గణిత అంచనా (జనాభా సగటు) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్

భావన గణిత నిరీక్షణఒక డై విసిరే ఉదాహరణను ఉపయోగించి చూడవచ్చు. ప్రతి త్రోతో, పడిపోయిన పాయింట్లు నమోదు చేయబడతాయి. వాటిని వ్యక్తీకరించడానికి, 1 - 6 పరిధిలో సహజ విలువలు ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్దిష్ట సంఖ్యలో త్రోల తర్వాత, సాధారణ గణనలను ఉపయోగించి, మీరు చుట్టిన పాయింట్ల అంకగణిత సగటును కనుగొనవచ్చు.

పరిధిలోని ఏదైనా విలువలు సంభవించినట్లే, ఈ విలువ యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది.

మీరు త్రోల సంఖ్యను అనేక సార్లు పెంచినట్లయితే? వద్ద పెద్ద పరిమాణంలోత్రోలు, పాయింట్ల అంకగణిత సగటు నిర్దిష్ట సంఖ్యను చేరుకుంటుంది, సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో గణిత నిరీక్షణ అని పిలుస్తారు.

కాబట్టి, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా మనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువను సూచిస్తాము. ఈ సూచిక సంభావ్య విలువ విలువల యొక్క వెయిటెడ్ మొత్తంగా కూడా ప్రదర్శించబడుతుంది.

ఈ భావనకు అనేక పర్యాయపదాలు ఉన్నాయి:

• సగటు;
• సగటు విలువ;
• కేంద్ర ధోరణి యొక్క సూచిక;
• మొదటి క్షణం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు పంపిణీ చేయబడిన సంఖ్య కంటే మరేమీ కాదు.

మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను అర్థం చేసుకునే విధానాలు కొంత భిన్నంగా ఉంటాయి.

దీనిని ఇలా పరిగణించవచ్చు:

• పెద్ద సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి అటువంటి నిర్ణయాన్ని పరిగణించినప్పుడు, నిర్ణయం తీసుకోవడం ద్వారా పొందిన సగటు ప్రయోజనం;
• గెలుపు లేదా ఓడిపోయే అవకాశం (సిద్ధాంతం జూదం), ప్రతి పందెం కోసం సగటున లెక్కించబడుతుంది. యాసలో, అవి "ప్లేయర్స్ అడ్వాంటేజ్" (ప్లేయర్‌కి పాజిటివ్) లేదా "కాసినో అడ్వాంటేజ్" (ప్లేయర్‌కి నెగిటివ్) లాగా ఉంటాయి;
• విజయాల నుండి పొందిన లాభం శాతం.

అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు నిరీక్షణ తప్పనిసరి కాదు. సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రంలో వ్యత్యాసం ఉన్నవారికి ఇది ఉండదు.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు

ఏదైనా గణాంక పరామితి వలె, గణిత నిరీక్షణ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది:

గణిత నిరీక్షణ కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలు

గణిత నిరీక్షణ యొక్క గణన కొనసాగింపు (ఫార్ములా A) మరియు విచక్షణ (ఫార్ములా B) రెండింటి ద్వారా వర్గీకరించబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం రెండింటినీ నిర్వహించవచ్చు:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, ఇక్కడ xi అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు, pi అనేది సంభావ్యతలు:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, ఇక్కడ f(x) అనేది ఇచ్చిన సంభావ్యత సాంద్రత.

గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ A.

స్నో వైట్ గురించి అద్భుత కథలో మరుగుజ్జుల సగటు ఎత్తును కనుగొనడం సాధ్యమేనా? 7 మరుగుజ్జుల్లో ప్రతి ఒక్కరికి ఒక నిర్దిష్ట ఎత్తు ఉందని తెలిసింది: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 మరియు 0.81 మీ.

గణన అల్గోరిథం చాలా సులభం:

• వృద్ధి సూచిక (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్) యొక్క అన్ని విలువల మొత్తాన్ని మేము కనుగొంటాము:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• ఫలిత మొత్తాన్ని పిశాచాల సంఖ్యతో విభజించండి:
  6,31:7=0,90.

ఈ విధంగా, ఒక అద్భుత కథలో పిశాచములు యొక్క సగటు ఎత్తు 90 సెం.మీ.

వర్కింగ్ ఫార్ములా - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

గణిత నిరీక్షణ యొక్క ఆచరణాత్మక అమలు

గణిత నిరీక్షణ యొక్క గణాంక సూచిక యొక్క గణన ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో ఆశ్రయించబడుతుంది. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము వాణిజ్య రంగం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. అన్నింటికంటే, ఈ సూచిక యొక్క హ్యూజెన్స్ యొక్క పరిచయం కొన్ని సంఘటనలకు అనుకూలంగా ఉండే అవకాశాలను నిర్ణయించడంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, అననుకూలమైనది.

ఈ పరామితి నష్టాలను అంచనా వేయడానికి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, ప్రత్యేకించి ఆర్థిక పెట్టుబడుల విషయానికి వస్తే.
అందువలన, వ్యాపారంలో, ధరలను లెక్కించేటప్పుడు ప్రమాదాన్ని అంచనా వేయడానికి గణిత నిరీక్షణ యొక్క గణన ఒక పద్ధతిగా పనిచేస్తుంది.

ఈ సూచిక కొన్ని చర్యల ప్రభావాన్ని లెక్కించడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు, కార్మిక రక్షణ. దానికి ధన్యవాదాలు, మీరు ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు.

ఈ పరామితి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క మరొక ప్రాంతం నిర్వహణ. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో కూడా దీనిని లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, చాపను ఉపయోగించడం. అంచనాల ప్రకారం, మీరు ఉత్పత్తి చేయబడిన లోపభూయిష్ట భాగాల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు.

శాస్త్రీయ పరిశోధన సమయంలో పొందిన ఫలితాల గణాంక ప్రాసెసింగ్‌ను నిర్వహించేటప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కూడా ఎంతో అవసరం. లక్ష్యం సాధించే స్థాయిని బట్టి ప్రయోగం లేదా అధ్యయనం యొక్క కావలసిన లేదా అవాంఛనీయ ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అన్నింటికంటే, దాని సాధన లాభం మరియు ప్రయోజనంతో ముడిపడి ఉంటుంది మరియు దాని వైఫల్యం నష్టం లేదా నష్టంతో ముడిపడి ఉంటుంది.

ఫారెక్స్‌లో గణిత నిరీక్షణను ఉపయోగించడం

విదేశీ మారక మార్కెట్‌లో లావాదేవీలను నిర్వహించేటప్పుడు ఈ గణాంక పరామితి యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం సాధ్యమవుతుంది. దాని సహాయంతో, మీరు వాణిజ్య లావాదేవీల విజయాన్ని విశ్లేషించవచ్చు. అంతేకాకుండా, అంచనా విలువలో పెరుగుదల వారి విజయంలో పెరుగుదలను సూచిస్తుంది.

వ్యాపారి పనితీరును విశ్లేషించడానికి ఉపయోగించే ఏకైక గణాంక పరామితిగా గణిత నిరీక్షణను పరిగణించరాదని గుర్తుంచుకోవడం కూడా ముఖ్యం. సగటు విలువతో పాటు అనేక గణాంక పారామితుల ఉపయోగం విశ్లేషణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణనీయంగా పెంచుతుంది.

ట్రేడింగ్ ఖాతాల పరిశీలనలను పర్యవేక్షించడంలో ఈ పరామితి బాగా నిరూపించబడింది. దానికి ధన్యవాదాలు, డిపాజిట్ ఖాతాలో నిర్వహించిన పని యొక్క శీఘ్ర అంచనా నిర్వహించబడుతుంది. వ్యాపారి యొక్క కార్యకలాపం విజయవంతమై, నష్టాలను నివారించే సందర్భాలలో, గణిత అంచనాల గణనను ప్రత్యేకంగా ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడదు. ఈ సందర్భాలలో, నష్టాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు, ఇది విశ్లేషణ యొక్క ప్రభావాన్ని తగ్గిస్తుంది.

వ్యాపారుల వ్యూహాలపై నిర్వహించిన అధ్యయనాలు సూచిస్తున్నాయి:

• అత్యంత ప్రభావవంతమైన వ్యూహాలు యాదృచ్ఛిక ప్రవేశంపై ఆధారపడి ఉంటాయి;
• నిర్మాణాత్మక ఇన్‌పుట్‌లపై ఆధారపడిన వ్యూహాలు తక్కువ ప్రభావవంతమైనవి.

సానుకూల ఫలితాలను సాధించడంలో, తక్కువ ముఖ్యమైనవి కాదు:

• డబ్బు నిర్వహణ వ్యూహాలు;
• నిష్క్రమణ వ్యూహాలు.

