కొసైన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు. త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క భావనలు త్రికోణమితి యొక్క ప్రధాన వర్గాలు, గణితశాస్త్రం యొక్క శాఖ, మరియు అవి కోణం యొక్క నిర్వచనంతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. ఈ గణిత శాస్త్ర ప్రావీణ్యం కోసం సూత్రాలు మరియు సిద్ధాంతాల గురించి కంఠస్థం మరియు అవగాహన అవసరం, అలాగే అభివృద్ధి చెందిన ప్రాదేశిక ఆలోచన. అందుకే త్రికోణమితి గణనలు తరచుగా పాఠశాల విద్యార్థులకు మరియు విద్యార్థులకు ఇబ్బందులను కలిగిస్తాయి. వాటిని అధిగమించడానికి, మీరు త్రికోణమితి విధులు మరియు సూత్రాలతో మరింత సుపరిచితులు కావాలి.

త్రికోణమితిలో భావనలు

త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు మొదట లంబ త్రిభుజం మరియు వృత్తంలో ఒక కోణం ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి మరియు అన్ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి గణనలు వాటితో ఎందుకు అనుబంధించబడి ఉన్నాయి. కోణాలలో ఒకటి 90 డిగ్రీలను కొలిచే త్రిభుజం దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది. చారిత్రాత్మకంగా, ఈ సంఖ్యను తరచుగా ఆర్కిటెక్చర్, నావిగేషన్, ఆర్ట్ మరియు ఖగోళ శాస్త్రంలో ప్రజలు ఉపయోగించారు. దీని ప్రకారం, ఈ సంఖ్య యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం మరియు విశ్లేషించడం ద్వారా, ప్రజలు దాని పారామితుల యొక్క సంబంధిత నిష్పత్తులను లెక్కించేందుకు వచ్చారు.

కుడి త్రిభుజాలతో అనుబంధించబడిన ప్రధాన వర్గాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు కాళ్ళు. హైపోటెన్యూస్ అనేది లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు. కాళ్ళు, వరుసగా, మిగిలిన రెండు వైపులా ఉంటాయి. ఏదైనా త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీలు.

గోళాకార త్రికోణమితి అనేది పాఠశాలలో అధ్యయనం చేయని త్రికోణమితి యొక్క ఒక విభాగం, కానీ ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జియోడెసీ వంటి అనువర్తిత శాస్త్రాలలో, శాస్త్రవేత్తలు దీనిని ఉపయోగిస్తారు. గోళాకార త్రికోణమితిలో త్రిభుజం యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే అది ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువ కోణాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క కోణాలు

IN కుడి త్రిభుజంకోణం యొక్క సైన్ అనేది త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్‌కు కావలసిన కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి. దీని ప్రకారం, కొసైన్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి. ఈ రెండు విలువలు ఎల్లప్పుడూ ఒకటి కంటే తక్కువ పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే హైపోటెన్యూస్ ఎల్లప్పుడూ కాలు కంటే పొడవుగా ఉంటుంది.

కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది కోరుకున్న కోణం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తికి సమానమైన విలువ లేదా కొసైన్‌కు సైన్. కోటాంజెంట్, ప్రతిగా, కావలసిన కోణం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి. ఒక కోణం యొక్క కోటాంజెంట్‌ను టాంజెంట్ విలువతో ఒకదానిని విభజించడం ద్వారా కూడా పొందవచ్చు.

యూనిట్ సర్కిల్

జ్యామితిలో యూనిట్ సర్కిల్ అనేది ఒక వృత్తం, దీని వ్యాసార్థం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది. అటువంటి వృత్తం కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్మించబడింది, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మూల బిందువుతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు వ్యాసార్థ వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ స్థానం X అక్షం (అబ్సిస్సా అక్షం) యొక్క సానుకూల దిశలో నిర్ణయించబడుతుంది. సర్కిల్‌లోని ప్రతి పాయింట్‌కి రెండు కోఆర్డినేట్‌లు ఉంటాయి: XX మరియు YY, అంటే అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు. XX ప్లేన్‌లోని సర్కిల్‌పై ఏదైనా బిందువును ఎంచుకుని, దాని నుండి అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా వదలడం ద్వారా, మేము ఎంచుకున్న బిందువుకు వ్యాసార్థం ద్వారా ఏర్పడిన లంబ త్రిభుజాన్ని పొందుతాము (అక్షరం C ద్వారా సూచించబడుతుంది), ఇది X అక్షానికి లంబంగా గీస్తుంది. (ఖండన స్థానం G అక్షరంతో సూచించబడుతుంది), మరియు అబ్సిస్సా అక్షం అక్షాంశాల మూలం (బిందువు A అక్షరంతో సూచించబడుతుంది) మరియు ఖండన స్థానం G మధ్య ఉంటుంది. ఫలితంగా ఏర్పడే త్రిభుజం ACG ఒక లంబ త్రిభుజం ఒక వృత్తం, ఇక్కడ AG అనేది హైపోటెన్యూస్, మరియు AC మరియు GC కాళ్లు. సర్కిల్ AC యొక్క వ్యాసార్థం మరియు AG హోదాతో అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క విభాగం మధ్య కోణం α (ఆల్ఫా)గా నిర్వచించబడింది. కాబట్టి, cos α = AG/AC. AC అనేది యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం, మరియు అది ఒకదానికి సమానం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అది cos α=AG అని తేలింది. అదేవిధంగా, sin α=CG.

అదనంగా, ఈ డేటాను తెలుసుకోవడం ద్వారా, మీరు సర్కిల్‌పై పాయింట్ C యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించవచ్చు, ఎందుకంటే cos α=AG, మరియు sin α=CG, అంటే పాయింట్ C కలిగి ఉంటుంది ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్లు(cos α;sin α). టాంజెంట్ సైన్ మరియు కొసైన్ నిష్పత్తికి సమానం అని తెలుసుకోవడం, మేము టాన్ α = y/x మరియు cot α = x/y అని గుర్తించవచ్చు. ప్రతికూల కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని కోణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా, కొన్ని కోణాల యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ విలువలు ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చని మీరు లెక్కించవచ్చు.

లెక్కలు మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ విలువలు

యూనిట్ సర్కిల్ ద్వారా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సారాంశాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్న తరువాత, మేము కొన్ని కోణాల కోసం ఈ ఫంక్షన్ల విలువలను పొందవచ్చు. విలువలు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

సరళమైన త్రికోణమితి గుర్తింపులు

సంకేతం కింద సమీకరణాలు త్రికోణమితి ఫంక్షన్తెలియని విలువను త్రికోణమితి అంటారు. విలువ sin x = α, kతో గుర్తింపులు - ఏదైనా పూర్ణాంకం:

1. పాపం x = 0, x = πk.
2. 2. పాపం x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. పాపం x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, పరిష్కారాలు లేవు.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * ఆర్క్సిన్ α + πk.

cos x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, పరిష్కారాలు లేవు.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± ఆర్కోస్ α + 2πk.

tg x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

1. టాన్ x = 0, x = π/2 + πk.
2. తాన్ x = a, x = ఆర్క్టాన్ α + πk.

ctg x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

తగ్గింపు సూత్రాలు

స్థిరమైన సూత్రాల యొక్క ఈ వర్గం మీరు ఫారమ్ యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఫంక్షన్లకు మారగల పద్ధతులను సూచిస్తుంది, అనగా, ఏదైనా విలువ యొక్క కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను కోణం యొక్క సంబంధిత సూచికలకు తగ్గించండి. గణనల సౌలభ్యం కోసం 0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు విరామం.

కోణం యొక్క సైన్ కోసం ఫంక్షన్లను తగ్గించడానికి సూత్రాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

కోణం యొక్క కొసైన్ కోసం:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

పై సూత్రాల ఉపయోగం రెండు నియమాలకు లోబడి సాధ్యమవుతుంది. ముందుగా, కోణాన్ని విలువ (π/2 ± a) లేదా (3π/2 ± a)గా సూచించగలిగితే, ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మారుతుంది:

• పాపం నుండి కోస్ వరకు;
• కాస్ నుండి పాపం వరకు;
• tg నుండి ctg వరకు;
• ctg నుండి tg వరకు.

కోణాన్ని (π ± a) లేదా (2π ± a)గా సూచించగలిగితే ఫంక్షన్ విలువ మారదు.

రెండవది, తగ్గిన ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం మారదు: ఇది ప్రారంభంలో సానుకూలంగా ఉంటే, అది అలాగే ఉంటుంది. అదే ప్రతికూల విధులు.

అదనపు సూత్రాలు

ఈ సూత్రాలు వాటి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ద్వారా రెండు భ్రమణ కోణాల మొత్తం మరియు తేడా యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క విలువలను వ్యక్తపరుస్తాయి. సాధారణంగా కోణాలు α మరియు βగా సూచించబడతాయి.

సూత్రాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. టాన్(α ± β) = (tg α ± టాన్ β) / (1 ∓ టాన్ α * టాన్ β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ఈ సూత్రాలు α మరియు β ఏ కోణాలకైనా చెల్లుతాయి.

డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ యాంగిల్ సూత్రాలు

డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ యాంగిల్ త్రికోణమితి సూత్రాలు వరుసగా 2α మరియు 3α కోణాల విధులను, కోణం α యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు సంబంధించిన సూత్రాలు. అదనపు సూత్రాల నుండి తీసుకోబడింది:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

మొత్తం నుండి ఉత్పత్తికి మార్పు

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ఈ సూత్రాన్ని సులభతరం చేయడం ద్వారా, మేము sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 అనే గుర్తింపును పొందుతాము. అదేవిధంగా sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ఉత్పత్తి నుండి మొత్తానికి మార్పు

ఈ ఫార్ములాలు మొత్తం ఉత్పత్తికి మారడం యొక్క గుర్తింపుల నుండి అనుసరిస్తాయి:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు

ఈ గుర్తింపులలో, సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్ మరియు క్యూబిక్ పవర్‌లు బహుళ కోణం యొక్క మొదటి శక్తి యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

యూనివర్సల్ ప్రత్యామ్నాయం

సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం కోసం సూత్రాలు సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ పరంగా త్రికోణమితి విధులను వ్యక్తపరుస్తాయి.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πnతో;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ఇక్కడ x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ఇక్కడ x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn తో.

ప్రత్యేక కేసులు

సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల ప్రత్యేక సందర్భాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి (k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం).

సైన్ కోసం గుణకాలు:

సిన్ x విలువ	x విలువ
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk లేదా 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk లేదా -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk లేదా 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk లేదా -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk లేదా 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk లేదా -2π/3 + 2πk

కొసైన్ కోసం గుణకాలు:

cos x విలువ	x విలువ
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

టాంజెంట్ కోసం గుణకాలు:

tg x విలువ	x విలువ
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

కోటాంజెంట్ కోసం గుణకాలు:

ctg x విలువ	x విలువ
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

సిద్ధాంతాలు

సైన్స్ సిద్ధాంతం

సిద్ధాంతం యొక్క రెండు వెర్షన్లు ఉన్నాయి - సాధారణ మరియు పొడిగించబడినవి. సాధారణ సైన్ సిద్ధాంతం: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ఈ సందర్భంలో, a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు α, β, γ వరుసగా వ్యతిరేక కోణాలు.

ఏకపక్ష త్రిభుజం కోసం విస్తరించిన సైన్ సిద్ధాంతం: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ఈ గుర్తింపులో, ఇచ్చిన త్రిభుజం చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని R సూచిస్తుంది.

కొసైన్ సిద్ధాంతం

గుర్తింపు క్రింది విధంగా ప్రదర్శించబడుతుంది: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. సూత్రంలో, a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు α అనేది a వైపుకు వ్యతిరేక కోణం.

టాంజెంట్ సిద్ధాంతం

సూత్రం రెండు కోణాల టాంజెంట్‌లు మరియు వాటికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాల పొడవు మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. భుజాలు a, b, c అని లేబుల్ చేయబడ్డాయి మరియు సంబంధిత వ్యతిరేక కోణాలు α, β, γ. టాంజెంట్ సిద్ధాంతం యొక్క ఫార్ములా: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

కోటాంజెంట్ సిద్ధాంతం

త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని దాని భుజాల పొడవుతో కలుపుతుంది. a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు A, B, C, వరుసగా వాటికి ఎదురుగా ఉండే కోణాలు అయితే, r అనేది లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు p అనేది త్రిభుజం యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలత, ఈ క్రిందివి గుర్తింపులు చెల్లుతాయి:

• cot A/2 = (p-a)/r;
• మంచం B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r.

అప్లికేషన్

త్రికోణమితి - మాత్రమే కాదు సైద్ధాంతిక శాస్త్రంగణిత సూత్రాలతో అనుబంధించబడింది. దీని లక్షణాలు, సిద్ధాంతాలు మరియు నియమాలు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ శాఖలచే ఆచరణలో ఉపయోగించబడతాయి - ఖగోళశాస్త్రం, గాలి మరియు సముద్ర నావిగేషన్, సంగీత సిద్ధాంతం, జియోడెసీ, కెమిస్ట్రీ, ధ్వనిశాస్త్రం, ఆప్టిక్స్, ఎలక్ట్రానిక్స్, ఆర్కిటెక్చర్, ఎకనామిక్స్, మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్, కొలిచే పని, కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్, కార్టోగ్రఫీ, ఓషనోగ్రఫీ మరియు అనేక ఇతరాలు.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ అనేవి త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, దీని సహాయంతో త్రిభుజంలోని కోణాలు మరియు పొడవుల మధ్య సంబంధాలను గణితశాస్త్రంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు గుర్తింపులు, సిద్ధాంతాలు మరియు నియమాల ద్వారా అవసరమైన పరిమాణాలను కనుగొనవచ్చు.

ప్రాథమిక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మధ్య సంబంధాలు - సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ - పేర్కొనబడ్డాయి త్రికోణమితి సూత్రాలు. మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మధ్య చాలా కనెక్షన్లు ఉన్నందున, ఇది త్రికోణమితి సూత్రాల సమృద్ధిని వివరిస్తుంది. కొన్ని సూత్రాలు ఒకే కోణం యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను కలుపుతాయి, మరికొన్ని - బహుళ కోణం యొక్క విధులు, మరికొన్ని - డిగ్రీని తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి, నాల్గవది - అన్ని ఫంక్షన్‌లను సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ ద్వారా వ్యక్తీకరించడం మొదలైనవి.

ఈ వ్యాసంలో మేము అన్ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలను క్రమంలో జాబితా చేస్తాము, ఇవి చాలా వరకు త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సరిపోతాయి. కంఠస్థం మరియు ఉపయోగం సౌలభ్యం కోసం, మేము వాటిని ఉద్దేశ్యంతో సమూహపరుస్తాము మరియు వాటిని పట్టికలుగా నమోదు చేస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపులు

ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపులుఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ మధ్య సంబంధాన్ని నిర్వచించండి. వారు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అలాగే యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క భావన నుండి అనుసరిస్తారు. ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌ను ఏదైనా ఇతర పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి అవి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

ఈ త్రికోణమితి సూత్రాలు, వాటి ఉత్పన్నం మరియు అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణల వివరణాత్మక వివరణ కోసం, కథనాన్ని చూడండి.

తగ్గింపు సూత్రాలు

తగ్గింపు సూత్రాలుసైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క లక్షణాల నుండి అనుసరించండి, అనగా, అవి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ఆవర్తన లక్షణం, సమరూపత యొక్క ఆస్తి, అలాగే ఇచ్చిన కోణం ద్వారా బదిలీ యొక్క ఆస్తిని ప్రతిబింబిస్తాయి. ఈ త్రికోణమితి సూత్రాలు ఏకపక్ష కోణాలతో పని చేయడం నుండి సున్నా నుండి 90 డిగ్రీల వరకు కోణాలతో పని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

ఈ సూత్రాలకు హేతుబద్ధత, వాటిని గుర్తుంచుకోవడానికి ఒక జ్ఞాపక నియమం మరియు వాటి అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను వ్యాసంలో అధ్యయనం చేయవచ్చు.

అదనపు సూత్రాలు

త్రికోణమితి సంకలన సూత్రాలురెండు కోణాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం యొక్క త్రికోణమితి విధులు ఆ కోణాల త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పరంగా ఎలా వ్యక్తీకరించబడతాయో చూపుతాయి. ఈ సూత్రాలు క్రింది త్రికోణమితి సూత్రాలను రూపొందించడానికి ఆధారం.

డబుల్, ట్రిపుల్ మొదలైన వాటి కోసం సూత్రాలు. కోణం

డబుల్, ట్రిపుల్ మొదలైన వాటి కోసం సూత్రాలు. కోణం (వాటిని బహుళ కోణ సూత్రాలు అని కూడా పిలుస్తారు) డబుల్, ట్రిపుల్ మొదలైన వాటి యొక్క త్రికోణమితి విధులు ఎలా ఉంటాయో చూపుతాయి. కోణాలు () ఒకే కోణం యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. వాటి ఉత్పన్నం అదనపు సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మరిన్ని వివరణాత్మక సమాచారండబుల్, ట్రిపుల్, మొదలైన వాటి కోసం వ్యాసం సూత్రాలలో సేకరించబడింది. కోణం

సగం కోణ సూత్రాలు

సగం కోణ సూత్రాలుసగం కోణం యొక్క త్రికోణమితి విధులు మొత్తం కోణం యొక్క కొసైన్ పరంగా ఎలా వ్యక్తీకరించబడతాయో చూపుతుంది. ఈ త్రికోణమితి సూత్రాలు డబుల్ కోణ సూత్రాల నుండి అనుసరిస్తాయి.

వారి ముగింపు మరియు అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలు వ్యాసంలో చూడవచ్చు.

డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు

డిగ్రీలను తగ్గించడానికి త్రికోణమితి సూత్రాలునుండి పరివర్తనను సులభతరం చేయడానికి ఉద్దేశించబడ్డాయి సహజ డిగ్రీలుత్రికోణమితి విధులు సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లకు మొదటి డిగ్రీ, కానీ బహుళ కోణాలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల శక్తులను మొదటిదానికి తగ్గించడానికి అవి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాలు

ప్రధాన ప్రయోజనం త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాలుఫంక్షన్ల ఉత్పత్తికి వెళ్లడం, ఇది త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ సూత్రాలు త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో కూడా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి, ఎందుకంటే అవి సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని కారకం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

కొసైన్ ద్వారా సైన్స్, కొసైన్‌లు మరియు సైన్ల ఉత్పత్తికి సూత్రాలు

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి నుండి మొత్తం లేదా వ్యత్యాసానికి మారడం అనేది సైన్స్, కొసైన్‌లు మరియు సైన్ బై కొసైన్‌ల ఉత్పత్తికి సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది.

బాష్మాకోవ్ M. I.బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: పాఠ్య పుస్తకం. 10-11 తరగతులకు. సగటు పాఠశాల - 3వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 1993. - 351 p.: అనారోగ్యం. - ISBN 5-09-004617-4.

బీజగణితంమరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం: ప్రో. 10-11 తరగతులకు. సాధారణ విద్య సంస్థలు / A. N. కోల్మోగోరోవ్, A. M. అబ్రమోవ్, యు. P. డుడ్నిట్సిన్ మరియు ఇతరులు; Ed. A. N. కోల్మోగోరోవ్ - 14వ ఎడిషన్ - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.

గుసేవ్ V. A., మోర్డ్కోవిచ్ A. G.గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్): Proc. భత్యం.- M.; ఎక్కువ పాఠశాల, 1984.-351 p., అనారోగ్యం.

తెలివైన విద్యార్థుల ద్వారా కాపీరైట్

అన్ని హక్కులు ప్రత్యేకించబడ్డాయి.
కాపీరైట్ చట్టం ద్వారా రక్షించబడింది. www.site యొక్క అంతర్గత మెటీరియల్స్ మరియు ప్రదర్శనతో సహా ఏ భాగాన్ని ఏ రూపంలోనైనా పునరుత్పత్తి చేయకూడదు లేదా కాపీరైట్ హోల్డర్ యొక్క ముందస్తు వ్రాతపూర్వక అనుమతి లేకుండా ఉపయోగించబడదు.

సాధారణ భావనలను అర్థం చేసుకుందాం: సైన్ మరియు కొసైన్మరియు గణన కొసైన్ స్క్వేర్డ్ మరియు సైన్ స్క్వేర్డ్.

సైన్ మరియు కొసైన్ త్రికోణమితి (లంబకోణ త్రిభుజాల అధ్యయనం)లో అధ్యయనం చేయబడతాయి.

కాబట్టి, ముందుగా, లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాథమిక భావనలను గుర్తుంచుకోండి:

హైపోటెన్యూస్- ఎల్లప్పుడూ లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే వైపు (90 డిగ్రీల కోణం). హైపోటెన్యూస్ అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క పొడవైన వైపు.

లంబ త్రిభుజంలో మిగిలిన రెండు భుజాలను అంటారు కాళ్ళు.

త్రిభుజంలో మూడు కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 180° వరకు జోడించబడతాయని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

ఇప్పుడు మనం ముందుకు వెళ్దాం యాంగిల్ ఆల్ఫా (∠α) యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్(దీనిని త్రిభుజంలో ఏదైనా పరోక్ష కోణం అని పిలుస్తారు లేదా హోదాగా ఉపయోగించవచ్చు x - "x", ఇది సారాన్ని మార్చదు).

యాంగిల్ ఆల్ఫా యొక్క సైన్ (సిన్ ∠α)- ఇది ఒక వైఖరి ఎదురుగాకాలు (సంబంధిత కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు) హైపోటెన్యూస్‌కు. మీరు బొమ్మను చూస్తే, పాపం ∠ABC = AC / BC

కోసైన్ ఆఫ్ యాంగిల్ ఆల్ఫా (cos ∠α)- వైఖరి ప్రక్కనేహైపోటెన్యూస్కు లెగ్ యొక్క కోణం వరకు. పై బొమ్మను మళ్లీ చూస్తే, cos ∠ABC = AB / BC

మరియు ఒక రిమైండర్‌గా: కొసైన్ మరియు సైన్ ఎప్పటికీ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండవు, ఎందుకంటే ఏదైనా రోల్ హైపోటెన్యూస్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (మరియు హైపోటెన్యూస్ ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క పొడవైన వైపు, ఎందుకంటే పొడవైన వైపు త్రిభుజంలో అతిపెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది) .

కొసైన్ స్క్వేర్డ్, సైన్ స్క్వేర్డ్

ఇప్పుడు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలకు వెళ్దాం: కొసైన్ స్క్వేర్డ్ మరియు సైన్ స్క్వేర్డ్‌ను గణించడం.

వాటిని లెక్కించడానికి, మీరు ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును గుర్తుంచుకోవాలి:

sin 2 α + cos 2 α = 1(సైన్ స్క్వేర్ ప్లస్ ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ స్క్వేర్ ఎల్లప్పుడూ ఒకదానికి సమానం).

త్రికోణమితి గుర్తింపు నుండి మేము సైన్ గురించి తీర్మానాలు చేస్తాము:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

సైన్ స్క్వేర్ ఆల్ఫాడబుల్ యాంగిల్ ఆల్ఫా యొక్క కొసైన్‌ను ఒక మైనస్‌కి సమానం మరియు వీటన్నింటిని రెండుగా విభజించండి.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​త్రికోణమితి గుర్తింపు నుండి మేము కొసైన్ గురించి తీర్మానాలు చేస్తాము:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

లేదా ఫార్ములా యొక్క మరింత క్లిష్టమైన వెర్షన్: కొసైన్ స్క్వేర్ ఆల్ఫాఒకదానితో పాటు డబుల్ యాంగిల్ ఆల్ఫా యొక్క కొసైన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతిదానిని రెండుగా విభజించండి.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

ఈ రెండు ఎక్కువ సంక్లిష్ట సూత్రాలుసైన్ స్క్వేర్డ్ మరియు కొసైన్ స్క్వేర్డ్ "త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల స్క్వేర్‌ల డిగ్రీని తగ్గించడం" అని కూడా అంటారు. ఆ. రెండవ డిగ్రీ ఉంది, వారు దానిని మొదటిదానికి తగ్గించారు మరియు లెక్కలు మరింత సౌకర్యవంతంగా మారాయి.

సైన్ (), కొసైన్ (), టాంజెంట్ (), కోటాంజెంట్ () భావనలు కోణం భావనతో విడదీయరాని విధంగా ముడిపడి ఉన్నాయి. వీటిపై మంచి అవగాహన కలిగి ఉండటానికి, మొదటి చూపులో, సంక్లిష్ట భావనలు (చాలా మంది పాఠశాల పిల్లలలో భయానక స్థితిని కలిగిస్తాయి), మరియు “డెవిల్ అతను చిత్రించినంత భయంకరమైనది కాదు” అని నిర్ధారించుకోవడానికి చాలా ప్రారంభంలో మరియు కోణం యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోండి.

కోణం భావన: రేడియన్, డిగ్రీ

చిత్రాన్ని చూద్దాం. వెక్టర్ కొంత మొత్తంలో పాయింట్‌కి సంబంధించి "మారింది". కాబట్టి ప్రారంభ స్థానానికి సంబంధించి ఈ భ్రమణ కొలత ఉంటుంది మూలలో.

కోణం యొక్క భావన గురించి మీరు ఇంకా ఏమి తెలుసుకోవాలి? బాగా, వాస్తవానికి, కోణం యూనిట్లు!

కోణం, జ్యామితి మరియు త్రికోణమితి రెండింటిలోనూ, డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌లలో కొలవవచ్చు.

(ఒక డిగ్రీ) కోణాన్ని అంటారు కేంద్ర కోణంఒక వృత్తంలో, వృత్తం యొక్క భాగానికి సమానమైన వృత్తాకార ఆర్క్ ఆధారంగా. అందువలన, మొత్తం వృత్తం వృత్తాకార ఆర్క్ల "ముక్కలు" కలిగి ఉంటుంది లేదా సర్కిల్ ద్వారా వివరించబడిన కోణం సమానంగా ఉంటుంది.

అంటే, పైన ఉన్న బొమ్మ దానికి సమానమైన కోణాన్ని చూపుతుంది, అంటే, ఈ కోణం చుట్టుకొలత పరిమాణంలో వృత్తాకార ఆర్క్‌పై ఉంటుంది.

రేడియన్‌లలోని కోణం అనేది వృత్తాకార ఆర్క్‌తో కూడిన వృత్తంలోని కేంద్ర కోణం, దీని పొడవు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది. బాగా, మీరు దాన్ని గుర్తించారా? కాకపోతే, డ్రాయింగ్ నుండి దాన్ని గుర్తించండి.

కాబట్టి, ఫిగర్ రేడియన్‌కు సమానమైన కోణాన్ని చూపుతుంది, అనగా, ఈ కోణం వృత్తాకార ఆర్క్‌పై ఉంటుంది, దీని పొడవు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది (పొడవు పొడవు లేదా వ్యాసార్థానికి సమానం పొడవుకు సమానంఆర్క్‌లు). అందువలన, ఆర్క్ పొడవు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

రేడియన్లలో కేంద్ర కోణం ఎక్కడ ఉంది.

సరే, ఇది తెలుసుకుని, వృత్తం వివరించిన కోణంలో ఎన్ని రేడియన్లు ఉన్నాయో మీరు సమాధానం చెప్పగలరా? అవును, దీని కోసం మీరు చుట్టుకొలత కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి. ఇదిగో ఇది:

సరే, ఇప్పుడు ఈ రెండు సూత్రాలను పరస్పరం అనుసంధానం చేద్దాం మరియు సర్కిల్ ద్వారా వివరించిన కోణం సమానంగా ఉందని కనుగొనండి. అంటే, డిగ్రీలు మరియు రేడియన్లలో విలువను పరస్పరం అనుసంధానించడం ద్వారా, మనం దానిని పొందుతాము. వరుసగా, . మీరు చూడగలిగినట్లుగా, "డిగ్రీలు" వలె కాకుండా, "రేడియన్" అనే పదం విస్మరించబడింది, ఎందుకంటే కొలత యూనిట్ సాధారణంగా సందర్భం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది.

ఎన్ని రేడియన్లు ఉన్నాయి? నిజమే!

అర్థమైందా? ఆపై కొనసాగండి మరియు దాన్ని పరిష్కరించండి:

ఇబ్బందులు ఉన్నాయా? అప్పుడు చూడండి సమాధానాలు:

కుడి త్రిభుజం: సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ ఆఫ్ యాంగిల్

కాబట్టి, మేము కోణం యొక్క భావనను కనుగొన్నాము. అయితే కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి? దాన్ని గుర్తించండి. దీన్ని చేయడానికి, కుడి త్రిభుజం మాకు సహాయం చేస్తుంది.

లంబ త్రిభుజం యొక్క భుజాలను ఏమంటారు? అది సరైనది, హైపోటెన్యూస్ మరియు కాళ్లు: హైపోటెన్యూస్ అనేది లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే వైపు (మా ఉదాహరణలో ఇది వైపు); కాళ్లు మిగిలిన రెండు భుజాలు మరియు (ప్రక్కనే ఉన్నవి లంబ కోణం), మరియు, మేము కోణానికి సంబంధించి కాళ్ళను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, కాలు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు, మరియు కాలు వ్యతిరేకం. కాబట్టి, ఇప్పుడు ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వండి: ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి?

కోణం యొక్క సైన్- ఇది హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక (సుదూర) కాలు యొక్క నిష్పత్తి.

మా త్రిభుజంలో.

కోణం యొక్క కొసైన్- ఇది హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే (దగ్గరగా) కాలు యొక్క నిష్పత్తి.

మా త్రిభుజంలో.

కోణం యొక్క టాంజెంట్- ఇది ప్రక్కనే (దగ్గరగా) వ్యతిరేక (సుదూర) వైపు నిష్పత్తి.

మా త్రిభుజంలో.

కోణం యొక్క కోటాంజెంట్- ఇది ప్రక్కనే ఉన్న (దగ్గరగా) లెగ్ సరసన (దూరం) నిష్పత్తి.

మా త్రిభుజంలో.

ఈ నిర్వచనాలు అవసరం గుర్తుంచుకోవాలి! ఏ కాలును దేనికి విభజించాలో సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు దానిని స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి టాంజెంట్మరియు కోటాంజెంట్కాళ్ళు మాత్రమే కూర్చుంటాయి మరియు హైపోటెన్యూస్ మాత్రమే కనిపిస్తుంది సైనస్మరియు కొసైన్. ఆపై మీరు అసోసియేషన్ల గొలుసుతో రావచ్చు. ఉదాహరణకు, ఇది:

కొసైన్→టచ్→టచ్→ప్రక్కనే;

కోటాంజెంట్→టచ్→టచ్→ప్రక్కనే.

అన్నింటిలో మొదటిది, త్రిభుజం యొక్క భుజాల నిష్పత్తుల వలె సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ఈ భుజాల పొడవుపై (అదే కోణంలో) ఆధారపడి ఉండవని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. నన్ను నమ్మలేదా? అప్పుడు చిత్రాన్ని చూడటం ద్వారా నిర్ధారించుకోండి:

ఉదాహరణకు, కోణం యొక్క కొసైన్‌ను పరిగణించండి. నిర్వచనం ప్రకారం, త్రిభుజం నుండి: , కానీ మనం త్రిభుజం నుండి కోణం యొక్క కొసైన్‌ను లెక్కించవచ్చు: . మీరు చూడండి, భుజాల పొడవు భిన్నంగా ఉంటాయి, కానీ ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ విలువ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. అందువలన, సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ విలువలు కోణం యొక్క పరిమాణంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటాయి.

మీరు నిర్వచనాలను అర్థం చేసుకుంటే, ముందుకు సాగండి మరియు వాటిని ఏకీకృతం చేయండి!

దిగువ చిత్రంలో చూపిన త్రిభుజం కోసం, మేము కనుగొంటాము.

బాగా, మీకు అర్థమైందా? ఆపై మీరే ప్రయత్నించండి: కోణం కోసం అదే లెక్కించండి.

యూనిట్ (త్రికోణమితి) సర్కిల్

డిగ్రీ మరియు రేడియన్ భావనలను అర్థం చేసుకోవడం, మేము వ్యాసార్థానికి సమానమైన వృత్తాన్ని పరిగణించాము. అటువంటి సర్కిల్ అంటారు సింగిల్. త్రికోణమితి చదివేటప్పుడు ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, దానిని కొంచెం వివరంగా చూద్దాం.

మీరు గమనిస్తే, ఈ సర్కిల్ కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్మించబడింది. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది, అయితే వృత్తం యొక్క కేంద్రం అక్షాంశాల మూలం వద్ద ఉంటుంది, వ్యాసార్థ వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ స్థానం అక్షం యొక్క సానుకూల దిశలో స్థిరంగా ఉంటుంది (మా ఉదాహరణలో, ఇది వ్యాసార్థం).

సర్కిల్‌లోని ప్రతి బిందువు రెండు సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది: అక్షం కోఆర్డినేట్ మరియు అక్షం కోఆర్డినేట్. ఈ కోఆర్డినేట్ సంఖ్యలు ఏమిటి? మరియు సాధారణంగా, వారు చేతిలో ఉన్న అంశంతో ఏమి చేయాలి? ఇది చేయుటకు, పరిగణించబడిన లంబ త్రిభుజం గురించి మనం గుర్తుంచుకోవాలి. పై చిత్రంలో, మీరు రెండు పూర్తి కుడి త్రిభుజాలను చూడవచ్చు. ఒక త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. ఇది దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం దేనికి సమానం? అది నిజమే. అదనంగా, అది యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం అని మనకు తెలుసు, అంటే . ఈ విలువను కొసైన్ కోసం మన ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. ఏమి జరుగుతుందో ఇక్కడ ఉంది:

త్రిభుజం దేనికి సమానం? బాగా కోర్సు యొక్క! ఈ ఫార్ములాలో వ్యాసార్థం విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేసి, పొందండి:

కాబట్టి, ఒక వృత్తానికి చెందిన ఒక బిందువు ఏ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉందో మీరు చెప్పగలరా? బాగా, మార్గం లేదా? మీరు దానిని గ్రహించి కేవలం సంఖ్యలు అయితే? ఇది ఏ కోఆర్డినేట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది? బాగా, వాస్తవానికి, అక్షాంశాలు! మరియు ఇది ఏ కోఆర్డినేట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది? అది నిజం, కోఆర్డినేట్స్! అందువలన, కాలం.

అప్పుడు ఏమిటి మరియు సమానం? అది సరియైనది, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క సంబంధిత నిర్వచనాలను ఉపయోగిస్తాము మరియు దానిని పొందండి, a.

కోణం పెద్దగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? ఉదాహరణకు, ఈ చిత్రంలో ఉన్నట్లుగా:

ఈ ఉదాహరణలో ఏమి మారింది? దాన్ని గుర్తించండి. దీన్ని చేయడానికి, కుడి త్రిభుజానికి మళ్లీ తిరగండి. లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి: కోణం (కోణానికి ప్రక్కనే ఉంటుంది). కోణం కోసం సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ విలువలు ఏమిటి? అది నిజం, మేము త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంబంధిత నిర్వచనాలకు కట్టుబడి ఉంటాము:

బాగా, మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కోణం యొక్క సైన్ యొక్క విలువ ఇప్పటికీ కోఆర్డినేట్కు అనుగుణంగా ఉంటుంది; కోణం యొక్క కొసైన్ విలువ - కోఆర్డినేట్; మరియు సంబంధిత నిష్పత్తులకు టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ విలువలు. అందువలన, ఈ సంబంధాలు వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క ఏదైనా భ్రమణానికి వర్తిస్తాయి.

వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ స్థానం అక్షం యొక్క సానుకూల దిశలో ఉందని ఇప్పటికే పేర్కొనబడింది. ఇప్పటి వరకు మనం ఈ వెక్టార్‌ని అపసవ్య దిశలో తిప్పాము, అయితే దానిని సవ్యదిశలో తిప్పితే ఏమవుతుంది? అసాధారణమైనది ఏమీ లేదు, మీరు ఒక నిర్దిష్ట విలువ యొక్క కోణాన్ని కూడా పొందుతారు, కానీ అది ప్రతికూలంగా మాత్రమే ఉంటుంది. అందువలన, వ్యాసార్థం వెక్టర్ అపసవ్య దిశలో తిరిగేటప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది సానుకూల కోణాలు, మరియు సవ్యదిశలో తిరిగేటప్పుడు - ప్రతికూల.

కాబట్టి, ఒక వృత్తం చుట్టూ వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క మొత్తం విప్లవం లేదా అని మనకు తెలుసు. వ్యాసార్థం వెక్టార్‌కి లేదా దానికి తిప్పడం సాధ్యమేనా? బాగా, మీరు చేయవచ్చు! మొదటి సందర్భంలో, కాబట్టి, వ్యాసార్థం వెక్టర్ ఒక పూర్తి విప్లవం చేస్తుంది మరియు స్థానం వద్ద లేదా ఆగిపోతుంది.

రెండవ సందర్భంలో, అంటే, వ్యాసార్థం వెక్టర్ మూడు పూర్తి విప్లవాలు చేస్తుంది మరియు స్థానం వద్ద లేదా ఆగిపోతుంది.

ఈ విధంగా, పై ఉదాహరణల నుండి మనం భిన్నమైన కోణాలు లేదా (ఏదైనా పూర్ణాంకం ఉన్న చోట) వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క అదే స్థానానికి అనుగుణంగా ఉంటాయని నిర్ధారించవచ్చు.

దిగువ బొమ్మ ఒక కోణాన్ని చూపుతుంది. అదే చిత్రం మూలలో మొదలైన వాటికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ జాబితాను నిరవధికంగా కొనసాగించవచ్చు. ఈ కోణాలన్నింటినీ సాధారణ సూత్రం ద్వారా వ్రాయవచ్చు లేదా (ఏదైనా పూర్ణాంకం ఎక్కడ ఉంది)

ఇప్పుడు, ప్రాథమిక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలను తెలుసుకోవడం మరియు యూనిట్ సర్కిల్ ఉపయోగించి, విలువలు ఏమిటో సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నించండి:

మీకు సహాయం చేయడానికి ఇక్కడ ఒక యూనిట్ సర్కిల్ ఉంది:

ఇబ్బందులు ఉన్నాయా? అప్పుడు దాన్ని గుర్తించండి. కాబట్టి మనకు ఇది తెలుసు:

ఇక్కడ నుండి, మేము నిర్దిష్ట కోణ కొలతలకు సంబంధించిన పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయిస్తాము. సరే, క్రమంలో ప్రారంభిద్దాం: వద్ద ఉన్న కోణం కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి:

ఉనికిలో లేదు;

ఇంకా, అదే లాజిక్‌కు కట్టుబడి, మూలలు వరుసగా కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము. ఇది తెలుసుకోవడం, సంబంధిత పాయింట్ల వద్ద త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను గుర్తించడం సులభం. ముందుగా మీరే ప్రయత్నించండి, ఆపై సమాధానాలను తనిఖీ చేయండి.

సమాధానాలు:

ఉనికిలో లేదు

ఉనికిలో లేదు

ఉనికిలో లేదు

ఉనికిలో లేదు

కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది పట్టికను తయారు చేయవచ్చు:

ఈ విలువలన్నీ గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదు. యూనిట్ సర్కిల్‌లోని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువల మధ్య అనురూప్యాన్ని గుర్తుంచుకోవడం సరిపోతుంది:

కానీ కోణాల త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలు మరియు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి, తప్పక గుర్తుంచుకోవాలి:

భయపడవద్దు, ఇప్పుడు మేము మీకు ఒక ఉదాహరణ చూపుతాము సంబంధిత విలువలను గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం:

ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి, కోణం యొక్క మూడు కొలతలు (), అలాగే కోణం యొక్క టాంజెంట్ విలువ కోసం సైన్ యొక్క విలువలను గుర్తుంచుకోవడం చాలా అవసరం. ఈ విలువలను తెలుసుకోవడం, మొత్తం పట్టికను పునరుద్ధరించడం చాలా సులభం - కొసైన్ విలువలు బాణాలకు అనుగుణంగా బదిలీ చేయబడతాయి, అనగా:

ఇది తెలుసుకోవడం, మీరు విలువలను పునరుద్ధరించవచ్చు. న్యూమరేటర్ " " సరిపోలుతుంది మరియు " " హారం సరిపోలుతుంది. చిత్రంలో సూచించిన బాణాలకు అనుగుణంగా కోటాంజెంట్ విలువలు బదిలీ చేయబడతాయి. మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకుని, బాణాలతో రేఖాచిత్రాన్ని గుర్తుంచుకుంటే, టేబుల్ నుండి అన్ని విలువలను గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది.

వృత్తంలోని బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు

వృత్తంలో ఒక బిందువును (దాని కోఆర్డినేట్‌లు) కనుగొనడం సాధ్యమేనా, వృత్తం యొక్క కేంద్రం, దాని వ్యాసార్థం మరియు భ్రమణ కోణం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తెలుసుకోవడం?

బాగా, మీరు చేయవచ్చు! దాన్ని బయటకు తీద్దాం సాధారణ సూత్రంపాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి.

ఉదాహరణకు, ఇక్కడ మన ముందు ఒక సర్కిల్ ఉంది:

బిందువు వృత్తం యొక్క కేంద్రం అని మాకు ఇవ్వబడింది. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సమానంగా ఉంటుంది. పాయింట్‌ను డిగ్రీల ద్వారా తిప్పడం ద్వారా పొందిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అవసరం.

ఫిగర్ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు సర్కిల్ యొక్క కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, అనగా అది సమానంగా ఉంటుంది. కొసైన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును వ్యక్తీకరించవచ్చు:

అప్పుడు మేము పాయింట్ కోఆర్డినేట్ కోసం దానిని కలిగి ఉన్నాము.

అదే లాజిక్‌ని ఉపయోగించి, మేము పాయింట్ కోసం y కోఆర్డినేట్ విలువను కనుగొంటాము. అందువలన,

కాబట్టి, లో సాధారణ వీక్షణపాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

సర్కిల్ మధ్యలో కోఆర్డినేట్లు,

వృత్త వ్యాసార్థం,

వెక్టార్ వ్యాసార్థం యొక్క భ్రమణ కోణం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము పరిశీలిస్తున్న యూనిట్ సర్కిల్ కోసం, ఈ సూత్రాలు గణనీయంగా తగ్గించబడ్డాయి, ఎందుకంటే కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్లు సున్నాకి సమానం మరియు వ్యాసార్థం ఒకదానికి సమానం:

సరే, సర్కిల్‌లో పాయింట్‌లను కనుగొనడం సాధన చేయడం ద్వారా ఈ సూత్రాలను ప్రయత్నిద్దాం?

1. పాయింట్‌ను ఆన్ చేయడం ద్వారా పొందిన యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

2. పాయింట్‌ను ఆన్ చేయడం ద్వారా పొందిన యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

3. పాయింట్‌ను ఆన్ చేయడం ద్వారా పొందిన యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

4. పాయింట్ అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సమానంగా ఉంటుంది. ప్రారంభ వ్యాసార్థం వెక్టర్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అవసరం.

5. పాయింట్ వృత్తం యొక్క కేంద్రం. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సమానంగా ఉంటుంది. ప్రారంభ వ్యాసార్థం వెక్టర్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అవసరం.

సర్కిల్‌పై పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడంలో సమస్య ఉందా?

ఈ ఐదు ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి (లేదా వాటిని పరిష్కరించడంలో మంచిగా ఉండండి) మరియు మీరు వాటిని కనుగొనడం నేర్చుకుంటారు!

1.

అది మీరు గమనించగలరు. కానీ ప్రారంభ స్థానం యొక్క పూర్తి విప్లవానికి ఏది అనుగుణంగా ఉంటుందో మనకు తెలుసు. అందువలన, కావలసిన పాయింట్ తిరిగేటప్పుడు అదే స్థితిలో ఉంటుంది. ఇది తెలుసుకోవడం, మేము పాయింట్ యొక్క అవసరమైన కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము:

2. యూనిట్ సర్కిల్ ఒక పాయింట్ వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంది, అంటే మనం సరళీకృత సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు:

అది మీరు గమనించగలరు. ప్రారంభ స్థానం యొక్క రెండు పూర్తి విప్లవాలకు ఏది అనుగుణంగా ఉంటుందో మాకు తెలుసు. అందువలన, కావలసిన పాయింట్ తిరిగేటప్పుడు అదే స్థితిలో ఉంటుంది. ఇది తెలుసుకోవడం, మేము పాయింట్ యొక్క అవసరమైన కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము:

సైన్ మరియు కొసైన్ పట్టిక విలువలు. మేము వాటి అర్థాలను గుర్తుచేసుకుంటాము మరియు పొందుతాము:

అందువలన, కావలసిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది.

3. యూనిట్ సర్కిల్ ఒక పాయింట్ వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంది, అంటే మనం సరళీకృత సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు:

అది మీరు గమనించగలరు. చిత్రంలో ప్రశ్నలోని ఉదాహరణను చిత్రీకరిద్దాం:

వ్యాసార్థం కోణాలను అక్షంతో సమానంగా చేస్తుంది. కొసైన్ మరియు సైన్ యొక్క పట్టిక విలువలు సమానంగా ఉన్నాయని తెలుసుకోవడం మరియు ఇక్కడ కొసైన్ ప్రతికూల విలువను తీసుకుంటుందని మరియు సైన్ సానుకూల విలువను తీసుకుంటుందని నిర్ధారించడం ద్వారా, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

అంశంలో త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను తగ్గించడానికి సూత్రాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు ఇటువంటి ఉదాహరణలు మరింత వివరంగా చర్చించబడతాయి.

అందువలన, కావలసిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది.

4.

వెక్టర్ యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క భ్రమణ కోణం (షరతు ప్రకారం)

సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క సంబంధిత సంకేతాలను గుర్తించడానికి, మేము యూనిట్ సర్కిల్ మరియు కోణాన్ని నిర్మిస్తాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, విలువ, అంటే, సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు విలువ, అంటే, ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. సంబంధిత త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పట్టిక విలువలను తెలుసుకోవడం, మేము దానిని పొందుతాము:

పొందిన విలువలను మా ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి:

అందువలన, కావలసిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది.

5. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మేము సాధారణ రూపంలో సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము, ఎక్కడ

సర్కిల్ మధ్యలో కోఆర్డినేట్‌లు (మా ఉదాహరణలో,

సర్కిల్ వ్యాసార్థం (షరతు ప్రకారం)

వెక్టర్ యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క భ్రమణ కోణం (షరతు ద్వారా).

ఫార్ములాలో అన్ని విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు పొందండి:

మరియు - పట్టిక విలువలు. వాటిని ఫార్ములాలో గుర్తుంచుకోండి మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

అందువలన, కావలసిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది.

సారాంశం మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

ఒక కోణం యొక్క సైన్ అనేది వ్యతిరేక (దూర) కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి.

ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న (దగ్గరగా) లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి.

ఒక కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది వ్యతిరేక (దూర) వైపు ప్రక్కనే (దగ్గరగా) వైపు నిష్పత్తి.

ఒక కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న (దగ్గరగా) వ్యతిరేక (దూరం) వైపు నిష్పత్తి.

త్రికోణమితి అనేది గణిత శాస్త్రంలో ఒక శాఖ, ఇది త్రికోణమితి విధులను మరియు జ్యామితిలో వాటి ఉపయోగాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది. త్రికోణమితి అభివృద్ధి చాలా రోజులలో ప్రారంభమైంది పురాతన గ్రీస్. మధ్య యుగాలలో, మధ్యప్రాచ్యం మరియు భారతదేశం నుండి శాస్త్రవేత్తలు ఈ శాస్త్రం అభివృద్ధికి ముఖ్యమైన కృషి చేశారు.

ఈ వ్యాసం త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలకు అంకితం చేయబడింది. ఇది ప్రాథమిక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలను చర్చిస్తుంది: సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్. వాటి అర్థం జ్యామితి సందర్భంలో వివరించబడింది మరియు వివరించబడింది.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ప్రారంభంలో, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలు, దీని వాదన ఒక కోణంగా ఉంటుంది, ఇవి లంబ త్రిభుజం యొక్క భుజాల నిష్పత్తిలో వ్యక్తీకరించబడ్డాయి.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలు

ఒక కోణం యొక్క సైన్ (sin α) అనేది ఈ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి.

కోణం యొక్క కొసైన్ (cos α) - హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి.

యాంగిల్ టాంజెంట్ (t g α) - ప్రక్క ప్రక్కకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి.

యాంగిల్ కోటాంజెంట్ (c t g α) - ప్రక్కనే ఉన్న వైపు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి.

ఈ నిర్వచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి తీవ్రమైన కోణంకుడి త్రిభుజం!

ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం.

IN త్రిభుజం ABCలంబ కోణం Cతో, కోణం A యొక్క సైన్ లెగ్ BC మరియు హైపోటెన్యూస్ AB నిష్పత్తికి సమానం.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాలు త్రిభుజం యొక్క భుజాల తెలిసిన పొడవుల నుండి ఈ ఫంక్షన్ల విలువలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం!

సైన్ మరియు కొసైన్ విలువల పరిధి -1 నుండి 1 వరకు ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సైన్ మరియు కొసైన్ -1 నుండి 1 వరకు విలువలను తీసుకుంటాయి. టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క విలువల పరిధి మొత్తం సంఖ్య రేఖ, అంటే, ఈ విధులు ఏవైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు.

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనాలు తీవ్రమైన కోణాలకు వర్తిస్తాయి. త్రికోణమితిలో, భ్రమణ కోణం యొక్క భావన ప్రవేశపెట్టబడింది, దీని విలువ తీవ్రమైన కోణం వలె కాకుండా, డిగ్రీలు లేదా రేడియన్లలోని భ్రమణ కోణం - ∞ నుండి + ∞ నుండి ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ఈ సందర్భంలో, మేము ఏకపక్ష పరిమాణం యొక్క కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను నిర్వచించవచ్చు. కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలం వద్ద దాని కేంద్రంతో యూనిట్ సర్కిల్‌ను ఊహించుకుందాం.

కోఆర్డినేట్‌లతో ప్రారంభ బిందువు A (1, 0) యూనిట్ సర్కిల్ మధ్యలో ఒక నిర్దిష్ట కోణం α ద్వారా తిరుగుతుంది మరియు పాయింట్ A 1కి వెళుతుంది. పాయింట్ A 1 (x, y) యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల పరంగా నిర్వచనం ఇవ్వబడింది.

భ్రమణ కోణం యొక్క సైన్ (పాపం).

భ్రమణ కోణం α యొక్క సైన్ అనేది పాయింట్ A 1 (x, y) యొక్క ఆర్డినేట్. sin α = y

భ్రమణ కోణం యొక్క కొసైన్ (cos).

భ్రమణ కోణం α యొక్క కొసైన్ పాయింట్ A 1 (x, y) యొక్క అబ్సిస్సా. cos α = x

భ్రమణ కోణం యొక్క టాంజెంట్ (tg).

భ్రమణ కోణం యొక్క టాంజెంట్ α అనేది పాయింట్ A 1 (x, y) యొక్క ఆర్డినేట్ మరియు దాని అబ్సిస్సాకు నిష్పత్తి. t g α = y x

భ్రమణ కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ (ctg).

భ్రమణ కోణం α యొక్క కోటాంజెంట్ అనేది పాయింట్ A 1 (x, y) యొక్క అబ్సిస్సా దాని ఆర్డినేట్‌కు నిష్పత్తి. c t g α = x y

ఏదైనా భ్రమణ కోణం కోసం సైన్ మరియు కొసైన్ నిర్వచించబడతాయి. ఇది తార్కికం, ఎందుకంటే భ్రమణ తర్వాత ఒక బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ ఏ కోణంలోనైనా నిర్ణయించబడతాయి. టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌తో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. భ్రమణం తర్వాత ఒక బిందువు సున్నా అబ్సిస్సా (0, 1) మరియు (0, - 1)తో ఒక బిందువుకు వెళ్లినప్పుడు టాంజెంట్ నిర్వచించబడదు. అటువంటి సందర్భాలలో, టాంజెంట్ t g α = y x యొక్క వ్యక్తీకరణ కేవలం అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే ఇది సున్నా ద్వారా విభజనను కలిగి ఉంటుంది. కోటాంజెంట్‌తోనూ ఇదే పరిస్థితి. వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ సున్నాకి వెళ్లే సందర్భాలలో కోటాంజెంట్ నిర్వచించబడదు.

గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం!

సైన్ మరియు కొసైన్ ఏ కోణాల కోసం నిర్వచించబడ్డాయి α.

α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) మినహా అన్ని కోణాలకు టాంజెంట్ నిర్వచించబడింది

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) మినహా అన్ని కోణాలకు కోటాంజెంట్ నిర్వచించబడింది

ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు, "భ్రమణ కోణం యొక్క సైన్ ఆఫ్ α" అని చెప్పకండి. "భ్రమణం యొక్క కోణం" అనే పదాలు కేవలం విస్మరించబడ్డాయి, ఇది చర్చించబడుతున్న సందర్భం నుండి ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉందని సూచిస్తుంది.

సంఖ్యలు

ఒక సంఖ్య యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనం గురించి ఏమిటి మరియు భ్రమణ కోణం కాదు?

ఒక సంఖ్య యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్

సంఖ్య యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ tసైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ఇన్‌లకు వరుసగా సమానమైన సంఖ్య tరేడియన్.

ఉదాహరణకు, 10 π సంఖ్య యొక్క సైన్ 10 π రాడ్ యొక్క భ్రమణ కోణం యొక్క సైన్కి సమానం.

సంఖ్య యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను నిర్ణయించడానికి మరొక విధానం ఉంది. దానిని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య tయూనిట్ సర్కిల్‌లోని ఒక బిందువు దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలం వద్ద ఉన్న కేంద్రంతో అనుబంధించబడుతుంది. సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.

సర్కిల్‌పై ప్రారంభ స్థానం కోఆర్డినేట్‌లతో (1, 0) పాయింట్ A.

సానుకూల సంఖ్య t

ప్రతికూల సంఖ్య tవృత్తం చుట్టూ అపసవ్య దిశలో కదులుతున్నట్లయితే ప్రారంభ స్థానం వెళ్ళే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది దారిలో వెళ్తుంది t.

ఇప్పుడు సర్కిల్‌పై సంఖ్య మరియు బిందువు మధ్య కనెక్షన్ స్థాపించబడింది, మేము సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్తాము.

t యొక్క సైన్ (పాపం).

సంఖ్య యొక్క సైన్ t- సంఖ్యకు అనుగుణంగా యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఒక బిందువును ఆర్డినేట్ చేయండి t. sin t = y

t యొక్క కొసైన్ (cos).

సంఖ్య యొక్క కొసైన్ t- సంఖ్యకు సంబంధించిన యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా t. cos t = x

t యొక్క టాంజెంట్ (tg).

సంఖ్య యొక్క టాంజెంట్ t- సంఖ్యకు అనుగుణంగా యూనిట్ సర్కిల్‌లోని బిందువు యొక్క అబ్సిస్సాకు ఆర్డినేట్ యొక్క నిష్పత్తి t. t g t = y x = sin t cos t

తాజా నిర్వచనాలు ఈ పేరా ప్రారంభంలో ఇచ్చిన నిర్వచనానికి అనుగుణంగా ఉన్నాయి మరియు విరుద్ధంగా లేవు. సంఖ్యకు సంబంధించిన సర్కిల్‌పై పాయింట్ చేయండి t, ఒక కోణం ద్వారా తిరిగిన తర్వాత ప్రారంభ స్థానం వెళ్ళే బిందువుతో సమానంగా ఉంటుంది tరేడియన్.

కోణీయ మరియు సంఖ్యా వాదన యొక్క త్రికోణమితి విధులు

కోణం α యొక్క ప్రతి విలువ ఈ కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. α = 90 ° + 180 ° k కాకుండా అన్ని కోణాల వలె, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) నిర్దిష్ట టాంజెంట్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. కోటాంజెంట్, పైన పేర్కొన్న విధంగా, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) మినహా అన్ని α కోసం నిర్వచించబడింది.

sin α, cos α, t g α, c t g α అనేవి యాంగిల్ ఆల్ఫా యొక్క విధులు లేదా కోణీయ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విధులు అని మనం చెప్పగలం.

అదేవిధంగా, మనం సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ గురించి సంఖ్యా వాదం యొక్క విధులుగా మాట్లాడవచ్చు. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య tసంఖ్య యొక్క సైన్ లేదా కొసైన్ యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది t. π 2 + π · k, k ∈ Z కాకుండా అన్ని సంఖ్యలు టాంజెంట్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. కోటాంజెంట్, అదేవిధంగా, π · k, k ∈ Z మినహా అన్ని సంఖ్యలకు నిర్వచించబడింది.

త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక విధులు

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ (కోణీయ ఆర్గ్యుమెంట్ లేదా న్యూమరిక్ ఆర్గ్యుమెంట్) యొక్క ఏ ఆర్గ్యుమెంట్‌తో మేము వ్యవహరిస్తున్నాము అనేది సాధారణంగా సందర్భం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది.

ప్రారంభంలో ఇచ్చిన నిర్వచనాలు మరియు 0 నుండి 90 డిగ్రీల పరిధిలో ఉండే ఆల్ఫా యాంగిల్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క త్రికోణమితి నిర్వచనాలు పూర్తిగా స్థిరంగా ఉంటాయి రేఖాగణిత నిర్వచనాలు, లంబ త్రిభుజం యొక్క కారక నిష్పత్తులను ఉపయోగించి ఇవ్వబడింది. చూపిద్దాం.

దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో కేంద్రంతో యూనిట్ సర్కిల్‌ను తీసుకుందాం. ప్రారంభ బిందువు A (1, 0)ని 90 డిగ్రీల కోణంలో తిప్పండి మరియు ఫలితంగా వచ్చే పాయింట్ A 1 (x, y) నుండి abscissa అక్షానికి లంబంగా గీయండి. ఫలితంగా లంబ త్రిభుజంలో, కోణం A 1 O H భ్రమణ కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది α, లెగ్ O H యొక్క పొడవు A 1 (x, y) బిందువు యొక్క అబ్సిస్సాకు సమానం. కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు యొక్క పొడవు A 1 (x, y) బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం.

జ్యామితి నుండి నిర్వచనానికి అనుగుణంగా, కోణం α యొక్క సైన్ హైపోటెన్యూస్‌కు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

దీనర్థం, కారక నిష్పత్తి ద్వారా లంబ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్‌ని నిర్ణయించడం అనేది భ్రమణ కోణం α యొక్క సైన్‌ని నిర్ణయించడానికి సమానం, ఆల్ఫా 0 నుండి 90 డిగ్రీల పరిధిలో ఉంటుంది.

అదేవిధంగా, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ కోసం నిర్వచనాల అనురూపాన్ని చూపవచ్చు.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి