cheo r matrices ya mgawo kwa vigezo vya mfumo milinganyo yenye mstari wa homogeneous (1) ni chini ya idadi ya viambajengo n, basi mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo (1) unajumuisha n–r maamuzi.

Ndiyo maana suluhisho la jumla mfumo wa milinganyo yenye usawa (1) ina fomu:

Wapi e 1 , e 2 , …, e r- mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho la mfumo (9), Na 1 , Na 2 , …, na uk – nambari za kiholela, r = n–r.

Nadharia 4. Suluhisho la jumla la mfumo m milinganyo ya mstari c n haijulikani ni sawa na jumla ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa milinganyo yenye usawa (1) na suluhisho la kiholela la mfumo huu (1).

Mfano. Tatua mfumo

Suluhisho. Kwa mfumo huu m = n= 3. Kuamua

na Theorem 2, mfumo una suluhisho dogo tu: x = y = z = 0.

Mfano. 1) Tafuta suluhisho za jumla na maalum za mfumo

2) Tafuta mfumo wa msingi wa suluhisho.

Suluhisho. 1) Kwa mfumo huu m = n= 3. Kuamua

na Theorem 2, mfumo una suluhisho zisizo za kawaida.

Kwa kuwa kuna equation moja tu ya kujitegemea katika mfumo

x + y – 4z = 0,

basi kutoka humo tutaeleza x =4z- y. Tunapata wapi idadi isiyo na kikomo ya suluhisho: (4 z- y, y, z) - hii ndio suluhisho la jumla la mfumo.

Saa z= 1, y= -1, tunapata suluhisho moja maalum: (5, -1, 1). Kuweka z= 3, y= 2, tunapata suluhisho la pili: (10, 2, 3), nk.

2) Katika suluhisho la jumla (4 z- y, y, z) vigezo y Na z ni bure, na kutofautiana X- tegemezi kwao. Ili kupata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, wacha tuwape maadili kwa anuwai za bure: kwanza. y = 1, z= 0, basi y = 0, z= 1. Tunapata ufumbuzi wa sehemu (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ambayo huunda mfumo wa msingi wa ufumbuzi.

Vielelezo:

Mchele. 1 Uainishaji wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Mchele. 2 Utafiti wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Mawasilisho:

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_matrix

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_Cramer

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_Gauss

· Vifurushi vya kutatua matatizo ya hisabati Hisabati, MathCad: inatafuta suluhu za uchanganuzi na nambari kwa mifumo ya milinganyo ya mstari

Maswali ya usalama :

1. Bainisha mlinganyo wa mstari

2. Je, inaonekana kama mfumo wa aina gani? m milinganyo ya mstari na n haijulikani?

3. Ni nini kinachoitwa mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya mstari?

4. Ni mifumo gani inayoitwa sawa?

5. Mfumo gani unaitwa hauendani?

6. Mfumo gani unaitwa joint?

7. Mfumo gani unaitwa uhakika?

8. Mfumo gani unaitwa usio na kipimo

9. Orodhesha mabadiliko ya kimsingi ya mifumo ya milinganyo ya mstari

10. Orodhesha mabadiliko ya msingi ya matrices

11. Tengeneza nadharia juu ya utumiaji wa mabadiliko ya kimsingi kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.

12. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya tumbo?

13. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa njia ya Cramer?

14. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa njia ya Gauss?

15. Orodhesha kesi 3 zinazowezekana zinazotokea wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss.

16. Eleza mbinu ya matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

17. Eleza mbinu ya Cramer ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

18. Eleza mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

19. Mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa kutumia matrix ya kinyume?

20. Orodhesha kesi 3 zinazowezekana zinazotokea wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Fasihi:

1. Hisabati ya juu kwa wanauchumi: Kitabu cha kiada kwa vyuo vikuu / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Mh. N.Sh. Kremer. - M.: UMOJA, 2005. - 471 p.

2. Kozi ya jumla ya hisabati ya juu kwa wachumi: Kitabu cha maandishi. / Mh. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati ya juu kwa wanauchumi: Mafunzo/ Iliyohaririwa na V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. Gmurman V. E. Mwongozo wa kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano na takwimu za magmatic. - M.: Shule ya Juu, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. V.E Nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. - M.: Shule ya Upili, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Hisabati ya juu katika mazoezi na matatizo. Sehemu ya 1, 2. - M.: Onyx karne ya 21: Amani na Elimu, 2005. - 304 p. Sehemu ya 1; - 416 p. Sehemu ya 2.

7. Hisabati katika uchumi: Kitabu cha kiada: Katika sehemu 2 / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Fedha na Takwimu, 2006.

8. Shipachev V.S. Hisabati ya juu: Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi. vyuo vikuu - M.: Shule ya juu, 2007. - 479 p.


Taarifa zinazohusiana.


Njia ya Gaussian ina idadi ya hasara: haiwezekani kujua ikiwa mfumo ni thabiti au la mpaka mabadiliko yote muhimu katika njia ya Gaussian yamefanyika; Njia ya Gauss haifai kwa mifumo yenye coefficients ya barua.

Wacha tuchunguze njia zingine za kutatua mifumo ya hesabu za mstari. Njia hizi hutumia dhana ya kiwango cha matrix na kupunguza suluhisho la mfumo wowote thabiti kwa suluhisho la mfumo ambao sheria ya Cramer inatumika.

Mfano 1. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo uliopunguzwa wa homogeneous na suluhisho maalum kwa mfumo usio na usawa.

1. Kufanya matrix A na matrix ya mfumo uliopanuliwa (1)

2. Chunguza mfumo (1) kwa umoja. Ili kufanya hivyo, tunapata safu za matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Iwapo itakuwa hivyo, basi mfumo (1) zisizopatana. Tukipata hilo , basi mfumo huu ni thabiti na tutautatua. (Utafiti wa utangamano unatokana na nadharia ya Kronecker-Capelli).

a. Tunapata rA.

Kupata rA, tutazingatia kwa mpangilio watoto wasio na sufuri wa maagizo ya kwanza, ya pili, n.k. ya matrix. A na watoto wadogo wanaowazunguka.

M1=1≠0 (tunachukua 1 kutoka kona ya juu kushoto ya tumbo A).

Tunapakana M1 safu ya pili na safu ya pili ya tumbo hili. . Tunaendelea mpaka M1 mstari wa pili na safu ya tatu..gif" width="37" height="20 src=">. Sasa tunapakana na ile isiyo ya sifuri ndogo. M2′ utaratibu wa pili.

Tunayo: (kwa kuwa safu wima mbili za kwanza ni sawa)

(kwa kuwa mstari wa pili na wa tatu ni sawia).

Tunaona hilo rA=2, a ndio msingi mdogo wa matrix A.

b. Tunapata.

Cha msingi kabisa M2′ matrices A mpaka na safu ya masharti ya bure na safu zote (tuna safu ya mwisho tu).

. Inafuata hiyo M3′′ inabakia kuwa msingi mdogo wa matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kwa sababu M2′- msingi mdogo wa matrix A mifumo (2) , basi mfumo huu ni sawa na mfumo (3) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (2) (kwa M2′ iko kwenye safu mbili za kwanza za matrix A).

(3)

Tangu msingi mdogo https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Katika mfumo huu kuna vitu viwili visivyojulikana ( x2 Na x4 ) Ndiyo maana FSR mifumo (4) lina masuluhisho mawili. Ili kuzipata, tunawapa watu wasiojulikana bila malipo (4) maadili kwanza x2=1 , x4=0 , na kisha - x2=0 , x4=1 .

Saa x2=1 , x4=0 tunapata:

.

Mfumo huu tayari una kitu pekee suluhisho (inaweza kupatikana kwa kutumia sheria ya Cramer au njia nyingine yoyote). Kuondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili, tunapata:

Suluhisho lake litakuwa x1= -1 , x3=0 . Kwa kuzingatia maadili x2 Na x4 , ambayo tuliongeza, tunapata suluhisho la kwanza la msingi la mfumo (2) : .

Sasa tunaamini (4) x2=0 , x4=1 . Tunapata:

.

Tunatatua mfumo huu kwa kutumia nadharia ya Cramer:

.

Tunapata suluhisho la pili la msingi la mfumo (2) : .

Ufumbuzi β1 , β2 na make up FSR mifumo (2) . Kisha suluhisho lake la jumla litakuwa

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hapa C1 , C2 - viunga vya kiholela.

4. Tutafute moja Privat suluhisho mfumo tofauti(1) . Kama katika aya 3 , badala ya mfumo (1) Hebu fikiria mfumo sawa (5) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (1) .

(5)

Wacha tuhamishe zisizojulikana za bure kwa pande za kulia x2 Na x4.

(6)

Wacha tutoe haijulikani bure x2 Na x4 maadili ya kiholela, kwa mfano, x2=2 , x4=1 na kuziweka ndani (6) . Wacha tupate mfumo

Mfumo huu una suluhisho la kipekee (kwani kibainishi chake M2′0) Kutatua (kwa kutumia nadharia ya Cramer au njia ya Gauss), tunapata x1=3 , x3=3 . Kwa kuzingatia maadili ya vitu visivyojulikana vya bure x2 Na x4 , tunapata suluhisho maalum la mfumo wa inhomogeneous(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sasa kilichobaki ni kuandika tu suluhisho la jumla α la mfumo usio na usawa(1) : ni sawa na jumla suluhisho la kibinafsi mfumo huu na suluhisho la jumla la mfumo wake uliopunguzwa wa homogeneous (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Hii ina maana: (7)

6. Uchunguzi. Ili kuangalia ikiwa umetatua mfumo kwa usahihi (1) , tunahitaji suluhisho la jumla (7) mbadala katika (1) . Ikiwa kila equation itageuka kuwa kitambulisho ( C1 Na C2 lazima iharibiwe), basi suluhisho linapatikana kwa usahihi.

Tutabadilisha (7) kwa mfano, tu equation ya mwisho ya mfumo (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Tunapata: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wapi –1=–1. Tulipata utambulisho. Tunafanya hivyo na hesabu zingine zote za mfumo (1) .

Maoni. Cheki kawaida ni ngumu sana. "Cheki cha sehemu" ifuatayo inaweza kupendekezwa: katika suluhisho la jumla la mfumo (1) gawa baadhi ya maadili kwa viambatisho vya kiholela na ubadilishe suluhu inayotokana na sehemu tu kwenye milinganyo iliyotupwa (yaani, kwenye milinganyo hiyo kutoka (1) , ambazo hazikujumuishwa (5) ) Ikiwa utapata vitambulisho, basi uwezekano zaidi, suluhisho la mfumo (1) kupatikana kwa usahihi (lakini hundi hiyo haitoi dhamana kamili ya usahihi!). Kwa mfano, ikiwa ndani (7) weka C2=- 1 , C1=1, kisha tunapata: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Kubadilisha katika equation ya mwisho ya mfumo (1), tuna: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaani -1=–1. Tulipata utambulisho.

Mfano 2. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari (1) , akielezea mambo ya msingi yasiyojulikana kwa masharti ya bure.

Suluhisho. Kama katika mfano 1, kutunga matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ya matrices haya. Sasa tunaacha milinganyo hiyo ya mfumo pekee. (1) , mgawo ambao umejumuishwa katika udogo huu wa msingi (yaani, tuna milinganyo miwili ya kwanza) na kuzingatia mfumo unaojumuisha, sawa na mfumo (1).

Wacha tuhamishe zile zisizojulikana zisizolipishwa kwenye pande za kulia za milinganyo hii.

mfumo (9) Tunatatua kwa njia ya Gaussian, kwa kuzingatia pande za kulia kama masharti ya bure.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Chaguo la 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Chaguo 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Chaguo la 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Chaguo 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">


Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAEs) bila shaka ndiyo mada muhimu zaidi katika kozi ya aljebra ya mstari. Nambari kubwa matatizo kutoka kwa matawi yote ya hisabati hupunguzwa kwa mifumo ya kutatua ya equations linear. Mambo haya yanaeleza sababu ya makala hii. Nyenzo za kifungu zimechaguliwa na zimeundwa ili kwa msaada wake uweze

  • chagua njia bora ya kutatua mfumo wako wa milinganyo ya algebraic,
  • soma nadharia ya njia iliyochaguliwa,
  • suluhisha mfumo wako wa milinganyo ya mstari kwa kuzingatia masuluhisho ya kina kwa mifano na matatizo ya kawaida.

Maelezo mafupi ya nyenzo za makala.

Kwanza, tunatoa ufafanuzi wote muhimu, dhana na utangulizi wa vidokezo.

Ifuatayo, tutazingatia njia za kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na ambavyo vina suluhisho la kipekee. Kwanza, tutazingatia njia ya Cramer, pili, tutaonyesha njia ya matrix ya kutatua mifumo hiyo ya equations, na tatu, tutachambua njia ya Gauss (njia ya kuondokana na mlolongo wa vigezo visivyojulikana). Ili kuunganisha nadharia, hakika tutatatua SLAE kadhaa kwa njia tofauti.

Baada ya hayo, tutaendelea na kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari mtazamo wa jumla, ambapo idadi ya milinganyo hailingani na idadi ya vigeu visivyojulikana au matrix kuu ya mfumo ni ya umoja. Hebu tuunde nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo inaruhusu sisi kuanzisha utangamano wa SLAEs. Wacha tuchambue suluhisho la mifumo (ikiwa inaendana) kwa kutumia dhana ya msingi mdogo wa matrix. Pia tutazingatia njia ya Gauss na kuelezea kwa undani ufumbuzi wa mifano.

Kwa hakika tutakaa juu ya muundo wa suluhisho la jumla la mifumo ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya algebraic ya mstari. Hebu tupe dhana ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi na kuonyesha jinsi ufumbuzi wa jumla wa SLAE umeandikwa kwa kutumia vectors ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi. Kwa ufahamu bora, hebu tuangalie mifano michache.

Kwa kumalizia, tutazingatia mifumo ya equations ambayo inaweza kupunguzwa kuwa ya mstari, pamoja na matatizo mbalimbali katika suluhisho ambalo SLAEs hutokea.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi, dhana, sifa.

Tutazingatia mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari na n vijiwezo visivyojulikana (p inaweza kuwa sawa na n) ya fomu.

Vigezo visivyojulikana, - coefficients (baadhi ya nambari halisi au ngumu), - maneno ya bure (pia nambari halisi au ngumu).

Njia hii ya kurekodi SLAE inaitwa kuratibu.

KATIKA fomu ya matrix kuandika mfumo huu wa milinganyo una namna,
Wapi - tumbo kuu la mfumo, - safu ya safu ya vigezo visivyojulikana, - safu ya safu ya maneno ya bure.

Ikiwa tutaongeza safu-wima ya maneno bila malipo kwenye matrix A kama safu wima ya (n+1), tunapata kinachojulikana kama safu wima. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyopanuliwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya maneno ya bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zilizobaki, ambayo ni,

Kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari inayoitwa seti ya maadili ya anuwai zisizojulikana ambazo hubadilisha hesabu zote za mfumo kuwa vitambulisho. Mlinganyo wa matrix kwa thamani fulani za vigeu visivyojulikana pia huwa kitambulisho.

Ikiwa mfumo wa equations una angalau suluhisho moja, basi inaitwa pamoja.

Ikiwa mfumo wa equations hauna suluhisho, basi inaitwa yasiyo ya pamoja.

Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani; ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi - kutokuwa na uhakika.

Ikiwa masharti ya bure ya milinganyo yote ya mfumo ni sawa na sifuri , basi mfumo unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.

Kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya aljebra ya mstari.

Ikiwa idadi ya milinganyo ya mfumo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na kibainishi cha matrix yake kuu si sawa na sifuri, basi SLAE hizo zitaitwa. msingi. Mifumo hiyo ya equations ina ufumbuzi wa pekee, na katika kesi ya mfumo wa homogeneous, vigezo vyote visivyojulikana ni sawa na sifuri.

Tulianza kusoma SLAE kama hizo shule ya upili. Wakati wa kuyatatua, tulichukua equation moja, tukaelezea tofauti moja isiyojulikana kwa suala la wengine na kuibadilisha katika equations iliyobaki, kisha tukachukua equation inayofuata, tukaelezea kutofautiana kwa pili isiyojulikana na kuiweka katika equations nyingine, na kadhalika. Au walitumia njia ya kuongeza, yaani, waliongeza milinganyo miwili au zaidi ili kuondoa baadhi ya vigeu visivyojulikana. Hatutakaa juu ya njia hizi kwa undani, kwani kimsingi ni marekebisho ya njia ya Gauss.

Njia kuu za kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya mstari ni njia ya Cramer, njia ya matrix na njia ya Gauss. Hebu tuyatatue.

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Tuseme tunahitaji kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

ambayo idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo haijulikani na determinant ya tumbo kuu ya mfumo ni tofauti na sifuri, yaani,.

Hebu iwe kiamua cha matrix kuu ya mfumo, na - viashiria vya matrices ambayo hupatikana kutoka kwa A kwa uingizwaji 1, 2, ..., nth safu mtawalia kwa safu ya washiriki huru:

Kwa nukuu hii, vigeu visivyojulikana vinakokotolewa kwa kutumia fomula za mbinu ya Cramer kama . Hivi ndivyo suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra linapatikana kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Mfano.

Njia ya Cramer .

Suluhisho.

Matrix kuu ya mfumo ina fomu . Wacha tuhesabu kiashiria chake (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Kwa kuwa kibainishi cha matrix kuu ya mfumo ni nonzero, mfumo una suluhisho la kipekee ambalo linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer.

Wacha tutunge na tuhesabu viashiria muhimu (tunapata kibainishi kwa kubadilisha safu wima ya kwanza katika matriki A na safu ya istilahi zisizolipishwa, kibainishi kwa kubadilisha safu wima ya pili na safu ya masharti huru, na kwa kubadilisha safu wima ya tatu ya matrix A na safu ya istilahi zisizolipishwa) :

Kutafuta vigeu visivyojulikana kwa kutumia fomula :

Jibu:

Hasara kuu ya njia ya Cramer (ikiwa inaweza kuitwa hasara) ni utata wa kuhesabu viambatisho wakati idadi ya milinganyo katika mfumo ni zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix (kwa kutumia matrix kinyume).

Ruhusu mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari itolewe katika umbo la matrix, ambapo matriki A ina mwelekeo wa n kwa n na kibainishi chake ni nonzero.

Kwa kuwa , matrix A haiwezi kugeuzwa, yaani, kuna matrix inverse. Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za usawa kwa upande wa kushoto, tunapata fomula ya kutafuta safu-matrix ya vigeu visivyojulikana. Hivi ndivyo tulivyopata suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kutumia mbinu ya matrix.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari njia ya matrix.

Suluhisho.

Wacha tuandike tena mfumo wa equations katika fomu ya matrix:

Kwa sababu

basi SLAE inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya matrix. Kwa kutumia matrix inverse, suluhisho la mfumo huu linaweza kupatikana kama .

Wacha tutengeneze matrix ya kinyume kwa kutumia matrix kutoka kwa vikamilisha vya aljebra ya vipengele vya matrix A (ikiwa ni lazima, angalia makala):

Inabakia kuhesabu matrix ya vigezo visivyojulikana kwa kuzidisha matrix ya kinyume kwa safu-matrix ya washiriki wa bure (ikiwa ni lazima, angalia nakala):

Jibu:

au katika nukuu nyingine x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Tatizo kuu wakati wa kutafuta suluhu za mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matriki ni ugumu wa kutafuta matriki kinyume, hasa kwa hesabu za mraba za mpangilio wa juu zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss.

Tuseme tunahitaji kupata suluhu kwa mfumo wa n milinganyo ya mstari na n vijiti visivyojulikana
kiashiria cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss linajumuisha kuondoa kwa mpangilio tofauti tofauti zisizojulikana: kwanza x 1 haijajumuishwa kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia ya pili, kisha x 2 imetengwa kutoka kwa hesabu zote, kuanzia ya tatu, na kadhalika, hadi tu tofauti isiyojulikana ya x n inabaki ndani. mlinganyo wa mwisho. Utaratibu huu wa kubadilisha equations ya mfumo ili kuondokana na vigezo visivyojulikana huitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gaussian, x n hupatikana kutoka kwa equation ya mwisho, kwa kutumia thamani hii kutoka kwa equation ya penultimate, x n-1 imehesabiwa, na kadhalika, x 1 hupatikana kutoka kwa equation ya kwanza. Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kubadilishana milinganyo ya mfumo. Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia na ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, imeongezeka kwa , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza pili, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza pili, kuongezeka kwa . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na . Kwa hivyo, kutofautisha x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea kuondoa haijulikani x 3, na tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana ya x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza. .

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa pande zote mbili za equation ya pili na ya tatu tunaongeza sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, iliyozidishwa na na, kwa mtiririko huo:

Sasa tunaondoa x 2 kutoka kwa equation ya tatu kwa kuongeza pande zake za kushoto na kulia za kushoto na kulia za equation ya pili, ikizidishwa na:

Hii inakamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gauss tunaanza kiharusi cha nyuma.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo unaotokana wa equations tunapata x 3:

Kutoka kwa equation ya pili tunapata.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata tofauti iliyobaki isiyojulikana na kwa hivyo kukamilisha kinyume cha njia ya Gauss.

Jibu:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Mifumo ya kutatua ya milinganyo ya aljebra ya mstari wa fomu ya jumla.

KATIKA kesi ya jumla idadi ya equations ya mfumo p hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana n:

SLAE kama hizo zinaweza kukosa suluhu, kuwa na suluhisho moja, au kuwa na suluhisho nyingi sana. Taarifa hii pia inatumika kwa mifumo ya milinganyo ambayo matrix kuu ni mraba na umoja.

Nadharia ya Kronecker-Capelli.

Kabla ya kupata suluhisho la mfumo wa equations za mstari, ni muhimu kuanzisha utangamano wake. Jibu la swali wakati SLAE inaendana na wakati haiendani hutolewa na Nadharia ya Kronecker-Capelli:
Ili mfumo wa equations p na n haijulikani (p inaweza kuwa sawa na n) kuwa thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix kuu ya mfumo iwe sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, ambayo ni. , Cheo(A)=Cheo(T).

Wacha tuzingatie, kama mfano, matumizi ya nadharia ya Kronecker-Capelli ili kubaini utangamano wa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Mfano.

Jua ikiwa mfumo wa milinganyo ya mstari unao ufumbuzi.

Suluhisho.

. Wacha tutumie njia ya kupakana na watoto. Ndogo ya utaratibu wa pili tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo:

Kwa kuwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kiwango cha matrix kuu ni sawa na mbili.

Kwa upande wake, kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni sawa na tatu, kwa kuwa mdogo ni wa utaratibu wa tatu

tofauti na sifuri.

Hivyo, Rang(A), kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuhitimisha kuwa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari haulingani.

Jibu:

Mfumo hauna suluhu.

Kwa hiyo, tumejifunza kuanzisha kutofautiana kwa mfumo kwa kutumia nadharia ya Kronecker-Capelli.

Lakini jinsi ya kupata suluhisho kwa SLAE ikiwa utangamano wake umeanzishwa?

Ili kufanya hivyo, tunahitaji dhana ya msingi mdogo wa matrix na nadharia kuhusu kiwango cha matrix.

Kidogo cha utaratibu wa juu wa matrix A, tofauti na sifuri, inaitwa msingi.

Kutoka kwa ufafanuzi wa msingi mdogo inafuata kwamba utaratibu wake ni sawa na cheo cha matrix. Kwa matrix isiyo ya sifuri A kunaweza kuwa na watoto wa msingi kadhaa daima kuna msingi mmoja mdogo.

Kwa mfano, fikiria matrix .

Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri, kwani vipengele vya safu ya tatu ya matrix hii ni jumla ya vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza na ya pili.

Watoto wafuatayo wa pili ni wa msingi, kwa kuwa sio sifuri

Watoto wadogo sio msingi, kwani ni sawa na sifuri.

Nadharia ya kiwango cha Matrix.

Ikiwa kiwango cha matrix ya mpangilio p kwa n ni sawa na r, basi vipengele vyote vya safu (na safu) vya matrix ambavyo havifanyi msingi uliochaguliwa huonyeshwa kwa mstari kulingana na safu mlalo (na safu) vipengele vinavyounda. msingi mdogo.

Nadharia ya kiwango cha matrix inatuambia nini?

Ikiwa, kulingana na nadharia ya Kronecker-Capelli, tumeanzisha utangamano wa mfumo, basi tunachagua msingi wowote mdogo wa matrix kuu ya mfumo (mpangilio wake ni sawa na r), na kuwatenga kutoka kwa mfumo milinganyo yote inayofanya. sio kuunda msingi uliochaguliwa mdogo. SLAE iliyopatikana kwa njia hii itakuwa sawa na ile ya asili, kwa kuwa milinganyo iliyotupwa bado haina maana (kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix, ni mchanganyiko wa mstari wa milinganyo iliyobaki).

Matokeo yake, baada ya kukataa equations zisizohitajika za mfumo, kesi mbili zinawezekana.

    Ikiwa idadi ya equations r katika mfumo unaosababisha ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi itakuwa ya uhakika na suluhisho pekee linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

    Mfano.

    .

    Suluhisho.

    Cheo cha matrix kuu ya mfumo ni sawa na mbili, kwani mdogo ni wa mpangilio wa pili tofauti na sifuri. Nafasi Iliyoongezwa ya Matrix pia ni sawa na mbili, kwani agizo la tatu tu ndogo ni sifuri

    na mdogo wa mpangilio wa pili unaozingatiwa hapo juu ni tofauti na sifuri. Kulingana na nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuthibitisha upatanifu wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, kwa kuwa Cheo(A)=Cheo(T)=2.

    Kama msingi mdogo tunachukua . Inaundwa na coefficients ya equations ya kwanza na ya pili:

    Equation ya tatu ya mfumo haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo tunaitenga kutoka kwa mfumo kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix:

    Hivi ndivyo tulivyopata mfumo msingi wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Wacha tuitatue kwa kutumia njia ya Cramer:

    Jibu:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Ikiwa idadi ya equations r katika SLAE inayosababisha ni chini ya idadi ya vigezo visivyojulikana n, basi kwenye pande za kushoto za equations tunaacha masharti ambayo huunda msingi mdogo, na tunahamisha masharti yaliyobaki kwa pande za kulia za hesabu. milinganyo ya mfumo na ishara kinyume.

    Vigezo visivyojulikana (r kati yao) vilivyobaki kwenye pande za kushoto za equations huitwa kuu.

    Vigezo visivyojulikana (kuna vipande vya n - r) vilivyo kwenye pande za kulia huitwa bure.

    Sasa tunaamini kwamba vigeu visivyojulikana vya bure vinaweza kuchukua maadili ya kiholela, wakati r vigeu kuu visivyojulikana vitaonyeshwa kupitia vigeu visivyojulikana visivyolipishwa kwa njia ya kipekee. Usemi wao unaweza kupatikana kwa kutatua SLAE inayotokana kwa kutumia njia ya Cramer, njia ya matrix, au njia ya Gauss.

    Hebu tuitazame kwa mfano.

    Mfano.

    Tatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari .

    Suluhisho.

    Wacha tupate kiwango cha matrix kuu ya mfumo kwa njia ya mpaka watoto. Wacha tuchukue 1 1 = 1 kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto ambaye sio sifuri wa agizo la pili linalopakana na mtoto huyu:

    Hivi ndivyo tulivyopata mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa pili. Wacha tuanze kutafuta mtoto asiye na sifuri anayepakana na agizo la tatu:

    Kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu ni tatu. Kiwango cha matrix iliyopanuliwa pia ni sawa na tatu, ambayo ni, mfumo ni thabiti.

    Tunachukua iliyopatikana isiyo ya sifuri ndogo ya mpangilio wa tatu kama msingi.

    Kwa uwazi, tunaonyesha vitu ambavyo huunda msingi mdogo:

    Tunaacha masharti yanayohusika katika msingi mdogo upande wa kushoto wa milinganyo ya mfumo, na kuhamisha yaliyosalia na ishara tofauti kwa pande za kulia:

    Wacha tupe viwango vya bure visivyojulikana x 2 na x 5 maadili ya kiholela, ambayo ni, tunakubali. , nambari za kiholela ziko wapi. Katika kesi hii, SLAE itachukua fomu

    Wacha tusuluhishe mfumo wa msingi unaotokana wa milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia njia ya Cramer:

    Kwa hivyo,.

    Katika jibu lako, usisahau kuashiria anuwai zisizojulikana za bure.

    Jibu:

    Nambari za kiholela ziko wapi.

Hebu tufanye muhtasari.

Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya jumla ya mstari wa aljebra, kwanza tunabainisha upatanifu wake kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli. Ikiwa kiwango cha matrix kuu sio sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunahitimisha kuwa mfumo hauendani.

Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunachagua msingi mdogo na kutupa hesabu za mfumo ambazo hazishiriki katika uundaji wa msingi uliochaguliwa mdogo.

Ikiwa utaratibu wa msingi mdogo ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi SLAE ina suluhisho la pekee, ambalo linaweza kupatikana kwa njia yoyote inayojulikana kwetu.

Ikiwa mpangilio wa msingi mdogo ni chini ya idadi ya vijiti visivyojulikana, basi upande wa kushoto wa hesabu za mfumo tunaacha masharti na vigezo kuu visivyojulikana, kuhamisha maneno yaliyobaki kwa pande za kulia na kutoa maadili ya kiholela. vigezo vya bure visivyojulikana. Kutoka kwa mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari tunapata vigezo kuu visivyojulikana kwa kutumia mbinu ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Njia ya Gauss ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya aljebra ya laini ya fomu ya jumla.

Mbinu ya Gauss inaweza kutumika kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya aina yoyote bila kuijaribu kwanza kwa uthabiti. Mchakato wa uondoaji wa mlolongo wa vigezo visivyojulikana hufanya iwezekanavyo kuteka hitimisho kuhusu utangamano na kutokubaliana kwa SLAE, na ikiwa suluhisho lipo, inafanya iwezekanavyo kuipata.

Kwa mtazamo wa hesabu, njia ya Gaussian inafaa zaidi.

Itazame maelezo ya kina na mifano iliyochanganuliwa katika makala mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya umbo la jumla.

Kuandika suluhisho la jumla kwa mifumo ya algebra yenye usawa na isiyo sawa kwa kutumia vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho.

Katika sehemu hii tutazungumza juu ya mifumo ya wakati mmoja ya usawa na isiyo sawa ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Hebu kwanza tushughulike na mifumo ya homogeneous.

Mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa homogeneous wa p linear aljebra equations na n vigezo visivyojulikana ni mkusanyiko wa (n - r) ufumbuzi wa kujitegemea wa mfumo huu, ambapo r ni utaratibu wa msingi mdogo wa matrix kuu ya mfumo.

Ikiwa tunaashiria masuluhisho huru ya mstari ya SLAE yenye usawa kama X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ni safu wima za mwelekeo n. na 1) , basi suluhisho la jumla la mfumo huu wa homogeneous linawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho na coefficients ya kiholela ya mara kwa mara C 1, C 2, ..., C (n-r), yaani, .

Je, neno suluhu la jumla la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya aljebra ya mstari (oroslau) inamaanisha nini?

Maana ni rahisi: formula inabainisha suluhisho zote zinazowezekana za SLAE ya asili, kwa maneno mengine, kuchukua seti yoyote ya maadili ya viunga vya kiholela C 1, C 2, ..., C (n-r), kwa kutumia formula tutafanya. pata mojawapo ya suluhu za SLAE ya asili ya homogeneous.

Kwa hivyo, ikiwa tutapata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, basi tunaweza kufafanua suluhisho zote za SLAE hii ya homogeneous kama .

Wacha tuonyeshe mchakato wa kuunda mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa SLAE yenye homogeneous.

Tunachagua msingi mdogo wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, tukitenga milinganyo mingine yote kutoka kwa mfumo, na kuhamisha masharti yote yaliyo na vigeu visivyolipishwa visivyojulikana kwa upande wa kulia wa milinganyo ya mfumo iliyo na ishara tofauti. Wacha tupe vigezo vya bure visivyojulikana maadili 1,0,0,...,0 na kuhesabu haijulikani kuu kwa kutatua mfumo wa msingi wa equations za mstari kwa njia yoyote, kwa mfano, kwa kutumia njia ya Cramer. Hii itasababisha X (1) - suluhisho la kwanza la mfumo wa kimsingi. Ikiwa tutatoa zisizojulikana za bure thamani 0,1,0,0,…,0 na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (2) . Na kadhalika. Ikiwa tunapeana maadili 0.0,...,0.1 kwa anuwai zisizojulikana na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (n-r) . Kwa njia hii, mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE yenye homogeneous utajengwa na ufumbuzi wake wa jumla unaweza kuandikwa kwa fomu.

Kwa mifumo isiyo ya moja kwa moja ya milinganyo ya algebraic ya mstari, suluhisho la jumla linawakilishwa katika fomu, ambapo ni suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous, na ni suluhisho maalum la SLAE ya asili isiyo ya kawaida, ambayo tunapata kwa kutoa thamani zisizojulikana. 0,0,…,0 na kuhesabu maadili ya mambo kuu yasiyojulikana.

Hebu tuangalie mifano.

Mfano.

Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho na suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa milinganyo ya algebraic ya mstari. .

Suluhisho.

Kiwango cha matrix kuu ya mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya mstari daima ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza, tunachukua kipengele 1 1 = 9 cha matrix kuu ya mfumo. Wacha tupate mpaka usio na sifuri mdogo wa agizo la pili:

Kidogo cha utaratibu wa pili, tofauti na sifuri, kimepatikana. Wacha tupitie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo ili kutafuta isiyo ya sifuri:

Watoto wote wa mpaka wa tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu na iliyopanuliwa ni sawa na mbili. Hebu tuchukue. Kwa uwazi, hebu tuangalie vipengele vya mfumo vinavyounda:

Equation ya tatu ya SLAE ya asili haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo, inaweza kutengwa:

Tunaacha masharti yaliyo na mambo kuu yasiyojulikana kwenye pande za kulia za hesabu, na kuhamisha masharti na yasiyojulikana ya bure kwa pande za kulia:

Wacha tuunde mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa asili wa usawa wa milinganyo ya mstari. Mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE hii una ufumbuzi mbili, kwa kuwa SLAE ya awali ina vigezo vinne visivyojulikana, na utaratibu wa msingi wake mdogo ni sawa na mbili. Ili kupata X (1), tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 = 1, x 4 = 0, kisha tunapata haijulikani kuu kutoka kwa mfumo wa equations.
.


Tunapendekeza pia