Theorem sa bisector property ng isang tatsulok. Mga pangunahing elemento ng triangle abc

Ang bisector ng isang tatsulok ay isang segment na naghahati sa isang anggulo ng isang tatsulok sa dalawang pantay na anggulo. Halimbawa, kung ang anggulo ng isang tatsulok ay 120 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagguhit ng bisector, gagawa tayo ng dalawang anggulo ng 60 0 bawat isa.

At dahil may tatlong anggulo sa isang tatsulok, tatlong bisector ang maaaring iguhit. Lahat sila ay may isang cut-off point. Ang puntong ito ay ang sentro ng bilog na nakasulat sa tatsulok. Sa ibang paraan, ang intersection point na ito ay tinatawag na incenter ng triangle.

Kapag ang dalawang bisector ng isang panloob at panlabas na anggulo ay nagsalubong, ang isang anggulo ng 90 0 ay nakuha. Ang panlabas na anggulo sa isang tatsulok ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo ng isang tatsulok.

kanin. 1. Isang tatsulok na naglalaman ng 3 bisector

Hinahati ng bisector ang kabaligtaran na bahagi sa dalawang mga segment na konektado sa mga gilid:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Ang mga bisector point ay pantay na distansiya mula sa mga gilid ng anggulo, na nangangahulugan na ang mga ito ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulo. Iyon ay, kung mula sa anumang punto ng bisector ay ibinabagsak natin ang mga patayo sa bawat panig ng anggulo ng tatsulok, kung gayon ang mga perpendicular na ito ay magiging pantay..

Kung gumuhit ka ng median, bisector at taas mula sa isang vertex, ang median ang magiging pinakamahabang segment, at ang taas ang magiging pinakamaikling.

Ang ilang mga katangian ng bisector

Sa ilang mga uri ng mga tatsulok, ang bisector ay may mga espesyal na katangian. Pangunahing naaangkop ito sa isang isosceles triangle. Ang figure na ito ay may dalawang magkatulad na panig, at ang pangatlo ay tinatawag na base.

Kung mula sa tuktok ng sulok isosceles triangle iguhit ang bisector sa base, pagkatapos ay magkakaroon ito ng mga katangian ng parehong taas at median. Alinsunod dito, ang haba ng bisector ay tumutugma sa haba ng median at taas.

Mga Kahulugan:

taas- isang patayo na iginuhit mula sa vertex ng isang tatsulok hanggang sa tapat na bahagi.
Median– isang segment na nag-uugnay sa vertex ng isang tatsulok at sa gitna ng kabaligtaran.

kanin. 2. Bisector sa isang isosceles triangle

Nalalapat din ito equilateral triangle, iyon ay, isang tatsulok kung saan ang lahat ng tatlong panig ay pantay.

Halimbawa ng takdang-aralin

Sa tatsulok na ABC: BR ang bisector, na may AB = 6 cm, BC = 4 cm, at RC = 2 cm.

kanin. 3. Bisector sa isang tatsulok

Solusyon:

Hinahati ng bisector ang gilid ng tatsulok sa isang tiyak na proporsyon. Gamitin natin ang proporsyon na ito at ipahayag ang AR. Pagkatapos ay makikita natin ang haba ng ikatlong panig bilang kabuuan ng mga segment kung saan hinati ng bisector ang panig na ito.

$(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
$RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Pagkatapos ang buong segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Kabuuang mga rating na natanggap: 107.

Ang bisector ng isang tatsulok ay isang karaniwang geometric na konsepto na hindi nagiging sanhi ng labis na kahirapan sa pag-aaral. Ang pagkakaroon ng kaalaman tungkol sa mga katangian nito, maaari mong malutas ang maraming mga problema nang walang labis na kahirapan. Ano ang bisector? Susubukan naming kilalanin ang mambabasa sa lahat ng mga lihim ng linyang ito sa matematika.

Ang kakanyahan ng konsepto

Ang pangalan ng konsepto ay nagmula sa paggamit ng mga salita sa Latin, ang kahulugan nito ay "bi" - dalawa, "sectio" - upang i-cut. Partikular nilang itinuturo ang geometriko na kahulugan ng konsepto - ang dibisyon ng espasyo sa pagitan ng mga sinag sa dalawang pantay na bahagi.

Ang bisector ng isang tatsulok ay isang segment na nagmula sa vertex ng figure, at ang kabilang dulo ay inilalagay sa gilid na matatagpuan sa tapat nito, habang hinahati ang espasyo sa dalawang magkaparehong bahagi.

Upang mabilis na maiugnay ang mga konsepto ng matematika, maraming mga guro ang gumagamit ng iba't ibang terminolohiya, na makikita sa mga tula o asosasyon. Siyempre, ang paggamit ng kahulugang ito ay inirerekomenda para sa mas matatandang mga bata.

Paano itinalaga ang linyang ito? Dito kami umaasa sa mga panuntunan para sa pagtatalaga ng mga segment o ray. Kung pinag-uusapan natin ang pagtatalaga ng bisector ng isang anggulo ng isang tatsulok na pigura, kadalasan ito ay nakasulat bilang isang segment na ang mga dulo ay vertex at ang punto ng intersection sa gilid sa tapat ng vertex. Bukod dito, ang simula ng notasyon ay nakasulat nang tumpak mula sa tuktok.

Pansin! Ilang bisector ang mayroon ang isang tatsulok? Ang sagot ay halata: kasing dami ng vertices - tatlo.

Mga Katangian

Bukod sa kahulugan, hindi mo mahahanap ang maraming katangian nito sa isang aklat-aralin sa paaralan. konseptong geometriko. Ang unang pag-aari ng bisector ng isang tatsulok, kung saan ipinakilala sa mga mag-aaral, ay ang gitna ng naka-inscribe na linya, at ang pangalawa, na direktang nauugnay dito, ay ang proporsyonalidad ng mga segment. Ang ilalim na linya ay ito:

Anuman ang linya ng paghahati, mayroong mga punto dito sa parehong distansya mula sa mga gilid, na bumubuo sa espasyo sa pagitan ng mga sinag.
Upang magkasya ang isang bilog sa isang tatsulok na pigura, kinakailangan upang matukoy ang punto kung saan ang mga segment na ito ay magsalubong. Ito ang sentrong punto ng bilog.
Mga bahagi ng isang tatsulok na gilid geometric na pigura, kung saan nahahati ang linyang naghahati nito, ay sa proporsyon sa mga panig na bumubuo ng anggulo.

Susubukan naming dalhin ang natitirang mga tampok sa system at ipakita ang mga karagdagang katotohanan na makakatulong upang mas maunawaan ang mga pakinabang ng geometric na konseptong ito.

Ang haba

Ang isa sa mga uri ng mga problema na nagdudulot ng kahirapan para sa mga mag-aaral ay ang paghahanap ng haba ng bisector ng isang anggulo ng isang tatsulok. Ang unang opsyon, na naglalaman ng haba nito, ay naglalaman ng sumusunod na data:

ang dami ng espasyo sa pagitan ng mga sinag mula sa vertex kung saan lumalabas ang isang partikular na segment;
ang haba ng mga gilid na bumubuo sa anggulong ito.

Upang malutas ang problema ginamit na formula, ang kahulugan nito ay upang mahanap ang ratio ng produkto ng mga halaga ng mga panig na bumubuo sa anggulo, na nadagdagan ng 2 beses, sa pamamagitan ng cosine ng kalahati nito sa kabuuan ng mga panig.

Tingnan natin ang isang partikular na halimbawa. Ipagpalagay na binigyan tayo ng figure ABC, kung saan ang isang segment ay iginuhit mula sa anggulo A at nag-intersect sa gilid ng BC sa punto K. Tinutukoy natin ang halaga ng A bilang Y. Batay dito, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Ang pangalawang bersyon ng problema, kung saan tinutukoy ang haba ng bisector ng isang tatsulok, ay naglalaman ng sumusunod na data:

ang mga kahulugan ng lahat ng panig ng pigura ay kilala.

Kapag nilulutas ang isang problema ng ganitong uri, sa simula matukoy ang semi-perimeter. Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng mga halaga ng lahat ng panig at hatiin sa kalahati: p=(AB+BC+AC)/2. Susunod, inilalapat namin ang computational formula na ginamit upang matukoy ang haba ng segment na ito sa nakaraang problema. Kinakailangan lamang na gumawa ng ilang mga pagbabago sa kakanyahan ng formula alinsunod sa mga bagong parameter. Kaya, kinakailangan upang mahanap ang ratio ng dobleng ugat ng pangalawang antas ng produkto ng mga haba ng mga gilid na katabi ng vertex sa pamamagitan ng semi-perimeter at ang pagkakaiba sa pagitan ng semi-perimeter at ang haba ng gilid sa tapat nito sa kabuuan ng mga panig na bumubuo sa anggulo. Ibig sabihin, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Pansin! Upang gawing mas madali ang pag-master ng materyal, maaari kang bumaling sa mga comic tale na magagamit sa Internet na nagsasabi tungkol sa "mga pakikipagsapalaran" ng linyang ito.

