Njia za kutatua mifumo ya equations na vigezo viwili. Mifumo ya equations - habari ya msingi

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani barua pepe nk.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa miili ya serikali katika Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Mfumo milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana - hizi ni hesabu mbili au zaidi za mstari ambazo ni muhimu kuzipata zote ufumbuzi wa jumla. Tutazingatia mifumo ya milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana. Mtazamo wa jumla wa mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana unaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Hapa x na y ni vigezo visivyojulikana, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ni baadhi ya nambari halisi. Suluhisho la mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika vitu viwili visivyojulikana ni jozi ya nambari (x,y) hivi kwamba ikiwa tutabadilisha nambari hizi kwenye milinganyo ya mfumo, basi kila milinganyo ya mfumo inageuka kuwa usawa wa kweli. Kuna njia kadhaa za kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari. Hebu fikiria mojawapo ya njia za kutatua mfumo wa equations za mstari, yaani njia ya kuongeza.

Algorithm ya kusuluhisha kwa njia ya kuongeza

Algorithm ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana kwa kutumia njia ya kuongeza.

1. Ikihitajika, tumia mabadiliko sawa kusawazisha mgawo wa mojawapo ya vigeu visivyojulikana katika milinganyo yote miwili.

2. Kwa kuongeza au kupunguza milinganyo inayotokana, pata usawa wa mstari na usiojulikana

3. Tatua equation inayotokana na moja isiyojulikana na kupata moja ya vigezo.

4. Badilisha usemi unaotokana na milinganyo yoyote kati ya mbili za mfumo na utatue mlingano huu, na hivyo kupata tofauti ya pili.

5. Angalia suluhisho.

Mfano wa suluhisho kwa kutumia njia ya kuongeza

Kwa uwazi zaidi, wacha tusuluhishe mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana kwa kutumia njia ya kuongeza:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Kwa kuwa hakuna vigeuzo vilivyo na mgawo unaofanana, tunasawazisha mgawo wa kigezo y. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya kwanza na tatu, na ya pili kwa mbili.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Tunapata mfumo ufuatao wa milinganyo:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sasa tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili. Tunawasilisha masharti sawa na kutatua mlingano wa mstari unaotokana.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Tunabadilisha thamani inayotokana na kuwa mlingano wa kwanza kutoka kwa mfumo wetu asilia na kutatua mlingano unaotokana.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Matokeo yake ni jozi ya nambari x=6 na y=14. Tunaangalia. Hebu tufanye mbadala.

(3 * x + 2 * y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kama unaweza kuona, tulipata usawa mbili sahihi, kwa hivyo, tulipata suluhisho sahihi.

Hebu kwanza tuzingatie kesi wakati idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo, i.e. m = n. Kisha tumbo la mfumo ni mraba, na kiashiria chake kinaitwa kiamua cha mfumo.

Mbinu ya matrix kinyume

Hebu tuzingatie kwa ujumla mfumo wa milinganyo AX = B na matrix ya mraba isiyoharibika A. Katika kesi hii, kuna matrix ya kinyume A -1. Wacha tuzidishe pande zote mbili kwa A -1 upande wa kushoto. Tunapata AX -1 = A -1 B. Kwa hiyo EX = A -1 B na

Usawa wa mwisho ni fomula ya matrix ya kutafuta suluhisho kwa mifumo kama hii ya milinganyo. Matumizi ya fomula hii inaitwa njia ya matrix inverse

Kwa mfano, hebu tumia njia hii kutatua mfumo ufuatao:

;

Mwisho wa kusuluhisha mfumo, unaweza kuangalia kwa kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye hesabu za mfumo. Kwa kufanya hivyo, lazima wageuke kuwa usawa wa kweli.

Kwa mfano unaozingatiwa, wacha tuangalie:

Mbinu ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari na matrix ya mraba kwa kutumia fomula za Cramer

Acha n= 2:

Ikiwa tunazidisha pande zote mbili za equation ya kwanza na 22, na pande zote mbili za pili na (-a 12), na kisha kuongeza equations zinazosababisha, basi tunaondoa kutofautiana x 2 kutoka kwa mfumo. Vile vile, unaweza kuondokana na kutofautiana x 1 (kwa kuzidisha pande zote mbili za equation ya kwanza na (-a 21), na pande zote mbili za pili na 11). Kama matokeo, tunapata mfumo:

Usemi katika mabano ndio kibainishi cha mfumo

Hebu kuashiria

Kisha mfumo utachukua fomu:

Kutoka kwa mfumo unaofuata inafuata kwamba ikiwa kiashiria cha mfumo ni 0, basi mfumo utakuwa thabiti na wa uhakika. Suluhisho lake pekee linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

Ikiwa = 0, a 1 0 na/au  2 0, basi milinganyo ya mfumo itachukua fomu 0*x 1 = 2 na/au 0*x 1 =2. Katika kesi hii, mfumo hautakuwa sawa.

Katika kesi wakati = 1 = 2 = 0, mfumo utakuwa thabiti na usio na kipimo (utakuwa na idadi isiyo na kipimo ya suluhisho), kwani itachukua fomu:

Nadharia ya Cramer(tutaacha uthibitisho). Ikiwa kibainishi cha matrix ya mfumo wa equations  si sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee, lililoamuliwa na fomula:

ambapo  j ni kibainishi cha matriki iliyopatikana kutoka kwa matriki A kwa kubadilisha safu ya j-th na safu ya istilahi huru.

Fomula hapo juu zinaitwa Fomula za Cramer.

