వర్గ సమీకరణాల ఉదాహరణలు మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారం. వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్ సమస్యలు కూడా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి పాఠశాల పాఠ్యాంశాలుమరియు విశ్వవిద్యాలయాలలో. అవి a*x^2 + b*x + c = 0, ఇక్కడ రూపం యొక్క సమీకరణాలను సూచిస్తాయి x-వేరియబుల్, a,b,c – స్థిరాంకాలు; a<>0 . సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం పని.

వర్గ సమీకరణం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం ద్వారా సూచించబడే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా. చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు (మూలాలు) అబ్సిస్సా (x) అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులు. మూడు సాధ్యమైన సందర్భాలు ఉన్నాయని ఇది అనుసరిస్తుంది:
1) పారాబొలాకు అబ్సిస్సా అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు లేవు. అంటే ఇది ఎగువ విమానంలో శాఖలతో పైకి లేదా దిగువన కొమ్మలతో ఉంటుంది. అటువంటి సందర్భాలలో, వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు (దీనికి రెండు సంక్లిష్ట మూలాలు ఉన్నాయి).

2) పారాబొలా ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన యొక్క ఒక బిందువును కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి బిందువును పారాబొలా యొక్క శీర్షం అని పిలుస్తారు మరియు దాని వద్ద ఉన్న వర్గ సమీకరణం దాని కనీస లేదా గరిష్ట విలువను పొందుతుంది. ఈ సందర్భంలో, చతురస్రాకార సమీకరణానికి ఒక నిజమైన మూలం (లేదా రెండు ఒకే మూలాలు) ఉంటుంది.

3) చివరి కేసు ఆచరణలో మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది - అబ్సిస్సా అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన యొక్క రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి. అంటే సమీకరణానికి రెండు నిజమైన మూలాలు ఉన్నాయి.

వేరియబుల్స్ పవర్స్ వద్ద కోఎఫీషియంట్స్ విశ్లేషణ ఆధారంగా, మనం తయారు చేయవచ్చు ఆసక్తికరమైన ముగింపులుపారాబొలా యొక్క స్థానం గురించి.

1) గుణకం a సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, పారాబొలా యొక్క శాఖలు ప్రతికూలంగా ఉంటే, పారాబొలా యొక్క శాఖలు క్రిందికి మళ్లించబడతాయి.

2) గుణకం b సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, పారాబొలా యొక్క శీర్షం ఎడమ అర్ధ-తలంలో ఉంటుంది, అది ప్రతికూల విలువను తీసుకుంటే, అప్పుడు కుడి అర్ధ-విమానంలో ఉంటుంది.

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం నుండి స్థిరాంకాన్ని బదిలీ చేద్దాం

సమాన గుర్తు కోసం, మేము వ్యక్తీకరణను పొందుతాము

రెండు వైపులా 4aతో గుణించండి

ఎడమవైపు పూర్తి చతురస్రాన్ని పొందడానికి, రెండు వైపులా b^2ని జోడించి, పరివర్తనను నిర్వహించండి

ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము

వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష మరియు మూలాల కోసం సూత్రం

వివక్షత అనేది రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ అది సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడిన రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది వివక్షత సున్నా అయినప్పుడు, చతురస్రాకార సమీకరణం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది (రెండు ఏకకాలిక మూలాలు), వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, ఈ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు. అయితే, చతురస్రాకార సమీకరణానికి పరిష్కారాలు సంక్లిష్ట సమతలంలో కనుగొనబడతాయి మరియు వాటి విలువ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

వియెటా సిద్ధాంతం

చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలను పరిశీలిద్దాం మరియు వాటి ఆధారంగా ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందిద్దాం: వియెటా యొక్క సిద్ధాంతం సంజ్ఞామానం నుండి సులభంగా అనుసరించబడుతుంది: మనకు రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణం ఉంటే. అప్పుడు దాని మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకోబడిన గుణకం pకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉత్పత్తి q అనే ఉచిత పదానికి సమానం. పైన పేర్కొన్న సూత్రప్రాయమైన ప్రాతినిధ్యం ఒక క్లాసికల్ ఈక్వేషన్‌లో స్థిరాంకం a నాన్‌జీరో అయితే, మీరు మొత్తం సమీకరణాన్ని దానితో విభజించి, ఆపై Vieta సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయాలి.

ఫాక్టరింగ్ క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్ షెడ్యూల్

విధిని సెట్ చేయనివ్వండి: కారకం ఒక వర్గ సమీకరణం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము (మూలాలను కనుగొనండి). తరువాత, మేము క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం కోసం విస్తరణ సూత్రంలో కనుగొన్న మూలాలను భర్తీ చేస్తాము.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణ సమస్యలు

టాస్క్ 1. వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

x^2-26x+120=0 .

పరిష్కారం: గుణకాలను వ్రాసి, వాటిని వివక్షత సూత్రంలోకి మార్చండి

యొక్క రూట్ ఇచ్చిన విలువ 14 కి సమానం, కాలిక్యులేటర్‌తో కనుగొనడం సులభం, లేదా తరచుగా ఉపయోగించడంతో గుర్తుంచుకోండి, అయితే, సౌలభ్యం కోసం, వ్యాసం చివరలో నేను మీకు అటువంటి సమస్యలలో తరచుగా ఎదుర్కొనే సంఖ్యల చతురస్రాల జాబితాను ఇస్తాను.
మేము కనుగొన్న విలువను మూల సూత్రంలోకి మారుస్తాము

మరియు మేము పొందుతాము

టాస్క్ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

2x 2 +x-3=0.

పరిష్కారం: మేము పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నాము, గుణకాలను వ్రాసి, వివక్షను కనుగొనండి


తెలిసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము

టాస్క్ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

9x 2 -12x+4=0.

పరిష్కారం: మాకు పూర్తి వర్గ సమీకరణం ఉంది. వివక్షను నిర్ణయించడం

మూలాలు ఏకీభవించే సందర్భం మాకు వచ్చింది. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మూలాల విలువలను కనుగొనండి

టాస్క్ 4. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

x^2+x-6=0 .

పరిష్కారం: x కోసం చిన్న గుణకాలు ఉన్న సందర్భాల్లో, వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం మంచిది. దాని పరిస్థితి ద్వారా మేము రెండు సమీకరణాలను పొందుతాము

రెండవ షరతు నుండి ఉత్పత్తి -6కి సమానంగా ఉండాలి. దీని అర్థం మూలాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. మేము క్రింది సాధ్యమైన పరిష్కారాలను (-3;2), (3;-2) కలిగి ఉన్నాము. మొదటి షరతును పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము రెండవ జత పరిష్కారాలను తిరస్కరించాము.
సమీకరణం యొక్క మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి

సమస్య 5. దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత 18 సెం.మీ మరియు దాని వైశాల్యం 77 సెం.మీ 2 అయితే దాని భుజాల పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం: దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సగం చుట్టుకొలత దాని ప్రక్కనే ఉన్న భుజాల మొత్తానికి సమానం. xని పెద్ద వైపుగా సూచిస్తాము, ఆపై 18-x దాని చిన్న వైపు. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఈ పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానం:
x(18-x)=77;
లేదా
x 2 -18x+77=0.
సమీకరణం యొక్క వివక్షను కనుగొనండి

సమీకరణం యొక్క మూలాలను గణించడం

ఉంటే x=11,ఆ 18లు=7 ,వ్యతిరేకం కూడా నిజం (x=7 అయితే, 21's=9).

సమస్య 6. వర్గ సమీకరణం 10x 2 -11x+3=0.

పరిష్కారం: సమీకరణం యొక్క మూలాలను గణిద్దాం, దీన్ని చేయడానికి మనం వివక్షను కనుగొంటాము

మేము కనుగొన్న విలువను రూట్ ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తాము మరియు గణిస్తాము

మూలాల ద్వారా వర్గ సమీకరణాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము

బ్రాకెట్లను తెరవడం ద్వారా మనకు గుర్తింపు వస్తుంది.

పరామితితో చతుర్భుజ సమీకరణం

ఉదాహరణ 1. ఏ పరామితి విలువలలో ఎ,సమీకరణం (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉందా?

పరిష్కారం: a=3 విలువ యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా దానికి పరిష్కారం లేదని మనం చూస్తాము. తరువాత, మేము సున్నా వివక్షతో సమీకరణం గుణకారం 2 యొక్క ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉన్న వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము. వివక్షను రాద్దాం

దానిని సులభతరం చేసి సున్నాకి సమం చేద్దాం

మేము పరామితి aకి సంబంధించి చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందాము, దీని పరిష్కారాన్ని వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా పొందవచ్చు. మూలాల మొత్తం 7, మరియు వాటి ఉత్పత్తి 12. సాధారణ శోధన ద్వారా 3,4 సంఖ్యలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని మేము నిర్ధారిస్తాము. లెక్కల ప్రారంభంలో a=3 పరిష్కారాన్ని మేము ఇప్పటికే తిరస్కరించాము కాబట్టి, సరైనది మాత్రమే - a=4.అందువలన, a=4 కోసం సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2. ఏ పరామితి విలువలలో ఎ,సమీకరణం a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలాలు ఉన్నాయా?

పరిష్కారం: మొదట ఏకవచన పాయింట్లను పరిశీలిద్దాం, అవి a=0 మరియు a=-3 విలువలుగా ఉంటాయి. a=0 అయినప్పుడు, సమీకరణం 6x-9=0 రూపానికి సరళీకరించబడుతుంది; x=3/2 మరియు ఒక రూట్ ఉంటుంది. a= -3 కోసం మేము 0=0 గుర్తింపును పొందుతాము.
వివక్షను లెక్కిద్దాం

మరియు అది సానుకూలంగా ఉన్న విలువను కనుగొనండి

మొదటి షరతు నుండి మనకు a>3 వస్తుంది. రెండవది, మేము సమీకరణం యొక్క వివక్ష మరియు మూలాలను కనుగొంటాము


ఫంక్షన్ తీసుకునే విరామాలను నిర్వచిద్దాం సానుకూల విలువలు. పాయింట్ a=0ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది 3>0 . కాబట్టి, విరామం వెలుపల (-3;1/3) ఫంక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. పాయింట్ మర్చిపోవద్దు a=0,అసలు సమీకరణంలో ఒక మూలం ఉన్నందున మినహాయించాలి.
ఫలితంగా, మేము సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే రెండు విరామాలను పొందుతాము

ఆచరణలో అనేక సారూప్య పనులు ఉంటాయి, పనులను మీరే గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు పరస్పరం ప్రత్యేకమైన పరిస్థితులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మర్చిపోవద్దు. పరిష్కారం కోసం సూత్రాలను బాగా అధ్యయనం చేయండి వర్గ సమీకరణాలు, వివిధ సమస్యలు మరియు శాస్త్రాలలో గణనలలో అవి చాలా తరచుగా అవసరమవుతాయి.

చతుర్భుజ సమీకరణం - పరిష్కరించడం సులభం! *ఇకపై "KU"గా సూచిస్తారు.మిత్రులారా, గణితంలో అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కంటే సరళమైనది మరొకటి ఉండదని అనిపిస్తుంది. కానీ అతనితో చాలా మందికి సమస్యలు ఉన్నాయని ఏదో నాకు చెప్పారు. Yandex నెలకు ఎన్ని ఆన్-డిమాండ్ ఇంప్రెషన్‌లను ఇస్తుందో చూడాలని నేను నిర్ణయించుకున్నాను. ఇక్కడ ఏమి జరిగింది, చూడండి:

దాని అర్థం ఏమిటి? అంటే నెలకు దాదాపు 70,000 మంది సెర్చ్ చేస్తున్నారు ఈ సమాచారం, దీనికి వేసవితో ఏమి సంబంధం ఉంది మరియు పాఠశాల సంవత్సరంలో ఏమి జరుగుతుంది - రెండు రెట్లు ఎక్కువ అభ్యర్థనలు ఉంటాయి. ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే చాలా కాలం క్రితం పాఠశాల నుండి పట్టభద్రులైన మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సిద్ధమవుతున్న అబ్బాయిలు మరియు బాలికలు ఈ సమాచారం కోసం వెతుకుతున్నారు మరియు పాఠశాల పిల్లలు కూడా వారి జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తారు.

ఈ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు చెప్పే సైట్‌లు చాలా ఉన్నప్పటికీ, నేను మెటీరియల్‌ను అందించి ప్రచురించాలని నిర్ణయించుకున్నాను. ముందుగా, ఈ అభ్యర్థన ఆధారంగా సందర్శకులు నా సైట్‌కి రావాలని నేను కోరుకుంటున్నాను; రెండవది, ఇతర కథనాలలో, “KU” అంశం వచ్చినప్పుడు, నేను ఈ వ్యాసానికి లింక్‌ను అందిస్తాను; మూడవదిగా, ఇతర సైట్‌లలో సాధారణంగా పేర్కొన్న దానికంటే అతని పరిష్కారం గురించి కొంచెం ఎక్కువ చెబుతాను. ప్రారంభిద్దాం!వ్యాసం యొక్క విషయాలు:

వర్గ సమీకరణం అనేది రూపం యొక్క సమీకరణం:

ఇక్కడ గుణకాలు a,బిమరియు తో ఏకపక్ష సంఖ్యలు, ఇక్కడ a≠0.

IN పాఠశాల కోర్సుపదార్థం క్రింది రూపంలో ఇవ్వబడింది - సమీకరణాలు సాంప్రదాయకంగా మూడు తరగతులుగా విభజించబడ్డాయి:

1. వాటికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.

2. *ఒకే రూట్ కలిగి ఉండండి.

3. వాటికి మూలాలు లేవు. వారికి నిజమైన మూలాలు లేవని ఇక్కడ ప్రత్యేకంగా గమనించాలి

మూలాలు ఎలా లెక్కించబడతాయి? కేవలం!

మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము. ఈ "భయంకరమైన" పదం కింద చాలా సులభమైన సూత్రం ఉంది:

మూల సూత్రాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

*మీరు ఈ సూత్రాలను హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి.

మీరు వెంటనే వ్రాసి పరిష్కరించవచ్చు:

ఉదాహరణ:

1. D > 0 అయితే, సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

2. D = 0 అయితే, సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

3. ఒకవేళ D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

సమీకరణాన్ని చూద్దాం:

ఈ విషయంలో, వివక్షత సున్నాకి సమానం అయినప్పుడు, పాఠశాల కోర్సు ఒక రూట్ పొందిందని చెబుతుంది, ఇక్కడ అది తొమ్మిదికి సమానం. అంతా సరిగ్గా ఉంది, అది అలా ఉంది, కానీ ...

ఈ ఆలోచన కొంతవరకు తప్పు. నిజానికి, రెండు మూలాలు ఉన్నాయి. అవును, అవును, ఆశ్చర్యపోకండి, మీరు రెండు సమాన మూలాలను పొందుతారు మరియు గణితశాస్త్రపరంగా ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, సమాధానం రెండు మూలాలను వ్రాయాలి:

x 1 = 3 x 2 = 3

కానీ ఇది అలా ఉంది - ఒక చిన్న డైగ్రెషన్. పాఠశాలలో మీరు దానిని వ్రాసి, ఒక మూలం ఉందని చెప్పవచ్చు.

ఇప్పుడు తదుపరి ఉదాహరణ:

మనకు తెలిసినట్లుగా, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోలేము, కాబట్టి ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం లేదు.

అది మొత్తం నిర్ణయ ప్రక్రియ.

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్.

ఇది జ్యామితీయంగా పరిష్కారం ఎలా ఉంటుందో చూపిస్తుంది. ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం (భవిష్యత్తులో, వ్యాసాలలో ఒకదానిలో మేము చతురస్రాకార అసమానతకు పరిష్కారాన్ని వివరంగా విశ్లేషిస్తాము).

ఇది ఫారమ్ యొక్క విధి:

ఇక్కడ x మరియు y వేరియబుల్స్

a, b, c – ఇచ్చిన సంఖ్యలు, ≠ 0తో

గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా:

అంటే, సున్నాకి సమానమైన “y”తో చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మేము x అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను కనుగొంటాము. ఈ పాయింట్లలో రెండు ఉండవచ్చు (వివక్షత అనుకూలమైనది), ఒకటి (వివక్షత లేనిది సున్నా) మరియు ఏదీ లేదు (వివక్షత ప్రతికూలమైనది). క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ గురించిన వివరాలు మీరు చూడవచ్చుఇన్నా ఫెల్డ్‌మాన్ వ్యాసం.

ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1: పరిష్కరించండి 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

సమాధానం: x 1 = 8 x 2 = –12

*సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను వెంటనే 2 ద్వారా విభజించడం సాధ్యమైంది, అంటే దానిని సరళీకృతం చేయడం. లెక్కలు తేలికవుతాయి.

ఉదాహరణ 2: నిర్ణయించుకోండి x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

మేము x 1 = 11 మరియు x 2 = 11 అని కనుగొన్నాము

సమాధానంలో x = 11 అని వ్రాయడానికి అనుమతి ఉంది.

సమాధానం: x = 11

ఉదాహరణ 3: నిర్ణయించుకోండి x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

వివక్షత ప్రతికూలమైనది, వాస్తవ సంఖ్యలలో పరిష్కారం లేదు.

సమాధానం: పరిష్కారం లేదు

వివక్షత ప్రతికూలమైనది. పరిష్కారం ఉంది!

ఇక్కడ మేము ప్రతికూల వివక్షను పొందినప్పుడు సందర్భంలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం గురించి మాట్లాడుతాము. సంక్లిష్ట సంఖ్యల గురించి మీకు ఏమైనా తెలుసా? అవి ఎందుకు మరియు ఎక్కడ ఉద్భవించాయి మరియు గణితంలో వారి నిర్దిష్ట పాత్ర మరియు ఆవశ్యకత గురించి నేను ఇక్కడ వివరంగా చెప్పను;

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క భావన.

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

సంక్లిష్ట సంఖ్య z అనేది రూపం యొక్క సంఖ్య

z = a + bi

ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు, i అనేది ఊహాత్మక యూనిట్ అని పిలవబడేది.

a+bi – ఇది సింగిల్ నంబర్, అదనంగా కాదు.

ఊహాత్మక యూనిట్ మైనస్ ఒకటి యొక్క మూలానికి సమానం:

ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

మనకు రెండు సంయోగ మూలాలు లభిస్తాయి.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం.

ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం, ఇది గుణకం “బి” లేదా “సి” సున్నాకి సమానం (లేదా రెండూ సున్నాకి సమానం). ఎలాంటి వివక్ష లేకుండా వాటిని సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.

కేసు 1. గుణకం b = 0.

సమీకరణం అవుతుంది:

రూపాంతరం చేద్దాం:

ఉదాహరణ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

కేసు 2. గుణకం c = 0.

సమీకరణం అవుతుంది:

పరివర్తన మరియు కారకం చేద్దాం:

*కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.

ఉదాహరణ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 లేదా x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

కేస్ 3. కోఎఫీషియంట్స్ b = 0 మరియు c = 0.

సమీకరణానికి పరిష్కారం ఎల్లప్పుడూ x = 0 అని ఇక్కడ స్పష్టంగా ఉంది.

గుణకాల యొక్క ఉపయోగకరమైన లక్షణాలు మరియు నమూనాలు.

పెద్ద గుణకాలతో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే లక్షణాలు ఉన్నాయి.

ఎx 2 + bx+ సి=0 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

a + బి+ c = 0,ఆ

- సమీకరణం యొక్క గుణకాల కోసం అయితే ఎx 2 + bx+ సి=0 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

a+ లు =బి, ఆ

ఈ లక్షణాలు ఒక నిర్దిష్ట రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి.

ఉదాహరణ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

అసమానతల మొత్తం 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, అంటే

ఉదాహరణ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

సమానత్వం ఉంటుంది a+ లు =బి, అర్థం

గుణకాల నియమాలు.

1. గొడ్డలి 2 + bx + c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 +1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు “c” గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానం అయితే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

ఉదాహరణ. 6x 2 + 37x + 6 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. గొడ్డలి 2 – bx + c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 +1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు “c” గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానం అయితే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి

గొడ్డలి 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = a x 2 = 1/a.

ఉదాహరణ. 15x 2 –226x +15 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Eq లో ఉంటే. ax 2 + bx – c = 0 గుణకం “b” సమానం (a 2 - 1), మరియు గుణకం "సి" సంఖ్యాపరంగా గుణకం "a"కి సమానం, అప్పుడు దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

ఉదాహరణ. 17x 2 +288x – 17 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. గొడ్డలి 2 – bx – c = 0 అనే సమీకరణంలో “b” గుణకం (a 2 – 1)కి సమానంగా ఉంటే మరియు c గుణకం సంఖ్యాపరంగా గుణకం “a”కి సమానంగా ఉంటే, దాని మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి

గొడ్డలి 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = a x 2 = – 1/a.

ఉదాహరణ. 10x 2 – 99x –10 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

వియెటా సిద్ధాంతం.

వియెటా సిద్ధాంతానికి ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫ్రాంకోయిస్ వియెటా పేరు పెట్టారు. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఏకపక్ష KU యొక్క మూలాల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తిని దాని గుణకాల పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

మొత్తంగా, 14 సంఖ్య 5 మరియు 9 మాత్రమే ఇస్తుంది. ఇవి మూలాలు. ఒక నిర్దిష్ట నైపుణ్యంతో, సమర్పించిన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మీరు అనేక వర్గ సమీకరణాలను మౌఖికంగా వెంటనే పరిష్కరించవచ్చు.

వియెటా సిద్ధాంతం, అదనంగా. సాధారణ మార్గంలో (వివక్షత ద్వారా) వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, ఫలిత మూలాలను తనిఖీ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దీన్ని ఎల్లప్పుడూ చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

రవాణా పద్ధతి

ఈ పద్ధతిలో, "a" అనే గుణకం ఉచిత పదంతో గుణించబడుతుంది, దానికి "విసిరినట్లు", అందుకే దీనిని పిలుస్తారు. "బదిలీ" పద్ధతి.మీరు వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను సులభంగా కనుగొనగలిగినప్పుడు మరియు ముఖ్యంగా, వివక్షత ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉంటే ఎ± బి+సి≠ 0, అప్పుడు బదిలీ సాంకేతికత ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

సమీకరణం (2)లో వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, x 1 = 10 x 2 = 1 అని నిర్ణయించడం సులభం

సమీకరణం యొక్క ఫలిత మూలాలను తప్పనిసరిగా 2 ద్వారా విభజించాలి (రెండు x 2 నుండి “విసివేయబడినవి” కాబట్టి), మనకు లభిస్తుంది

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

హేతుబద్ధత ఏమిటి? ఏం జరుగుతుందో చూడు.

సమీకరణాల వివక్షత (1) మరియు (2) సమానం:

మీరు సమీకరణాల మూలాలను చూస్తే, మీరు వేర్వేరు హారంలను మాత్రమే పొందుతారు మరియు ఫలితం x 2 యొక్క గుణకంపై ఖచ్చితంగా ఆధారపడి ఉంటుంది:

రెండవది (సవరించినది) 2 రెట్లు పెద్ద మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

కాబట్టి, మేము ఫలితాన్ని 2 ద్వారా భాగిస్తాము.

*మేము మూడు రోల్ చేస్తే, మేము ఫలితాన్ని 3, మొదలైన వాటితో భాగిస్తాము.

సమాధానం: x 1 = 5 x 2 = 0.5

చ. ur-ie మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్.

దాని ప్రాముఖ్యత గురించి నేను మీకు క్లుప్తంగా చెబుతాను - మీరు త్వరగా మరియు ఆలోచించకుండా నిర్ణయం తీసుకోగలగాలి, మీరు మూలాలు మరియు వివక్షత యొక్క సూత్రాలను హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ టాస్క్‌లలో చేర్చబడిన అనేక సమస్యలు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని (జ్యామితీయ వాటిని కలిగి ఉంటాయి) పరిష్కరించడానికి వస్తాయి.

గమనించదగ్గ విషయం!

1. సమీకరణాన్ని వ్రాసే రూపం "అవ్యక్తమైనది" కావచ్చు. ఉదాహరణకు, కింది ప్రవేశం సాధ్యమే:

15+ 9x 2 - 45x = 0 లేదా 15x+42+9x 2 - 45x=0 లేదా 15 -5x+10x 2 = 0.

మీరు దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురావాలి (పరిష్కరించేటప్పుడు గందరగోళం చెందకుండా).

2. x అనేది తెలియని పరిమాణం అని గుర్తుంచుకోండి మరియు దానిని ఏదైనా ఇతర అక్షరం ద్వారా సూచించవచ్చు - t, q, p, h మరియు ఇతరులు.

ఈ కథనాన్ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత మీరు పూర్తి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటారని నేను ఆశిస్తున్నాను.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పూర్తి వర్గ సమీకరణాలు మాత్రమే పరిష్కరించబడతాయి, ఇతర పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిని మీరు “అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” అనే వ్యాసంలో కనుగొంటారు.

ఏ వర్గ సమీకరణాలను పూర్తి అంటారు? ఈ రూపం గొడ్డలి 2 + b x + c = 0 యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ గుణకాలు a, b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉండవు. కాబట్టి, పూర్తి చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము వివక్ష D ని లెక్కించాలి.

D = b 2 – 4ac.

వివక్షత యొక్క విలువను బట్టి, మేము సమాధానం వ్రాస్తాము.

వివక్షత ప్రతికూల సంఖ్య అయితే (D< 0),то корней нет.

వివక్షత సున్నా అయితే, x = (-b)/2a. వివక్షత సానుకూల సంఖ్య అయినప్పుడు (D > 0),

అప్పుడు x 1 = (-b - √D)/2a, మరియు x 2 = (-b + √D)/2a.

ఉదాహరణకు. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

సమాధానం: 2.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

సమాధానం: - 3.5; 1.

కాబట్టి మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి పూర్తి వర్గ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఊహించుకుందాం.

ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. మీరు కేవలం జాగ్రత్తగా ఉండాలి సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడింది

ఎ x 2 + bx + c,లేకుంటే మీరు పొరపాటు చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, x + 3 + 2x 2 = 0 సమీకరణాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మీరు పొరపాటున దానిని నిర్ణయించవచ్చు

a = 1, b = 3 మరియు c = 2. అప్పుడు

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ఆపై సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. మరియు ఇది నిజం కాదు. (పై ఉదాహరణ 2కి పరిష్కారం చూడండి).

కాబట్టి, సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడకపోతే, మొదట పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయాలి (అతి పెద్ద ఘాతాంకం కలిగిన మోనోమియల్ మొదట రావాలి, అంటే ఎ x 2 , ఆపై తక్కువతో – bxఆపై ఉచిత సభ్యుడు తో.

తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని మరియు రెండవ పదంలో సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు ఇతర సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ ఫార్ములాల గురించి తెలుసుకుందాం. పూర్తి వర్గ సమీకరణంలో రెండవ పదం వద్ద గుణకం సమానంగా ఉంటే (b = 2k), అప్పుడు మీరు మూర్తి 2లోని రేఖాచిత్రంలో ఇచ్చిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు.

వద్ద గుణకం ఉంటే పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని తగ్గించడం అంటారు x 2 ఒకదానికి సమానం మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది x 2 + px + q = 0. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కారం కోసం ఇవ్వవచ్చు లేదా సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలను గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఎ, వద్ద నిలబడి x 2 .

తగ్గిన చతురస్రాన్ని పరిష్కరించడానికి మూర్తి 3 ఒక రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది
సమీకరణాలు. ఈ వ్యాసంలో చర్చించిన సూత్రాల అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

3x 2 + 6x – 6 = 0.

మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3

ఈ సమీకరణంలో x యొక్క గుణకం సరి సంఖ్య అని మీరు గమనించవచ్చు, అనగా b = 6 లేదా b = 2k, ఎక్కడ నుండి k = 3. అప్పుడు ఫిగర్ D యొక్క రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3. ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలు 3చే భాగించబడతాయని గమనించి, విభజనను నిర్వహిస్తే, మేము తగ్గిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము x 2 + 2x – 2 = 0 తగ్గించబడిన వర్గానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సమీకరణాలు ఫిగర్ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, విభిన్న సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము అదే సమాధానాన్ని అందుకున్నాము. అందువల్ల, మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను పూర్తిగా ప్రావీణ్యం పొందడం ద్వారా, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలరు.

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఈ కథనాన్ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత మీరు పూర్తి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటారని నేను ఆశిస్తున్నాను.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పూర్తి వర్గ సమీకరణాలు మాత్రమే పరిష్కరించబడతాయి, ఇతర పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిని మీరు “అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” అనే వ్యాసంలో కనుగొంటారు.

ఏ వర్గ సమీకరణాలను పూర్తి అంటారు? ఈ రూపం గొడ్డలి 2 + b x + c = 0 యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ గుణకాలు a, b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉండవు. కాబట్టి, పూర్తి చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము వివక్ష D ని లెక్కించాలి.

D = b 2 – 4ac.

వివక్షత యొక్క విలువను బట్టి, మేము సమాధానం వ్రాస్తాము.

వివక్షత ప్రతికూల సంఖ్య అయితే (D< 0),то корней нет.

వివక్షత సున్నా అయితే, x = (-b)/2a. వివక్షత సానుకూల సంఖ్య అయినప్పుడు (D > 0),

అప్పుడు x 1 = (-b - √D)/2a, మరియు x 2 = (-b + √D)/2a.

ఉదాహరణకు. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

సమాధానం: 2.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

సమాధానం: - 3.5; 1.

కాబట్టి మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి పూర్తి వర్గ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఊహించుకుందాం.

ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. మీరు కేవలం జాగ్రత్తగా ఉండాలి సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడింది

ఎ x 2 + bx + c,లేకుంటే మీరు పొరపాటు చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, x + 3 + 2x 2 = 0 సమీకరణాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మీరు పొరపాటున దానిని నిర్ణయించవచ్చు

a = 1, b = 3 మరియు c = 2. అప్పుడు

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ఆపై సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. మరియు ఇది నిజం కాదు. (పై ఉదాహరణ 2కి పరిష్కారం చూడండి).

కాబట్టి, సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడకపోతే, మొదట పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయాలి (అతి పెద్ద ఘాతాంకం కలిగిన మోనోమియల్ మొదట రావాలి, అంటే ఎ x 2 , ఆపై తక్కువతో – bxఆపై ఉచిత సభ్యుడు తో.

తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని మరియు రెండవ పదంలో సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు ఇతర సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ ఫార్ములాల గురించి తెలుసుకుందాం. పూర్తి వర్గ సమీకరణంలో రెండవ పదం వద్ద గుణకం సమానంగా ఉంటే (b = 2k), అప్పుడు మీరు మూర్తి 2లోని రేఖాచిత్రంలో ఇచ్చిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు.

వద్ద గుణకం ఉంటే పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని తగ్గించడం అంటారు x 2 ఒకదానికి సమానం మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది x 2 + px + q = 0. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కారం కోసం ఇవ్వవచ్చు లేదా సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలను గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఎ, వద్ద నిలబడి x 2 .

తగ్గిన చతురస్రాన్ని పరిష్కరించడానికి మూర్తి 3 ఒక రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది
సమీకరణాలు. ఈ వ్యాసంలో చర్చించిన సూత్రాల అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

3x 2 + 6x – 6 = 0.

మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3

ఈ సమీకరణంలో x యొక్క గుణకం సరి సంఖ్య అని మీరు గమనించవచ్చు, అనగా b = 6 లేదా b = 2k, ఎక్కడ నుండి k = 3. అప్పుడు ఫిగర్ D యొక్క రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3. ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలు 3చే భాగించబడతాయని గమనించి, విభజనను నిర్వహిస్తే, మేము తగ్గిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము x 2 + 2x – 2 = 0 తగ్గించబడిన వర్గానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సమీకరణాలు ఫిగర్ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, విభిన్న సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము అదే సమాధానాన్ని అందుకున్నాము. అందువల్ల, మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను పూర్తిగా ప్రావీణ్యం పొందడం ద్వారా, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలరు.

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఈ వ్యాసంలో మనం అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి చూద్దాం.

అయితే ముందుగా, ఏ సమీకరణాలను చతురస్రాకారంగా పిలుస్తారో పునరావృతం చేద్దాం. రూపం ax 2 + bx + c = 0 యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ x ఒక వేరియబుల్, మరియు గుణకాలు a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు a ≠ 0, అంటారు చతురస్రం. మనం చూస్తున్నట్లుగా, x 2 యొక్క గుణకం సున్నాకి సమానం కాదు, అందువల్ల x లేదా ఉచిత పదం యొక్క గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, ఈ సందర్భంలో మనకు అసంపూర్ణమైన వర్గ సమీకరణం లభిస్తుంది.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు మూడు రకాలు:

1) b = 0, c ≠ 0 అయితే, గొడ్డలి 2 + c = 0;

2) b ≠ 0, c = 0 అయితే, గొడ్డలి 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 అయితే, గొడ్డలి 2 = 0.

• ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకుందాం గొడ్డలి 2 + సి = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము ఉచిత పదం cని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది

గొడ్డలి 2 = ‒s. a ≠ 0 నుండి, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు భుజాలను a ద్వారా భాగిస్తాము, ఆపై x 2 = ‒c/a.

‒с/а > 0 అయితే, సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి

x = ±√(–c/a) .

ఒకవేళ ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

అటువంటి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో ఉదాహరణలతో అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమాధానం: x 1 = - 4, x 2 = 4.

ఉదాహరణ 2. 2x 2 + 8 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమాధానం: సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు.

• దాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకుందాం గొడ్డలి 2 + bx = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు.

గొడ్డలి 2 + bx = 0 అనే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, దానిని కారకం చేద్దాం, అంటే బ్రాకెట్‌ల నుండి xని తీసుకుంటే, మనకు x(ax + b) = 0 వస్తుంది. కనీసం ఒక కారకం సమానంగా ఉంటే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం సున్నాకి. అప్పుడు x = 0, లేదా గొడ్డలి + b = 0. గొడ్డలి + b = 0 అనే సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు గొడ్డలి = - b, ఎక్కడ నుండి x = - b/a వస్తుంది. గొడ్డలి 2 + bx = 0 రూపం యొక్క సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ x 1 = 0 మరియు x 2 = ‒ b/a అనే రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. రేఖాచిత్రంలో ఈ రకమైన సమీకరణాలకు పరిష్కారం ఎలా ఉంటుందో చూడండి.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణతో మన జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేద్దాం.

ఉదాహరణ 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 లేదా 3x – 12 = 0

సమాధానం: x 1 = 0, x 2 = 4.

• మూడవ రకం గొడ్డలి 2 = 0 యొక్క సమీకరణాలుచాలా సరళంగా పరిష్కరించబడతాయి.

గొడ్డలి 2 = 0 అయితే, x 2 = 0. సమీకరణం రెండు సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటుంది x 1 = 0, x 2 = 0.

స్పష్టత కోసం, రేఖాచిత్రాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ రకమైన సమీకరణాలను చాలా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చని నిర్ధారించుకుందాం.

ఉదాహరణ 4. 7x 2 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమాధానం: x 1, 2 = 0.

మనం ఏ రకమైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలో ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా తెలియదు. కింది ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 5.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒక సాధారణ హారం ద్వారా గుణిద్దాం, అంటే 30

దాన్ని తగ్గించుకుందాం

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

ఇలాంటివి ఇద్దాం

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి 99ని కుడివైపుకి తరలించి, చిహ్నాన్ని ఎదురుగా మారుద్దాం

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో మేము చూశాము. ఇప్పుడు అలాంటి పనులతో మీకు ఎలాంటి ఇబ్బందులు ఉండవని నేను ఆశిస్తున్నాను. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం యొక్క రకాన్ని నిర్ణయించేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండండి, అప్పుడు మీరు విజయం సాధిస్తారు.

మీకు ఈ అంశంపై ప్రశ్నలు ఉంటే, నా పాఠాల కోసం సైన్ అప్ చేయండి, మేము కలిసి తలెత్తే సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము.

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.