Sa maraming asignatura ng sekondaryang paaralan mayroong isa tulad ng "geometry". Tradisyonal na pinaniniwalaan na ang mga nagtatag ng sistematikong agham na ito ay ang mga Griyego. Ngayon, ang Greek geometry ay tinatawag na elementarya, dahil siya ang nagsimula ng pag-aaral ng mga pinakasimpleng anyo: mga eroplano, tuwid na linya, at tatsulok. Itutuon namin ang aming pansin sa huli, o sa halip sa bisector ng figure na ito. Para sa mga nakalimutan na, ang bisector ng isang tatsulok ay isang segment ng bisector ng isa sa mga sulok ng tatsulok, na hinahati ito sa kalahati at nag-uugnay sa vertex na may isang punto na matatagpuan sa kabilang panig.

Ang bisector ng isang tatsulok ay may ilang mga katangian na kailangan mong malaman kapag nilutas ang ilang mga problema:

Ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na matatagpuan sa pantay na distansya mula sa mga gilid na katabi ng anggulo.
Hinahati ng bisector sa isang tatsulok ang gilid sa tapat ng anggulo sa mga segment na proporsyonal sa mga katabing gilid. Halimbawa, ibinigay ang isang tatsulok na MKB, kung saan lumalabas ang isang bisector mula sa anggulong K, na kumukonekta sa tuktok ng anggulong ito na may punto A sa kabaligtaran na bahagi ng MB. Nang masuri ang property na ito at ang aming tatsulok, mayroon kaming MA/AB=MK/KB.
Ang punto kung saan ang mga bisector ng lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay nagsalubong ay ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa parehong tatsulok.
Ang mga base ng mga bisector ng isang panlabas at dalawang panloob na anggulo ay nasa parehong tuwid na linya, sa kondisyon na ang bisector ng panlabas na anggulo ay hindi parallel sa kabaligtaran ng tatsulok.
Kung dalawang bisectors ng isa pagkatapos ito

Dapat pansinin na kung ang tatlong bisector ay ibinigay, pagkatapos ay ang pagtatayo ng isang tatsulok mula sa kanila, kahit na sa tulong ng isang compass, ay imposible.

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, ang bisector ng isang tatsulok ay hindi alam, ngunit kinakailangan upang matukoy ang haba nito. Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong malaman ang anggulo na hinahati ng bisector at ang mga gilid na katabi ng anggulong ito. Sa kasong ito, ang kinakailangang haba ay tinukoy bilang ang ratio ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na katabi ng sulok at ang cosine ng anggulo na hinati sa kalahati sa kabuuan ng mga panig na katabi ng sulok. Halimbawa, binigyan ng parehong tatsulok na MKB. Ang bisector ay lumalabas mula sa anggulo K at nag-intersect sa tapat ng MV sa puntong A. Ang anggulo kung saan ang bisector ay lumalabas ay tinutukoy ng y. Ngayon ay isulat natin ang lahat ng sinasabi sa mga salita sa anyo ng isang formula: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Kung ang halaga ng anggulo kung saan lumilitaw ang bisector ng isang tatsulok ay hindi alam, ngunit ang lahat ng panig nito ay kilala, pagkatapos ay upang kalkulahin ang haba ng bisector ay gagamit tayo ng karagdagang variable, na tatawagin natin ang semi-perimeter at tukuyin ng ang titik P: P=1/2*(MK+KB+MB). Pagkatapos nito, gagawa kami ng ilang mga pagbabago sa nakaraang formula kung saan natukoy ang haba ng bisector, ibig sabihin, sa numerator ng fraction ay inilalagay namin ang dobleng produkto ng mga haba ng mga gilid na katabi ng sulok ng semi-perimeter. at ang quotient, kung saan ang haba ng ikatlong bahagi ay ibinabawas mula sa semi-perimeter. Iwanan natin ang denominator na hindi nagbabago. Sa anyo ng isang formula, magiging ganito ang hitsura: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Ang bisector ng isang isosceles triangle kasama ng pangkalahatang katangian ay may ilan sa sarili nitong. Tandaan natin kung anong uri ng tatsulok ito. Ang nasabing tatsulok ay may dalawang magkaparehong panig at magkapantay na anggulo na katabi ng base. Kasunod nito na ang mga bisector na nahuhulog sa mga lateral na gilid ng isang isosceles triangle ay katumbas ng bawat isa. Bilang karagdagan, ang bisector na ibinaba sa base ay parehong taas at median.

Ang mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay tinatawag na triangle bisector.
Ang bisector ng isang anggulo ng isang tatsulok ay nauunawaan din bilang ang segment sa pagitan ng vertex nito at ang punto ng intersection ng bisector na may kabaligtaran na bahagi ng tatsulok.
Teorama 8. Ang tatlong bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Sa katunayan, isaalang-alang muna natin ang punto P ng intersection ng dalawang bisector, halimbawa AK 1 at VK 2. Ang puntong ito ay pantay na malayo sa mga gilid AB at AC, dahil ito ay nasa bisector ng anggulo A, at pantay na layo mula sa mga gilid AB at BC, bilang kabilang sa bisector ng anggulo B. Nangangahulugan ito na ito ay pantay na malayo sa panig AC at BC at sa gayon ay nabibilang sa ikatlong bisector na CK 3, iyon ay, sa puntong P lahat ng tatlong bisector ay nagsalubong.
Mga katangian ng mga bisector ng panloob at panlabas na mga anggulo ng isang tatsulok
Teorama 9. Bisector panloob na sulok ng isang tatsulok ay naghahati sa magkabilang panig sa mga bahaging proporsyonal sa mga katabing panig.
Patunay. Isaalang-alang natin ang tatsulok na ABC at ang bisector ng anggulo nito B. Gumuhit tayo sa vertex C ng isang tuwid na linya na CM, parallel sa bisector BC, hanggang sa mag-intersect ito sa puntong M na may pagpapatuloy ng side AB. Dahil ang VC ay ang bisector ng anggulong ABC, kung gayon ∠ ABC = ∠ KBC. Dagdag pa, ∠ АВК=∠ ВСМ, bilang kaukulang mga anggulo para sa mga parallel na linya, at ∠ КВС=∠ ВСМ, bilang mga crosswise na anggulo para sa parallel na linya. Kaya ∠ ВСМ=∠ ВМС, at samakatuwid ang tatsulok na ВСМ ay isosceles, kaya ВС=ВМ. Ayon sa theorem tungkol sa mga parallel na linya na nagsasalubong sa mga gilid ng isang anggulo, mayroon tayong AK:K C=AB:VM=AB:BC, na siyang kailangang patunayan.
Teorama 10 Ang bisector ng panlabas na anggulo B ng tatsulok na ABC ay may katulad na pag-aari: ang mga segment na AL at CL mula sa vertices A at C hanggang sa punto L ng intersection ng bisector na may pagpapatuloy ng side AC ay proporsyonal sa mga gilid ng tatsulok: AL: C.L.=AB:BC.
Ang pag-aari na ito ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng nauna: sa figure isang auxiliary line SM ay iguguhit parallel sa bisector BL. Ang mga anggulo ng BMC at BC ay pantay, na nangangahulugan na ang mga panig na BM at BC ng tatsulok na BMC ay pantay. Mula sa kung saan tayo ay dumating sa konklusyon AL:CL=AB:BC.

Teorama d4. (unang formula para sa bisector): Kung sa tatsulok na ABC ang segment AL ay ang bisector ng angle A, pagkatapos AL? = AB·AC - LB·LC.

Patunay: Hayaang ang M ang punto ng intersection ng linyang AL na may bilog na nakapaligid sa tatsulok na ABC (Larawan 41). Ang anggulo BAM ay katumbas ng anggulo MAC ayon sa kundisyon. Ang mga anggulo BMA at BCA ay magkatugma bilang mga naka-inscribe na anggulo na nasa ilalim ng parehong chord. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok na BAM at LAC ay magkatulad sa dalawang anggulo.<=>Samakatuwid, AL: AC = AB: AM. Kaya AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Alin ang kailangang patunayan. Tandaan: para sa theorem tungkol sa mga segment ng intersecting chord sa isang bilog at tungkol sa inscribed na mga anggulo, tingnan ang topic circle at circle.
Teorama d5.

Patunay:(pangalawang formula para sa bisector): Sa isang tatsulok na ABC na may mga gilid AB=a, AC=b at anggulo A na katumbas ng 2? at bisector l, ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:<=>l = (2ab / (a+b)) cos?.<=>Hayaang ang ABC ang ibinigay na tatsulok, AL ang bisector nito (Fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Pagkatapos S ABC = S ALB + S ALC. Samakatuwid, absin2? = alsin? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

Patunay. Isaalang-alang ang tatsulok na ABC (Fig. 259) at ang bisector ng anggulo nito B. Gumuhit sa vertex C ng isang tuwid na linya na CM, parallel sa bisector BC, hanggang sa mag-intersect ito sa puntong M na may pagpapatuloy ng side AB. Dahil ang BK ay ang bisector ng anggulong ABC, kung gayon . Dagdag pa, bilang kaukulang mga anggulo para sa parallel na linya, at bilang crosswise na mga anggulo para sa parallel na linya. Samakatuwid at samakatuwid - isosceles, kung saan . Sa pamamagitan ng theorem tungkol sa mga parallel na linya na nagsa-intersecting sa mga gilid ng isang anggulo, mayroon tayo at in view na nakuha natin , na kung ano ang kailangan nating patunayan.

