Ang isang patunay ng derivative formula ay ibinigay kumplikadong pag-andar. Ang mga kaso kapag ang isang kumplikadong function ay nakasalalay sa isa o dalawang variable ay isinasaalang-alang nang detalyado. Isang generalization ang ginawa sa kaso anumang numero mga variable.

Dito ibinibigay namin ang derivation ng mga sumusunod na formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Derivative ng isang kumplikadong function mula sa isang variable

Hayaan ang isang function ng variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function sa sumusunod na anyo:
,
kung saan mayroong ilang mga pag-andar. Naiiba ang function para sa ilang halaga ng variable na x.
Naiiba ang function sa halaga ng variable.
(1) .

Pagkatapos ang complex (composite) function ay naiba-iba sa point x at ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
;
.

Ang formula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:

Patunay
;
.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon.

Dito mayroong isang function ng mga variable at , mayroong isang function ng mga variable at .
;
.

Ngunit aalisin namin ang mga argumento ng mga function na ito upang hindi makalat ang mga kalkulasyon.
.
Dahil ang mga function at naiba sa mga puntos na x at , ayon sa pagkakabanggit, sa mga puntong ito ay mayroong mga derivatives ng mga function na ito, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
.
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

Para sa isang nakapirming halaga ng variable na u, ay isang function ng .
.
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

Obvious naman yun

.

Pagkatapos

Dahil ang function ay isang differentiable function sa punto, ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. kaya lang

Ngayon nakita namin ang derivative.
,
Ang formula ay napatunayan.
.
Bunga

Kung ang isang function ng isang variable x ay maaaring katawanin bilang isang kumplikadong function ng isang kumplikadong function
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.
.
Upang patunayan ang formula na ito, sunud-sunod naming kinakalkula ang derivative gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.
.

Isaalang-alang ang kumplikadong pag-andar

Ang hinango nito Isaalang-alang ang orihinal na function.

Derivative ng isang kumplikadong function mula sa dalawang variable
,
Ngayon hayaan ang kumplikadong pag-andar ay depende sa ilang mga variable. Tingnan muna natin
kaso ng isang kumplikadong function ng dalawang variable
- isang function ng dalawang variable, differentiable sa point , .
(2) .

Ang formula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:

Pagkatapos ang kumplikadong pag-andar ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto at mayroong isang hinalaw, na tinutukoy ng formula:
;
.
Dahil ang mga function at naiba sa punto, ang mga ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivative ay umiiral sa punto, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.
Dito
;
.

Dahil sa pagpapatuloy ng mga function na ito sa isang punto, mayroon kaming:
(3) .
Dahil ang mga function at naiba sa punto, ang mga ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivative ay umiiral sa punto, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:

Dahil ang function ay naiba sa punto, ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa puntong ito, at ang pagtaas nito ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:
;

- pagdaragdag ng isang function kapag ang mga argumento nito ay dinagdagan ng mga halaga at ;
- mga partial derivatives ng function na may paggalang sa mga variable at .
;
.
Para sa mga nakapirming halaga ng at , at mga function ng mga variable at .
;
.

May posibilidad silang maging zero sa at:

. :
.
Simula at , noon



.

Pagkatapos

Pagdaragdag ng function:

Palitan natin ang (3):

Derivative ng isang kumplikadong function mula sa ilang mga variable Ang konklusyon sa itaas ay madaling gawing pangkalahatan sa kaso kapag ang bilang ng mga variable ng isang kumplikadong function ay higit sa dalawa. Halimbawa, kung ang f ay
,
Ngayon hayaan ang kumplikadong pag-andar ay depende sa ilang mga variable. Tingnan muna natin
function ng tatlong variable
, Iyon
, at may mga function na naiba-iba para sa ilang halaga ng variable na x;
(4)
.
- differentiable function ng tatlong variable sa punto , , .
; ; ,
Pagkatapos, mula sa kahulugan ng pagkakaiba-iba ng function, mayroon kaming:
;
;
.

Dahil, dahil sa pagpapatuloy,
.

yun Ang paghahati ng (4) sa pamamagitan at pagpasa sa limitasyon, makuha natin ang: At sa wakas, isaalang-alang natin .
karamihan
,
Ngayon hayaan ang kumplikadong pag-andar ay depende sa ilang mga variable. Tingnan muna natin
pangkalahatang kaso
Hayaan ang isang function ng variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng n variable sa sumusunod na anyo:
, , ... , .
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable na x;

- differentiable function ng n variable sa isang punto

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa isang mahalagang konsepto ng matematika bilang isang kumplikadong function, at matutunan kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function.

Bago matutunang hanapin ang derivative ng isang complex function, unawain natin ang konsepto ng complex function, kung ano ito, "kung ano ang kinakain nito," at "kung paano ito lutuin ng tama."

Isaalang-alang ang isang arbitrary na function, halimbawa, ito:

Tandaan na ang argumento sa kanan at kaliwang bahagi ng function equation ay ang parehong numero, o expression.

Sa halip na isang variable, maaari naming ilagay, halimbawa, ang sumusunod na expression: . At pagkatapos ay makuha namin ang function

Hayaang tukuyin ang isang function sa isang set at maging set ng mga value ng function na ito. Hayaan ang set (o ang subset nito) ang domain ng kahulugan ng function. Magtalaga tayo ng numero sa bawat isa sa kanila. Kaya, ang function ay tutukuyin sa set. Tinatawag itong komposisyon ng function o kumplikadong function.

Sa kahulugang ito, kung gagamitin natin ang ating terminolohiya, ang panlabas na function ay isang intermediate argument.

Ang derivative ng isang kumplikadong function ay matatagpuan ayon sa sumusunod na panuntunan:

Upang gawing mas malinaw, gusto kong isulat ang panuntunang ito tulad ng sumusunod:

Sa expression na ito, ang paggamit ay nagpapahiwatig ng isang intermediate function.

Kaya. Upang mahanap ang derivative ng isang kumplikadong function, kailangan mo

1. Tukuyin kung aling function ang panlabas at hanapin ang katumbas na derivative mula sa talahanayan ng mga derivatives.

2. Tukuyin ang isang intermediate argument.

Sa pamamaraang ito, ang pinakamalaking kahirapan ay ang paghahanap ng panlabas na pag-andar. Ang isang simpleng algorithm ay ginagamit para dito:

A. Isulat ang equation ng function.

b. Isipin na kailangan mong kalkulahin ang halaga ng isang function para sa ilang halaga ng x. Upang gawin ito, palitan mo ang x value na ito sa equation ng function at magsagawa ng aritmetika. Ang huling aksyon na gagawin mo ay ang panlabas na function.

Halimbawa, sa function

Ang huling aksyon ay exponentiation.

Hanapin natin ang derivative ng function na ito. Upang gawin ito, sumulat kami ng isang intermediate na argumento

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na mga pugad ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung naiintindihan mo ang mga ito (may magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus Tila biro ng bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan Tama UNAWAIN ang iyong mga pamumuhunan. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan binigay na halaga sa isang "kakila-kilabot na ekspresyon".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pag-embed.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Formula para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Tila walang mga pagkakamali:

1) Kunin ang derivative ng square root.

2) Kunin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

3) Ang derivative ng isang triple ay zero. Sa pangalawang termino ay kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

4) Kunin ang derivative ng cosine.

6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pag-embed.

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa isang pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng isang mag-aaral kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Inilapat muna namin ang mga panuntunan sa linearity at ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Panahon na upang lumipat sa isang bagay na mas maliit at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa upang ipakita ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlo multiplier?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una nating tingnan, posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang isinasaalang-alang, ang lahat ng mga pag-andar ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay na sa pamamagitan ng "y" ay tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at sa pamamagitan ng "ve" ay tinutukoy namin ang logarithm: . Bakit ito magagawa? Talaga ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka ring mapilipit at maglagay ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito, mas mahusay na iwanan ang sagot nang eksakto sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang itinuturing na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon sa sample na ito ay nalutas gamit ang unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Mayroong ilang mga paraan na maaari mong puntahan dito:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compact kung gagamitin muna natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan na, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, ito ay palaging ipinapayong tingnan ang draft upang makita kung ang sagot ay maaaring pasimplehin?

Bawasan natin ang pagpapahayag ng numerator sa isang karaniwang denominador at alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction.:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng hinalaw, ngunit sa panahon ng mga pagbabago sa paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang takdang-aralin at hinihiling na "iisipan" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan

Mga kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Power derivative exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na ating tinakpan, titingnan ang mas kumplikadong mga derivative, at makikilala din ang mga bagong diskarte at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon, na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang kumplikadong function, unawain at lutasin Lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito ikaw ay may kumpiyansa na naiiba ang medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na kunin ang posisyon na “Saan pa? Oo, sapat na 'yan, dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa tunay mga pagsubok at madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa klase Derivative ng isang kumplikadong function Tumingin kami sa isang bilang ng mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang sangay ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang ilarawan ang mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay kami sa paghahanap ng mga derivative nang pasalita. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksang matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan; Isipin natin na alas-3 ng madaling araw ay may isang tawag sa telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang X?" Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa independiyenteng solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivative nang pasalita, sa isang aksyon, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi mo pa ito naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang kumplikadong function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivative

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na mga pugad ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Ang sumusunod na dalawang halimbawa ay maaaring mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung naiintindihan mo ang mga ito (may magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan Tama UNAWAIN ang iyong mga pamumuhunan. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pag-embed.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Formula para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kunin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng isang triple ay zero. Sa pangalawang termino ay kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

(4) Kunin ang derivative ng cosine.

(5) Kunin ang derivative ng logarithm.

(6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pag-embed .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa isang pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng isang mag-aaral kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Inilapat muna namin ang mga panuntunan sa linearity at ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Panahon na upang lumipat sa isang bagay na mas maliit at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa upang ipakita ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una nating tingnan, posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang isinasaalang-alang, ang lahat ng mga pag-andar ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay na sa pamamagitan ng "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at sa pamamagitan ng "ve" ay tinutukoy namin ang logarithm: . Bakit ito magagawa? Talaga ba – hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka ring mapilipit at maglagay ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito, mas mahusay na iwanan ang sagot nang eksakto sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang itinuturing na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon sa sample na ito ay nalutas gamit ang unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Mayroong ilang mga paraan na maaari mong puntahan dito:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compact kung gagamitin muna natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan na, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, ito ay palaging ipinapayong tingnan ang draft upang makita kung ang sagot ay maaaring pasimplehin? Bawasan natin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin na natin ang tatlong palapag na fraction:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng hinalaw, ngunit sa panahon ng mga pagbabago sa paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang takdang-aralin at hinihiling na "iisipan" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa mahabang paraan, gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na naglalagay sa iyo sa kawalan ng pag-asa - kailangan mong kunin ang hindi kasiya-siyang derivative mula sa isang fractional power, at pagkatapos ay mula sa isang fraction.

kaya lang dati kung paano kunin ang derivative ng isang "sopistikadong" logarithm, ito ay unang pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang hawak na notebook ng pagsasanay, direktang kopyahin ang mga formula na ito doon. Kung wala kang notebook, kopyahin ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring isulat tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Paghahanap ng derivative:

Ang paunang pag-convert ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon ang ilang simpleng halimbawa para malutas mo nang mag-isa:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Ang lahat ng pagbabago at sagot ay nasa dulo ng aralin.

Logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw: posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Kamakailan ay tumingin kami sa mga katulad na halimbawa. Ano ang gagawin? Maaari mong sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay napupunta ka sa isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Ngayon ay kailangan mong "break up" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (ang mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi sa ilalim ng prime:

Ang derivative ng right-hand side ay medyo simple;

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong na: "Bakit, may isang letra bang "Y" sa ilalim ng logarithm?"

Ang katotohanan ay ang "isang letrang laro" na ito - AY MISMONG FUNCTION(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Susunod, ayon sa panuntunan ng proporsyon, inililipat namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon tandaan natin kung anong uri ng "manlalaro" -function ang napag-usapan natin sa panahon ng pagkita ng kaibhan? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang isang halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri ay nasa dulo ng aralin.

Gamit ang logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng isang power-exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang power-exponential function ay isang function kung saan parehong ang degree at ang base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang power-exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na tinalakay lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, sa kanang bahagi ang degree ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm:

Bilang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming produkto ng dalawang pag-andar, na kung saan ay iba-iba ayon sa karaniwang formula .

Natagpuan namin ang derivative;

Ang mga karagdagang aksyon ay simple:

Sa wakas:

Kung ang anumang conversion ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

SA mga praktikal na gawain Ang power-exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa halimbawang tinalakay sa lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm x" (isa pang logarithm ay naka-nest sa ilalim ng logarithm). Kapag nag-iiba, tulad ng naaalala natin, mas mahusay na agad na ilipat ang pare-pareho sa labas ng derivative sign upang hindi ito makasagabal; at, siyempre, inilalapat namin ang pamilyar na panuntunan :

Tulad ng nakikita mo, ang algorithm para sa paggamit ng logarithmic derivative ay hindi naglalaman ng anumang mga espesyal na trick o trick, at ang paghahanap ng derivative ng isang power-exponential function ay karaniwang hindi nauugnay sa "torment."

Derivative ng isang kumplikadong function. Mga halimbawa ng solusyon

Sa araling ito matututunan natin kung paano maghanap derivative ng isang kumplikadong function. Ang aralin ay isang lohikal na pagpapatuloy ng aralin Paano mahahanap ang derivative?, kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at naging pamilyar din sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Dito mayroon kaming dalawang function – at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinango kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Kung sakali mga simpleng halimbawa Tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, iminumungkahi ko ang paggamit ng sumusunod na pamamaraan, na maaaring gawin sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating gumamit ng calculator upang kalkulahin ang halaga ng expression sa (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat ay kailangang gawin susunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos namin SOLD OUT Sa panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar.

Magsimula tayo sa pagpapasya. Mula sa klase Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Noong una hanapin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives mga pag-andar ng elementarya at napansin namin iyon. Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Mangyaring tandaan na ang panloob na function ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, medyo obvious naman yun

Ang huling resulta ng paglalapat ng formula ay ganito:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan tayo may panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang isagawa ang exponentiation, samakatuwid, function ng kapangyarihan ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula, kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang kinakailangang formula sa talahanayan: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong irepresenta bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na angkop para sa pagkita ng kaibhan:

Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar:

Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring bawasan ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang gayong solusyon ay magmumukhang isang nakakatawang perwisyo. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang pagpapalawak ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan:

Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:

Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang embeddings, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Magsimula tayo sa pagpapasya

Ayon sa panuntunan, kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Sa ilalim ng stroke mayroon kaming isang kumplikadong pag-andar muli! Ngunit ito ay mas simple. Madaling i-verify na ang panloob na pag-andar ay ang arcsine, ang panlabas na pag-andar ay ang antas. Ayon sa panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, kailangan mo munang kunin ang derivative ng kapangyarihan.