Kama mfano, hebu tutumie njia hii kutatua mfumo ambao ulitatuliwa hapo awali kwa kutumia njia ya matrix kinyume:

Ubaya wa njia zinazozingatiwa:

1) nguvu kubwa ya kazi (kuhesabu viambatisho na kutafuta matrix inverse);

2) upeo mdogo (kwa mifumo yenye matrix ya mraba).

Hali halisi ya kiuchumi mara nyingi hutengenezwa na mifumo ambayo idadi ya equations na vigezo ni muhimu sana, na kuna equations zaidi kuliko vigezo Kwa hiyo, katika mazoezi, njia ifuatayo ni ya kawaida zaidi.

Njia ya Gaussian (njia ya uondoaji wa mlolongo wa vigezo)

Njia hii inatumika kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na vigeu vya n ndani mtazamo wa jumla. Kiini chake kiko katika kutumia mfumo wa mabadiliko sawa kwa tumbo iliyopanuliwa, kwa msaada ambao mfumo wa equations hubadilishwa kuwa fomu wakati ufumbuzi wake unakuwa rahisi kupata (ikiwa ipo).

Huu ni mwonekano ambao sehemu ya juu kushoto ya matrix ya mfumo itakuwa matrix iliyopigiwa. Hii inafanikiwa kwa kutumia mbinu zile zile ambazo zilitumika kupata matrix ya hatua ili kuamua kiwango. Katika kesi hii, mabadiliko ya msingi yanatumika kwa matrix iliyopanuliwa, ambayo itawawezesha mtu kupata mfumo sawa wa equations. Baada ya hayo, matrix iliyopanuliwa itachukua fomu:

Kupata matrix kama hiyo inaitwa moja kwa moja mbele Njia ya Gauss.

Kupata maadili ya vigezo kutoka kwa mfumo unaolingana wa equations inaitwa kinyume chake Njia ya Gauss. Hebu tuzingatie.

Kumbuka kwamba milinganyo ya mwisho (m – r) itachukua fomu:

Ikiwa angalau moja ya nambari
si sawa na sifuri, basi usawa unaofanana utakuwa wa uongo, na mfumo mzima hautakuwa sawa.

Kwa hiyo, kwa mfumo wowote wa pamoja
. Katika kesi hii, equations za mwisho (m - r) za maadili yoyote ya vigezo zitakuwa vitambulisho 0 = 0, na zinaweza kupuuzwa wakati wa kutatua mfumo (tupwa tu safu zinazolingana).

Baada ya hayo, mfumo utaonekana kama hii:

Hebu kwanza tuzingatie kesi wakati r=n. Kisha mfumo utachukua fomu:

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo, x r inaweza kupatikana kipekee.

Kwa kujua x r, tunaweza kueleza bila utata x r -1 kutoka kwayo. Kisha kutoka kwa equation ya awali, kujua x r na x r -1, tunaweza kueleza x r -2, nk. hadi x 1 .

Kwa hiyo, katika kesi hii mfumo utakuwa pamoja na kuelezwa.

Sasa fikiria kesi wakati r msingi(kuu), na wengine wote - yasiyo ya msingi(isiyo ya msingi, bure). Equation ya mwisho ya mfumo itakuwa:

Kutoka kwa equation hii tunaweza kuelezea kutofautisha kwa msingi x r kulingana na zisizo za msingi:

Equation ya mwisho itaonekana kama hii:

Kwa kubadilisha usemi unaotokana badala ya x r, itawezekana kueleza kigezo cha msingi x r -1 kulingana na zisizo za msingi. Nk. kwa variablex 1 . Ili kupata suluhisho kwa mfumo, unaweza kusawazisha vigeu visivyo vya msingi na maadili ya kiholela na kisha kuhesabu vigezo vya msingi kwa kutumia fomula zinazosababisha. Kwa hivyo, katika kesi hii mfumo utakuwa thabiti na usio na kipimo (kuwa na idadi isiyo na kipimo ya suluhisho).

Kwa mfano, hebu tutatue mfumo wa equations:

Tutaita seti ya vigezo vya msingi msingi mifumo. Pia tutaita seti ya safu wima za mgawo kwao msingi(nguzo za msingi), au msingi mdogo matrices ya mfumo. Suluhisho la mfumo ambao vigezo vyote visivyo vya msingi ni sawa na sifuri vitaitwa suluhisho la msingi.

Katika mfano uliopita, suluhisho la msingi litakuwa (4/5; -17/5; 0; 0) (vigeu x 3 na x 4 (c 1 na c 2) vimewekwa kwa sifuri, na vigezo vya msingi x 1. na x 2 huhesabiwa kupitia kwao) . Ili kutoa mfano wa suluhisho lisilo la msingi, tunahitaji kulinganisha x 3 na x 4 (c 1 na c 2) na nambari za kiholela ambazo si sifuri wakati huo huo, na kuhesabu vigezo vilivyobaki kupitia kwao. Kwa mfano, na c 1 = 1 na c 2 = 0, tunapata suluhisho lisilo la msingi - (4/5; -12/5; 1; 0). Kwa kubadilisha ni rahisi kuthibitisha kuwa masuluhisho yote mawili ni sahihi.

Ni dhahiri kwamba katika mfumo usio na kipimo kunaweza kuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi usio wa msingi. Kuna masuluhisho mangapi ya kimsingi? Kila safu mlalo ya matrix iliyobadilishwa lazima ilingane na kigezo kimoja cha msingi. Kuna vigezo n katika tatizo, na mistari r msingi. Kwa hivyo, idadi ya seti zote zinazowezekana za anuwai za kimsingi haziwezi kuzidi idadi ya mchanganyiko wa n na 2. Inaweza kuwa chini ya , kwa sababu si mara zote inawezekana kubadilisha mfumo kwa namna ambayo seti hii ya vigezo ni msingi.

Hii ni aina gani? Hii ndio aina wakati matrix inayoundwa kutoka kwa safu wima za vigeuzi hivi itapitishwa, na wakati huo huo itakuwa na safu mlalo. Wale. kiwango cha matrix ya mgawo kwa vigeu hivi lazima iwe sawa na r. Haiwezi kuwa kubwa zaidi, kwa kuwa idadi ya safu ni sawa. Ikiwa inageuka kuwa chini ya r, basi hii inaonyesha utegemezi wa mstari wa safu kwenye vigezo. Safu kama hizo haziwezi kuunda msingi.

Hebu fikiria ni ufumbuzi gani mwingine wa msingi unaweza kupatikana katika mfano uliojadiliwa hapo juu. Ili kufanya hivyo, fikiria mchanganyiko wote unaowezekana wa vigezo vinne, mbili za msingi kila moja. Kutakuwa na mchanganyiko kama huo
, na mmoja wao (x 1 na x 2) tayari amezingatiwa.

Hebu tuchukue vigezo x 1 na x 3. Wacha tupate kiwango cha matrix ya coefficients kwao:

Kwa kuwa ni sawa na mbili, zinaweza kuwa msingi. Hebu tulinganishe vigezo visivyo vya msingi x 2 na x 4 hadi sifuri: x 2 = x 4 = 0. Kisha kutoka kwa formula x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 inafuata kwamba x 1 = 4 /5, na kutoka kwa formula x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 inafuata kwamba x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Kwa hivyo, tunapata suluhisho la msingi (4/5; 0; 17/5; 0).

Vile vile, unaweza kupata masuluhisho ya msingi kwa vigezo vya msingi x 1 na x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 na x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 na x 4 - (0; 0; 9; 4).

Vigezo x 2 na x 3 katika mfano huu haziwezi kuchukuliwa kama za msingi, kwani kiwango cha matrix inayolingana ni sawa na moja, i.e. chini ya mbili:

Njia nyingine ya kuamua ikiwa inawezekana kuunda msingi kutoka kwa anuwai fulani pia inawezekana. Wakati wa kutatua mfano, kama matokeo ya kubadilisha matrix ya mfumo kuwa fomu ya hatua, ilichukua fomu:

Kwa kuchagua jozi za vigezo, iliwezekana kuhesabu watoto wanaofanana wa matrix hii. Ni rahisi kuthibitisha kwamba kwa jozi zote isipokuwa x 2 na x 3 si sawa na sifuri, i.e. nguzo zinajitegemea kimstari. Na kwa safu wima zilizo na anuwai x 2 na x 3 pekee
, ambayo inaonyesha utegemezi wao wa mstari.

Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tusuluhishe mfumo wa milinganyo

Kwa hivyo, equation inayolingana na safu ya tatu ya matrix ya mwisho ni ya kupingana - ilisababisha usawa usio sahihi 0 = -1, kwa hivyo, mfumo huu hauendani.

Njia ya Jordan-Gauss 3 ni maendeleo ya njia ya Gaussian. Kiini chake ni kwamba matrix iliyopanuliwa ya mfumo inabadilishwa kuwa fomu ambapo coefficients ya vigezo huunda matriki ya utambulisho hadi kuruhusu safu au safu wima 4 (ambapo r ni cheo cha matrix ya mfumo).

Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia njia hii:

Wacha tuangalie matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Katika tumbo hili tunachagua kipengele cha kitengo. Kwa mfano, mgawo wa x 2 katika kizuizi cha tatu ni 5. Hebu tuhakikishe kwamba safu zilizobaki katika safu hii zina zero, i.e. Wacha tufanye safu kuwa moja. Wakati wa mchakato wa mabadiliko tutaita hii safuruhusu(kuongoza, ufunguo). Kizuizi cha tatu (tatu mstari) pia tutapiga simu ruhusu. Mwenyewe kipengele, ambayo inasimama kwenye makutano ya safu na safu ya kusuluhisha (hapa ni moja), pia inaitwa. ruhusu.

Mstari wa kwanza sasa una mgawo (-1). Ili kupata sifuri mahali pake, zidisha mstari wa tatu na (-1) na uondoe matokeo kutoka kwa mstari wa kwanza (yaani, ongeza tu mstari wa kwanza na wa tatu).

Mstari wa pili una mgawo 2. Ili kupata sifuri mahali pake, zidisha mstari wa tatu na 2 na uondoe matokeo kutoka kwa mstari wa kwanza.

Matokeo ya mabadiliko yataonekana kama hii:

Kutoka kwa matrix hii inaonekana wazi kwamba moja ya vikwazo viwili vya kwanza vinaweza kufutwa (safu zinazofanana ni sawia, yaani, equations hizi zinafuata kutoka kwa kila mmoja). Wacha tuangalie, kwa mfano, ya pili:

Kwa hivyo, mfumo mpya una milinganyo miwili. Safu ya kitengo (pili) hupatikana, na kitengo hapa kinaonekana kwenye safu ya pili. Wacha tukumbuke kuwa equation ya pili ya mfumo mpya italingana na tofauti ya msingi x 2.

Wacha tuchague kigezo cha msingi kwa safu ya kwanza. Hii inaweza kuwa tofauti yoyote isipokuwa x 3 (kwa sababu kwa x 3 kizuizi cha kwanza kina mgawo wa sifuri, yaani, seti ya vigezo x 2 na x 3 haiwezi kuwa ya msingi hapa). Unaweza kuchukua tofauti ya kwanza au ya nne.