Ang bisector ng panlabas na anggulo B ng tatsulok na ABC (Larawan 260) ay may katulad na pag-aari: ang mga segment na AL at CL mula sa vertices A at C hanggang sa punto L ng intersection ng bisector na may pagpapatuloy ng side AC ay proporsyonal sa gilid ng tatsulok:

Ang pag-aari na ito ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng nauna: sa Fig. 260 isang auxiliary straight line SM ay iginuhit parallel sa bisector BL. Ang mambabasa mismo ay kumbinsido sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng VMS at VSM, at samakatuwid ay ang mga gilid ng VM at BC ng tatsulok na VMS, pagkatapos nito ang kinakailangang proporsyon ay makukuha kaagad.

Maaari nating sabihin na ang bisector ng isang panlabas na anggulo ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa mga bahagi na proporsyonal sa mga katabing panig; kailangan mo lang sumang-ayon na payagan ang "external division" ng segment.

Ang point L na nakahiga sa labas ng segment na AC (sa pagpapatuloy nito) ay hinahati ito panlabas kaugnay kung Kaya, ang mga bisector ng anggulo ng isang tatsulok (panloob at panlabas) ay naghahati sa magkabilang panig (panloob at panlabas) sa mga bahaging proporsyonal sa mga katabing panig.

Problema 1. Ang mga gilid ng trapezoid ay katumbas ng 12 at 15, ang mga base ay katumbas ng 24 at 16. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok na nabuo ng malaking base ng trapezoid at ang mga pinahabang panig nito.

Solusyon. Sa notasyon ng Fig. 261 mayroon kaming isang proporsyon para sa segment na nagsisilbing isang pagpapatuloy ng gilid na bahagi, kung saan madali naming mahanap Sa katulad na paraan, tinutukoy namin ang pangalawang bahagi ng tatsulok Ang ikatlong bahagi ay tumutugma sa malaking base: .

Problema 2. Ang mga base ng trapezoid ay 6 at 15. Ano ang haba ng segment na kahanay sa mga base at hinahati ang mga gilid sa ratio na 1:2, na binibilang mula sa mga vertices ng maliit na base?

Solusyon. Lumiko tayo sa Fig. 262, na naglalarawan ng isang trapezoid. Sa pamamagitan ng vertex C ng maliit na base gumuhit kami ng isang linya parallel sa gilid AB, pinutol ang parallelogram mula sa trapezoid. Since, then from here we find. Samakatuwid, ang buong hindi kilalang segment na KL ay katumbas ng Tandaan na upang malutas ang problemang ito hindi natin kailangang malaman ang mga lateral na gilid ng trapezoid.

Problema 3. Ang panggitnang bahagi ng panloob na anggulo B ng tatsulok na ABC ay pinuputol ang gilid ng AC sa mga segment sa anong distansya mula sa mga vertices A at C ang bisector ng panlabas na anggulo B ay magsalubong sa extension AC?

Solusyon. Ang bawat isa sa mga bisector ng anggulo B ay naghahati sa AC sa parehong ratio, ngunit ang isa sa loob at ang isa sa labas. Tukuyin natin sa pamamagitan ng L ang punto ng intersection ng continuation AC at ang bisector ng panlabas na anggulo B. Dahil AK Let us decate the unknown distance AL by then we will have a proportion The solution of which gives us the required distance

Kumpletuhin ang pagguhit sa iyong sarili.

Mga ehersisyo

1. Ang isang trapezoid na may mga base 8 at 18 ay nahahati sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na kahanay sa mga base sa anim na piraso ng pantay na lapad. Hanapin ang mga haba ng mga tuwid na segment na naghahati sa trapezoid sa mga piraso.

2. Ang perimeter ng tatsulok ay 32. Ang bisector ng anggulo A ay naghahati sa gilid ng BC sa mga bahagi na katumbas ng 5 at 3. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok.

3. Ang base ng isang isosceles triangle ay a, ang gilid ay b. Hanapin ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga intersection point ng mga bisector ng mga sulok ng base na may mga gilid.