సెంట్రల్ మరియు లిఖిత కోణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి. సర్కిల్. ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

మొదట, సర్కిల్ మరియు సర్కిల్ మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకుందాం. ఈ వ్యత్యాసాన్ని చూడడానికి, రెండు సంఖ్యలు ఏమిటో పరిగణనలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది. ఇవి ఒకే కేంద్ర బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న విమానంలో అనంతమైన పాయింట్లు. కానీ, సర్కిల్ కూడా అంతర్గత స్థలాన్ని కలిగి ఉంటే, అది సర్కిల్‌కు చెందినది కాదు. సర్కిల్ అనేది దానిని పరిమితం చేసే వృత్తం (సర్కిల్(r)) మరియు వృత్తం లోపల ఉన్న అసంఖ్యాక పాయింట్లు రెండూ అని తేలింది.

సర్కిల్‌పై ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ L కోసం, OL=R సమానత్వం వర్తిస్తుంది. (సెగ్మెంట్ OL యొక్క పొడవు సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది).

సర్కిల్‌పై రెండు పాయింట్లను కలిపే సెగ్మెంట్ దానిది తీగ.

వృత్తం మధ్యలో నేరుగా వెళ్లే తీగ వ్యాసంఈ సర్కిల్ (D). ఫార్ములా ఉపయోగించి వ్యాసాన్ని లెక్కించవచ్చు: D=2R

చుట్టుకొలతసూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: C=2\pi R

ఒక వృత్తం యొక్క ప్రాంతం: S=\pi R^(2)

వృత్తం యొక్క ఆర్క్దాని యొక్క రెండు బిందువుల మధ్య ఉన్న భాగాన్ని అంటారు. ఈ రెండు పాయింట్లు సర్కిల్ యొక్క రెండు ఆర్క్‌లను నిర్వచించాయి. తీగ CD రెండు ఆర్క్‌లను ఉపసంహరించుకుంటుంది: CMD మరియు CLD. ఒకే విధమైన తీగలు సమాన ఆర్క్‌లను కలిగి ఉంటాయి.

కేంద్ర కోణంరెండు రేడియాల మధ్య ఉండే కోణాన్ని అంటారు.

ఆర్క్ పొడవుసూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

1. డిగ్రీ కొలతను ఉపయోగించడం: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. రేడియన్ కొలతను ఉపయోగించడం: CD = \alpha R

తీగకు లంబంగా ఉండే వ్యాసం, తీగను మరియు దాని ద్వారా కుదించబడిన ఆర్క్‌లను సగానికి విభజిస్తుంది.

వృత్తం యొక్క AB మరియు CD తీగలు N పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంటే, పాయింట్ N ద్వారా వేరు చేయబడిన తీగల యొక్క విభాగాల ఉత్పత్తులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

వృత్తానికి టాంజెంట్

వృత్తానికి టాంజెంట్ఒక సరళ రేఖను కలిగి ఉన్న దానిని పిలవడం ఆచారం సాధారణ పాయింట్ఒక వృత్తంతో.

ఒక పంక్తికి రెండు సాధారణ పాయింట్లు ఉంటే, దానిని అంటారు సెకెంట్.

మీరు టాంజెంట్ పాయింట్‌కి వ్యాసార్థాన్ని గీస్తే, అది వృత్తానికి టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.

ఈ పాయింట్ నుండి మన సర్కిల్‌కి రెండు టాంజెంట్‌లను గీద్దాం. ఇది టాంజెంట్ విభాగాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయని మరియు వృత్తం యొక్క కేంద్రం ఈ సమయంలో శీర్షంతో కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉంటుంది.

AC = CB

ఇప్పుడు మన పాయింట్ నుండి సర్కిల్‌కు టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్‌ని గీయండి. టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు యొక్క స్క్వేర్ మొత్తం సెకాంట్ సెగ్మెంట్ మరియు దాని బయటి భాగం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుందని మేము పొందుతాము.

AC^(2) = CD \cdot BC

మేము ముగించగలము: మొదటి సెకన్ట్ మరియు దాని బాహ్య భాగం యొక్క మొత్తం సెగ్మెంట్ యొక్క ఉత్పత్తి రెండవ సెకంట్ మరియు దాని బాహ్య భాగం యొక్క మొత్తం సెగ్మెంట్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

వృత్తంలో కోణాలు

కేంద్ర కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలతలు మరియు అది ఆధారపడిన ఆర్క్ సమానంగా ఉంటాయి.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

లిఖిత కోణంవృత్తంలో శీర్షం ఉన్న కోణం మరియు దాని వైపులా తీగలు ఉంటాయి.

ఆర్క్ యొక్క పరిమాణాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా మీరు దానిని లెక్కించవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది ఈ ఆర్క్‌లో సగానికి సమానం.

\angle AOB = 2 \angle ADB

వ్యాసం, లిఖించబడిన కోణం, లంబ కోణం ఆధారంగా.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

ఒకే ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకునే లిఖిత కోణాలు ఒకేలా ఉంటాయి.

ఒక తీగపై ఉన్న లిఖిత కోణాలు ఒకేలా ఉంటాయి లేదా వాటి మొత్తం 180^ (\circ)కి సమానం.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

ఒకే వృత్తంలో ఒకే కోణాలు మరియు ఇచ్చిన ఆధారంతో త్రిభుజాల శీర్షాలు ఉంటాయి.

వృత్తం లోపల శీర్షంతో కూడిన కోణం మరియు రెండు తీగల మధ్య ఉన్న కోణం, ఇచ్చిన మరియు నిలువు కోణాలలో ఉండే వృత్తం యొక్క ఆర్క్‌ల కోణీయ విలువలలో సగం మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \ఎడమ (\cup DmC + \cup AlB \right)

వృత్తం వెలుపల ఉన్న శీర్షంతో కూడిన కోణం మరియు రెండు సెకంట్ల మధ్య ఉన్న కోణం లోపల ఉన్న వృత్తం యొక్క ఆర్క్‌ల కోణీయ విలువలలో సగం వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \ఎడమ (\cup DmC - \cup AlB \right)

లిఖిత వృత్తం

లిఖిత వృత్తంబహుభుజి వైపులా ఒక వృత్తం టాంజెంట్.

బహుభుజి యొక్క మూలల ఖండనలు కలిసే ప్రదేశంలో, దాని కేంద్రం ఉంది.

ప్రతి బహుభుజిలో వృత్తం వ్రాయబడకపోవచ్చు.

లిఖిత వృత్తంతో బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది:

S = pr,

p అనేది బహుభుజి యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలత,

r అనేది చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

లిఖిత వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం దీనికి సమానం అని ఇది అనుసరిస్తుంది:

r = \frac(S)(p)

వృత్తం ఒక కుంభాకార చతుర్భుజంలో వ్రాయబడి ఉంటే, వ్యతిరేక భుజాల పొడవుల మొత్తాలు ఒకేలా ఉంటాయి. మరియు వైస్ వెర్సా: వ్యతిరేక భుజాల పొడవుల మొత్తాలు ఒకేలా ఉంటే ఒక వృత్తం కుంభాకార చతుర్భుజానికి సరిపోతుంది.

AB + DC = AD + BC

త్రిభుజాలలో ఏదైనా ఒక వృత్తాన్ని వ్రాయడం సాధ్యమవుతుంది. ఒకే ఒక్కడు. ఫిగర్ యొక్క అంతర్గత కోణాల ద్విభాగాలు కలిసే ప్రదేశంలో, ఈ లిఖించబడిన వృత్తం మధ్యలో ఉంటుంది.

లిఖిత వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

r = \frac(S)(p) ,

ఇక్కడ p = \frac(a + b + c)(2)

వృత్తము

ఒక వృత్తం బహుభుజి యొక్క ప్రతి శీర్షం గుండా వెళితే, అటువంటి వృత్తాన్ని సాధారణంగా అంటారు బహుభుజి గురించి వివరించబడింది.

ఈ సంఖ్య యొక్క భుజాల లంబ ద్విభాగాల ఖండన పాయింట్ వద్ద చుట్టుకొలత మధ్యలో ఉంటుంది.

బహుభుజి యొక్క ఏదైనా 3 శీర్షాల ద్వారా నిర్వచించబడిన త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థంగా లెక్కించడం ద్వారా వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనవచ్చు.

కింది షరతు ఉంది: ఒక వృత్తం చతుర్భుజం చుట్టూ దాని వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180^( \circ)కి సమానంగా ఉంటే మాత్రమే దానిని వివరించవచ్చు.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

ఏదైనా త్రిభుజం చుట్టూ మీరు ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు మరియు ఒకటి మాత్రమే. అటువంటి వృత్తం యొక్క కేంద్రం త్రిభుజం యొక్క భుజాల లంబ ద్విభాగాలు కలిసే ప్రదేశంలో ఉంటుంది.

వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని సూత్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c అనేవి త్రిభుజం భుజాల పొడవు,

S అనేది త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం.

టోలెమీ సిద్ధాంతం

చివరగా, టోలెమీ సిద్ధాంతాన్ని పరిగణించండి.

టోలెమీ సిద్ధాంతం వికర్ణాల ఉత్పత్తి చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుందని పేర్కొంది.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

\[(\పెద్ద(\టెక్స్ట్(మధ్య మరియు లిఖిత కోణాలు)))\]

నిర్వచనాలు

కేంద్ర కోణం అనేది ఒక కోణం, దీని శీర్షం వృత్తం మధ్యలో ఉంటుంది.

లిఖిత కోణం అనేది ఒక శీర్షం వృత్తంపై ఉండే కోణం.

ఒక వృత్తం యొక్క ఆర్క్ యొక్క డిగ్రీ కొలత అది ఉపబలంగా ఉండే కేంద్ర కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత.

సిద్ధాంతం

లిఖిత కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అది ఉన్న ఆర్క్ యొక్క సగం డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

రుజువు

మేము రెండు దశల్లో రుజువును నిర్వహిస్తాము: ముందుగా, లిఖిత కోణం యొక్క ఒక వైపు వ్యాసం కలిగి ఉన్నప్పుడు కేసు కోసం మేము ప్రకటన యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపిస్తాము. బిందువు \(B\) లిఖిత కోణం \(ABC\) యొక్క శీర్షంగా ఉండనివ్వండి మరియు \(BC\) వృత్తం యొక్క వ్యాసంగా ఉండనివ్వండి:

త్రిభుజం \(AOB\) సమద్విబాహు, \(AO = OB\) , \(\ కోణం AOC\) బాహ్యమైనది, ఆపై \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), ఎక్కడ \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

ఇప్పుడు ఏకపక్ష లిఖిత కోణాన్ని పరిగణించండి \(ABC\) . చెక్కబడిన కోణం యొక్క శీర్షం నుండి \(BD\) వృత్తం యొక్క వ్యాసాన్ని గీయండి. రెండు సాధ్యమైన సందర్భాలు ఉన్నాయి:

1) వ్యాసం కోణాన్ని రెండు కోణాలుగా కట్ చేస్తుంది \(\angle ABD, \angle CBD\) (వీటిలో ప్రతిదానికి పైన నిరూపించబడిన సిద్ధాంతం నిజం, కాబట్టి ఇది అసలు కోణానికి కూడా వర్తిస్తుంది, ఇది వీటి మొత్తం రెండు మరియు అందువల్ల అవి విశ్రాంతి తీసుకునే ఆర్క్‌ల సగం మొత్తానికి సమానం, అంటే అది ఉన్న ఆర్క్‌కి సమానం). అన్నం. 1.

2) వ్యాసం కోణాన్ని రెండు కోణాల్లోకి కత్తిరించలేదు, అప్పుడు మనకు మరో రెండు కొత్త లిఖించిన కోణాలు ఉన్నాయి \(\angle ABD, \angle CBD\), దీని వైపు వ్యాసం ఉంటుంది, కాబట్టి, సిద్ధాంతం వారికి నిజం, అప్పుడు అది అసలైన కోణానికి కూడా వర్తిస్తుంది (ఈ రెండు కోణాల వ్యత్యాసానికి ఇది సమానం, అంటే అవి విశ్రాంతి తీసుకునే ఆర్క్‌ల యొక్క సగం వ్యత్యాసానికి సమానం, అంటే అది ఉన్న ఆర్క్‌లో సగం వరకు సమానం). అన్నం. 2.

పరిణామాలు

1. ఒకే ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకునే లిఖిత కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

2. సెమిసర్కిల్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన లిఖిత కోణం ఒక లంబ కోణం.

3. ఒక లిఖించబడిన కోణం అదే ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన సగం కేంద్ర కోణానికి సమానం.

\[(\Large(\text(సర్కిల్‌కు టాంజెంట్)))\]

నిర్వచనాలు

రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క మూడు రకాల సాపేక్ష స్థానాలు ఉన్నాయి:

1) సరళ రేఖ \(a\) వృత్తాన్ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది. అటువంటి రేఖను సెకెంట్ లైన్ అంటారు. ఈ సందర్భంలో, వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం \(d\). వ్యాసార్థం కంటే తక్కువ\(R\) సర్కిల్‌లు (Fig. 3).

2) సరళ రేఖ \(b\) ఒక పాయింట్ వద్ద వృత్తాన్ని కలుస్తుంది. అటువంటి రేఖను టాంజెంట్ లైన్ అని పిలుస్తారు మరియు వాటి సాధారణ బిందువు \(B\)ని టాంజెన్సీ పాయింట్ అంటారు. ఈ సందర్భంలో \(d=R\) (Fig. 4).

సిద్ధాంతం

1. వృత్తానికి ఒక టాంజెంట్ టాంజెన్సీ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.

2. ఒక రేఖ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం చివర గుండా వెళితే మరియు ఈ వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటే, అది వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది.

పర్యవసానం

ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్ విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు

\(K\) పాయింట్ నుండి సర్కిల్‌కు రెండు టాంజెంట్‌లను \(KA\) మరియు \(KB\) గీద్దాం:

దీనర్థం \(OA\perp KA, OB\perp KB\) రేడియాల వలె ఉంటాయి. కుడి త్రిభుజాలు\(\ట్రయాంగిల్ KAO\) మరియు \(\ట్రయాంగిల్ KBO\) లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌లో సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, \(KA=KB\) .

పర్యవసానం

వృత్తం యొక్క కేంద్రం \(O\) ఒకే బిందువు \(K\) నుండి గీసిన రెండు టాంజెంట్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన కోణం \(AKB\) ద్విభాగంపై ఉంటుంది.

\[(\Large(\text(కోణాలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాలు)))\]

సెకెంట్ల మధ్య కోణంపై సిద్ధాంతం

ఒకే పాయింట్ నుండి గీసిన రెండు సెకంట్ల మధ్య కోణం అవి కత్తిరించిన పెద్ద మరియు చిన్న ఆర్క్‌ల డిగ్రీ కొలతలలో సగం-వ్యత్యాసానికి సమానం.

రుజువు

\(M\) అనేది చిత్రంలో చూపిన విధంగా రెండు సెకంట్లు గీయబడిన బిందువుగా ఉండనివ్వండి:

అది చూపిద్దాం \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) అనేది త్రిభుజం యొక్క బాహ్య కోణం \(MAD\), అప్పుడు \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), ఎక్కడ \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), అయితే \(\angle DAB\) మరియు \(\angle MDA\) కోణాలు చెక్కబడి ఉంటాయి, అప్పుడు \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఖండన తీగల మధ్య కోణంపై సిద్ధాంతం

రెండు ఖండన తీగల మధ్య కోణం అవి కత్తిరించిన ఆర్క్‌ల డిగ్రీ కొలతలలో సగం మొత్తానికి సమానం: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

రుజువు

\(\angle BMA = \angle CMD\) నిలువుగా.

త్రిభుజం నుండి \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

కానీ \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ స్మైల్\ఓవర్(CD)).\]

తీగ మరియు టాంజెంట్ మధ్య కోణంపై సిద్ధాంతం

టాంజెంట్ మరియు తీగ మధ్య కోణం టాంజెన్సీ బిందువు గుండా వెళుతుంది, ఇది తీగ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన ఆర్క్ యొక్క సగం డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

రుజువు

\(A\) బిందువు వద్ద ఉన్న వృత్తాన్ని \(a\) సరళ రేఖ తాకనివ్వండి, \(AB\) ఈ వృత్తం యొక్క తీగ, \(O\) దాని కేంద్రం. \(OB\) ఉన్న లైన్ \(a\) పాయింట్ వద్ద \(M\) కలుస్తుంది. అని నిరూపిద్దాం \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) ని సూచిస్తాము. \(OA\) మరియు \(OB\) రేడియాలు కాబట్టి, \(OA = OB\) మరియు \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). అందువలన, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) అనేది టాంజెంట్ పాయింట్‌కి గీసిన వ్యాసార్థం కాబట్టి, \(OA\perp a\), అంటే \(\angle OAM = 90^\circ\), కాబట్టి, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

సమాన తీగలతో ఉపసంహరించబడిన ఆర్క్‌లపై సిద్ధాంతం

సమాన తీగలు సెమిసర్కిల్స్ కంటే చిన్న సమాన ఆర్క్‌లను కలిగి ఉంటాయి.

మరియు వైస్ వెర్సా: సమాన ఆర్క్‌లు సమాన తీగలతో ఉపసంహరించబడతాయి.

రుజువు

1) లెట్ \(AB=CD\) . ఆర్క్ యొక్క చిన్న సెమిసర్కిల్స్ అని నిరూపిద్దాం.

మూడు వైపులా, కాబట్టి, \(\angle AOB=\angle COD\) . కానీ ఎందుకంటే \(\angle AOB, \angle COD\) - ఆర్క్‌ల ద్వారా మద్దతు ఇచ్చే కేంద్ర కోణాలు \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)తదనుగుణంగా, అప్పుడు \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) ఉంటే \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), ఆ \(\ట్రయాంగిల్ AOB=\ట్రయాంగిల్ COD\)రెండు వైపులా \(AO=BO=CO=DO\) మరియు వాటి మధ్య కోణం \(\angle AOB=\angle COD\) . అందువలన, మరియు \(AB=CD\) .

సిద్ధాంతం

వ్యాసార్థం తీగను విభజించినట్లయితే, అది దానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సంభాషణ కూడా నిజం: వ్యాసార్థం తీగకు లంబంగా ఉంటే, ఖండన పాయింట్ వద్ద అది విభజిస్తుంది.

రుజువు

1) లెట్ \(AN=NB\) . \(OQ\perp AB\) అని నిరూపిద్దాం.

పరిగణించండి \(\ట్రయాంగిల్ AOB\) : ఇది ఐసోసెల్, ఎందుకంటే \(OA=OB\) – వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం. ఎందుకంటే \(ON\) అనేది బేస్‌కి డ్రా చేయబడిన మధ్యస్థం, ఆపై అది ఎత్తు కూడా, కాబట్టి, \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) లెట్. \(AN=NB\) అని నిరూపిద్దాం.

అదేవిధంగా, \(\త్రిభుజం AOB\) అనేది సమద్విబాహు, \(ON\) అనేది ఎత్తు, కాబట్టి, \(ON\) అనేది మధ్యస్థం. కాబట్టి, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(విభాగాల పొడవులకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాలు)))\]

తీగ విభాగాల ఉత్పత్తిపై సిద్ధాంతం

ఒక వృత్తంలోని రెండు తీగలు కలుస్తుంటే, ఒక తీగ యొక్క విభాగాల యొక్క ఉత్పత్తి మరొక తీగ యొక్క విభాగాల ఉత్పత్తికి సమానం.

రుజువు

\(AB\) మరియు \(CD\) శ్రుతులు \(E\) పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి.

\(ADE\) మరియు \(CBE\) త్రిభుజాలను పరిగణించండి. ఈ త్రిభుజాలలో, \(1\) మరియు \(2\) కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఒకే ఆర్క్ \(BD\), మరియు \(3\) మరియు \(4\) సమానంగా ఉంటాయి నిలువుగా. త్రిభుజాలు \(ADE\) మరియు \(CBE\) సమానంగా ఉంటాయి (త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క మొదటి ప్రమాణం ఆధారంగా).

అప్పుడు \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), ఎక్కడ నుండి \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ సిద్ధాంతం

టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ యొక్క స్క్వేర్ సెకెంట్ మరియు దాని బయటి భాగం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

రుజువు

టాంజెంట్ \(M\) పాయింట్ గుండా వెళుతుంది మరియు \(A\) పాయింట్ వద్ద సర్కిల్‌ను తాకనివ్వండి. సెకెంట్ \(M\) పాయింట్ గుండా వెళుతుంది మరియు \(B\) మరియు \(C\) పాయింట్ల వద్ద సర్కిల్‌ను ఖండిస్తుంది, తద్వారా \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

త్రిభుజాలను పరిగణించండి \(MBA\) మరియు \(MCA\) : \(\angle M\) సాధారణం, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ మధ్య కోణం గురించి సిద్ధాంతం ప్రకారం, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). అందువలన, త్రిభుజాలు \(MBA\) మరియు \(MCA\) రెండు కోణాలలో సమానంగా ఉంటాయి.

త్రిభుజాల సారూప్యత నుండి \(MBA\) మరియు \(MCA\) మేము కలిగి ఉన్నాము: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), ఇది \(MB\cdot MC = MA^2\)కి సమానం.

పర్యవసానం

\(O\) పాయింట్ నుండి దాని బాహ్య భాగం ద్వారా డ్రా చేయబడిన సెకెంట్ యొక్క ఉత్పత్తి \(O\) పాయింట్ నుండి డ్రా చేయబడిన సెకెంట్ ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు.

లిఖిత మరియు కేంద్ర కోణం యొక్క భావన

మొదట కేంద్ర కోణం యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం.

గమనిక 1

అని గమనించండి కేంద్ర కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అది ఉన్న ఆర్క్ యొక్క డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

ఇప్పుడు లిఖిత కోణం యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 2

ఒక వృత్తంపై శీర్షం ఉండి, అదే వృత్తాన్ని భుజాలు కలుస్తున్న కోణాన్ని లిఖిత కోణం అంటారు (Fig. 2).

మూర్తి 2. లిఖిత కోణం

లిఖించబడిన కోణ సిద్ధాంతం

సిద్ధాంతం 1

లిఖిత కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అది ఉన్న ఆర్క్ యొక్క సగం డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

రుజువు.

మాకు $O$ పాయింట్ వద్ద మధ్యలో ఉన్న సర్కిల్‌ని అందించండి. లిఖిత కోణం $ACB$ (Fig. 2)ను సూచిస్తాము. కింది మూడు కేసులు సాధ్యమే:

• రే $CO$ కోణం యొక్క ఏదైనా వైపుతో సమానంగా ఉంటుంది. ఇది $CB$ (Fig. 3) వైపు ఉండనివ్వండి.

మూర్తి 3.

ఈ సందర్భంలో, ఆర్క్ $AB$ $(180)^(()^\circ )$ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి కేంద్ర కోణం $AOB$ ఆర్క్ $AB$కి సమానం. $AO=OC=r$ కాబట్టి, $AOC$ త్రిభుజం ఐసోసెల్స్. దీని అర్థం $CAO$ మరియు $ACO$ మూల కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజం యొక్క బాహ్య కోణంపై సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

• బీమ్ $CO$ విభజిస్తుంది అంతర్గత మూలలోరెండు కోణాలలో. ఇది $D$ (Fig. 4) పాయింట్ వద్ద సర్కిల్‌ను కలుస్తుంది.

చిత్రం 4.

మేము పొందుతాము

• రే $CO$ అంతర్గత కోణాన్ని రెండు కోణాలుగా విభజించదు మరియు దాని వైపులా ఏకీభవించదు (Fig. 5).

మూర్తి 5.

$ACD$ మరియు $DCB$ కోణాలను విడిగా పరిశీలిద్దాం. పాయింట్ 1 లో నిరూపించబడిన దాని ప్రకారం, మనకు లభిస్తుంది

మేము పొందుతాము

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఇద్దాం పరిణామాలుఈ సిద్ధాంతం నుండి.

పరిణామం 1:ఒకే ఆర్క్‌పై ఉండే లిఖిత కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

పరిణామం 2:వ్యాసాన్ని ఉపసంహరించుకునే లిఖిత కోణం లంబ కోణం.

కోణం ABC ఒక లిఖించబడిన కోణం. ఇది ఆర్క్ AC పై ఉంటుంది, దాని వైపులా (Fig. 330) మధ్య మూసివేయబడుతుంది.

సిద్ధాంతం. ఒక చెక్కబడిన కోణం అది ఉపబలంగా ఉన్న ఆర్క్ యొక్క సగం ద్వారా కొలుస్తారు.

దీనిని ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: ఒక లిఖించబడిన కోణంలో ఆర్క్ డిగ్రీలు, నిమిషాలు మరియు సెకన్లు ఉన్నన్ని కోణీయ డిగ్రీలు, నిమిషాలు మరియు సెకన్లు ఉంటాయి.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసేటప్పుడు, మూడు కేసులను పరిగణించాలి.

మొదటి కేసు. వృత్తం యొక్క కేంద్రం చెక్కబడిన కోణం వైపు ఉంటుంది (Fig. 331).

∠ABC ఒక లిఖిత కోణంగా ఉండనివ్వండి మరియు O వృత్తం యొక్క కేంద్రం BC వైపు ఉంటుంది. ఇది హాఫ్ ఆర్క్ AC ద్వారా కొలవబడిందని నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

పాయింట్ A ని సర్కిల్ మధ్యలో కనెక్ట్ చేయండి. మేము ఒక సమద్విబాహు \(\Delta\)AOBని పొందుతాము, దీనిలో AO = OB, అదే సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ∠A = ∠B.

∠AOC త్రిభుజం AOBకి బాహ్యంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ∠AOC = ∠A + ∠B, మరియు A మరియు B కోణాలు సమానంగా ఉన్నందున, ∠B 1/2 ∠AOC.

కానీ ∠AOC ఆర్క్ AC ద్వారా కొలుస్తారు, కాబట్టి ∠B అనేది ఆర్క్ ACలో సగం ద్వారా కొలుస్తారు.

ఉదాహరణకు, \(\breve(AC)\) 60°18' కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ∠B 30°9'ని కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ కేసు. వృత్తం యొక్క కేంద్రం చెక్కబడిన కోణం యొక్క భుజాల మధ్య ఉంటుంది (Fig. 332).

∠ABD ఒక లిఖిత కోణంగా ఉండనివ్వండి. O వృత్తం యొక్క కేంద్రం దాని భుజాల మధ్య ఉంటుంది. ∠ABDని ADలో సగం ఆర్క్‌తో కొలుస్తామని మనం నిరూపించాలి.

దీనిని నిరూపించడానికి, BC వ్యాసాన్ని గీయండి. ABD కోణం రెండు కోణాలుగా విభజించబడింది: ∠1 మరియు ∠2.

∠1ని హాఫ్ ఆర్క్ ACతో కొలుస్తారు, మరియు ∠2ని సగం ఆర్క్ CDతో కొలుస్తారు, కాబట్టి, మొత్తం ∠ABDని 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve ద్వారా కొలుస్తారు. (CD)\), అనగా హాఫ్ ఆర్క్ AD.

ఉదాహరణకు, \(\breve(AD)\) 124° కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ∠B 62°ని కలిగి ఉంటుంది.

మూడవ కేసు. వృత్తం యొక్క కేంద్రం చెక్కబడిన కోణం వెలుపల ఉంది (Fig. 333).

∠MAD ఒక లిఖిత కోణంగా ఉండనివ్వండి. వృత్తం O యొక్క కేంద్రం మూలకు వెలుపల ఉంది. మేము ∠MAD సగం ఆర్క్ MD ద్వారా కొలవబడుతుందని నిరూపించాలి.

దీన్ని నిరూపించడానికి, AB వ్యాసాన్ని గీయండి. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. కానీ ∠MAB కొలుస్తుంది 1 / 2 \(\breve(MB)\), మరియు ∠DAB కొలుస్తుంది 1 / 2 \(\breve(DB)\).

కాబట్టి, ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), అంటే 1/2 \(\breve(MD)\)ని కొలుస్తుంది.

ఉదాహరణకు, \(\breve(MD)\) 48° 38" కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ∠MAD 24° 19' 8"ని కలిగి ఉంటుంది.

పరిణామాలు
1. ఒకే ఆర్క్‌లో ఉన్న అన్ని లిఖించబడిన కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఒకే ఆర్క్‌లో సగం ద్వారా కొలుస్తారు. (Fig. 334, a).

2. ఒక వ్యాసం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన లిఖిత కోణం ఒక లంబ కోణం, ఎందుకంటే ఇది సగం వృత్తాన్ని ఉపసంహరించుకుంటుంది. సగం వృత్తంలో 180 ఆర్క్ డిగ్రీలు ఉంటాయి, అంటే వ్యాసం ఆధారంగా కోణం 90 ఆర్క్ డిగ్రీలు (Fig. 334, b) కలిగి ఉంటుంది.

ప్లానిమెట్రీ అనేది జ్యామితి యొక్క శాఖ, ఇది విమానం బొమ్మల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తుంది. వీటిలో బాగా తెలిసిన త్రిభుజాలు, చతురస్రాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రాలు మాత్రమే కాకుండా, సరళ రేఖలు మరియు కోణాలు కూడా ఉన్నాయి. ప్లానిమెట్రీలో, ఒక వృత్తంలో కోణాల వంటి భావనలు కూడా ఉన్నాయి: కేంద్ర మరియు చెక్కబడినవి. కానీ వాటి అర్థం ఏమిటి?

కేంద్ర కోణం అంటే ఏమిటి?

సెంట్రల్ యాంగిల్ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు సర్కిల్‌ను నిర్వచించాలి. వృత్తం అనేది ఇచ్చిన బిందువు (వృత్తం యొక్క కేంద్రం) నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న అన్ని పాయింట్ల సేకరణ.

సర్కిల్ నుండి వేరు చేయడం చాలా ముఖ్యం. ఒక వృత్తం ఒక క్లోజ్డ్ లైన్ అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి మరియు సర్కిల్ దానితో సరిహద్దులుగా ఉన్న విమానంలో ఒక భాగం. ఒక వృత్తంలో బహుభుజి లేదా కోణాన్ని చెక్కవచ్చు.

కేంద్ర కోణం అనేది ఒక కోణం, దీని శీర్షం వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు దీని భుజాలు వృత్తాన్ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తాయి. ఒక కోణం దాని ఖండన బిందువుల ద్వారా పరిమితం చేసే ఆర్క్‌ను ఇచ్చిన కోణం ఉన్న ఆర్క్ అంటారు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1ని చూద్దాం.

చిత్రంలో, కోణం AOB కేంద్రంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే కోణం యొక్క శీర్షం మరియు వృత్తం యొక్క కేంద్రం ఒక పాయింట్ O. ఇది ఆర్క్ ABపై ఉంటుంది, ఇది పాయింట్ Cని కలిగి ఉండదు.

లిఖిత కోణం కేంద్ర కోణం నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది?

అయితే, కేంద్ర కోణాలతో పాటు, లిఖిత కోణాలు కూడా ఉన్నాయి. వారి తేడా ఏమిటి? కేంద్ర కోణం వలె, వృత్తంలో చెక్కబడిన కోణం ఒక నిర్దిష్ట ఆర్క్‌పై ఉంటుంది. కానీ దాని శీర్షం వృత్తం మధ్యలో ఏకీభవించదు, కానీ దానిపై ఉంటుంది.

కింది ఉదాహరణను తీసుకుందాం.

కోణం ACBని ఒక వృత్తంలో లిఖించబడిన కోణం అని పిలుస్తారు, పాయింట్ O వద్ద మధ్యలో ఒక కేంద్రం ఉంటుంది. పాయింట్ C సర్కిల్‌కు చెందినది, అంటే అది దానిపై ఉంటుంది. కోణం AB ఆర్క్‌పై ఉంటుంది.

జ్యామితి సమస్యలను విజయవంతంగా ఎదుర్కోవటానికి, లిఖిత మరియు కేంద్ర కోణాల మధ్య తేడాను గుర్తించడం సరిపోదు. నియమం ప్రకారం, వాటిని పరిష్కరించడానికి మీరు ఒక వృత్తంలో కేంద్ర కోణాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవాలి మరియు దాని విలువను డిగ్రీలలో లెక్కించగలుగుతారు.

కాబట్టి, కేంద్ర కోణం అది ఆధారపడిన ఆర్క్ యొక్క డిగ్రీ కొలతకు సమానంగా ఉంటుంది.

చిత్రంలో, AOB కోణం 66°కి సమానమైన ఆర్క్ ABపై ఉంటుంది. దీని అర్థం కోణం AOB కూడా 66°.

అందువల్ల, సమాన ఆర్క్‌ల ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కేంద్ర కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

చిత్రంలో, ఆర్క్ DC ఆర్క్ ABకి సమానం. దీని అర్థం కోణం AOB కోణం DOCకి సమానం.

వృత్తంలో చెక్కబడిన కోణం కేంద్ర కోణానికి సమానంగా ఉన్నట్లు అనిపించవచ్చు, ఇది అదే ఆర్క్ ద్వారా మద్దతు ఇస్తుంది. అయితే, ఇది ఘోరమైన తప్పు. వాస్తవానికి, డ్రాయింగ్‌ను చూడటం మరియు ఈ కోణాలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం కూడా, వాటి డిగ్రీ కొలతలు ఎలా ఉంటాయో మీరు చూడవచ్చు. వివిధ అర్థాలు. కాబట్టి సర్కిల్‌లో లిఖించబడిన కోణం ఏమిటి?

లిఖిత కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అది ఉన్న ఆర్క్‌లో సగం లేదా అదే ఆర్క్‌పై విశ్రాంతి తీసుకుంటే సగం కేంద్ర కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. ASV కోణం 66°కి సమానమైన ఆర్క్‌పై ఉంటుంది.

దీని అర్థం కోణం ACB = 66°: 2 = 33°

ఈ సిద్ధాంతం నుండి కొన్ని పరిణామాలను పరిశీలిద్దాం.

• లిఖిత కోణాలు, అవి ఒకే ఆర్క్, తీగ లేదా సమాన ఆర్క్‌లపై ఆధారపడి ఉంటే, సమానంగా ఉంటాయి.
• లిఖించిన కోణాలు ఒక తీగపై ఆధారపడి ఉంటే, కానీ వాటి శీర్షాలు వెంట ఉంటాయి వివిధ వైపులాదాని నుండి, అటువంటి కోణాల డిగ్రీ కొలతల మొత్తం 180°, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో రెండు కోణాలు ఆర్క్‌లపై ఉంటాయి, దీని డిగ్రీ కొలత మొత్తం 360° (మొత్తం సర్కిల్), 360°: 2 = 180°
• లిఖిత కోణం ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క వ్యాసంపై ఆధారపడి ఉంటే, దాని డిగ్రీ కొలత 90°, ఎందుకంటే వ్యాసం 180°, 180°: 2 = 90°కి సమానమైన ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకుంటుంది.
• ఒక వృత్తంలో కేంద్ర మరియు లిఖించబడిన కోణాలు ఒకే ఆర్క్ లేదా తీగపై విశ్రాంతి తీసుకుంటే, అప్పుడు లిఖించిన కోణం సగం కేంద్రానికి సమానం.

ఈ అంశంపై సమస్యలను ఎక్కడ కనుగొనవచ్చు? వాటి రకాలు మరియు పరిష్కారాలు

వృత్తం మరియు దాని లక్షణాలు జ్యామితి, ప్రత్యేకించి ప్లానిమెట్రీ యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన విభాగాలలో ఒకటి కాబట్టి, ఒక వృత్తంలో లిఖించబడిన మరియు కేంద్ర కోణాలు విస్తృతంగా మరియు వివరంగా అధ్యయనం చేయబడిన అంశం. పాఠశాల కోర్సు. వారి ఆస్తులకు సంబంధించిన సమస్యలు ప్రధాన రాష్ట్ర పరీక్ష (OGE) మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష (USE)లో కనుగొనబడ్డాయి. నియమం ప్రకారం, ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు డిగ్రీలలో ఒక వృత్తంలో కోణాలను కనుగొనాలి.

ఒక ఆర్క్ ఆధారంగా కోణాలు

ఈ రకమైన సమస్య బహుశా సులభమైన వాటిలో ఒకటి, ఎందుకంటే దాన్ని పరిష్కరించడానికి మీరు రెండు సాధారణ లక్షణాలను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి: రెండు కోణాలు చెక్కబడి మరియు ఒకే తీగపై ఆధారపడి ఉంటే, అవి సమానంగా ఉంటాయి, వాటిలో ఒకటి కేంద్రంగా ఉంటే, సంబంధితంగా ఉంటుంది. లిఖిత కోణం దానిలో సగానికి సమానం. అయినప్పటికీ, వాటిని పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మీరు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండాలి: కొన్నిసార్లు ఈ ఆస్తిని గమనించడం కష్టం, మరియు అలాంటి సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు విద్యార్థులు చనిపోయిన ముగింపుకు చేరుకుంటారు. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

పని సంఖ్య 1

పాయింట్ O వద్ద కేంద్రంతో వృత్తం ఇవ్వబడింది. కోణం AOB 54°. కోణం ASV యొక్క డిగ్రీ కొలతను కనుగొనండి.

ఈ పని ఒక చర్యలో పరిష్కరించబడుతుంది. మీరు దానికి సమాధానాన్ని త్వరగా కనుగొనవలసిన ఏకైక విషయం ఏమిటంటే, రెండు కోణాలు ఉండే ఆర్క్ సాధారణమైనదని గమనించడం. దీన్ని చూసిన తర్వాత, మీరు ఇప్పటికే తెలిసిన ఆస్తిని దరఖాస్తు చేసుకోవచ్చు. ACB కోణం AOB కోణంలో సగానికి సమానం. అంటే,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

సమాధానం: 54°.

ఒకే వృత్తంలోని వివిధ ఆర్క్‌ల ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణాలు

కొన్నిసార్లు సమస్య పరిస్థితులు నేరుగా కావలసిన కోణం ఉన్న ఆర్క్ పరిమాణాన్ని పేర్కొనవు. దీన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ఈ కోణాల పరిమాణాన్ని విశ్లేషించాలి మరియు సర్కిల్ యొక్క తెలిసిన లక్షణాలతో వాటిని సరిపోల్చాలి.

సమస్య 2

పాయింట్ O వద్ద మధ్యలో ఉన్న సర్కిల్‌లో, కోణం AOC 120°, మరియు కోణం AOB 30°. మీ కోణాన్ని కనుగొనండి.

ప్రారంభించడానికి, సమద్విబాహు త్రిభుజాల లక్షణాలను ఉపయోగించి ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం సాధ్యమేనని చెప్పడం విలువ, కానీ దీని కోసం మీరు చేయవలసి ఉంటుంది మరింతగణిత కార్యకలాపాలు. అందువల్ల, ఇక్కడ మేము ఒక వృత్తంలో కేంద్ర మరియు లిఖించబడిన కోణాల లక్షణాలను ఉపయోగించి పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణను అందిస్తాము.

కాబట్టి, కోణం AOS ఆర్క్ ACపై ఉంటుంది మరియు కేంద్రంగా ఉంటుంది, అంటే ఆర్క్ AC కోణం AOSకి సమానం.

అదే విధంగా, కోణం AOB ఆర్క్ ABపై ఉంటుంది.

ఇది మరియు మొత్తం సర్కిల్ (360°) యొక్క డిగ్రీ కొలతను తెలుసుకోవడం, మీరు ఆర్క్ BC యొక్క పరిమాణాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

CAB కోణం యొక్క శీర్షం, పాయింట్ A, సర్కిల్‌పై ఉంటుంది. దీని అర్థం CAB కోణం ఒక లిఖించబడిన కోణం మరియు ఇది ఆర్క్ NEలో సగానికి సమానం.

యాంగిల్ CAB = 210°: 2 = 110°

సమాధానం: 110°

ఆర్క్‌ల సంబంధం ఆధారంగా సమస్యలు

కొన్ని సమస్యలు కోణ విలువలపై డేటాను కలిగి ఉండవు, కాబట్టి అవి తెలిసిన సిద్ధాంతాలు మరియు సర్కిల్ యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా మాత్రమే వెతకాలి.

సమస్య 1

ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన తీగను ఉపసంహరించుకునే వృత్తంలో చెక్కబడిన కోణాన్ని కనుగొనండి.

మీరు సెగ్మెంట్ చివరలను సర్కిల్ మధ్యలో కనెక్ట్ చేసే పంక్తులను మానసికంగా గీస్తే, మీరు ఒక త్రిభుజాన్ని పొందుతారు. దీనిని పరిశీలించిన తరువాత, ఈ పంక్తులు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం అని మీరు చూడవచ్చు, అంటే త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా సమానంగా ఉంటాయి. అన్ని కోణాల్లోనూ అని తెలిసింది సమబాహు త్రిభుజం 60°కి సమానం. దీని అర్థం త్రిభుజం యొక్క శీర్షాన్ని కలిగి ఉన్న ఆర్క్ AB 60°కి సమానం. ఇక్కడ నుండి మనం కోరుకున్న కోణం ఉన్న ఆర్క్ ABని కనుగొంటాము.

AB = 360° - 60° = 300°

కోణం ABC = 300°: 2 = 150°

సమాధానం: 150°

సమస్య 2

పాయింట్ O వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తంలో, ఆర్క్‌లు 3:7 నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. లిఖించిన చిన్న కోణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కరించడానికి, ఒక భాగాన్ని Xగా నిర్దేశిద్దాం, ఆపై ఒక ఆర్క్ 3Xకి సమానం మరియు రెండవది వరుసగా 7X. వృత్తం యొక్క డిగ్రీ కొలత 360° అని తెలుసుకుని, ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం.

3X + 7X = 360°

షరతు ప్రకారం, మీరు చిన్న కోణాన్ని కనుగొనాలి. సహజంగానే, కోణం యొక్క పరిమాణం అది ఉన్న ఆర్క్‌కు నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటే, కావలసిన (చిన్న) కోణం 3Xకి సమానమైన ఆర్క్‌కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

దీని అర్థం చిన్న కోణం (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

సమాధానం: 54°

పాయింట్ O వద్ద మధ్యలో ఉన్న సర్కిల్‌లో, కోణం AOB 60°, మరియు చిన్న ఆర్క్ పొడవు 50. పెద్ద ఆర్క్ పొడవును లెక్కించండి.

పెద్ద ఆర్క్ యొక్క పొడవును లెక్కించడానికి, మీరు ఒక నిష్పత్తిని సృష్టించాలి - చిన్న ఆర్క్ పెద్దదానికి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము రెండు ఆర్క్‌ల పరిమాణాన్ని డిగ్రీలలో లెక్కిస్తాము. చిన్న ఆర్క్ దానిపై ఉన్న కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. దీని డిగ్రీ కొలత 60° ఉంటుంది. ప్రధాన ఆర్క్ వృత్తం యొక్క డిగ్రీ కొలత (ఇది ఇతర డేటాతో సంబంధం లేకుండా 360°కి సమానం) మరియు మైనర్ ఆర్క్ మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.

ప్రధాన ఆర్క్ 360° - 60° = 300°.

300°: 60° = 5 నుండి, పెద్ద ఆర్క్ చిన్నదాని కంటే 5 రెట్లు పెద్దది.

పెద్ద ఆర్క్ = 50 * 5 = 250

కాబట్టి, వాస్తవానికి, ఇలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇతర విధానాలు ఉన్నాయి, అయితే అవన్నీ ఏదో ఒకవిధంగా కేంద్ర మరియు లిఖించిన కోణాలు, త్రిభుజాలు మరియు వృత్తాల లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. వాటిని విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీరు డ్రాయింగ్‌ను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయాలి మరియు సమస్య యొక్క డేటాతో సరిపోల్చాలి మరియు మీ సైద్ధాంతిక జ్ఞానంఆచరణలో.