Wacha tuchague x 1. Kisha kipengele cha kutatua kitakuwa 5, na pande zote mbili za equation ya kutatua itabidi kugawanywa na tano ili kupata moja kwenye safu ya kwanza ya safu ya kwanza.

Hebu tuhakikishe kwamba safu zilizobaki (yaani, safu ya pili) zina zero kwenye safu ya kwanza. Kwa kuwa sasa mstari wa pili hauna sifuri, lakini 3, tunahitaji kutoa kutoka kwa mstari wa pili vipengele vya mstari wa kwanza uliobadilishwa, unaozidishwa na 3:

Kutoka kwa tumbo linalosababisha mtu anaweza kutoa suluhisho moja la msingi moja kwa moja, akilinganisha vigeu visivyo vya msingi hadi sifuri, na zile za msingi kwa maneno huru katika milinganyo inayolingana: (0.8; -3.4; 0; 0). Unaweza pia kupata fomula za jumla zinazoonyesha vigezo vya msingi kupitia zisizo za msingi: x 1 = 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6x 4. Fomula hizi zinaelezea seti nzima isiyo na kikomo ya suluhisho kwa mfumo (sawa na x 3 na x 4 kwa nambari za kiholela, unaweza kuhesabu x 1 na x 2).

Kumbuka kuwa kiini cha mabadiliko katika kila hatua ya njia ya Jordan-Gauss kilikuwa kama ifuatavyo:

1) mstari wa azimio uligawanywa na kipengele cha azimio kupata kitengo mahali pake,

2) kutoka kwa safu zingine zote, kipengele cha kusuluhisha kilichobadilishwa kilitolewa, kikizidishwa na kipengele kilichokuwa kwenye mstari uliopewa kwenye safu ya kutatua, ili kupata sifuri mahali pa kipengele hiki.

Wacha tuzingatie tena matrix iliyopanuliwa iliyobadilishwa ya mfumo:

Kutoka kwa rekodi hii ni wazi kwamba kiwango cha matrix ya mfumo A ni sawa na r.

Katika mwendo wa hoja zetu, tuligundua kuwa mfumo huo utakuwa na ushirikiano ikiwa tu
. Hii inamaanisha kuwa matrix iliyopanuliwa ya mfumo itaonekana kama:

Kwa kutupa safu sifuri, tunapata kwamba kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo pia ni sawa na r.

Nadharia ya Kronecker-Capelli. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu.

Kumbuka kwamba kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu ya safu zake zinazojitegemea. Inafuata kutoka kwa hii kwamba ikiwa kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni chini ya idadi ya equations, basi hesabu za mfumo zinategemea mstari, na moja au zaidi yao inaweza kutengwa na mfumo (kwani ni mstari. mchanganyiko wa wengine). Mfumo wa milinganyo utakuwa huru tu ikiwa kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni sawa na idadi ya milinganyo.

Kwa kuongezea, kwa mifumo ya wakati huo huo ya hesabu za mstari, inaweza kusemwa kwamba ikiwa kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya vijiti, basi mfumo una suluhisho la kipekee, na ikiwa ni chini ya idadi ya vijiti, basi. mfumo hauna kikomo na una suluhisho nyingi sana.

1Kwa mfano, acha kuwe na safu tano kwenye tumbo (mpangilio wa safu mlalo asili ni 12345). Tunahitaji kubadilisha mstari wa pili na wa tano. Ili mstari wa pili uchukue nafasi ya tano na "kusonga" chini, tunabadilisha mistari ya karibu mara tatu: ya pili na ya tatu (13245), ya pili na ya nne (13425) na ya pili na ya tano (13452) ) Halafu, ili safu ya tano ichukue nafasi ya pili kwenye matrix ya asili, inahitajika "kubadilisha" safu ya tano juu na mabadiliko mawili tu mfululizo: safu ya tano na ya nne (13542) na ya tano na ya tatu. (15342).

2Idadi ya mchanganyiko kutoka n hadi r wanaita idadi ya vijisehemu vyote tofauti vya r-kipengele cha seti ya kipengele cha n (zile ambazo zina utunzi tofauti wa vipengele huzingatiwa seti tofauti; mpangilio wa uteuzi sio muhimu). Inahesabiwa kwa kutumia formula:
.
0!=1.)

Wacha tukumbuke maana ya ishara "!" (kipengele):

3 Kwa kuwa njia hii ni ya kawaida zaidi kuliko njia ya Gaussia iliyojadiliwa hapo awali, na kimsingi ni mchanganyiko wa hatua za mbele na za nyuma za njia ya Gaussia, pia wakati mwingine huitwa njia ya Gaussian, ikiacha sehemu ya kwanza ya jina.
.

4 Kwa mfano,

5Iwapo hapakuwa na vitengo katika matrix ya mfumo, basi ingewezekana, kwa mfano, kugawanya pande zote mbili za equation ya kwanza na mbili, na kisha mgawo wa kwanza ungekuwa umoja; au kadhalika Na video hii ninaanza mfululizo wa masomo yaliyotolewa kwa mifumo ya milinganyo. Leo tutazungumza juu ya kutatua mifumo ya equations za mstari- Hii ni mojawapo ya njia rahisi, lakini wakati huo huo moja ya ufanisi zaidi.

Njia ya kuongeza ina hatua tatu rahisi:

Angalia mfumo na uchague kigezo ambacho kina mgawo sawa (au kinyume) katika kila mlinganyo;
Fanya uondoaji wa algebraic (kwa nambari tofauti - kuongeza) ya equations kutoka kwa kila mmoja, na kisha kuleta maneno sawa;
Tatua mlingano mpya uliopatikana baada ya hatua ya pili.

