అధికారాలలో వ్యత్యాసాల కారకాన్ని పాక్షికంగా ఎలా ఉపయోగించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు - “చతురస్రాల వ్యత్యాసం” మరియు “ఘనాల వ్యత్యాసం” అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, చతురస్రాలుగా లేదా కొన్ని ఘనాలగా సూచించబడే వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసాన్ని ఉత్పత్తిగా సూచించడం నేర్చుకున్నాము. వ్యక్తీకరణలు లేదా సంఖ్యలు.

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం:

చతురస్రాల వ్యత్యాసాన్ని రెండు సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటి మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు

ఘనాల వ్యత్యాసాన్ని మొత్తం యొక్క అసంపూర్ణ స్క్వేర్ ద్వారా రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు

4వ శక్తికి వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసానికి పరివర్తన

స్క్వేర్‌ల ఫార్ములా వ్యత్యాసం ఆధారంగా, $a^4-b^4$ వ్యక్తీకరణను ఫ్యాక్టర్‌గా మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం

డిగ్రీని ఒక డిగ్రీకి ఎలా పెంచారో గుర్తుచేసుకుందాం - దీని కోసం, ఆధారం అలాగే ఉంటుంది మరియు ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి, అనగా $((a^n))^m=a^(n*m)$

అప్పుడు మీరు ఊహించవచ్చు:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

అంటే మన వ్యక్తీకరణను $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$గా సూచించవచ్చు

ఇప్పుడు మొదటి బ్రాకెట్‌లో మేము మళ్లీ సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని అందుకున్నాము, అంటే మనం దాన్ని మళ్లీ రెండు సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తిగా వాటి మొత్తం ద్వారా కారకం చేయవచ్చు: $a^2-b^2=\left(a-b\right )(a+b)$.

ఇప్పుడు బహుపదాల ఉత్పత్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి రెండవ మరియు మూడవ బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిని గణిద్దాం - మొదటి బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణించి, ఫలితాన్ని జోడించండి. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి బహుపది యొక్క మొదటి పదాన్ని - $a$ - రెండవ పదం యొక్క మొదటి మరియు రెండవ పదాల ద్వారా గుణించండి ($a^2$ మరియు $b^2$), అనగా. మేము $a\cdot a^2+a\cdot b^2$ని పొందుతాము, ఆపై మొదటి బహుపది యొక్క రెండవ పదం -$b$-ని రెండవ బహుపది యొక్క మొదటి మరియు రెండవ పదాల ద్వారా గుణించండి ($a^2$ మరియు $b^2$), ఆ. మేము $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ని పొందుతాము మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణల మొత్తాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

లెక్కించిన ఉత్పత్తిని పరిగణనలోకి తీసుకొని డిగ్రీ 4 యొక్క మోనోమియల్‌ల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాద్దాం:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

6వ శక్తికి వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసానికి పరివర్తన

స్క్వేర్‌ల ఫార్ములా వ్యత్యాసం ఆధారంగా, $a^6-b^6$ వ్యక్తీకరణను ఫ్యాక్టర్‌గా మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం

డిగ్రీని ఒక డిగ్రీకి ఎలా పెంచారో గుర్తుచేసుకుందాం - దీని కోసం, ఆధారం అలాగే ఉంటుంది మరియు ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి, అనగా $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

అప్పుడు మీరు ఊహించవచ్చు:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

అంటే మన వ్యక్తీకరణను $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$గా సూచించవచ్చు

మొదటి బ్రాకెట్‌లో మనకు మోనోమియల్‌ల క్యూబ్‌ల తేడా వచ్చింది, రెండవది మోనోమియల్‌ల ఘనాల మొత్తం, ఇప్పుడు మనం మళ్లీ మొనోమియల్స్ ఘనాల వ్యత్యాసాన్ని మొత్తం యొక్క అసంపూర్ణ స్క్వేర్ ద్వారా రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తిగా మళ్లీ కారకం చేయవచ్చు. $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$

అసలు వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

బహుపదిల ఉత్పత్తికి సంబంధించిన నియమాన్ని ఉపయోగించి రెండవ మరియు మూడవ బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిని గణిద్దాం - మొదటి బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణించి, ఫలితాన్ని జోడించండి.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

లెక్కించిన ఉత్పత్తిని పరిగణనలోకి తీసుకొని డిగ్రీ 6 యొక్క మోనోమియల్‌ల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాద్దాం:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

కారకం శక్తి వ్యత్యాసాలు

ఘనాల వ్యత్యాసం, $4$ డిగ్రీల వ్యత్యాసం, $6$ డిగ్రీల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాలను విశ్లేషిద్దాం

ఈ ప్రతి విస్తరణలో కొంత సారూప్యత ఉందని మేము చూస్తాము, వీటిని మనం పొందుతాము:

ఉదాహరణ 1

$(32x)^(10)-(243y)^(15)$ని కారకం చేయండి

పరిష్కారం:ముందుగా, ప్రతి మోనోమియల్‌ని 5వ శక్తికి కొంత మోనోమియల్‌గా సూచిస్తాం:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

మేము శక్తి వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

మూర్తి 1.

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్.
ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని వేరుచేయడం మరియు స్క్వేర్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేయడం.

ఈ గణిత కార్యక్రమం చతురస్ర ద్విపదను స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ నుండి వేరు చేస్తుంది, అనగా వంటి పరివర్తన చేస్తుంది:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) మరియు ఒక చతుర్భుజ త్రికోణాన్ని కారకం చేస్తుంది: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

ఆ. \(p, q\) మరియు \(n, m\) సంఖ్యలను కనుగొనడంలో సమస్యలు పెరుగుతాయి.

ప్రోగ్రామ్ సమస్యకు సమాధానం ఇవ్వడమే కాకుండా, పరిష్కార ప్రక్రియను కూడా ప్రదర్శిస్తుంది.

ఈ కార్యక్రమం హైస్కూల్ విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉండవచ్చు మాధ్యమిక పాఠశాలలుతయారీలో పరీక్షలుమరియు పరీక్షలు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు, తల్లిదండ్రులు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా?గణితంలో లేదా బీజగణితంలో? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా, మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ తమ్ముళ్లు లేదా సోదరీమణుల శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు, అయితే సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్యా స్థాయి పెరుగుతుంది.

క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌లోకి ప్రవేశించే నియమాలు మీకు తెలియకుంటే, వాటితో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

క్వాడ్రాటిక్ బహుపదిని నమోదు చేయడానికి నియమాలు

ఏదైనా లాటిన్ అక్షరం వేరియబుల్‌గా పని చేస్తుంది.
ఉదాహరణకు: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

సంఖ్యలను పూర్తి లేదా భిన్న సంఖ్యలుగా నమోదు చేయవచ్చు.
అంతేకాకుండా, భిన్న సంఖ్యలుదశాంశంగా మాత్రమే కాకుండా, సాధారణ భిన్నంగా కూడా నమోదు చేయవచ్చు.

దశాంశ భిన్నాలను నమోదు చేయడానికి నియమాలు.
దశాంశ భిన్నాలలో, భిన్న భాగాన్ని మొత్తం భాగం నుండి ఒక కాలం లేదా కామాతో వేరు చేయవచ్చు.
ఉదాహరణకు, మీరు నమోదు చేయవచ్చు దశాంశాలుఇలా: 2.5x - 3.5x^2

సాధారణ భిన్నాలను నమోదు చేయడానికి నియమాలు.
పూర్ణ సంఖ్య మాత్రమే భిన్నం యొక్క లవం, హారం మరియు పూర్ణాంకం వలె పని చేస్తుంది.

హారం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు.

సంఖ్యా భిన్నంలోకి ప్రవేశించినప్పుడు, లవం హారం నుండి విభజన గుర్తు ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది: /
మొత్తం భాగం భిన్నం నుండి ఆంపర్సండ్ గుర్తుతో వేరు చేయబడింది: &
ఇన్‌పుట్: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ఫలితం: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

వ్యక్తీకరణను నమోదు చేసినప్పుడు మీరు కుండలీకరణాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, పరిష్కరించేటప్పుడు, ప్రవేశపెట్టిన వ్యక్తీకరణ మొదట సరళీకృతం చేయబడుతుంది.
ఉదాహరణకు: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ఉదాహరణ వివరణాత్మక పరిష్కారం

ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని వేరుచేయడం.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \కుడి)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \కుడి)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ఎడమ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\ఎడమ(x+\frac(1)(2) \కుడి)^2-\frac(9)(2) $$ సమాధానం:$$2x^2+2x-4 = 2\ఎడమ(x+\frac(1)(2) \కుడి)^2-\frac(9)(2) $$ కారకం.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\ఎడమ(x^2+x-2 \కుడి) = $$
$$ 2 \ఎడమ(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \కుడి) = $$ $$ 2 \ఎడమ(x \ఎడమ(x +2 \కుడి) -1 \ఎడమ(x +2 \కుడి) ) \కుడి) = $$ $$ 2 \ఎడమ(x -1 \కుడి) \ఎడమ(x +2 \కుడి) $$ సమాధానం:$$2x^2+2x-4 = 2 \ఎడమ(x -1 \కుడి) \ఎడమ(x +2 \కుడి) $$

నిర్ణయించుకోండి

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కొన్ని స్క్రిప్ట్‌లు లోడ్ చేయబడలేదని మరియు ప్రోగ్రామ్ పని చేయకపోవచ్చని కనుగొనబడింది.
మీరు AdBlock ప్రారంభించబడి ఉండవచ్చు.
ఈ సందర్భంలో, దాన్ని నిలిపివేయండి మరియు పేజీని రిఫ్రెష్ చేయండి.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
పరిష్కారం కనిపించాలంటే, మీరు జావాస్క్రిప్ట్‌ని ప్రారంభించాలి.
మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్‌ను ఎలా ప్రారంభించాలో ఇక్కడ సూచనలు ఉన్నాయి.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి వేచి ఉండండి సెక...

మీరు ఉంటే పరిష్కారంలో లోపాన్ని గమనించారు, అప్పుడు మీరు దీని గురించి అభిప్రాయ ఫారమ్‌లో వ్రాయవచ్చు.
మర్చిపోవద్దు ఏ పనిని సూచించండిమీరు ఏమి నిర్ణయించుకుంటారు ఫీల్డ్‌లలోకి ప్రవేశించండి.

మా ఆటలు, పజిల్స్, ఎమ్యులేటర్లు:

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

ఒక చతురస్ర ట్రినోమియల్ నుండి ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని వేరుచేయడం

చతురస్ర ట్రినోమియల్ గొడ్డలి 2 +bx+c a(x+p) 2 +qగా సూచించబడితే, p మరియు q వాస్తవ సంఖ్యలు అయినట్లయితే, మేము దీని నుండి స్క్వేర్ ట్రినోమియల్, ద్విపద యొక్క స్క్వేర్ హైలైట్ చేయబడింది.

ట్రినోమియల్ 2x 2 +12x+14 నుండి మేము ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని సంగ్రహిస్తాము.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

దీన్ని చేయడానికి, 6xని 2*3*x యొక్క ఉత్పత్తిగా ఊహించి, ఆపై 3 2ని జోడించి తీసివేయండి. మేము పొందుతాము:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

ఆ. మేము స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ నుండి స్క్వేర్ బైనామియల్‌ని సంగ్రహించండి, మరియు దానిని చూపించారు:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ఒక చతుర్భుజ త్రినామిని కారకం

స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ గొడ్డలి 2 +bx+c a(x+n)(x+m) రూపంలో సూచించబడితే, ఇక్కడ n మరియు m వాస్తవ సంఖ్యలు, అప్పుడు ఆపరేషన్ జరిగినట్లు చెప్పబడుతుంది. క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క కారకం.

ఈ పరివర్తన ఎలా జరుగుతుందో ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ 2x 2 +4x-6ని ఫ్యాక్టర్ చేద్దాం.

బ్రాకెట్ల నుండి గుణకం a ని తీసుకుందాం, అనగా. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్లలో మారుద్దాం.
దీన్ని చేయడానికి, 2xని 3x-1xగా మరియు -3ని -1*3గా ఊహించండి. మేము పొందుతాము:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

ఆ. మేము చతుర్భుజ త్రికోణాన్ని కారకం చేసింది, మరియు దానిని చూపించారు:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేసినప్పుడు మాత్రమే సాధ్యమవుతుందని గమనించండి, వర్గ సమీకరణం, ఈ త్రిపదానికి అనుగుణంగా మూలాలు ఉన్నాయి.
ఆ. మా విషయంలో, వర్గ సమీకరణం 2x 2 +4x-6 =0 మూలాలను కలిగి ఉన్నట్లయితే ట్రినోమియల్ 2x 2 +4x-6 కారకం సాధ్యమవుతుంది. కారకం ప్రక్రియలో, 2x 2 + 4x-6 = 0 సమీకరణం 1 మరియు -3 అనే రెండు మూలాలను కలిగి ఉందని మేము నిర్ధారించాము, ఎందుకంటే ఈ విలువలతో, సమీకరణం 2(x-1)(x+3)=0 నిజమైన సమానత్వంగా మారుతుంది.

పుస్తకాలు (పాఠ్యపుస్తకాలు) ఆన్‌లైన్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పరీక్షల సారాంశాలు ఆటలు, పజిల్స్ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను ప్లాట్ చేయడం రష్యన్ భాష యొక్క స్పెల్లింగ్ నిఘంటువు యువత యాస నిఘంటువు రష్యన్ పాఠశాలల కేటలాగ్ రష్యాలోని మాధ్యమిక విద్యా సంస్థల కేటలాగ్ రష్యా విశ్వవిద్యాలయాల జాబితా పనులు

ఒక బహుపది కారకం. పార్ట్ 1

కారకంసంక్లిష్ట సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడే సార్వత్రిక సాంకేతికత. కుడి వైపున సున్నా ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు గుర్తుంచుకోవలసిన మొదటి ఆలోచన ఎడమ వైపు కారకం చేయడానికి ప్రయత్నించడం.

ప్రధాన జాబితా చేద్దాం బహుపదిని కారకం చేసే మార్గాలు:

• బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని ఉంచడం
• సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం
• క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేయడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం
• సమూహ పద్ధతి
• ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడం
• అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి

ఈ వ్యాసంలో మేము మొదటి మూడు పద్ధతులపై వివరంగా నివసిస్తాము;

1. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం.

బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడానికి, మీరు మొదట దాన్ని కనుగొనాలి. సాధారణ గుణకం కారకంఅన్ని కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనకు సమానం.

లేఖ భాగంసాధారణ కారకం చిన్న ఘాతాంకంతో ప్రతి పదంలో చేర్చబడిన వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తికి సమానం.

సాధారణ గుణకాన్ని కేటాయించే పథకం ఇలా కనిపిస్తుంది:

శ్రద్ధ!
బ్రాకెట్లలోని పదాల సంఖ్య అసలు వ్యక్తీకరణలోని పదాల సంఖ్యకు సమానం. పదాలలో ఒకటి సాధారణ కారకంతో సమానంగా ఉంటే, దానిని సాధారణ కారకంతో విభజించినప్పుడు, మనకు ఒకటి వస్తుంది.

ఉదాహరణ 1.

బహుపది కారకం:

బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట దాన్ని కనుగొంటాము.

1. బహుపది యొక్క అన్ని గుణకాల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనండి, అనగా. సంఖ్యలు 20, 35 మరియు 15. ఇది 5కి సమానం.

2. వేరియబుల్ అన్ని నిబంధనలలో ఉందని మరియు దాని ఘాతాంకాలలో చిన్నది 2కి సమానం అని మేము నిర్ధారిస్తాము. వేరియబుల్ అన్ని నిబంధనలలో ఉంటుంది మరియు దాని ఘాతాంకాలలో చిన్నది 3.

వేరియబుల్ రెండవ పదంలో మాత్రమే ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది సాధారణ అంశంలో భాగం కాదు.

కాబట్టి మొత్తం అంశం

3. మేము పైన ఇచ్చిన రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్ల నుండి గుణకాన్ని తీసుకుంటాము:

ఉదాహరణ 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం చేద్దాం. బ్రాకెట్ల నుండి కారకాన్ని తీసుకుందాం:

కాబట్టి మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమం చేద్దాం:

మేము పొందుతాము - మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలం.

మూలాలు:

సమాధానం: -1, 2, 4

2. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించి కారకం.

మనం కారకం చేయబోయే బహుపదిలోని పదాల సంఖ్య మూడు కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటే, మేము సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

1. బహుపది ఉంటేరెండు పదాల వ్యత్యాసం, అప్పుడు మేము దరఖాస్తు చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము చదరపు తేడా సూత్రం:

లేదా ఘనాల ఫార్ములా తేడా:

ఇక్కడ అక్షరాలు ఉన్నాయి మరియు సంఖ్య లేదా బీజగణిత వ్యక్తీకరణను సూచిస్తాయి.

2. బహుపది అనేది రెండు పదాల మొత్తం అయితే, బహుశా దానిని ఉపయోగించి కారకం చేయవచ్చు ఘనాల సూత్రాల మొత్తం:

3. బహుపది మూడు పదాలను కలిగి ఉంటే, మేము దరఖాస్తు చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము చదరపు మొత్తం సూత్రం:

లేదా స్క్వేర్డ్ తేడా ఫార్ములా:

లేదా మేము కారకం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఫ్యాక్టరింగ్ కోసం సూత్రం:

ఇక్కడ మరియు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణకు కారకం:

పరిష్కారం. మన ముందు రెండు పదాల మొత్తం ఉంది. ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ముందుగా ప్రతి పదాన్ని కొంత వ్యక్తీకరణ యొక్క క్యూబ్‌గా సూచించాలి, ఆపై ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణకు కారకం:

నిర్ణయం. ఇక్కడ మనకు రెండు వ్యక్తీకరణల చతురస్రాల వ్యత్యాసం ఉంది. మొదటి వ్యక్తీకరణ: , రెండవ వ్యక్తీకరణ:

చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను జోడిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

ఈ పాఠంలో, మేము బహుపదిని కారకం చేయడానికి గతంలో అధ్యయనం చేసిన అన్ని పద్ధతులను గుర్తుకు తెచ్చుకుంటాము మరియు వాటి అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము, అదనంగా, మేము కొత్త పద్ధతిని అధ్యయనం చేస్తాము - పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేసే పద్ధతి మరియు వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుంటాము. .

విషయం:ఫాక్టరింగ్ బహుపది

పాఠం:ఫాక్టరింగ్ బహుపది. పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకునే విధానం. పద్ధతుల కలయిక

ఇంతకుముందు అధ్యయనం చేసిన బహుపదిని కారకం చేసే ప్రాథమిక పద్ధతులను గుర్తుచేసుకుందాం:

బ్రాకెట్ల నుండి ఒక సాధారణ కారకాన్ని ఉంచే పద్ధతి, అంటే బహుపది యొక్క అన్ని పరంగా ఉండే కారకం. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

మోనోమియల్ అనేది శక్తులు మరియు సంఖ్యల ఉత్పత్తి అని గుర్తుంచుకోండి. మా ఉదాహరణలో, రెండు పదాలు కొన్ని సాధారణ, ఒకేలాంటి అంశాలను కలిగి ఉంటాయి.

కాబట్టి, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం:

;

కుండలీకరణం ద్వారా తీసిన కారకాన్ని గుణించడం ద్వారా, మీరు తీసిన కారకం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చని మేము మీకు గుర్తు చేద్దాం.

సమూహ పద్ధతి. బహుపదిలో సాధారణ కారకాన్ని సంగ్రహించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. ఈ సందర్భంలో, మీరు దాని సభ్యులను సమూహాలుగా విభజించాలి, తద్వారా ప్రతి సమూహంలో మీరు ఒక సాధారణ కారకాన్ని తీయవచ్చు మరియు దానిని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు, తద్వారా సమూహాలలోని కారకాలను తీసివేసిన తర్వాత, ఒక సాధారణ అంశం కనిపిస్తుంది మొత్తం వ్యక్తీకరణ, మరియు మీరు కుళ్ళిపోవడాన్ని కొనసాగించవచ్చు. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

మొదటి పదాన్ని నాల్గవదానితో, రెండవది ఐదవదానితో మరియు మూడవది ఆరవదానితో సమూహాన్ని చేద్దాం:

సమూహాలలో సాధారణ కారకాలను తీసుకుందాం:

వ్యక్తీకరణకు ఇప్పుడు ఒక సాధారణ అంశం ఉంది. దానిని బయటకు తీసుకుందాం:

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల అప్లికేషన్. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

;

వ్యక్తీకరణను వివరంగా వ్రాస్దాం:

సహజంగానే, స్క్వేర్డ్ భేదం కోసం మన ముందు సూత్రం ఉంది, ఎందుకంటే ఇది రెండు వ్యక్తీకరణల స్క్వేర్‌ల మొత్తం మరియు వాటి డబుల్ ఉత్పత్తి దాని నుండి తీసివేయబడుతుంది. ఫార్ములా ప్రకారం రోల్ చేద్దాం:

ఈ రోజు మనం మరొక పద్ధతిని నేర్చుకుంటాము - పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకునే పద్ధతి. ఇది మొత్తం యొక్క వర్గానికి మరియు భేదం యొక్క వర్గానికి సంబంధించిన సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వాటిని గుర్తు చేద్దాం:

మొత్తం (తేడా) వర్గానికి ఫార్ములా;

ఈ సూత్రాల యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే అవి రెండు వ్యక్తీకరణల చతురస్రాలు మరియు వాటి డబుల్ ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటాయి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం:

కాబట్టి, మొదటి వ్యక్తీకరణ , మరియు రెండవది .

మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గానికి ఫార్ములాను సృష్టించడానికి, వ్యక్తీకరణల యొక్క రెట్టింపు ఉత్పత్తి సరిపోదు. ఇది జోడించడం మరియు తీసివేయడం అవసరం:

మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని పూర్తి చేద్దాం:

ఫలిత వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం:

చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం, రెండు వ్యక్తీకరణల చతురస్రాల వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తి మరియు మొత్తం అని గుర్తుంచుకోండి:

కాబట్టి, ఈ పద్ధతిఅన్నింటిలో మొదటిది, స్క్వేర్ చేయబడిన వ్యక్తీకరణలు a మరియు bని గుర్తించడం అవసరం, అంటే, ఈ ఉదాహరణలో ఏ వ్యక్తీకరణలు స్క్వేర్ చేయబడతాయో నిర్ణయించడం. దీని తరువాత, మీరు రెట్టింపు ఉత్పత్తి యొక్క ఉనికిని తనిఖీ చేయాలి మరియు అది లేనట్లయితే, దానిని జోడించి మరియు తీసివేయండి, ఇది ఉదాహరణ యొక్క అర్ధాన్ని మార్చదు, కానీ వర్గానికి సంబంధించిన సూత్రాలను ఉపయోగించి బహుపదిని కారకం చేయవచ్చు. వీలైతే చతురస్రాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం మరియు వ్యత్యాసం.

ఉదాహరణల పరిష్కారానికి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1 - కారకం:

స్క్వేర్ చేయబడిన వ్యక్తీకరణలను కనుగొనండి:

వారి డబుల్ ఉత్పత్తి ఎలా ఉండాలో వ్రాస్దాం:

ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేద్దాం మరియు తీసివేద్దాం:

మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని పూర్తి చేసి, ఇలాంటి వాటిని ఇద్దాం:

స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి దీన్ని వ్రాస్దాం:

ఉదాహరణ 2 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

;

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒక త్రికోణం ఉంది. మీరు దానిని కారకాలుగా పరిగణించాలి. మేము స్క్వేర్డ్ తేడా సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

మేము మొదటి వ్యక్తీకరణ యొక్క వర్గాన్ని మరియు డబుల్ ఉత్పత్తిని కలిగి ఉన్నాము, రెండవ వ్యక్తీకరణ యొక్క స్క్వేర్ లేదు, దానిని జోడించి తీసివేద్దాం:

పూర్తి చతురస్రాన్ని మడిచి, ఇలాంటి నిబంధనలను ఇద్దాం:

స్క్వేర్స్ ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

కాబట్టి మనకు సమీకరణం ఉంది

కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనట్లయితే మాత్రమే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని మనకు తెలుసు. దీని ఆధారంగా కింది సమీకరణాలను రూపొందిద్దాం:

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

సమాధానం: లేదా

;

మేము మునుపటి ఉదాహరణ మాదిరిగానే కొనసాగుతాము - వ్యత్యాసం యొక్క చతురస్రాన్ని ఎంచుకోండి.

చాలా తరచుగా, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు, వీటిని మొదట కారకం చేయాలి, ఆపై, వాటిలో ఒకేలా ఉన్న వాటిని కనుగొని, వాటి ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజించండి, అనగా భిన్నాన్ని తగ్గించండి. 7వ తరగతి ఆల్జీబ్రా పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం అధ్యాయం బహుపదిని కారకం చేసే పనికి అంకితం చేయబడింది. ఫ్యాక్టరైజేషన్ చేయవచ్చు 3 మార్గాలు, అలాగే ఈ పద్ధతుల కలయిక.

1. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల అప్లికేషన్

తెలిసినట్లుగా, కు బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించండి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని ఇతర బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించాలి. కాన్సెప్ట్‌లో చేర్చబడిన బహుపదిలను గుణించడంలో కనీసం 7 (ఏడు) తరచుగా సంభవించే సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు,

టేబుల్ 1. 1 వ మార్గంలో కారకం

2. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం

ఈ పద్ధతి పంపిణీ గుణకారం చట్టం యొక్క అనువర్తనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు,

అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క ప్రతి పదాన్ని మనం తీసివేసే కారకంతో విభజిస్తాము మరియు కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణను పొందుతాము (అంటే, మనం తీసిన దానితో విభజించిన ఫలితం కుండలీకరణాల్లో మిగిలి ఉంటుంది). మీకు కావలసిందల్లా గుణకాన్ని సరిగ్గా నిర్ణయించండి, ఇది తప్పనిసరిగా బ్రాకెట్ నుండి తీసివేయాలి.

సాధారణ కారకం బ్రాకెట్లలో బహుపది కూడా కావచ్చు:

"కారకం" పనిని నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, బ్రాకెట్ల నుండి మొత్తం కారకాన్ని ఉంచేటప్పుడు మీరు సంకేతాలతో ప్రత్యేకంగా జాగ్రత్తగా ఉండాలి. కుండలీకరణంలో ప్రతి పదం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడానికి (బి - ఎ), బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం -1 , మరియు బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం -1 ద్వారా విభజించబడుతుంది: (బి - ఎ) = - (ఎ - బి) .

బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణ స్క్వేర్ చేయబడితే (లేదా ఏదైనా సరి శక్తికి), అప్పుడు బ్రాకెట్లలోని సంఖ్యలను మార్చుకోవచ్చు పూర్తిగా స్వేచ్ఛగా, బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేసిన మైనస్‌లు గుణించినప్పుడు ఇంకా ప్లస్‌గా మారుతాయి: (బి - ఎ) 2 = (ఎ - బి) 2, (బి - ఎ) 4 = (ఎ - బి) 4 మరియు అందువలన న…

3. సమూహ పద్ధతి

కొన్నిసార్లు వ్యక్తీకరణలోని అన్ని పదాలు సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉండవు, కానీ కొన్ని మాత్రమే. అప్పుడు మీరు ప్రయత్నించవచ్చు సమూహం నిబంధనలు బ్రాకెట్లలో ప్రతి ఒక్కదాని నుండి ఒక కారకాన్ని తీసివేయవచ్చు. సమూహ పద్ధతి- ఇది బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాల యొక్క డబుల్ తొలగింపు.

4. ఒకేసారి అనేక పద్ధతులను ఉపయోగించడం

కొన్నిసార్లు మీరు బహుపదిని ఒకేసారి కారకం చేయడానికి ఒకటి కాదు, అనేక పద్ధతులను ఉపయోగించాలి.

ఇది టాపిక్ యొక్క సారాంశం "కారకం". తదుపరి దశలను ఎంచుకోండి:

• తదుపరి సారాంశానికి వెళ్లండి: