లంబ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ యొక్క నిర్ధారణ. సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్: త్రికోణమితిలో నిర్వచనాలు, ఉదాహరణలు, సూత్రాలు

ప్రతి విద్యార్థి గణనలను నిర్వహించగలరని మరియు త్రికోణమితి సూత్రాలను తెలుసుకోవాలని ఉపాధ్యాయులు విశ్వసిస్తారు, అయితే ప్రతి ఉపాధ్యాయుడు సైన్ మరియు కొసైన్ ఏమిటో వివరించలేదు. వాటి అర్థం ఏమిటి, అవి ఎక్కడ ఉపయోగించబడతాయి? మనం త్రిభుజాల గురించి ఎందుకు మాట్లాడుతున్నాము, కానీ పాఠ్య పుస్తకం ఒక వృత్తాన్ని చూపిస్తుంది? అన్ని వాస్తవాలను కలపడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

స్కూల్ సబ్జెక్ట్

త్రికోణమితి అధ్యయనం సాధారణంగా 7-8 తరగతులలో ప్రారంభమవుతుంది ఉన్నత పాఠశాల. ఈ సమయంలో, సైన్ మరియు కొసైన్ అంటే ఏమిటో విద్యార్థులకు వివరించబడింది మరియు ఈ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించమని అడుగుతారు. మరిన్ని తర్వాత కనిపిస్తాయి సంక్లిష్ట సూత్రాలుమరియు బీజగణితంగా మార్చవలసిన వ్యక్తీకరణలు (డబుల్ మరియు హాఫ్ యాంగిల్ ఫార్ములాలు, శక్తి విధులు), పని త్రికోణమితి వృత్తంతో నిర్వహించబడుతుంది.

అయినప్పటికీ, ఉపాధ్యాయులు ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించిన భావనల అర్థాన్ని మరియు ఫార్ములాల అన్వయతను స్పష్టంగా వివరించలేరు. అందువల్ల, విద్యార్థి తరచుగా ఈ విషయంలోని పాయింట్‌ను చూడలేడు మరియు గుర్తుంచుకోబడిన సమాచారం త్వరగా మరచిపోతుంది. అయితే, మీరు హైస్కూల్ విద్యార్థికి ఒకసారి వివరిస్తే, ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ మరియు ఆసిలేటరీ మోషన్ మధ్య కనెక్షన్, లాజికల్ కనెక్షన్ చాలా సంవత్సరాలు గుర్తుంచుకోబడుతుంది మరియు విషయం యొక్క పనికిరానితనం గురించి జోకులు గతానికి సంబంధించినవిగా మారతాయి.

వాడుక

ఉత్సుకత కొరకు, భౌతికశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖలను పరిశీలిద్దాం. మీరు ప్రక్షేపకం యొక్క పరిధిని గుర్తించాలనుకుంటున్నారా? లేదా మీరు ఒక వస్తువు మరియు నిర్దిష్ట ఉపరితలం మధ్య ఘర్షణ శక్తిని గణిస్తున్నారా? లోలకాన్ని స్వింగ్ చేయడం, గాజు గుండా వెళుతున్న కిరణాలను చూడటం, ఇండక్షన్‌ను లెక్కించడం? త్రికోణమితి భావనలు దాదాపు ఏ ఫార్ములాలోనైనా కనిపిస్తాయి. కాబట్టి సైన్ మరియు కొసైన్ అంటే ఏమిటి?

నిర్వచనాలు

కోణం యొక్క సైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి, కొసైన్ అనేది అదే హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న వైపు నిష్పత్తి. ఇక్కడ ఖచ్చితంగా సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. త్రికోణమితి పట్టికలో వర్గమూలాలను కలిగి ఉన్నందున విద్యార్థులు సాధారణంగా వారు చూసే విలువలతో గందరగోళానికి గురవుతారు. అవును, వాటి నుండి దశాంశాలను పొందడం చాలా సౌకర్యవంతంగా లేదు, అయితే గణితంలో అన్ని సంఖ్యలు సమానంగా ఉండాలని ఎవరు చెప్పారు?

వాస్తవానికి, మీరు త్రికోణమితి సమస్య పుస్తకాలలో ఫన్నీ సూచనను కనుగొనవచ్చు: ఇక్కడ చాలా సమాధానాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు చెత్త సందర్భంలో, రెండు లేదా మూడు మూలాలను కలిగి ఉంటాయి. ముగింపు చాలా సులభం: మీ సమాధానం "బహుళ-కథ" భిన్నం అని తేలితే, లెక్కలు లేదా తార్కికంలో లోపాల కోసం పరిష్కారాన్ని ఒకటికి రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి. మరియు మీరు వాటిని ఎక్కువగా కనుగొంటారు.

ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి

ఏదైనా శాస్త్రం వలె, త్రికోణమితి నేర్చుకోవలసిన డేటాను కలిగి ఉంటుంది.

మొదట, మీరు లంబ త్రిభుజం సైన్స్, కొసైన్లు 0 మరియు 90, అలాగే 30, 45 మరియు 60 డిగ్రీల కోసం సంఖ్యా విలువలను గుర్తుంచుకోవాలి. ఈ సూచికలు పది పాఠశాల సమస్యలలో తొమ్మిదింటిలో కనిపిస్తాయి. పాఠ్యపుస్తకంలో ఈ విలువలను చూడటం ద్వారా, మీరు చాలా సమయాన్ని కోల్పోతారు మరియు పరీక్ష లేదా పరీక్ష సమయంలో వాటిని చూడడానికి ఎక్కడా ఉండదు.

రెండు ఫంక్షన్ల విలువ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండదని గుర్తుంచుకోవాలి. మీ లెక్కల్లో ఎక్కడైనా మీరు 0-1 పరిధికి వెలుపల విలువను పొందినట్లయితే, ఆపివేసి, సమస్యను మళ్లీ ప్రయత్నించండి.

సైన్ మరియు కొసైన్ వర్గాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం. మీరు ఇప్పటికే విలువల్లో ఒకదాన్ని కనుగొన్నట్లయితే, మిగిలిన దాన్ని కనుగొనడానికి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

సిద్ధాంతాలు

ప్రాథమిక త్రికోణమితిలో రెండు ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి: సైన్స్ మరియు కొసైన్స్.

త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు మరియు వ్యతిరేక కోణం యొక్క సైన్ నిష్పత్తి ఒకే విధంగా ఉంటుందని మొదటిది పేర్కొంది. రెండవది ఏమిటంటే, మిగిలిన రెండు భుజాల చతురస్రాలను జోడించడం ద్వారా మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్‌తో గుణించబడిన వాటి డబుల్ ఉత్పత్తిని తీసివేయడం ద్వారా ఏదైనా వైపు యొక్క వర్గాన్ని పొందవచ్చు.

ఈ విధంగా, మేము 90 డిగ్రీల కోణం యొక్క విలువను కొసైన్ సిద్ధాంతంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు... పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం లభిస్తుంది. ఇప్పుడు, మీరు లంబ త్రిభుజం కాని వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించవలసి వస్తే, మీరు ఇక చింతించాల్సిన అవసరం లేదు - చర్చించిన రెండు సిద్ధాంతాలు సమస్య పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సులభతరం చేస్తాయి.

లక్ష్యాలు మరియు లక్ష్యాలు

మీరు ఒక సాధారణ వాస్తవాన్ని గ్రహించినప్పుడు త్రికోణమితి నేర్చుకోవడం చాలా సులభం అవుతుంది: మీరు చేసే అన్ని చర్యలు కేవలం ఒక లక్ష్యాన్ని సాధించడమే లక్ష్యంగా ఉంటాయి. త్రిభుజం యొక్క ఏదైనా పారామితులు మీకు దాని గురించి కనీస సమాచారం తెలిస్తే కనుగొనవచ్చు - ఇది ఒక కోణం యొక్క విలువ మరియు రెండు భుజాల పొడవు లేదా, ఉదాహరణకు, మూడు భుజాలు కావచ్చు.

ఏదైనా కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్‌ను నిర్ణయించడానికి, ఈ డేటా సరిపోతుంది మరియు వారి సహాయంతో మీరు ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు. దాదాపు ఎల్లప్పుడూ, సమాధానానికి పేర్కొన్న విలువలలో ఒకటి అవసరం మరియు అదే సూత్రాలను ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనవచ్చు.

త్రికోణమితి నేర్చుకోవడంలో అసమానతలు

త్రికోణమితిలో విభిన్న భావనల మధ్య సంబంధాలను కనుగొనడం అనేది విద్యార్థులు నివారించడానికి ఇష్టపడే గందరగోళ ప్రశ్నలలో ఒకటి. కోణాల యొక్క సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లను అధ్యయనం చేయడానికి త్రిభుజాలు ఉపయోగించబడుతున్నాయని అనిపిస్తుంది, అయితే కొన్ని కారణాల వల్ల చిహ్నాలు తరచుగా వృత్తంతో చిత్రంలో కనిపిస్తాయి. అదనంగా, సైన్ వేవ్ అని పిలువబడే పూర్తిగా అపారమయిన తరంగ-వంటి గ్రాఫ్ ఉంది, ఇది వృత్తం లేదా త్రిభుజాలతో బాహ్య పోలికను కలిగి ఉండదు.

అంతేకాకుండా, కోణాలను డిగ్రీలలో లేదా రేడియన్‌లలో కొలుస్తారు మరియు 3.14 (యూనిట్‌లు లేకుండా) అని వ్రాయబడిన Pi సంఖ్య కొన్ని కారణాల వల్ల 180 డిగ్రీలకు అనుగుణంగా సూత్రాలలో కనిపిస్తుంది. ఇదంతా ఎలా కనెక్ట్ చేయబడింది?

కొలత యూనిట్లు

పై సరిగ్గా 3.14 ఎందుకు? దీని అర్థం ఏమిటో మీకు గుర్తుందా? ఇది సగం వృత్తంలో ఒక ఆర్క్‌లో సరిపోయే రేడియాల సంఖ్య. వృత్తం యొక్క వ్యాసం 2 సెంటీమీటర్లు అయితే, చుట్టుకొలత 3.14 * 2 లేదా 6.28 అవుతుంది.

రెండవ అంశం: "రేడియన్" మరియు "వ్యాసార్థం" అనే పదాల మధ్య సారూప్యతను మీరు గమనించి ఉండవచ్చు. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఒక రేడియన్ సంఖ్యాపరంగా వృత్తం మధ్యలో నుండి ఒక వ్యాసార్థం పొడవు గల ఆర్క్‌లో ఉన్న కోణానికి సమానం.

ఇప్పుడు మనం సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని మిళితం చేస్తాము మరియు త్రికోణమితిలో కోఆర్డినేట్ అక్షం పైన “పై సగం” మరియు ఎడమ వైపున “పై” ఎందుకు వ్రాయబడిందో అర్థం చేసుకుంటాము. ఇది రేడియన్‌లలో కొలవబడిన కోణీయ విలువ, ఎందుకంటే సెమిసర్కిల్ 180 డిగ్రీలు లేదా 3.14 రేడియన్‌లు. మరియు డిగ్రీలు ఉన్న చోట, సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లు ఉంటాయి. కావలసిన పాయింట్ నుండి త్రిభుజాన్ని గీయడం సులభం, మధ్యలో మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షానికి విభాగాలను పక్కన పెట్టండి.

భవిష్యత్తును పరిశీలిద్దాం

పాఠశాలలో చదివిన త్రికోణమితి, రెక్టిలినియర్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌తో వ్యవహరిస్తుంది, ఇక్కడ అది ఎంత వింతగా అనిపించినా, సరళ రేఖ సరళ రేఖ.

కానీ ఇంకా ఉంది సంక్లిష్ట మార్గాలుస్థలంతో పని చేయడం: ఇక్కడ త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు మన దృష్టిలో సరళ రేఖ నిజమైన ఆర్క్ లాగా కనిపిస్తుంది.

పదాల నుండి చర్యకు వెళ్దాం! ఒక ఆపిల్ తీసుకోండి. కత్తితో మూడు కోతలు చేయండి, తద్వారా పై నుండి చూసినప్పుడు మీకు త్రిభుజం వస్తుంది. ఫలితంగా ఆపిల్ ముక్కను తీసివేసి, పై తొక్క ముగుస్తున్న "పక్కటెముకలు" చూడండి. అవి అస్సలు సూటిగా ఉండవు. మీ చేతుల్లోని పండును సాంప్రదాయకంగా గుండ్రంగా పిలుస్తారు, కానీ ఇప్పుడు మీరు కత్తిరించిన ముక్క యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనగలిగే సూత్రాలు ఎంత క్లిష్టంగా ఉంటాయో ఊహించండి. కానీ కొంతమంది నిపుణులు ప్రతిరోజూ అలాంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు.

జీవితంలో త్రికోణమితి విధులు

మన గ్రహం యొక్క ఉపరితలంపై పాయింట్ A నుండి పాయింట్ B వరకు విమానం కోసం అతి తక్కువ మార్గం ఉచ్ఛరించబడిన ఆర్క్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉందని మీరు గమనించారా? కారణం చాలా సులభం: భూమి గోళాకారంగా ఉంటుంది, అంటే మీరు త్రిభుజాలను ఉపయోగించి ఎక్కువ లెక్కించలేరు - మీరు మరింత క్లిష్టమైన సూత్రాలను ఉపయోగించాలి.

స్థలానికి సంబంధించిన ఏవైనా ప్రశ్నలలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్/కొసైన్ లేకుండా మీరు చేయలేరు. ఇక్కడ చాలా కారకాలు కలిసి రావడం ఆసక్తికరంగా ఉంది: వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలు మరియు మరింత సంక్లిష్టమైన ఆకృతుల వివిధ పథాల వెంట గ్రహాల కదలికను లెక్కించేటప్పుడు త్రికోణమితి విధులు అవసరం; రాకెట్లు, ఉపగ్రహాలు, షటిల్స్, అన్‌డాకింగ్ పరిశోధన వాహనాలను ప్రయోగించే ప్రక్రియ; పర్యవేక్షణ సుదూర నక్షత్రాలుమరియు భవిష్యత్తులో మానవులు చేరుకోలేని గెలాక్సీల అధ్యయనం.

సాధారణంగా, త్రికోణమితి తెలిసిన వ్యక్తి యొక్క కార్యాచరణ క్షేత్రం చాలా విస్తృతమైనది మరియు స్పష్టంగా, కాలక్రమేణా మాత్రమే విస్తరిస్తుంది.

తీర్మానం

ఈ రోజు మనం సైన్ మరియు కొసైన్ అంటే ఏమిటో నేర్చుకున్నాము లేదా కనీసం పునరావృతం చేసాము. ఇవి మీరు భయపడాల్సిన అవసరం లేని భావనలు - వాటిని కోరుకుంటే మరియు మీరు వాటి అర్థాన్ని అర్థం చేసుకుంటారు. త్రికోణమితి ఒక లక్ష్యం కాదని గుర్తుంచుకోండి, కానీ నిజమైన మానవ అవసరాలను తీర్చడానికి ఉపయోగించే సాధనం మాత్రమే: ఇళ్ళు నిర్మించడం, ట్రాఫిక్ భద్రతను నిర్ధారించడం, విశ్వం యొక్క విశాలతను కూడా అన్వేషించడం.

నిజమే, సైన్స్ బోరింగ్ అనిపించవచ్చు, కానీ మీరు మీ స్వంత లక్ష్యాలను మరియు స్వీయ-సాక్షాత్కారాన్ని సాధించడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొన్న వెంటనే, అభ్యాస ప్రక్రియ ఆసక్తికరంగా మారుతుంది మరియు మీ వ్యక్తిగత ప్రేరణ పెరుగుతుంది.

వంటి హోంవర్క్మీకు వ్యక్తిగతంగా ఆసక్తి కలిగించే కార్యాచరణ ప్రాంతంలో త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను వర్తింపజేయడానికి మార్గాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఊహించుకోండి, మీ ఊహను ఉపయోగించుకోండి, ఆపై భవిష్యత్తులో మీకు కొత్త జ్ఞానం ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని మీరు బహుశా కనుగొంటారు. అంతేకాకుండా, ఆలోచన యొక్క సాధారణ అభివృద్ధికి గణితం ఉపయోగపడుతుంది.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క భావనలు త్రికోణమితి యొక్క ప్రధాన వర్గాలు, గణితశాస్త్రం యొక్క శాఖ, మరియు అవి కోణం యొక్క నిర్వచనంతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. ఈ గణిత శాస్త్ర ప్రావీణ్యం కోసం సూత్రాలు మరియు సిద్ధాంతాల గురించి కంఠస్థం మరియు అవగాహన అవసరం, అలాగే అభివృద్ధి చెందిన ప్రాదేశిక ఆలోచన. అందుకే త్రికోణమితి గణనలు తరచుగా పాఠశాల విద్యార్థులకు మరియు విద్యార్థులకు ఇబ్బందులను కలిగిస్తాయి. వాటిని అధిగమించడానికి, మీరు త్రికోణమితి విధులు మరియు సూత్రాలతో మరింత సుపరిచితులు కావాలి.

త్రికోణమితిలో భావనలు

త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు మొదట లంబ త్రిభుజం మరియు వృత్తంలో ఒక కోణం ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి మరియు అన్ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి గణనలు వాటితో ఎందుకు అనుబంధించబడి ఉన్నాయి. కోణాలలో ఒకటి 90 డిగ్రీలను కొలిచే త్రిభుజం దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది. చారిత్రాత్మకంగా, ఈ సంఖ్యను తరచుగా ఆర్కిటెక్చర్, నావిగేషన్, ఆర్ట్ మరియు ఖగోళ శాస్త్రంలో ప్రజలు ఉపయోగించారు. దీని ప్రకారం, ఈ సంఖ్య యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం మరియు విశ్లేషించడం ద్వారా, ప్రజలు దాని పారామితుల యొక్క సంబంధిత నిష్పత్తులను లెక్కించేందుకు వచ్చారు.

కుడి త్రిభుజాలతో అనుబంధించబడిన ప్రధాన వర్గాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు కాళ్ళు. హైపోటెన్యూస్ - ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు లంబ కోణం. కాళ్ళు, వరుసగా, మిగిలిన రెండు వైపులా ఉంటాయి. ఏదైనా త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీలు.

గోళాకార త్రికోణమితి అనేది పాఠశాలలో అధ్యయనం చేయని త్రికోణమితి యొక్క ఒక విభాగం, కానీ ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జియోడెసీ వంటి అనువర్తిత శాస్త్రాలలో, శాస్త్రవేత్తలు దీనిని ఉపయోగిస్తారు. గోళాకార త్రికోణమితిలో త్రిభుజం యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే అది ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువ కోణాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క కోణాలు

IN కుడి త్రిభుజంకోణం యొక్క సైన్ అనేది త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్‌కు కావలసిన కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి. దీని ప్రకారం, కొసైన్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి. ఈ రెండు విలువలు ఎల్లప్పుడూ ఒకటి కంటే తక్కువ పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే హైపోటెన్యూస్ ఎల్లప్పుడూ కాలు కంటే పొడవుగా ఉంటుంది.

కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది కోరుకున్న కోణం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తికి సమానమైన విలువ లేదా కొసైన్‌కు సైన్. కోటాంజెంట్, ప్రతిగా, కావలసిన కోణం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి. ఒక కోణం యొక్క కోటాంజెంట్‌ను టాంజెంట్ విలువతో ఒకదానిని విభజించడం ద్వారా కూడా పొందవచ్చు.

యూనిట్ సర్కిల్

జ్యామితిలో యూనిట్ సర్కిల్ అనేది ఒక వృత్తం, దీని వ్యాసార్థం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది. అటువంటి వృత్తం కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్మించబడింది, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మూల బిందువుతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు వ్యాసార్థ వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ స్థానం X అక్షం (అబ్సిస్సా అక్షం) యొక్క సానుకూల దిశలో నిర్ణయించబడుతుంది. సర్కిల్‌లోని ప్రతి పాయింట్‌కి రెండు కోఆర్డినేట్‌లు ఉంటాయి: XX మరియు YY, అంటే అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు. XX ప్లేన్‌లోని సర్కిల్‌పై ఏదైనా బిందువును ఎంచుకుని, దాని నుండి అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా వదలడం ద్వారా, మేము ఎంచుకున్న బిందువుకు వ్యాసార్థం ద్వారా ఏర్పడిన లంబ త్రిభుజాన్ని పొందుతాము (అక్షరం C ద్వారా సూచించబడుతుంది), ఇది X అక్షానికి లంబంగా గీస్తుంది. (ఖండన స్థానం G అక్షరంతో సూచించబడుతుంది), మరియు అబ్సిస్సా అక్షం అక్షాంశాల మూలం (బిందువు A అక్షరంతో సూచించబడుతుంది) మరియు ఖండన స్థానం G మధ్య ఉంటుంది. ఫలితంగా ఏర్పడే త్రిభుజం ACG ఒక లంబ త్రిభుజం ఒక వృత్తం, ఇక్కడ AG అనేది హైపోటెన్యూస్, మరియు AC మరియు GC కాళ్లు. సర్కిల్ AC యొక్క వ్యాసార్థం మరియు AG హోదాతో అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క విభాగం మధ్య కోణం α (ఆల్ఫా)గా నిర్వచించబడింది. కాబట్టి, cos α = AG/AC. AC అనేది యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం, మరియు అది ఒకదానికి సమానం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అది cos α=AG అని తేలింది. అదేవిధంగా, sin α=CG.

అదనంగా, ఈ డేటాను తెలుసుకోవడం ద్వారా, మీరు సర్కిల్‌పై పాయింట్ C యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించవచ్చు, ఎందుకంటే cos α=AG, మరియు sin α=CG, అంటే పాయింట్ C కలిగి ఉంటుంది ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్లు(cos α;sin α). టాంజెంట్ సైన్ మరియు కొసైన్ నిష్పత్తికి సమానం అని తెలుసుకోవడం, మేము టాన్ α = y/x మరియు cot α = x/y అని గుర్తించవచ్చు. ప్రతికూల కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని కోణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా, కొన్ని కోణాల యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ విలువలు ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చని మీరు లెక్కించవచ్చు.

లెక్కలు మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ విలువలు

యూనిట్ సర్కిల్ ద్వారా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సారాంశాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్న తరువాత, మేము కొన్ని కోణాల కోసం ఈ ఫంక్షన్ల విలువలను పొందవచ్చు. విలువలు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

సరళమైన త్రికోణమితి గుర్తింపులు

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం క్రింద తెలియని విలువ ఉన్న సమీకరణాలను త్రికోణమితి అంటారు. విలువ sin x = α, kతో గుర్తింపులు - ఏదైనా పూర్ణాంకం:

పాపం x = 0, x = πk.
2. పాపం x = 1, x = π/2 + 2πk.
పాపం x = -1, x = -π/2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, పరిష్కారాలు లేవు.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * ఆర్క్సిన్ α + πk.

cos x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, పరిష్కారాలు లేవు.
cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± ఆర్కోస్ α + 2πk.

tg x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

టాన్ x = 0, x = π/2 + πk.
తాన్ x = a, x = ఆర్క్టాన్ α + πk.

ctg x = a విలువతో గుర్తింపులు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం:

cot x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

తగ్గింపు సూత్రాలు

స్థిరమైన సూత్రాల యొక్క ఈ వర్గం మీరు ఫారమ్ యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఫంక్షన్లకు మారగల పద్ధతులను సూచిస్తుంది, అనగా, ఏదైనా విలువ యొక్క కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను కోణం యొక్క సంబంధిత సూచికలకు తగ్గించండి. గణనల సౌలభ్యం కోసం 0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు విరామం.

కోణం యొక్క సైన్ కోసం ఫంక్షన్లను తగ్గించడానికి సూత్రాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

కోణం యొక్క కొసైన్ కోసం:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

పై సూత్రాల ఉపయోగం రెండు నియమాలకు లోబడి సాధ్యమవుతుంది. ముందుగా, కోణాన్ని విలువ (π/2 ± a) లేదా (3π/2 ± a)గా సూచించగలిగితే, ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మారుతుంది:

పాపం నుండి కోస్ వరకు;
కాస్ నుండి పాపం వరకు;
tg నుండి ctg వరకు;
ctg నుండి tg వరకు.

కోణాన్ని (π ± a) లేదా (2π ± a)గా సూచించగలిగితే ఫంక్షన్ విలువ మారదు.

రెండవది, తగ్గిన ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం మారదు: ఇది ప్రారంభంలో సానుకూలంగా ఉంటే, అది అలాగే ఉంటుంది. అదే ప్రతికూల విధులు.

అదనపు సూత్రాలు

ఈ సూత్రాలు వాటి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ద్వారా రెండు భ్రమణ కోణాల మొత్తం మరియు తేడా యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క విలువలను వ్యక్తపరుస్తాయి. సాధారణంగా కోణాలు α మరియు βగా సూచించబడతాయి.

సూత్రాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
టాన్(α ± β) = (tg α ± టాన్ β) / (1 ∓ టాన్ α * టాన్ β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ఈ సూత్రాలు α మరియు β ఏ కోణాలకైనా చెల్లుతాయి.

డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ యాంగిల్ సూత్రాలు

డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ యాంగిల్ త్రికోణమితి సూత్రాలు వరుసగా 2α మరియు 3α కోణాల విధులను, కోణం α యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు సంబంధించిన సూత్రాలు. అదనపు సూత్రాల నుండి తీసుకోబడింది:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

మొత్తం నుండి ఉత్పత్తికి మార్పు

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ఈ సూత్రాన్ని సులభతరం చేయడం ద్వారా, మేము sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 అనే గుర్తింపును పొందుతాము. అదేవిధంగా sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ఉత్పత్తి నుండి మొత్తానికి మార్పు

ఈ ఫార్ములాలు మొత్తం ఉత్పత్తికి మారడం యొక్క గుర్తింపుల నుండి అనుసరిస్తాయి:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు

ఈ గుర్తింపులలో, సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్ మరియు క్యూబిక్ పవర్‌లు బహుళ కోణం యొక్క మొదటి శక్తి యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

యూనివర్సల్ ప్రత్యామ్నాయం

సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం కోసం సూత్రాలు సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ పరంగా త్రికోణమితి విధులను వ్యక్తపరుస్తాయి.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πnతో;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ఇక్కడ x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ఇక్కడ x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn తో.

ప్రత్యేక కేసులు

సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల ప్రత్యేక సందర్భాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి (k అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం).

సైన్ కోసం గుణకాలు:

సిన్ x విలువ	x విలువ
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk లేదా 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk లేదా -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk లేదా 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk లేదా -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk లేదా 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk లేదా -2π/3 + 2πk

కొసైన్ కోసం గుణకాలు:

cos x విలువ	x విలువ
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

టాంజెంట్ కోసం గుణకాలు:

tg x విలువ	x విలువ
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

కోటాంజెంట్ కోసం గుణకాలు:

ctg x విలువ	x విలువ
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

సిద్ధాంతాలు

సైన్స్ సిద్ధాంతం

సిద్ధాంతం యొక్క రెండు వెర్షన్లు ఉన్నాయి - సాధారణ మరియు పొడిగించబడినవి. సాధారణ సైన్ సిద్ధాంతం: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ఈ సందర్భంలో, a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు α, β, γ వరుసగా వ్యతిరేక కోణాలు.

ఏకపక్ష త్రిభుజం కోసం విస్తరించిన సైన్ సిద్ధాంతం: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ఈ గుర్తింపులో, ఇచ్చిన త్రిభుజం చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని R సూచిస్తుంది.

కొసైన్ సిద్ధాంతం

గుర్తింపు క్రింది విధంగా ప్రదర్శించబడుతుంది: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. సూత్రంలో, a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు α అనేది a వైపుకు వ్యతిరేక కోణం.

టాంజెంట్ సిద్ధాంతం

సూత్రం రెండు కోణాల టాంజెంట్‌లు మరియు వాటికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాల పొడవు మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. భుజాలు a, b, c అని లేబుల్ చేయబడ్డాయి మరియు సంబంధిత వ్యతిరేక కోణాలు α, β, γ. టాంజెంట్ సిద్ధాంతం యొక్క ఫార్ములా: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

కోటాంజెంట్ సిద్ధాంతం

త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని దాని భుజాల పొడవుతో కలుపుతుంది. a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు A, B, C, వరుసగా వాటికి ఎదురుగా ఉండే కోణాలు అయితే, r అనేది లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు p అనేది త్రిభుజం యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలత, ఈ క్రిందివి గుర్తింపులు చెల్లుతాయి:

cot A/2 = (p-a)/r;
మంచం B/2 = (p-b)/r;
cot C/2 = (p-c)/r.

అప్లికేషన్

త్రికోణమితి - మాత్రమే కాదు సైద్ధాంతిక శాస్త్రంగణిత సూత్రాలతో అనుబంధించబడింది. దీని లక్షణాలు, సిద్ధాంతాలు మరియు నియమాలు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ శాఖలచే ఆచరణలో ఉపయోగించబడతాయి - ఖగోళశాస్త్రం, గాలి మరియు సముద్ర నావిగేషన్, సంగీత సిద్ధాంతం, జియోడెసీ, కెమిస్ట్రీ, ధ్వనిశాస్త్రం, ఆప్టిక్స్, ఎలక్ట్రానిక్స్, ఆర్కిటెక్చర్, ఎకనామిక్స్, మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్, కొలిచే పని, కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్, కార్టోగ్రఫీ, ఓషనోగ్రఫీ మరియు అనేక ఇతరాలు.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ అనేవి త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, దీని సహాయంతో త్రిభుజంలోని కోణాలు మరియు పొడవుల మధ్య సంబంధాలను గణితశాస్త్రంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు గుర్తింపులు, సిద్ధాంతాలు మరియు నియమాల ద్వారా అవసరమైన పరిమాణాలను కనుగొనవచ్చు.

త్రికోణమితి, ఒక శాస్త్రంగా, ప్రాచీన తూర్పున ఉద్భవించింది. నక్షత్రాల ద్వారా ఖచ్చితమైన క్యాలెండర్ మరియు విన్యాసాన్ని రూపొందించడానికి ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలచే మొదటి త్రికోణమితి నిష్పత్తులు తీసుకోబడ్డాయి. ఈ లెక్కలు గోళాకార త్రికోణమితికి సంబంధించినవి, అయితే పాఠశాల కోర్సుసమతల త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు కోణాల నిష్పత్తులను అధ్యయనం చేయండి.

త్రికోణమితి అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల లక్షణాలు మరియు త్రిభుజాల భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాలతో వ్యవహరించే గణిత శాస్త్ర విభాగం.

క్రీ.శ. 1వ సహస్రాబ్దిలో సంస్కృతి మరియు విజ్ఞాన శాస్త్రం యొక్క ఉచ్ఛస్థితిలో, జ్ఞానం ప్రాచీన తూర్పు నుండి గ్రీస్ వరకు వ్యాపించింది. కానీ త్రికోణమితి యొక్క ప్రధాన ఆవిష్కరణలు అరబ్ కాలిఫేట్ యొక్క పురుషుల యోగ్యత. ప్రత్యేకించి, తుర్క్‌మెన్ శాస్త్రవేత్త అల్-మరాజ్వీ టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ వంటి ఫంక్షన్‌లను పరిచయం చేశాడు మరియు సైన్స్, టాంజెంట్‌లు మరియు కోటాంజెంట్‌ల కోసం విలువల యొక్క మొదటి పట్టికలను సంకలనం చేశాడు. సైన్ మరియు కొసైన్ భావనలను భారతీయ శాస్త్రవేత్తలు ప్రవేశపెట్టారు. యూక్లిడ్, ఆర్కిమెడిస్ మరియు ఎరాటోస్తేనీస్ వంటి పురాతన కాలం నాటి గొప్ప వ్యక్తుల రచనలలో త్రికోణమితి చాలా దృష్టిని ఆకర్షించింది.

త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక పరిమాణాలు

సంఖ్యా వాదన యొక్క ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్. వాటిలో ప్రతి దాని స్వంత గ్రాఫ్ ఉంది: సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్.

ఈ పరిమాణాల విలువలను లెక్కించడానికి సూత్రాలు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇది సూత్రీకరణలో పాఠశాల పిల్లలకు బాగా తెలుసు: "పైథాగరియన్ ప్యాంటు అన్ని దిశలలో సమానంగా ఉంటాయి," ఎందుకంటే సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి రుజువు ఇవ్వబడింది.

సైన్, కొసైన్ మరియు ఇతర సంబంధాలు ఏదైనా లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాలు మరియు భుజాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. కోణం A కోసం ఈ పరిమాణాలను గణించడానికి మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మధ్య సంబంధాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను అందిద్దాం:

మీరు గమనిస్తే, tg మరియు ctg విలోమ విధులు. లెగ్ aని సిన్ A మరియు హైపోటెన్యూస్ c మరియు లెగ్ బిని cos A * c యొక్క ఉత్పత్తిగా ఊహించినట్లయితే, మేము టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ కోసం క్రింది సూత్రాలను పొందుతాము:

త్రికోణమితి వృత్తం

గ్రాఫికల్‌గా, పేర్కొన్న పరిమాణాల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

వృత్తం, ఈ సందర్భంలో, కోణం α - 0° నుండి 360° వరకు సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను సూచిస్తుంది. ఫిగర్ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతి ఫంక్షన్ ప్రతికూలతను తీసుకుంటుంది లేదా సానుకూల విలువకోణం యొక్క పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, α వృత్తంలోని 1వ మరియు 2వ త్రైమాసికానికి చెందినట్లయితే, అంటే, అది 0° నుండి 180° వరకు ఉన్నట్లయితే sin αకి “+” గుర్తు ఉంటుంది. α కోసం 180° నుండి 360° వరకు (III మరియు IV వంతులు), sin α ప్రతికూల విలువ మాత్రమే కావచ్చు.

నిర్దిష్ట కోణాల కోసం త్రికోణమితి పట్టికలను రూపొందించడానికి ప్రయత్నిద్దాం మరియు పరిమాణాల అర్థాన్ని కనుగొనండి.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° మొదలైన వాటికి సమానమైన α విలువలను ప్రత్యేక సందర్భాలు అంటారు. వాటి కోసం త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలు లెక్కించబడతాయి మరియు ప్రత్యేక పట్టికల రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి.

ఈ కోణాలు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడలేదు. పట్టికలలో π హోదా రేడియన్ల కోసం. రాడ్ అనేది వృత్తం యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు దాని వ్యాసార్థానికి అనుగుణంగా ఉండే కోణం. రేడియన్‌లలో లెక్కించేటప్పుడు సార్వత్రిక ఆధారపడటాన్ని స్థాపించడానికి ఈ విలువ పరిచయం చేయబడింది, సెం.మీలో వ్యాసార్థం యొక్క వాస్తవ పొడవు పట్టింపు లేదు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల కోసం పట్టికలలోని కోణాలు రేడియన్ విలువలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి:

కాబట్టి, 2π పూర్తి వృత్తం లేదా 360° అని ఊహించడం కష్టం కాదు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల లక్షణాలు: సైన్ మరియు కొసైన్

సైన్ మరియు కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి మరియు పోల్చడానికి, వాటి విధులను గీయడం అవసరం. ఇది రెండు డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉన్న వక్రరేఖ రూపంలో చేయవచ్చు.

పరిగణించండి పోలిక పట్టికసైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క లక్షణాలు:

సైన్ వేవ్	కొసైన్
y = సింక్స్	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk, ఇక్కడ k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk, ఇక్కడ k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, ఇక్కడ k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk వద్ద, ఇక్కడ k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk వద్ద, ఇక్కడ k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk, ఇక్కడ k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, అనగా ఫంక్షన్ బేసి	cos (-x) = cos x, అనగా ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది
	ఫంక్షన్ ఆవర్తన, చిన్న వ్యవధి 2π
sin x › 0, xతో I మరియు II వంతులు లేదా 0° నుండి 180° వరకు (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, xతో I మరియు IV వంతులు లేదా 270° నుండి 90° వరకు (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x తో మూడవ మరియు నాల్గవ త్రైమాసికానికి చెందినది లేదా 180° నుండి 360° వరకు (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, xతో 2వ మరియు 3వ వంతులు లేదా 90° నుండి 270° వరకు (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
విరామంలో పెరుగుతుంది [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	విరామంలో పెరుగుతుంది [-π + 2πk, 2πk]
విరామాలలో తగ్గుతుంది [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	విరామాలలో తగ్గుతుంది
ఉత్పన్నం (sin x)’ = cos x	ఉత్పన్నం (cos x)’ = - sin x

ఒక ఫంక్షన్ సరి లేదా కాదా అని నిర్ణయించడం చాలా సులభం. త్రికోణమితి పరిమాణాల సంకేతాలతో త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఊహించడం మరియు OX అక్షానికి సంబంధించి గ్రాఫ్‌ను మానసికంగా "రెట్లు" చేయడం సరిపోతుంది. సంకేతాలు ఏకీభవిస్తే, ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది, లేకుంటే అది బేసిగా ఉంటుంది.

రేడియన్ల పరిచయం మరియు సైన్ మరియు కొసైన్ తరంగాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాల జాబితా క్రింది నమూనాను ప్రదర్శించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి:

ఫార్ములా సరైనదని ధృవీకరించడం చాలా సులభం. ఉదాహరణకు, x = π/2 కోసం, x = 0 యొక్క కొసైన్ వలె సైన్ 1. పట్టికలను సంప్రదించడం ద్వారా లేదా ఇచ్చిన విలువల కోసం ఫంక్షన్ వక్రతలను గుర్తించడం ద్వారా తనిఖీ చేయవచ్చు.

టాంజెంట్సాయిడ్స్ మరియు కోటాంజెంట్సాయిడ్స్ యొక్క లక్షణాలు

టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లు సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్‌ల నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి. tg మరియు ctg విలువలు ఒకదానికొకటి పరస్పరం.

Y = టాన్ x.
టాంజెంట్ x = π/2 + πk వద్ద y విలువలకు మొగ్గు చూపుతుంది, కానీ వాటిని ఎప్పుడూ చేరుకోదు.
టాంజెంటాయిడ్ యొక్క అతి చిన్న సానుకూల కాలం π.
Tg (- x) = - tg x, అనగా ఫంక్షన్ బేసి.
Tg x = 0, x = πk కోసం.
ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది.
Tg x › 0, x ϵ కోసం (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, x ϵ కోసం (— π/2 + πk, πk).
డెరివేటివ్ (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

టెక్స్ట్‌లో దిగువన ఉన్న కోటాంజెంటాయిడ్ యొక్క గ్రాఫిక్ ఇమేజ్‌ని పరిగణించండి.

కోటాంజెంటాయిడ్స్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

Y = మంచం x.
సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ల వలె కాకుండా, టాంజెంటాయిడ్ Y అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్ యొక్క విలువలను తీసుకోవచ్చు.
కోటాంజెంటాయిడ్ x = πk వద్ద y విలువలకు మొగ్గు చూపుతుంది, కానీ వాటిని ఎప్పుడూ చేరుకోదు.
కోటాంజెంటాయిడ్ యొక్క అతి చిన్న సానుకూల కాలం π.
Ctg (- x) = - ctg x, అనగా ఫంక్షన్ బేసి.
Ctg x = 0, x = π/2 + πk.
ఫంక్షన్ తగ్గుతోంది.
Ctg x › 0, x ϵ కోసం (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, x ϵ కోసం (π/2 + πk, πk).
డెరివేటివ్ (ctg x)’ = - 1/పాపం 2 ⁡x సరైనది

కొసైన్ అనేది ఒక ప్రసిద్ధ త్రికోణమితి ఫంక్షన్, ఇది త్రికోణమితి యొక్క ప్రధాన విధుల్లో ఒకటి. లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ అనేది త్రిభుజం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపు మరియు త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి. చాలా తరచుగా, కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం దీర్ఘచతురస్రాకార రకం యొక్క త్రిభుజంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. కానీ దీర్ఘచతురస్రాకార త్రిభుజంలో కొసైన్‌ను లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉన్న కోణం ఈ దీర్ఘచతురస్రాకార త్రిభుజంలో లేదు. అలాంటప్పుడు ఏం చేయాలి? త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క కొసైన్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?

మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార త్రిభుజంలో ఒక కోణం యొక్క కొసైన్‌ను లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంటే, అప్పుడు ప్రతిదీ చాలా సులభం. మీరు ఈ సమస్యకు పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్న కొసైన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి. మీరు ప్రక్కనే ఉన్న వైపు, అలాగే త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ మధ్య అదే సంబంధాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. నిజానికి, ఇక్కడ కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వ్యక్తీకరించడం కష్టం కాదు. సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది: - cosα = a/c, ఇక్కడ “a” అనేది కాలు యొక్క పొడవు, మరియు వైపు “c”, వరుసగా, హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవు. ఉదాహరణకు, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ కనుగొనవచ్చు.

మీరు ఎందుకు ఆసక్తి కలిగి ఉంటే కొసైన్‌తో సమానంఒక ఏకపక్ష త్రిభుజంలో కోణం, అప్పుడు కొసైన్ సిద్ధాంతం రెస్క్యూకి వస్తుంది, దీనిని ఉపయోగించాలి ఇలాంటి కేసులు. కొసైన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక త్రిభుజంలోని ఒక భుజం యొక్క చతురస్రం అదే త్రిభుజంలోని మిగిలిన భుజాల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానమైన ప్రియోరి అని, అయితే వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా ఈ భుజాల ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేయకుండా.

మీరు త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్‌ను కనుగొనవలసి వస్తే, మీరు క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
మీరు త్రిభుజంలో కొసైన్‌ను కనుగొనవలసి వస్తే మందమైన కోణం, అప్పుడు మీరు క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). ఫార్ములాలోని హోదాలు - a మరియు b - కావలసిన కోణానికి ప్రక్కనే ఉన్న భుజాల పొడవులు, c - కావలసిన కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు పొడవు.

కోణం యొక్క కొసైన్‌ను సైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కూడా లెక్కించవచ్చు. త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా ఎదురుగా ఉన్న కోణాల సైన్‌లకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయని ఇది పేర్కొంది. సైన్స్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మీరు త్రిభుజం యొక్క మిగిలిన మూలకాలను లెక్కించవచ్చు, రెండు వైపులా మరియు ఒక వైపుకు వ్యతిరేక కోణం లేదా రెండు కోణాలు మరియు ఒక వైపు నుండి మాత్రమే సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. దీనిని ఒక ఉదాహరణతో పరిగణించండి. సమస్య పరిస్థితులు: a=1; b=2; c=3. “A” వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న కోణం αతో సూచించబడుతుంది, ఆపై, సూత్రాల ప్రకారం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. సమాధానం: 1.

ఒక కోణం యొక్క కొసైన్‌ను త్రిభుజంలో కాకుండా ఇతర ఏకపక్షంగా లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంటే రేఖాగణిత బొమ్మ, అప్పుడు విషయాలు కొంచెం క్లిష్టంగా మారతాయి. కోణం యొక్క పరిమాణం మొదట రేడియన్లు లేదా డిగ్రీలలో నిర్ణయించబడాలి మరియు అప్పుడు మాత్రమే కొసైన్ ఈ విలువ నుండి లెక్కించబడాలి. సంఖ్యా విలువ ద్వారా కొసైన్ బ్రాడిస్ పట్టికలను ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది, ఇంజనీరింగ్ కాలిక్యులేటర్లులేదా ప్రత్యేక గణిత అనువర్తనాలు.

ప్రత్యేక గణిత అనువర్తనాలు నిర్దిష్ట చిత్రంలో కోణాల కొసైన్‌లను స్వయంచాలకంగా లెక్కించడం వంటి విధులను కలిగి ఉండవచ్చు. అటువంటి అనువర్తనాల అందం ఏమిటంటే వారు సరైన సమాధానం ఇస్తారు మరియు వినియోగదారు కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో తన సమయాన్ని వృథా చేయరు. మరోవైపు, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేకంగా అనువర్తనాలను నిరంతరం ఉపయోగించడంతో, త్రిభుజాలలో కోణాల కొసైన్‌లను, అలాగే ఇతర ఏకపక్ష బొమ్మలను కనుగొనడంలో గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో పని చేసే అన్ని నైపుణ్యాలు కోల్పోతాయి.

హైపోటెన్యూస్‌కు ఎదురుగా ఉండే నిష్పత్తిని అంటారు తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైనస్కుడి త్రిభుజం.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్

ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తిని హైపోటెన్యూస్ అంటారు తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్కుడి త్రిభుజం.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్

ప్రక్క ప్రక్కకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తిని అంటారు తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్కుడి త్రిభుజం.

tg \alpha = \frac(a)(b)

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్

ప్రక్క ప్రక్క నుండి ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తిని అంటారు తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్కుడి త్రిభుజం.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

ఏకపక్ష కోణం యొక్క సైన్

యూనిట్ సర్కిల్‌పై కోణం \alpha అనుగుణంగా ఉండే బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్ అంటారు ఏకపక్ష కోణం యొక్క సైన్భ్రమణ \alpha .

\sin \alpha=y

ఏకపక్ష కోణం యొక్క కొసైన్

యూనిట్ సర్కిల్‌పై కోణం \alphaకు అనుగుణంగా ఉండే బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా అంటారు ఏకపక్ష కోణం యొక్క కొసైన్భ్రమణ \alpha .

\cos \alpha=x

ఏకపక్ష కోణం యొక్క టాంజెంట్

ఏకపక్ష భ్రమణ కోణం \alpha యొక్క సైన్ నిష్పత్తిని దాని కొసైన్ అంటారు ఏకపక్ష కోణం యొక్క టాంజెంట్భ్రమణ \alpha .

టాన్ \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

ఏకపక్ష కోణం యొక్క కోటాంజెంట్

ఏకపక్ష భ్రమణ కోణం \ ఆల్ఫా యొక్క కొసైన్ నిష్పత్తిని దాని సైన్ అంటారు ఏకపక్ష కోణం యొక్క కోటాంజెంట్భ్రమణ \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

ఏకపక్ష కోణాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణ

\alpha అనేది కొంత కోణం AOM అయితే, M అనేది యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఒక బిందువు అయితే, అప్పుడు

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

ఉదాహరణకు, ఉంటే \angle AOM = -\frac(\pi)(4), అప్పుడు: పాయింట్ M యొక్క ఆర్డినేట్ సమానం -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa సమానం \frac(\sqrt(2))(2)అందువలన

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \ఎడమ (-\frac(\pi)(4) \కుడి)=-1.

కోటాంజెంట్‌ల టాంజెంట్‌ల కొసైన్‌ల సైన్స్ విలువల పట్టిక

తరచుగా సంభవించే ప్రధాన కోణాల విలువలు పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\ఎడమ(\frac(\pi)(6)\కుడి)	45^(\circ)\ఎడమ(\frac(\pi)(4)\కుడి)	60^(\circ)\ఎడమ(\frac(\pi)(3)\కుడి)	90^(\circ)\ఎడమ(\frac(\pi)(2)\కుడి)	180^(\సర్క్)\ఎడమ(\పై\కుడి)	270^(\circ)\ఎడమ(\frac(3\pi)(2)\కుడి)	360^(\సర్క్)\ఎడమ(2\పై\కుడి)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—