Ikiwa kila kitu kimefanywa kwa usahihi, basi kwenye pato tutapata equation moja yenye kigezo kimoja- haitakuwa ngumu kuitatua. Halafu kilichobaki ni kubadilisha mzizi uliopatikana kwenye mfumo asilia na kupata jibu la mwisho.

Walakini, katika mazoezi kila kitu sio rahisi sana. Kuna sababu kadhaa za hii:

Kusuluhisha milinganyo kwa kutumia mbinu ya kuongeza kunamaanisha kuwa mistari yote lazima iwe na viambajengo vilivyo na mgawo sawa/kinyume. Nini cha kufanya ikiwa hitaji hili halijafikiwa?
Si mara zote, baada ya kuongeza / kupunguza equations kwa njia iliyoonyeshwa, tunapata ujenzi mzuri ambao unaweza kutatuliwa kwa urahisi. Je, inawezekana kwa namna fulani kurahisisha mahesabu na kuharakisha mahesabu?

Ili kupata jibu la maswali haya, na wakati huo huo kuelewa hila chache za ziada ambazo wanafunzi wengi hufeli, tazama somo langu la video:

Kwa somo hili tunaanza mfululizo wa mihadhara inayotolewa kwa mifumo ya milinganyo. Na tutaanza kutoka kwa rahisi zaidi yao, ambayo ni pamoja na equations mbili na vigezo viwili. Kila moja yao itakuwa ya mstari.

Mifumo ni nyenzo ya darasa la 7, lakini somo hili pia litakuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili ambao wanataka kufafanua ujuzi wao wa mada hii.

Kwa ujumla, kuna njia mbili za kutatua mifumo kama hii:

Njia ya kuongeza;
Njia ya kuelezea kigezo kimoja katika suala la kingine.

Leo tutashughulika na njia ya kwanza - tutatumia njia ya kutoa na kuongeza. Lakini kwa kufanya hivyo, unahitaji kuelewa ukweli ufuatao: mara moja una equations mbili au zaidi, unaweza kuchukua yoyote kati yao na kuongeza kwa kila mmoja. Wanaongezwa mwanachama na mwanachama, i.e. "X" huongezwa kwa "X" na zinazofanana hupewa, "Y" na "Y" zinafanana tena, na kile kilicho upande wa kulia wa ishara sawa pia huongezwa kwa kila mmoja, na zinazofanana pia hutolewa hapo. .

Matokeo ya mifumo hiyo itakuwa equation mpya, ambayo, ikiwa ina mizizi, hakika itakuwa kati ya mizizi ya equation ya awali. Kwa hivyo, kazi yetu ni kutoa au kuongeza kwa njia ambayo ama $x$ au $y$ itatoweka.

Jinsi ya kufikia hili na ni chombo gani cha kutumia kwa hili - tutazungumzia kuhusu hili sasa.

Kutatua matatizo rahisi kwa kutumia njia ya kuongeza

Kwa hiyo, tunajifunza kutumia njia ya kuongeza kwa kutumia mfano wa maneno mawili rahisi.

Kazi nambari 1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Kumbuka kuwa $y$ ina mgawo wa $-4$ katika mlinganyo wa kwanza, na $+4$ katika pili. Ziko kinyume, kwa hivyo ni busara kudhani kwamba ikiwa tutaziongeza, basi kwa jumla inayosababisha "michezo" itaharibiwa pande zote. Ongeza na upate:

Wacha tutatue muundo rahisi zaidi:

Kubwa, tumepata "x". Tufanye nini nayo sasa? Tuna haki ya kuibadilisha katika milinganyo yoyote. Wacha tubadilishe ya kwanza:

\[-4y=12\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]

Jibu: $\left(2;-3 \kulia)$.

Tatizo namba 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Hali hapa ni sawa kabisa, tu na "X". Wacha tuwaongeze:

Tunayo equation rahisi zaidi ya mstari, wacha tuitatue:

Sasa tupate $x$:

Jibu: $\left(-3;3 \kulia)$.

Pointi muhimu

Kwa hivyo, tumesuluhisha mifumo miwili rahisi ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza. Mambo muhimu tena:

Ikiwa kuna coefficients kinyume kwa moja ya vigezo, basi ni muhimu kuongeza vigezo vyote katika equation. Katika kesi hii, mmoja wao ataharibiwa.
Tunabadilisha kigezo kilichopatikana katika milinganyo yoyote ya mfumo ili kupata ya pili.
Rekodi ya mwisho ya majibu inaweza kuwasilishwa kwa njia tofauti. Kwa mfano, kama hii - $x=...,y=...$, au kwa namna ya kuratibu za pointi - $\left(...;... \right)$. Chaguo la pili ni bora zaidi. Jambo kuu la kukumbuka ni kwamba kuratibu kwanza ni $x$, na pili ni $y$.
Sheria ya kuandika jibu kwa namna ya kuratibu za uhakika haitumiki kila wakati. Kwa mfano, haiwezi kutumika wakati vigezo si $x$ na $y$, lakini, kwa mfano, $a$ na $b$.

Katika matatizo yafuatayo tutazingatia mbinu ya kutoa wakati coefficients si kinyume.

Kutatua matatizo rahisi kwa kutumia njia ya kutoa

Kazi nambari 1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Kumbuka kuwa hakuna coefficients tofauti hapa, lakini kuna zinazofanana. Kwa hivyo, tunaondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza:

Sasa tunabadilisha thamani $x$ kwenye milinganyo yoyote ya mfumo. Twende kwanza:

Jibu: $\left(2;5\right)$.

Tatizo namba 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunaona tena mgawo sawa wa $5$ kwa $x$ katika mlinganyo wa kwanza na wa pili. Kwa hivyo, ni busara kudhani kwamba unahitaji kutoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza:

Tumehesabu kigezo kimoja. Sasa hebu tutafute ya pili, kwa mfano, kwa kubadilisha thamani $y$ kwenye ujenzi wa pili:

Jibu: $\left(-3;-2 \kulia)$.

Nuances ya suluhisho

Kwa hiyo tunaona nini? Kimsingi, mpango huo sio tofauti na suluhisho la mifumo ya zamani. Tofauti pekee ni kwamba hatuongezi milinganyo, lakini tunaiondoa. Tunatoa algebraic.

Kwa maneno mengine, mara tu unapoona mfumo unaojumuisha equations mbili katika haijulikani mbili, jambo la kwanza unahitaji kuangalia ni coefficients. Ikiwa ni sawa mahali popote, equations hupunguzwa, na ikiwa ni kinyume, njia ya kuongeza hutumiwa. Hii inafanywa kila wakati ili mmoja wao kutoweka, na katika equation ya mwisho, ambayo inabaki baada ya kutoa, tofauti moja tu inabaki.

Bila shaka, hiyo sio yote. Sasa tutazingatia mifumo ambayo milinganyo kwa ujumla haiendani. Wale. Hakuna vigezo ndani yao ambavyo ni sawa au kinyume. Katika kesi hii, ili kutatua mifumo hiyo, mbinu ya ziada hutumiwa, yaani, kuzidisha kila equations kwa mgawo maalum. Jinsi ya kuipata na jinsi ya kutatua mifumo hiyo kwa ujumla, tutazungumzia kuhusu hili sasa.

Kutatua matatizo kwa kuzidisha kwa mgawo

Mfano #1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunaona kwamba si kwa $x$ wala kwa $y$ miraba si kinyume tu, lakini pia haihusiani kwa njia yoyote na mlinganyo mwingine. Coefficients hizi hazitapotea kwa njia yoyote, hata ikiwa tutaongeza au kupunguza milinganyo kutoka kwa kila mmoja. Kwa hiyo, ni muhimu kuomba kuzidisha. Hebu tujaribu kuondoa tofauti ya $y$. Ili kufanya hivyo, tunazidisha mlinganyo wa kwanza kwa mgawo wa $y$ kutoka kwa mlinganyo wa pili, na mlinganyo wa pili kwa mgawo wa $y$ kutoka kwa mlinganyo wa kwanza, bila kugusa ishara. Tunazidisha na kupata mfumo mpya:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Wacha tuitazame: kwa $y$ hesabu ziko kinyume. Katika hali hiyo, ni muhimu kutumia njia ya kuongeza. Hebu tuongeze:

Sasa tunahitaji kupata $y$. Ili kufanya hivyo, badilisha $x$ kwenye usemi wa kwanza:

\[-9y=18\kushoto| :\kushoto(-9 \kulia) \kulia.\]

Jibu: $\left(4;-2 \kulia)$.

Mfano Nambari 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Tena, coefficients kwa hakuna vigezo ni thabiti. Hebu tuzidishe kwa coefficients ya $y$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 11x+4y=-18\kushoto| 6 \kulia. \\& 13x-6y=-32\kushoto| 4 \kulia. \\\mwisho(panga) \kulia .\]

\[\kushoto\( \anza(panga)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Mfumo wetu mpya ni sawa na ule wa awali, lakini viambajengo vya $y$ viko kinyume, na kwa hivyo ni rahisi kutumia mbinu ya kuongeza hapa:

Sasa hebu tutafute $y$ kwa kubadilisha $x$ kwenye mlingano wa kwanza:

Jibu: $\left(-2;1 \kulia)$.

Nuances ya suluhisho

Sheria muhimu hapa ni ifuatayo: sisi daima tunazidisha tu kwa nambari nzuri - hii itakuokoa kutokana na makosa ya kijinga na ya kukera yanayohusiana na kubadilisha ishara. Kwa ujumla, mpango wa suluhisho ni rahisi sana:

Tunaangalia mfumo na kuchambua kila equation.
Ikiwa tutaona kuwa si $y$ wala $x$ vigawo vinalingana, i.e. hawana sawa wala kinyume, basi tunafanya zifuatazo: tunachagua kutofautiana ambayo tunahitaji kuondokana nayo, na kisha tunaangalia coefficients ya equations hizi. Ikiwa tutazidisha equation ya kwanza na mgawo kutoka kwa pili, na ya pili, sawasawa, kuzidisha kwa mgawo kutoka kwa kwanza, basi mwisho tutapata mfumo ambao ni sawa kabisa na uliopita, na coefficients ya $. y$ itakuwa thabiti. Matendo au mabadiliko yetu yote yanalenga tu kupata kigeu kimoja katika mlinganyo mmoja.
Tunapata variable moja.
Tunabadilisha tofauti iliyopatikana katika mojawapo ya milinganyo miwili ya mfumo na kupata ya pili.
Tunaandika jibu kwa namna ya kuratibu za pointi ikiwa tuna vigezo $x$ na $y$.

Lakini hata algorithm rahisi kama hiyo ina hila zake, kwa mfano, coefficients ya $ x $ au $ y $ inaweza kuwa sehemu na nambari zingine "mbaya". Sasa tutazingatia kesi hizi tofauti, kwa sababu ndani yao unaweza kutenda tofauti kuliko kulingana na algorithm ya kawaida.

Kutatua shida na sehemu

Mfano #1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Kwanza, angalia kwamba mlinganyo wa pili una sehemu. Lakini kumbuka kuwa unaweza kugawa $4$ kwa $0.8$. Tutapata $5$. Wacha tuzidishe mlinganyo wa pili kwa $5$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Tunaondoa milinganyo kutoka kwa kila mmoja:

Tulipata $n$, sasa hebu tuhesabu $m$:

Jibu: $n=-4;m=5$

Mfano Nambari 2

\[\kushoto\( \anza(patanisha)& 2.5p+1.5k=-13\kushoto| 4 \kulia. \\& 2p-5k=2\kushoto| 5 \kulia. \\\mwisho(patanisha)\ kulia.\]

Hapa, kama katika mfumo uliopita, kuna coefficients ya sehemu, lakini kwa hakuna vigezo coefficients haziingii ndani ya kila mmoja idadi kamili ya nyakati. Kwa hiyo, tunatumia algorithm ya kawaida. Ondoa $p$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunatumia njia ya kutoa:

Wacha tupate $p$ kwa kubadilisha $k$ kwenye ujenzi wa pili:

Jibu: $p=-4;k=-2$.

Nuances ya suluhisho

Hayo yote ni uboreshaji. Katika mlingano wa kwanza, hatukuzidisha kwa chochote, lakini tulizidisha mlinganyo wa pili kwa $5$. Kwa hivyo, tulipokea mlinganyo thabiti na hata sawa kwa kigezo cha kwanza. Katika mfumo wa pili tulifuata algorithm ya kawaida.

Lakini unapataje nambari za kuzidisha milinganyo? Baada ya yote, ikiwa tunazidisha kwa sehemu, tunapata sehemu mpya. Kwa hivyo, sehemu lazima ziongezwe kwa nambari ambayo inaweza kutoa nambari mpya kamili, na baada ya hapo vigeu lazima viongezwe na mgawo, kwa kufuata algoriti ya kawaida.

Kwa kumalizia, ningependa kuteka mawazo yako kwa umbizo la kurekodi jibu. Kama nilivyosema tayari, kwa kuwa hapa hatuna $x$ na $y$, lakini maadili mengine, tunatumia nukuu isiyo ya kawaida ya fomu:

Kutatua mifumo ngumu ya milinganyo

Kama dokezo la mwisho kwa mafunzo ya video ya leo, hebu tuangalie mifumo kadhaa changamano. Ugumu wao utajumuisha ukweli kwamba watakuwa na vijiti upande wa kushoto na kulia. Kwa hiyo, ili kuyatatua tutalazimika kuomba preprocessing.

Mfumo nambari 1

\[\kushoto\( \anza(linganisha)&3\kushoto(2x-y \kulia)+5=-2\kushoto(x+3y\\kulia)+4 \\& 6\kushoto(y+1 \kulia )-1=5\kushoto(2x-1 \kulia)+8 \\\mwisho(patanisha) \kulia.\]

Kila equation hubeba utata fulani. Kwa hivyo, wacha tuchukue kila usemi kama na muundo wa kawaida wa mstari.

Kwa jumla, tunapata mfumo wa mwisho, ambao ni sawa na ule wa asili:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Hebu tuangalie viambajengo vya $y$: $3$ inalingana na $6$ mara mbili, kwa hivyo hebu tuzidishe mlingano wa kwanza kwa $2$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Migawo ya $y$ sasa ni sawa, kwa hivyo tunaondoa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza: $$

Sasa tupate $y$:

Jibu: $\left(0;-\frac(1)(3) \kulia)$

Mfumo nambari 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4\kushoto(a-3b \kulia)-2a=3\kushoto(b+4 \kulia)-11 \\& -3\kushoto(b-2a \kulia )-12=2\kushoto(a-5 \kulia)+b \\\mwisho(patanisha) \kulia.\]

Wacha tubadilishe usemi wa kwanza:

Wacha tushughulike na ya pili:

\[-3\kushoto(b-2a \kulia)-12=2\kushoto(a-5 \kulia)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kwa jumla, mfumo wetu wa awali utachukua fomu ifuatayo:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tukiangalia coefficients ya $a$, tunaona kwamba mlinganyo wa kwanza unahitaji kuzidishwa kwa $2$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Ondoa ya pili kutoka kwa ujenzi wa kwanza:

Sasa hebu tupate $a$:

Jibu: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \kulia)$.

Ni hayo tu. Natumai somo hili la video litakusaidia kuelewa mada hii ngumu, ambayo ni kutatua mifumo ya milinganyo rahisi ya mstari. Kutakuwa na masomo mengi zaidi juu ya mada hii katika siku zijazo: tutaangalia mifano ngumu zaidi, ambapo kutakuwa na vigezo zaidi, na equations wenyewe zitakuwa zisizo za mstari. Tuonane tena!

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Mifumo ya equations. Njia ya uingizwaji, njia ya kuongeza, mbinu ya kuanzisha kutofautiana mpya"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 9
Simulator ya vitabu vya kiada na Atanasyan L.S. Simulator ya vitabu vya kiada Pogorelova A.V.

Njia za kutatua mifumo ya usawa

Jamani, tumesoma mifumo ya milinganyo na kujifunza jinsi ya kuisuluhisha kwa kutumia grafu. Sasa hebu tuone ni njia gani zingine za kutatua mifumo zipo?
Karibu njia zote za kuzitatua hazina tofauti na zile tulizosoma katika darasa la 7. Sasa tunahitaji kufanya marekebisho kadhaa kulingana na milinganyo ambayo tumejifunza kutatua.
Kiini cha njia zote zilizoelezwa katika somo hili ni kuchukua nafasi ya mfumo na mfumo sawa na fomu rahisi na ufumbuzi. Guys, kumbuka ni mfumo gani unaofanana.

Mbinu ya uingizwaji

Njia ya kwanza ya kutatua mifumo ya equations na vigezo viwili inajulikana kwetu - hii ni njia ya uingizwaji. Tulitumia njia hii kutatua milinganyo ya mstari. Sasa hebu tuone jinsi ya kutatua equations katika kesi ya jumla?

Unapaswa kuendeleaje unapofanya uamuzi?
1. Eleza moja ya vigezo katika suala la mwingine. Vigezo vinavyotumika mara nyingi katika milinganyo ni x na y. Katika moja ya milinganyo tunaelezea kigezo kimoja katika suala la kingine. Kidokezo: Angalia milinganyo yote miwili kwa makini kabla ya kuanza kusuluhisha, na uchague ile ambapo ni rahisi kueleza kigezo.
2. Badilisha usemi unaotokana na mlinganyo wa pili, badala ya kigezo kilichoonyeshwa.
3. Tatua mlinganyo ambao tulipata.
4. Badilisha suluhisho linalosababisha katika equation ya pili. Ikiwa kuna suluhisho kadhaa, basi unahitaji kubadilisha mlolongo ili usipoteze suluhisho kadhaa.
5. Kwa sababu hiyo, utapokea jozi ya nambari $(x;y)$, ambazo lazima ziandikwe kama jibu.

Mfano.
Tatua mfumo wenye viambajengo viwili kwa kutumia mbinu mbadala: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Suluhisho.
Wacha tuangalie kwa karibu milinganyo yetu. Ni wazi, kuelezea y katika suala la x katika equation ya kwanza ni rahisi zaidi.
$\anza(kesi)y=5-x, \\xy=6\end(kesi)$.
Wacha tubadilishe usemi wa kwanza kwenye mlinganyo wa pili $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(kesi)$.
Wacha tusuluhishe equation ya pili kando:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Tulipata masuluhisho mawili ya mlingano wa pili $x_1=2$ na $x_2=3$.
Badilisha kwa kufuatana katika mlinganyo wa pili.
Ikiwa $x=2$, basi $y=3$. Ikiwa $x=3$, basi $y=2$.
Jibu litakuwa jozi mbili za nambari.
Jibu: $(2;3)$ na $(3;2)$.

Mbinu ya kuongeza algebra

Pia tulisoma njia hii katika daraja la 7.
Inajulikana kuwa tunaweza kuzidisha mlinganyo wa kimantiki katika vigeu viwili kwa nambari yoyote, bila kusahau kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo. Tulizidisha moja ya equations kwa nambari fulani ili wakati wa kuongeza equation inayotokana na equation ya pili ya mfumo, moja ya vigezo viliharibiwa. Kisha equation ilitatuliwa kwa kutofautiana iliyobaki.
Njia hii bado inafanya kazi, ingawa si mara zote inawezekana kuharibu moja ya vigezo. Lakini hukuruhusu kurahisisha kwa kiasi kikubwa fomu ya moja ya equations.

Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuzidishe mlinganyo wa kwanza kwa 2.
$\anza(kesi)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.
Wacha tutoe ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kama unaweza kuona, fomu ya equation inayosababishwa ni rahisi zaidi kuliko ile ya asili. Sasa tunaweza kutumia njia mbadala.
$\anza(kesi)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
Wacha tueleze x kulingana na y katika mlinganyo unaotokana.
$\anza(kesi)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kesi)$.
Tulipata $y=-1$ na $y=-3$.
Wacha tubadilishe maadili haya kwa mpangilio kwenye equation ya kwanza. Tunapata jozi mbili za nambari: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.
Jibu: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.

Mbinu ya kutambulisha kigezo kipya

Pia tulijifunza njia hii, lakini hebu tuangalie tena.

Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuanzishe uingizwaji $t=\frac(x)(y)$.
Wacha tuandike tena mlingano wa kwanza kwa kigezo kipya: $t+\frac(2)(t)=3$.
Wacha tusuluhishe equation inayosababishwa:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Tulipata $t=2$ au $t=1$. Wacha tuanzishe mabadiliko ya nyuma $t=\frac(x)(y)$.
Tulipata: $x=2y$ na $x=y$.

Kwa kila moja ya maneno, mfumo asili lazima utatuliwe tofauti:
$\anza(kesi)x=2y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\8y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y, \\2y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\7y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$.

Mfano.
$\anza(kesi)x=y, \\y=±1\mwisho(kesi)$.

Suluhisho.
$\anza(kesi)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$.
$\anza(kesi)x=±1, \\y=±1\mwisho(kesi)$.
Tulipokea jozi nne za suluhisho.
Jibu: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kesi)$.
Wacha tuanzishe uingizwaji: $z=\frac(2)(x-3y)$ na $t=\frac(3)(2x+y)$.
Wacha tuandike tena hesabu za asili na anuwai mpya:
$\anza(kesi)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kesi)$.
Wacha tutumie njia ya kuongeza algebra:
$\anza(kesi)3z+3t=6, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)7z=7, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\-3t=1-4\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\t=1\end(kesi)$.
Wacha tuanzishe ubadilishaji wa kinyume:
$\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x-3y=2, \\2x+y=3\mwisho(kesi)$.
Wacha tutumie njia mbadala:

$\anza(kesi)x=2+3y, \\4+6y+y=3\mwisho(kesi)$.

$\anza(kesi)x=2+3y, \\7y=-1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(kesi)$.
$\anza(kesi)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(kesi)$.
Jibu: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Shida kwenye mifumo ya milinganyo kwa suluhisho huru
Tatua mifumo: