Sa serbisyong ito magagawa mo hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function isang variable na f(x) na may solusyon na naka-format sa Word. Kung ang function na f(x,y) ay ibinigay, samakatuwid, ito ay kinakailangan upang mahanap ang extremum ng function ng dalawang variable. Maaari mo ring mahanap ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

y=

sa segment [ ;]

Isama ang teorya

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga function:

Kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang function ng isang variable

Ang equation f" 0 (x *) = 0 ay isang kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang function ng isang variable, ibig sabihin, sa punto x * ang unang derivative ng function ay dapat maglaho. Tinutukoy nito ang mga nakatigil na punto x c kung saan ang function ay hindi pagtaas o pagbaba.

Sapat na kondisyon para sa extremum ng isang function ng isang variable

Hayaang ang f 0 (x) ay dalawang beses na naiba-iba nang may kinalaman sa x na kabilang sa set D. Kung sa punto x * ang kundisyon ay natugunan:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Pagkatapos ang point x * ay ang lokal (global) na pinakamababang punto ng function.

Kung sa punto x * ang kundisyon ay natugunan:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Pagkatapos point x * ay isang lokal (global) maximum.

Halimbawa Blg. 1. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function: sa segment.
Solusyon.

Ang kritikal na punto ay isang x 1 = 2 (f’(x)=0). Ang puntong ito ay kabilang sa segment. (Ang puntong x=0 ay hindi kritikal, dahil 0∉).
Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa kritikal na punto.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Sagot: f min = 5 / 2 sa x=2; f max =9 sa x=1

Halimbawa Blg. 2. Gamit ang mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod, hanapin ang extremum ng function na y=x-2sin(x) .
Solusyon.
Hanapin ang derivative ng function: y’=1-2cos(x) . Hanapin natin ang mga kritikal na punto: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nahanap namin ang y’’=2sin(x), kalkulahin , na nangangahulugang x= π / 3 +2πk, k∈Z ang pinakamababang punto ng function; , na nangangahulugang x=- π / 3 +2πk, k∈Z ang pinakamataas na punto ng function.

Halimbawa Blg. 3. Siyasatin ang extremum function sa paligid ng puntong x=0.
Solusyon. Narito ito ay kinakailangan upang mahanap ang extrema ng function. Kung ang extremum x=0, pagkatapos ay alamin ang uri nito (minimum o maximum). Kung sa mga nahanap na puntos ay walang x = 0, pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng function na f(x=0).
Dapat tandaan na kapag ang derivative sa bawat panig ng isang naibigay na punto ay hindi nagbabago ng tanda nito, ang mga posibleng sitwasyon ay hindi naubos kahit na para sa mga naiba-iba na pag-andar: maaaring mangyari na para sa isang arbitraryong maliit na kapitbahayan sa isang bahagi ng punto x 0 o sa magkabilang panig ang derivative changes sign. Sa mga puntong ito kinakailangan na gumamit ng iba pang mga pamamaraan upang pag-aralan ang mga function sa isang extremum.

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakamalaking interes ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado dito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy sa pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay kailangan nating lutasin ang mga problema sa pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa isang tiyak na pagitan X, na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain ng kahulugan. Ang interval X mismo ay maaaring isang segment, isang bukas na agwat , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang tinukoy na function ng isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Tingnan natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos– ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ng function ay nagiging zero.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring tumagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi, hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng pagitan X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function, o ang pagitan ng X ay walang katapusan. At ang ilang mga pag-andar sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal sa parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan at marami ang magiging mas malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng segment [-6;6].

Isaalang-alang ang kaso na inilalarawan sa pangalawang figure. Baguhin natin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking sa punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan ng pagitan.

Sa Figure 3, ang mga boundary point ng segment [-3;2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa isang bukas na pagitan

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1, at ang pinakamaliit na halaga (min y) ay nakakamit sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3.

Sa paglipas ng pagitan, ang function ay hindi umabot sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Habang lumalapit ang x=2 mula sa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang linyang x=2 ay isang vertical asymptote), at habang ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3. Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang segment.

Sumulat tayo ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

1. Hinahanap namin ang domain ng kahulugan ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
2. Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay matatagpuan sa mga function na may argumento sa ilalim ng modulus sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
3. Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nasa loob ng segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at pumili ng angkop na mga ugat. Kung walang mga nakatigil na punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), pati na rin sa x=a at x=b.
5. Mula sa nakuha na mga halaga ng pag-andar, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang kinakailangang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm para sa paglutas ng isang halimbawa upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

• sa segment;
• sa segment [-4;-1] .

Solusyon.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay. Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Hanapin ang derivative ng function na may kinalaman sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1].

Tinutukoy namin ang mga nakatigil na puntos mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2. Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1, x=2 at x=4:

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakamit sa x=1, at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2.

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):

Pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

Ang pinakamalaking halaga ng isang function ay ang pinakamalaking, ang pinakamaliit na halaga ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga halaga nito.

Ang isang function ay maaaring magkaroon lamang ng isang pinakamalaki at isa lamang na pinakamaliit na halaga, o maaaring wala ito sa lahat. Ang paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na pag-andar ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga pag-andar na ito:

1) Kung sa isang tiyak na agwat (finite o infinite) ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy at mayroon lamang isang extremum at kung ito ay isang maximum (minimum), ito ang magiging pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function. sa pagitan na ito.

2) Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang partikular na segment, kung gayon ito ay kinakailangang may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment na ito. Ang mga halagang ito ay naaabot alinman sa matinding mga punto na nasa loob ng segment, o sa mga hangganan ng segment na ito.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa isang segment, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:

1. Hanapin ang derivative.

2. Maghanap ng mga kritikal na punto ng function kung saan =0 o wala.

3. Hanapin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment at piliin mula sa kanila ang pinakamalaking f max at ang pinakamaliit na f max.

Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, sa partikular na pag-optimize, ang mga problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga (global maximum at global na minimum) ng isang function sa interval X ay mahalaga upang malutas ang mga naturang problema, dapat, batay sa kondisyon , pumili ng independent variable at ipahayag ang value na pinag-aaralan sa pamamagitan ng variable na ito. Pagkatapos ay hanapin ang nais na pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng resultang function. Sa kasong ito, ang pagitan ng pagbabago ng independiyenteng variable, na maaaring may hangganan o walang katapusan, ay tinutukoy din mula sa mga kondisyon ng problema.

Halimbawa. Ang tangke, na may hugis ng isang bukas na tuktok na hugis-parihaba parallelepiped na may isang parisukat na ilalim, ay dapat na lata sa loob ng lata. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke kung ang kapasidad nito ay 108 litro? tubig upang ang halaga ng pag-tinning nito ay minimal?

Solusyon. Ang halaga ng patong ng tangke na may lata ay magiging minimal kung, para sa isang naibigay na kapasidad, ang ibabaw nito ay minimal. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng isang dm ang gilid ng base, b dm ang taas ng tangke. Pagkatapos ang lugar S ng ibabaw nito ay katumbas ng

AT

Ang resultang relasyon ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng ibabaw na lugar ng reservoir S (function) at ang gilid ng base a (argumento). Suriin natin ang function na S para sa isang extremum. Hanapin natin ang unang derivative, i-equate ito sa zero at lutasin ang resultang equation:

Kaya a = 6. (a) > 0 para sa isang > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan.

Solusyon: Ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Derivative ng isang function

Derivative para sa at para sa . Kalkulahin natin ang mga halaga ng pag-andar sa mga puntong ito:

.

Ang mga halaga ng function sa mga dulo ng ibinigay na pagitan ay pantay. Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay katumbas ng sa , ang pinakamaliit na halaga ng function ay katumbas ng sa .

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Bumuo ng panuntunan ng L'Hopital para sa paglalahad ng mga kawalan ng katiyakan ng form. Ilista ang iba't ibang uri ng mga kawalan ng katiyakan na magagamit ng panuntunan ng L'Hopital upang malutas.

2. Bumuo ng mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba ng function.

3. Tukuyin ang maximum at minimum ng isang function.

4. Bumuo ng isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum.

5. Anong mga halaga ng argumento (aling mga punto) ang tinatawag na kritikal? Paano mahahanap ang mga puntong ito?

6. Ano ang mga sapat na senyales ng pagkakaroon ng extremum ng isang function? Balangkas ang isang scheme para sa pag-aaral ng isang function sa isang extremum gamit ang unang derivative.

7. Balangkas ang isang scheme para sa pag-aaral ng isang function sa isang extremum gamit ang pangalawang derivative.

8. Tukuyin ang convexity at concavity ng isang curve.

9. Ano ang tinatawag na inflection point ng graph ng isang function? Magpahiwatig ng isang paraan para sa paghahanap ng mga puntong ito.

10. Bumuo ng kailangan at sapat na mga palatandaan ng convexity at concavity ng isang curve sa isang partikular na segment.

11. Tukuyin ang asymptote ng isang kurba. Paano mahahanap ang patayo, pahalang at pahilig na mga asymptotes ng graph ng isang function?

12. Balangkasin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function at pagbuo ng graph nito.

13. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang naibigay na agwat.

Ang proseso ng paghahanap para sa pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nakapagpapaalaala sa isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (function graph) sa isang helicopter, pagpapaputok sa ilang mga punto mula sa isang long-range na kanyon at pagpili ng napakaespesyal na mga punto mula sa mga puntong ito para sa mga control shot. Pinipili ang mga puntos sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga patakaran. Sa pamamagitan ng anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.

Kung ang function y = f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa At pinakamataas na halaga . Ito ay maaaring mangyari alinman sa matinding puntos, o sa mga dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa At ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na puntos at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki mula sa kanila.

Hayaan, halimbawa, gusto mong matukoy ang pinakamalaking halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nakahiga sa [ a, b] .

Kritikal na punto tinatawag ang punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative katumbas ng zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) At f(b)). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa segment [a, b] .

Mga problema sa paghahanap pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Solusyon. Hanapin ang derivative ng function na ito. I-equate natin ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto, dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2]. Ang mga value ng function na ito ay: , , . Ito ay sumusunod mula dito na pinakamaliit na halaga ng function(ipinahiwatig sa pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay nakakamit sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), katumbas ng 9, - sa kritikal na punto.

Kung ang isang function ay tuluy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan ng mga punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na ipinapakita sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar ay totoo.

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Solusyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at pinakamataas na halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng pag-andar nang magkasama

May mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa upang malutas na mas kumplikado kaysa sa mga napag-usapan, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga gustong pilitin ang mga mag-aaral na mag-isip nang buo (ang talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, gagamitin ang logarithm at trigonometric function.

Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Solusyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Resulta ng lahat ng aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa punto at sa punto at pinakamataas na halaga, katumbas e², sa punto.

Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Solusyon. Hanapin ang derivative ng function na ito:

Tinutumbas namin ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at pinakamataas na halaga, pantay , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (maximum) na mga halaga ng isang function, bilang panuntunan, ay bumababa sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang mga minimum o maximum mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, isang karagdagang kahirapan ang lumitaw - ang pagbuo ng mga function na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 8. Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Anong sukat ang dapat na tangke upang ang hindi bababa sa dami ng materyal ay ginagamit upang takpan ito?

Solusyon. Hayaan x- gilid ng base, h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , mula sa kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito hanggang sa sukdulan nito. Ito ay tinukoy at naiba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Itinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, kapag ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, ito lamang ang kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na tanda. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Simula noon Ang minimum ay ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na 2 m, at ang taas nito ay dapat na .

Halimbawa 9. Mula sa punto A matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto SA, na matatagpuan sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kargamento. Ang halaga ng pagdadala ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M ang linya ng tren ay dapat na itayo bilang isang highway upang ang mga kargamento ay maihatid mula sa A V SA ay ang pinaka-ekonomiko (seksyon AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?