గణిత నిరీక్షణ వంటి సూచికను ఉపయోగించి, మీరు 1 డాలర్ పెట్టుబడి పెట్టినప్పుడు లాభం లేదా నష్టం ఏమిటో అంచనా వేయవచ్చు. క్యాసినోలో ప్రాక్టీస్ చేసే అన్ని ఆటల కోసం లెక్కించిన ఈ సూచిక స్థాపనకు అనుకూలంగా ఉందని తెలిసింది. ఇది డబ్బు సంపాదించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఆటల యొక్క సుదీర్ఘ శ్రేణి విషయంలో, క్లయింట్ డబ్బును కోల్పోయే సంభావ్యత గణనీయంగా పెరుగుతుంది.

వృత్తిపరమైన ఆటగాళ్ళు ఆడే ఆటలు స్వల్ప కాలానికి పరిమితం చేయబడతాయి, ఇది గెలిచే సంభావ్యతను పెంచుతుంది మరియు ఓడిపోయే ప్రమాదాన్ని తగ్గిస్తుంది. పెట్టుబడి కార్యకలాపాలను నిర్వహించేటప్పుడు అదే నమూనా గమనించబడుతుంది.

పెట్టుబడిదారుడు సానుకూల అంచనాలను కలిగి ఉండటం మరియు తక్కువ వ్యవధిలో పెద్ద సంఖ్యలో లావాదేవీలు చేయడం ద్వారా గణనీయమైన మొత్తాన్ని సంపాదించవచ్చు.

సగటు లాభం (AW)తో గుణించబడిన లాభం (PW) మరియు నష్ట సంభావ్యత (PL) సగటు నష్టం (AL) ద్వారా గుణించబడిన లాభం శాతం మధ్య వ్యత్యాసాన్ని నిరీక్షణగా భావించవచ్చు.

ఉదాహరణగా, మేము ఈ క్రింది వాటిని పరిగణించవచ్చు: స్థానం - 12.5 వేల డాలర్లు, పోర్ట్‌ఫోలియో - 100 వేల డాలర్లు, డిపాజిట్ రిస్క్ - 1%. లావాదేవీల లాభదాయకత 40% కేసులలో సగటు లాభం 20%. నష్టం విషయంలో, సగటు నష్టం 5%. లావాదేవీకి సంబంధించిన గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడం వలన $625 విలువ వస్తుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్పంపిణీ చట్టాలతో పాటు, వాటిని కూడా వివరించవచ్చు సంఖ్యా లక్షణాలు .

గణిత నిరీక్షణయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క M (x)ని దాని సగటు విలువ అంటారు.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ – యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు, p నేను-వారి సంభావ్యతలు.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం:

1. స్థిరాంకం యొక్క గణిత నిరీక్షణ స్థిరాంకానికి సమానం

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణిస్తే, గణిత అంచనా అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది

M (kx) = kM (x)

3. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2, … x n కోసం, ఉత్పత్తి యొక్క గణిత అంచనా వారి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం.

M(x) = = .

ఉదాహరణ 12.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2 పంపిణీ చట్టాల ద్వారా తదనుగుణంగా పేర్కొనబడనివ్వండి:

x 1 టేబుల్ 2

x 2 టేబుల్ 3

M (x 1) మరియు M (x 2) లను గణిద్దాం

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు ఒకేలా ఉంటాయి - అవి సున్నాకి సమానం. అయితే, వాటి పంపిణీ స్వభావం భిన్నంగా ఉంటుంది. x 1 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటే, x 2 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి చాలా వరకు భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు అటువంటి విచలనాల సంభావ్యత చిన్నది కాదు. ఈ ఉదాహరణలు దాని నుండి చిన్నవి మరియు పెద్దవి రెండింటిలో ఏ విచలనాలు సంభవిస్తాయో సగటు విలువ నుండి గుర్తించడం అసాధ్యం అని చూపిస్తుంది. కాబట్టి అదే తో సగటురెండు ప్రాంతాలలో వార్షిక వర్షపాతం ఆధారంగా, ఈ ప్రాంతాలు వ్యవసాయ పనులకు సమానంగా అనుకూలంగా ఉన్నాయని చెప్పలేము. సగటును పోలి ఉంటుంది వేతనాలుఅధిక మరియు తక్కువ జీతం పొందే కార్మికుల నిష్పత్తిని నిర్ధారించడం సాధ్యం కాదు. అందువలన, ఒక సంఖ్యా లక్షణం పరిచయం చేయబడింది - చెదరగొట్టడం D(x) , యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ నుండి విచలనం యొక్క డిగ్రీని వర్ణిస్తుంది:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

డిస్పర్షన్ అనేది గణిత నిరీక్షణ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత నిరీక్షణ. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం, వైవిధ్యం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

D(x)= = (3)

వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి అది D (x) 0ని అనుసరిస్తుంది.

వ్యాప్తి లక్షణాలు:

1. స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం సున్నా

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణించినట్లయితే, ఆ వ్యత్యాసం ఈ సంఖ్య యొక్క వర్గంతో గుణించబడుతుంది

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. పెయిర్‌వైజ్ ఇండిపెండెంట్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 , … x n మొత్తము యొక్క భేదం వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం.

గణిత నిరీక్షణ M (x) = 1. కాబట్టి, ఫార్ములా (3) ప్రకారం మనకు:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

మీరు ప్రాపర్టీ 3ని ఉపయోగిస్తే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం సులభం అని గమనించండి:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణ 12 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 కోసం వ్యత్యాసాలను గణిద్దాం. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు సున్నా.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

వ్యత్యాస విలువ సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటే, సగటు విలువకు సంబంధించి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క చిన్న వ్యాప్తి.

పరిమాణం అంటారు ప్రామాణిక విచలనం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x వివిక్త రకం Mdఅత్యధిక సంభావ్యత కలిగిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువను అంటారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x నిరంతర రకం Md, అనేది సంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రత f(x) యొక్క గరిష్ట బిందువుగా నిర్వచించబడిన వాస్తవ సంఖ్య.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం x నిరంతర రకం Mnసమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే వాస్తవ సంఖ్య

పరిష్కారం:

6.1.2 గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు

1. స్థిరమైన విలువ యొక్క గణిత అంచనా స్థిరాంకానికి సమానంగా ఉంటుంది.

2. స్థిరమైన కారకాన్ని గణిత నిరీక్షణకు చిహ్నంగా తీసుకోవచ్చు.

3. రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ ఆస్తి నిజం ఏదైనా సంఖ్యయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్.

4. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత అంచనా, నిబంధనల యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం.

ఈ లక్షణం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏకపక్ష సంఖ్యకు కూడా వర్తిస్తుంది.

ఉదాహరణ: M(X) = 5, M(Y)= 2. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి Z, గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేయడం, అది తెలిస్తే Z=2X+3Y.

పరిష్కారం: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం

2) గణిత నిరీక్షణ గుర్తు నుండి స్థిరమైన కారకాన్ని తీసివేయవచ్చు

n స్వతంత్ర ట్రయల్స్ నిర్వహించబడనివ్వండి, ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత pకి సమానం. అప్పుడు కింది సిద్ధాంతం ఉంది:

సిద్ధాంతం. n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య యొక్క గణిత నిరీక్షణ M(X) అనేది ట్రయల్స్ సంఖ్య మరియు ప్రతి ట్రయల్‌లో ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతకు సమానం.

6.1.3 వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి

గణిత నిరీక్షణ యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియను పూర్తిగా వర్గీకరించదు. గణిత నిరీక్షణతో పాటు, గణిత అంచనా నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల విచలనాన్ని వివరించే విలువను నమోదు చేయడం అవసరం.

ఈ విచలనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు దాని గణిత అంచనాల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం. ఈ సందర్భంలో, విచలనం యొక్క గణిత అంచనా సున్నా. సాధ్యమయ్యే కొన్ని విచలనాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి, మరికొన్ని ప్రతికూలంగా ఉంటాయి మరియు వాటి పరస్పర రద్దు ఫలితంగా, సున్నా పొందడం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.

చెదరగొట్టడం (చెదరగొట్టడం)వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని గణిత నిరీక్షణ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత నిరీక్షణ.

ఆచరణలో, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించే ఈ పద్ధతి అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే పెద్ద సంఖ్యలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువల కోసం గజిబిజి గణనలకు దారి తీస్తుంది.

అందువలన, మరొక పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

సిద్ధాంతం. వైవిధ్యం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క గణిత నిరీక్షణ మరియు దాని గణిత నిరీక్షణ యొక్క వర్గానికి మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.

రుజువు. గణిత నిరీక్షణ M(X) మరియు గణిత నిరీక్షణ M2(X) యొక్క స్క్వేర్ స్థిరమైన పరిమాణాలు అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఉదాహరణ. పంపిణీ చట్టం ద్వారా అందించబడిన వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి.

X
X 2
ఆర్	0.2	0.3	0.1	0.4

పరిష్కారం: .

6.1.4 వ్యాప్తి లక్షణాలు

1. స్థిరమైన విలువ యొక్క వైవిధ్యం సున్నా. .

2. స్థిరమైన కారకాన్ని స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా డిస్పర్షన్ సైన్ నుండి బయటకు తీయవచ్చు. .

3. రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం. .

4. రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క వ్యత్యాసం ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం. .

సిద్ధాంతం. n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య యొక్క వైవిధ్యం, ప్రతి దానిలో ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత p స్థిరంగా ఉంటుంది, ఇది సంభవించే మరియు కాని సంభావ్యత ద్వారా ట్రయల్స్ సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ప్రతి ట్రయల్‌లో జరిగిన సంఘటన.

ఉదాహరణ: DSV X యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి - 2 స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య, ఈ ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత ఒకేలా ఉంటే మరియు M(X) = 1.2 అని తెలిస్తే.

విభాగం 6.1.2 నుండి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. కనుక్కొందాం p:

1,2 = 2∙p

p = 1,2/2

q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం

ప్రామాణిక విచలనంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xని భేదం యొక్క వర్గమూలం అంటారు.

(25)

సిద్ధాంతం. పరస్పర స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క పరిమిత సంఖ్య మొత్తం యొక్క ప్రామాణిక విచలనం సమానం వర్గమూలంఈ పరిమాణాల ప్రామాణిక విచలనాల చతురస్రాల మొత్తం నుండి.

6.1.6 వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం

ఫ్యాషన్ M o DSVయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత సంభావ్య విలువను అంటారు (అనగా అత్యధిక సంభావ్యతను కలిగి ఉన్న విలువ)

మధ్యస్థ M e DSVపంపిణీ శ్రేణిని సగానికి విభజించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల సంఖ్య సమానంగా ఉంటే, మధ్యస్థం రెండు సగటు విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుగా కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణ: DSV యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థాన్ని కనుగొనండి X:

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

M e = = 5,5

పని పురోగతి

1. మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోండి సైద్ధాంతిక భాగంఈ పని (ఉపన్యాసాలు, పాఠ్య పుస్తకం).

2. మీ స్వంత సంస్కరణ ప్రకారం పనిని పూర్తి చేయండి.

3. పనిపై నివేదికను రూపొందించండి.

4. మీ ఉద్యోగాన్ని రక్షించుకోండి.

2. పని యొక్క ఉద్దేశ్యం.

3. పని పురోగతి.

4. మీ స్వంత ఎంపికను పరిష్కరించడం.

6.4 టాస్క్ ఎంపికలు స్వతంత్ర పని

ఎంపిక #1

1. పంపిణీ చట్టం ద్వారా అందించబడిన DSV X యొక్క గణిత నిరీక్షణ, వ్యాప్తి, ప్రామాణిక విచలనం, మోడ్ మరియు మధ్యస్థాన్ని కనుగొనండి.

X
పి	0.1	0.6	0.2	0.1

2. X మరియు Y యొక్క గణిత అంచనాలు తెలిసినట్లయితే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Z యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. DSV X యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి - రెండు స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య, ఈ ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్‌లు సంభవించే సంభావ్యత ఒకేలా ఉంటే మరియు M (X) = 1 అని తెలిస్తే.

4. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువల జాబితా ఇవ్వబడింది X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

ఎంపిక సంఖ్య 2

X
పి	0.3	0.1	0.2	0.4

2. X మరియు Y యొక్క గణిత అంచనాలు తెలిసినట్లయితే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Z యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. DSV X యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి - మూడు స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య, ఈ ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్‌లు సంభవించే సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటే మరియు M (X) = 0.9 అని తెలిస్తే.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, మరియు ఈ విలువ మరియు దాని స్క్వేర్ యొక్క గణిత అంచనాలు కూడా తెలుసు: , . సంభావ్యతలను కనుగొనండి , , యొక్క సాధ్యమైన విలువలకు అనుగుణంగా , , మరియు DSV పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి.

ఎంపిక #3

1. పంపిణీ చట్టం ద్వారా అందించబడిన DSV X యొక్క గణిత అంచనా, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనండి.

X
పి	0.5	0.1	0.2	0.3

2. X మరియు Y యొక్క గణిత అంచనాలు తెలిసినట్లయితే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Z యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. DSV X యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి - నాలుగు స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ A యొక్క సంఘటనల సంఖ్య, ఈ ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్‌లు సంభవించే సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటే మరియు M (x) = 1.2 అని తెలిస్తే.

4. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క సాధ్యమైన విలువల జాబితా ఇవ్వబడింది: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4= 5, మరియు ఈ విలువ మరియు దాని స్క్వేర్ యొక్క గణిత అంచనాలు కూడా అంటారు: , . సంభావ్యతలను కనుగొనండి , , యొక్క సాధ్యమైన విలువలకు అనుగుణంగా , , మరియు DSV పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి.

ఎంపిక సంఖ్య 4

1. పంపిణీ చట్టం ద్వారా అందించబడిన DSV X యొక్క గణిత అంచనా, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనండి.

- 10 నవజాత శిశువులలో అబ్బాయిల సంఖ్య.

ఈ సంఖ్య ముందుగానే తెలియదని ఖచ్చితంగా తెలుస్తుంది మరియు పుట్టిన తరువాతి పది మంది పిల్లలు వీటిని కలిగి ఉండవచ్చు:

లేదా అబ్బాయిలు - ఒకటి మరియు ఒక్కటేజాబితా చేయబడిన ఎంపికల నుండి.

మరియు, ఆకారంలో ఉంచడానికి, కొద్దిగా శారీరక విద్య:

- లాంగ్ జంప్ దూరం (కొన్ని యూనిట్లలో).

స్పోర్ట్స్ మాస్టర్ కూడా దీనిని అంచనా వేయలేరు :)

అయితే, మీ ఊహలు?

2) నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ - అంగీకరిస్తుంది అన్నీకొన్ని పరిమిత లేదా అనంతమైన విరామం నుండి సంఖ్యా విలువలు.

గమనిక : వి విద్యా సాహిత్యంప్రసిద్ధ సంక్షిప్తాలు DSV మరియు NSV

మొదట, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను విశ్లేషిద్దాం, ఆపై - నిరంతర.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చట్టం

- ఇది ఉత్తరప్రత్యుత్తరాలుఈ పరిమాణం యొక్క సాధ్యమైన విలువలు మరియు వాటి సంభావ్యత మధ్య. చాలా తరచుగా, చట్టం పట్టికలో వ్రాయబడుతుంది:

పదం చాలా తరచుగా కనిపిస్తుంది వరుస పంపిణీ, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది అస్పష్టంగా అనిపిస్తుంది, కాబట్టి నేను "చట్టం"కి కట్టుబడి ఉంటాను.

మరియు ఇప్పుడు చాలా ముఖ్యమైన పాయింట్: యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి తప్పనిసరిగాఅంగీకరిస్తారు విలువలలో ఒకటి, ఆపై సంబంధిత సంఘటనలు ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహంమరియు వాటి సంభవించే సంభావ్యతల మొత్తం ఒకదానికి సమానం:

లేదా, కుదించబడి వ్రాసినట్లయితే:

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, డైలో చుట్టబడిన పాయింట్ల సంభావ్యత పంపిణీ చట్టం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

వ్యాఖ్యలు లేవు.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కేవలం "మంచి" పూర్ణాంకాల విలువలను మాత్రమే తీసుకోగలదనే అభిప్రాయాన్ని మీరు కలిగి ఉండవచ్చు. భ్రమను దూరం చేద్దాం - అవి ఏదైనా కావచ్చు:

ఉదాహరణ 1

కొన్ని గేమ్ కింది విజేత పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉంది:

... మీరు బహుశా చాలా కాలం నుండి అలాంటి పనుల గురించి కలలు కన్నారు :) నేను మీకు ఒక రహస్యం చెబుతాను - నేను కూడా. ముఖ్యంగా నేను పని పూర్తి చేసిన తర్వాత క్షేత్ర సిద్ధాంతం.

పరిష్కారం: యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మూడు విలువలలో ఒకదాన్ని మాత్రమే తీసుకోగలదు కాబట్టి, సంబంధిత సంఘటనలు ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం , అంటే వాటి సంభావ్యత మొత్తం ఒకదానికి సమానం:

"పక్షపాతం"ని బహిర్గతం చేయడం:

– అందువలన, సంప్రదాయ యూనిట్లను గెలుచుకునే సంభావ్యత 0.4.

నియంత్రణ: మేము నిర్ధారించుకోవాల్సిన అవసరం అదే.

సమాధానం:

మీరు మీరే పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు ఇది అసాధారణం కాదు. దీని కోసం వారు ఉపయోగిస్తారు సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం, ఈవెంట్ సంభావ్యత కోసం గుణకారం/అదనపు సిద్ధాంతాలుమరియు ఇతర చిప్స్ టెర్వెరా:

ఉదాహరణ 2

పెట్టెలో 50 ఉన్నాయి లాటరీ టిక్కెట్లు, వీటిలో 12 గెలిచినవి ఉన్నాయి, మరియు వాటిలో 2 ఒక్కొక్కటి 1000 రూబిళ్లు, మరియు మిగిలినవి - ఒక్కొక్కటి 100 రూబిళ్లు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ కోసం ఒక చట్టాన్ని రూపొందించండి - విజయాల పరిమాణం, బాక్స్ నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక టికెట్ డ్రా అయినట్లయితే.

పరిష్కారం: మీరు గమనించినట్లుగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు సాధారణంగా ఉంచబడతాయి ఆరోహణ క్రమంలో. అందువల్ల, మేము చిన్న విజయాలతో ప్రారంభిస్తాము, అవి రూబిళ్లు.

మొత్తం 50 అటువంటి టిక్కెట్లు ఉన్నాయి - 12 = 38, మరియు ప్రకారం శాస్త్రీయ నిర్వచనం:
- యాదృచ్ఛికంగా డ్రా చేసిన టికెట్ ఓడిపోయే సంభావ్యత.

ఇతర సందర్భాల్లో, ప్రతిదీ చాలా సులభం. రూబిళ్లు గెలుచుకునే సంభావ్యత:

తనిఖీ చేయండి: - మరియు ఇది అటువంటి పనుల యొక్క ప్రత్యేకించి ఆహ్లాదకరమైన క్షణం!

సమాధానం: విజయాల పంపిణీకి కావలసిన చట్టం:

కింది పని మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవాలి:

ఉదాహరణ 3

షూటర్ లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత . యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి - 2 షాట్‌ల తర్వాత హిట్‌ల సంఖ్య.

...అతన్ని మిస్ అయ్యారని నాకు తెలుసు :) గుర్తు తెచ్చుకుందాం గుణకారం మరియు సంకలన సిద్ధాంతాలు. పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి.

పంపిణీ చట్టం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పూర్తిగా వివరిస్తుంది, కానీ ఆచరణలో దానిలో కొన్నింటిని మాత్రమే తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది (మరియు కొన్నిసార్లు మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది). సంఖ్యా లక్షణాలు .

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇది సగటు అంచనా విలువపరీక్ష చాలాసార్లు పునరావృతం అయినప్పుడు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యతతో విలువలను తీసుకోనివ్వండి వరుసగా. అప్పుడు ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా సమానంగా ఉంటుంది ఉత్పత్తుల మొత్తందాని అన్ని విలువలు సంబంధిత సంభావ్యతలకు:

లేదా కుప్పకూలింది:

ఉదాహరణకు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను గణిద్దాం - డైలో చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య:

ఇప్పుడు మన ఊహాజనిత ఆటను గుర్తుచేసుకుందాం:

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఈ ఆట ఆడటం లాభదాయకంగా ఉందా? ...ఎవరికి ఏమైనా ముద్రలు ఉన్నాయి? కాబట్టి మీరు దానిని "ఆఫ్‌హ్యాండ్" అని చెప్పలేరు! కానీ గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను లెక్కించడం ద్వారా ఈ ప్రశ్నకు సులభంగా సమాధానం ఇవ్వవచ్చు, ముఖ్యంగా - సగటు బరువుగెలుపు సంభావ్యత ద్వారా:

అందువలన, ఈ గేమ్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ ఓడిపోతున్నారు.

మీ అభిప్రాయాలను నమ్మవద్దు - సంఖ్యలను నమ్మండి!

అవును, ఇక్కడ మీరు వరుసగా 10 మరియు 20-30 సార్లు గెలవవచ్చు, కానీ దీర్ఘకాలంలో మేము అనివార్యమైన నాశనాన్ని ఎదుర్కొంటాము. మరియు అలాంటి ఆటలను ఆడమని నేను మీకు సలహా ఇవ్వను :) బాగా, బహుశా మాత్రమే వినోదం కోసం.

పైన పేర్కొన్న అన్నింటి నుండి గణిత నిరీక్షణ ఇకపై RANDOM విలువ కాదు.

సృజనాత్మక పనికోసం స్వతంత్ర పరిశోధన:

ఉదాహరణ 4

Mr. X క్రింది వ్యవస్థను ఉపయోగించి యూరోపియన్ రౌలెట్‌ను ప్లే చేస్తాడు: అతను నిరంతరం "ఎరుపు"పై 100 రూబిళ్లు పందెం వేస్తాడు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి - దాని విజయాలు. విజయాల యొక్క గణిత నిరీక్షణను లెక్కించండి మరియు దానిని సమీప కోపెక్‌కి రౌండ్ చేయండి. ఎన్ని సగటునఅతను పందెం వేసిన ప్రతి వందకు ఆటగాడు ఓడిపోతాడా?

సూచన : యూరోపియన్ రౌలెట్ 18 ఎరుపు, 18 నలుపు మరియు 1 ఆకుపచ్చ సెక్టార్ ("సున్నా") కలిగి ఉంటుంది. "ఎరుపు" విడుదల చేయబడితే, ఆటగాడికి పందెం కంటే రెట్టింపు చెల్లించబడుతుంది, లేకుంటే అది క్యాసినో ఆదాయానికి వెళుతుంది

మీరు మీ స్వంత సంభావ్యత పట్టికలను సృష్టించగల అనేక ఇతర రౌలెట్ వ్యవస్థలు ఉన్నాయి. కానీ మనకు ఎలాంటి పంపిణీ చట్టాలు మరియు పట్టికలు అవసరం లేనప్పుడు ఇది జరుగుతుంది, ఎందుకంటే ప్లేయర్ యొక్క గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ సరిగ్గా అదే విధంగా ఉంటుందని నిర్ధారించబడింది. వ్యవస్థ నుండి వ్యవస్థకు మారేది ఒక్కటే

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది నిర్వచనం

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిగణిత గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి, విలువల పంపిణీని వర్గీకరించడం లేదా సంభావ్యతలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని పారామితుల యొక్క సగటు సగటుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సాంకేతిక విశ్లేషణ, సంఖ్యల శ్రేణి అధ్యయనం మరియు నిరంతర మరియు దీర్ఘకాలిక ప్రక్రియల అధ్యయనంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది నష్టాలను అంచనా వేయడంలో ముఖ్యమైనది, ఆర్థిక మార్కెట్లలో ట్రేడింగ్ చేసేటప్పుడు ధర సూచికలను అంచనా వేయడం మరియు గేమింగ్ వ్యూహాల యొక్క వ్యూహాలు మరియు పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది. జూదం సిద్ధాంతాలు.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉన్నారు- ఇదియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ, పంపిణీ సంభావ్యతలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిగణించబడుతుంది.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క కొలత. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణను చెక్‌మేట్ చేయండి xద్వారా సూచించబడుతుంది M(x).

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

చెక్‌మేట్ వేచి ఉంది

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోగల అన్ని సాధ్యమైన విలువల సగటు.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయం పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించబడుతుంది.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిజూదం సిద్ధాంతంలో, ఒక స్పెక్యులేటర్ ప్రతి పందెం మీద సగటున సంపాదించగల లేదా కోల్పోయే విజయాల మొత్తం. జూదం భాషలో స్పెక్యులేటర్లుదీనిని కొన్నిసార్లు "ప్రయోజనం" అని పిలుస్తారు స్పెక్యులేటర్" (ఇది స్పెక్యులేటర్‌కు సానుకూలంగా ఉంటే) లేదా "హౌస్ ఎడ్జ్" (స్పెక్యులేటర్‌కు ప్రతికూలంగా ఉంటే).

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

వర్వెండెన్ కుకీలు ఫర్ డై బెస్ట్ ప్రెజెంటేషన్ అన్సెరర్ వెబ్‌సైట్. Wen Sie diese వెబ్‌సైట్ weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. సరే