Ev > Fren sistemi > Derecelerin özelliklerine ilişkin formüller. "Doğal üslü derecelerin özelliklerine örnekler" ile etiketlenen yazılar

Derecelerin özelliklerine ilişkin formüller. "Doğal üslü derecelerin özelliklerine örnekler" ile etiketlenen yazılar

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı Cöyle N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesiyle üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda içine inşa edin N inci kuvveti radikal bir sayıysa, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır. mutlak değer pozitif olmayan gösterge:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü olan sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Formüller ve köklerin özellikleri de dahil olmak üzere kuvvet fonksiyonunun temel özellikleri verilmiştir. Türev, integral, açılım güç serisi ve bir kuvvet fonksiyonunun karmaşık sayılarla temsili.

Tanım

Tanım
p üssüyle kuvvet fonksiyonu f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

Üssün doğal değerleri için güç fonksiyonu, x'e eşit n sayıların çarpımıdır:
.
Geçerli olanların tümü için tanımlanır.

Üssün pozitif rasyonel değerleri için güç fonksiyonu, x sayısının m derecesinin n köklerinin çarpımıdır:
.
Tek m için, tüm gerçek x'ler için tanımlanır.

Hatta m için, negatif olmayanlar için güç fonksiyonu tanımlanır.
.
Negatif için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:

Bu nedenle noktada tanımlanmamıştır.
,
Üs p'nin irrasyonel değerleri için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
burada a, bire eşit olmayan rastgele bir pozitif sayıdır: .
Ne zaman için tanımlanır.

Ne zaman, güç fonksiyonu için tanımlanır. Süreklilik

. Bir güç fonksiyonu tanım alanında süreklidir.

x ≥ 0 için kuvvet fonksiyonlarının özellikleri ve formülleri

Burada x argümanının negatif olmayan değerleri için güç fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız.
(1.1) Yukarıda belirtildiği gibi p üssünün bazı değerleri için, x'in negatif değerleri için de kuvvet fonksiyonu tanımlanır.
Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak ’nin özelliklerinden elde edilebilir. Bu durumlar "" sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmış ve gösterilmiştir.
p üssüne sahip y = x p kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.2) sette tanımlanmış ve sürekli
Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak ’nin özelliklerinden elde edilebilir. Bu durumlar "" sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmış ve gösterilmiştir.
p üssüne sahip y = x p kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.3) ,
;
(1.4) p üssüne sahip y = x p kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
p üssüne sahip y = x p kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

birçok anlamı var

kesinlikle ile artar,

Tanım
kesinlikle şu şekilde azalır;Özelliklerin kanıtı “Güç fonksiyonu (sürekliliğin ve özelliklerin kanıtı)” sayfasında verilmiştir.
.
Kökler - tanım, formüller, özellikler 2, 3, 4, ... N dereceli bir x sayısının kökü

n üssüne yükseltildiğinde x'i veren sayıdır:
.
burada n =

- birden büyük bir doğal sayı. Ayrıca n dereceli bir x sayısının kökünün denklemin kökü (yani çözümü) olduğunu da söyleyebilirsiniz.

Fonksiyonun fonksiyonun tersi olduğuna dikkat edin. x'in karekökü

derece 2'nin bir köküdür: .

x'in küp kökü 3. derecenin bir köküdür: .Çift derece 0 Eşit kuvvetler için n =
.
2 m
.

Burada işlemlerin gerçekleştirilme sırası önemlidir - yani, önce negatif olmayan bir sayı elde edilecek şekilde karesi alınır ve ardından kök bundan çıkarılır (negatif olmayan bir sayıdan çıkarılabilir) karekök). Eğer sırayı değiştirirsek: negatif x için kök tanımsız olur ve bununla birlikte tüm ifade de tanımsız olur.

Tek derece

Tek kuvvetler için kök, tüm x için tanımlanır:
;
.

Köklerin özellikleri ve formülleri

X'in kökü bir kuvvet fonksiyonudur:
.
x ≥ olduğunda 0 aşağıdaki formüller geçerlidir:
;
;
, ;
.

Bu formüller değişkenlerin negatif değerleri için de uygulanabilir. Sadece bundan emin olmalısın radikal ifade

Negatif olan hiçbir güç bile yoktu.

Özel değerler
0'ın kökü 0: .
Kök 1, 1'e eşittir: .
0'ın karekökü 0: .

1'in karekökü 1: .

Örnek. Köklerin kökü
.
Köklerin karekökü örneğine bakalım:
.
Yukarıdaki formülleri kullanarak iç karekökü dönüştürelim:
.
Şimdi orijinal kökü dönüştürelim:
.

Bu yüzden,

p üssünün farklı değerleri için y = x p.

İşte x argümanının negatif olmayan değerleri için fonksiyonun grafikleri.

X'in negatif değerleri için tanımlanan bir güç fonksiyonunun grafikleri “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında verilmiştir.

Ters fonksiyon

Üssü p olan bir kuvvet fonksiyonunun tersi, üssü 1/p olan bir kuvvet fonksiyonudur.

Eğer öyleyse.
;

Bir güç fonksiyonunun türevi

N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > > 1 ;
.

Bir güç fonksiyonunun integrali

P ≠ - 1 < x < 1 Kuvvet serisi genişletmesi

-

aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:.
F
(z) = zt
Karmaşık değişken z'yi r modülü ve φ (r = |z|) argümanı cinsinden ifade edelim:
z = r e ben φ .
Karmaşık sayı t'yi gerçek ve sanal kısımlar biçiminde temsil ediyoruz:

t = p + ben q.
,

Sahibiz: 0 Daha sonra, φ argümanının benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını dikkate alıyoruz:
.

q = olduğu durumu ele alalım.
.
yani üs bir gerçel sayıdır, t = p. Daha sonra Eğer p bir tam sayı ise kp de bir tam sayıdır. Daha sonra trigonometrik fonksiyonların periyodikliği nedeniyle:

yani üstel fonksiyon belirli bir z için bir tamsayı üssü için yalnızca bir değere sahiptir ve bu nedenle kesindir. Eğer p irrasyonelse, herhangi bir k için kp çarpımları bir tamsayı üretmez. k koştuğundan beri ise z p fonksiyonunun sonsuz sayıda değeri vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz.

Eğer p rasyonel ise şu şekilde temsil edilebilir:
, Nerede m, n- ortak bölenler içermeyen tam sayılar. Daha sonra
.
İlk n değerleri, k = k ile 0 = 0, 1, 2, ... n-1 n'yi ver farklı anlamlar kp:
.
Ancak sonraki değerler öncekilerden bir tam sayı farklılık gösteren değerler verir. Örneğin, k = k olduğunda 0+n sahibiz:
.
Trigonometrik fonksiyonlar argümanları katları olan değerlere göre farklılık gösteren 2π, eşit değerlere sahiptir. Bu nedenle, k'de daha fazla bir artışla, k = k ile aynı z p değerlerini elde ederiz. 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Böylece, rasyonel bir üste sahip bir üstel fonksiyon çok değerlidir ve n değeri (dalları) vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz. Bu tür n sayıda devrimden sonra geri sayımın başladığı ilk şubeye dönüyoruz.

Özellikle, n dereceli bir kökün n değeri vardır. Örnek olarak, z = x gerçek pozitif sayısının n'inci kökünü düşünün. Bu durumda φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Yani karekök için n = Hatta k için,(- 1 ) k = 1 ..
Tek k için,

(- 1 ) k = - 1
Yani karekökün iki anlamı vardır: + ve -.

Kullanılan literatür:İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009. N BEN. Aİş N her biri eşit olan faktörler A isminde Asayının -inci kuvveti.

ve belirlenmiş N

Örnekler.

Çarpımı derece olarak yazın.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.Çözüm. M 1) mmmm=m4 derecenin tanımı gereği her biri eşit olan dört faktörün çarpımı olduğundan.

, irade m'nin dördüncü kuvveti

2) aaabb=a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c3; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3. Asayının -inci kuvveti II. A Birkaç eşit faktörün çarpımını bulma işlemine üstel alma denir. Bir kuvvete yükseltilen sayıya kuvvetin tabanı denir. Tabanın hangi kuvvete yükseltildiğini gösteren sayıya üs denir. Bu yüzden, N- derece,

2 3 — – derecenin temeli, 2 – üs. Örneğin: 3 bu bir derece. Sayı 2 3 derecenin tabanıdır, üs eşittir 8, . Derece değeri eşittir

ve belirlenmiş Çünkü

2 3 =2·2·2=8.

Çarpımı derece olarak yazın.

5) 4 3 = Aşağıdaki ifadeleri üs olmadan yazınız. ; 5) 4 3; 6) a 3b 2 c3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 . aaabcccc; 7) a 3 -b 3 = aa-bb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. ve 0 =1 Herhangi bir sayının (sıfır hariç) sıfırıncı kuvveti bire eşittir. Örneğin, 25 0 =1.
IV. a 1 =aHerhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

V. bir m∙ BİR= bir m + sayının -inci kuvveti Güçleri çarparken aynı gerekçelerle temel aynı kalıyor ve göstergeler katlanmış

Örnekler. Basitleştirin:

9) a·a 3 ·a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Çarpımı derece olarak yazın.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. bir m: BİR= bir m - sayının -inci kuvvetiTabanları aynı olan kuvvetler bölünürken taban aynı kalır ve bölenin üssü bölenin üssünden çıkarılır.

Örnekler. Basitleştirin:

12) a 8:a3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13)dakika 11:dakika 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (bir m) sayının -inci kuvveti= bir dakika Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ve üsler çarpılır.

Örnekler. Basitleştirin:

15)(a3)4; 16) (ç 5) 2.

15) (3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

lütfen aklınızda bulundurunçarpanların yeniden düzenlenmesiyle ürün değişmediğinden, O:

15) (a3)4 = (a4)3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VBEN II. (a∙b) n =a n ∙b n

Örnekler. Basitleştirin:

Bir ürünü bir güce yükseltirken, faktörlerin her biri o güce yükseltilir.

Çarpımı derece olarak yazın.

17)(2a2)5; 18) 0,2 6 ·5 6; 19) 0,25 2 40 2. 17) (2a 2) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6

=(0,2·5) 6 =1 6 =1; 19) 0,25 2 40 2


=(0,25·40) 2 =10 2 =100. IX.

Örnekler. Basitleştirin:

Çarpımı derece olarak yazın.

Bir kesri bir kuvvete yükseltirken, kesrin hem payı hem de paydası o kuvvete yükseltilir.


Sayfa 1/1 1 Bir sayının kuvveti belirlendikten sonra, hakkında konuşmak mantıklıdır. derece özellikleri

. Bu yazıda olası tüm üslere değinirken bir sayının kuvvetinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecelerin tüm özelliklerinin kanıtlarını sunacağız ve ayrıca bu özelliklerin örnekleri çözerken nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü derecelerin özellikleri Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a n kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve ayrıca kullanarak reel sayıların çarpımının özellikleri , aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz:

  1. doğal üslü derecenin özellikleri
  2. a m ·a n =a m+n derecesinin temel özelliği, genelleştirilmesi;
  3. aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği a m:a n =a m−n ;
  4. çarpım güç özelliği (a·b) n =a n ·b n, uzantısı;
  5. doğal dereceye bölümün özelliği (a:b) n =a n:b n ; (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. derecenin sıfırla karşılaştırılması:
    • a>0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n>0;
    • a=0 ise a n =0;
    • eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. a ve b pozitif sayılar ise ve a
  8. m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da 0 a m >an eşitsizliği doğrudur.

Hemen şunu belirtelim ki tüm yazılı eşitlikler birebir aynı belirtilen şartlara bağlı olarak hem sağ hem de sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin a m ·a n =a m+n kesirinin ana özelliği ifadeleri basitleştirme sıklıkla a m+n =a m ·a n şeklinde kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

    Aynı bazlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.

    Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a m ·an formundaki aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım a sayısının doğal üssü m+n olan, yani m+n olan kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

    Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara (2) ve doğal kuvvetlere (2 ve 3) sahip dereceleri alalım, derecelerin temel özelliğini kullanarak 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesaplayarak geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirirken, 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 ve 2 5 =2·2·2·2·2=32, eşit değerler elde edildiğine göre 2 2 ·2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

    Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin temel özelliği, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip üç veya daha fazla kuvvetin çarpımına genelleştirilebilir. Yani herhangi bir k doğal sayısı için n 1, n 2, …, n k eşitlik doğrudur an n 1 ·a n 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Örneğin, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Doğal üslü kuvvetlerin bir sonraki özelliğine geçebiliriz: aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği: sıfırdan farklı herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu karşılayan keyfi m ve n doğal sayıları için a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.

    Bu özelliğin kanıtını sunmadan önce formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. Sıfıra bölünmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir, çünkü 0 n =0'dır ve bölme konusunu öğrendiğimizde sıfıra bölünemeyeceğimiz konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü bir doğal sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m−n için olur) ya da negatif bir sayı (m için olur) olur.

    Kanıt. Bir kesrin temel özelliği eşitliği yazmamızı sağlar a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Ortaya çıkan eşitlikten a m−n ·a n =a m çıkar ve m−n'nin a m ve an kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliğini kanıtlar.

    Bir örnek verelim. Aynı π tabanlarına ve doğal üsler 5 ve 2'ye sahip iki derece alalım; π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 eşitliği, derecenin dikkate alınan özelliğine karşılık gelir.

    Şimdi düşünelim ürün gücü özelliği: Herhangi iki a ve b reel sayısının çarpımının doğal kuvveti n, a n ve b n kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a·b) n =a n ·b n .

    Aslında, doğal üssü olan bir derecenin tanımı gereği, . Çarpma özelliklerine göre son çarpım şu şekilde yeniden yazılabilir: , a n · b n'ye eşittir.

    İşte bir örnek: .

    Bu özellik üç veya daha fazla faktörün çarpımının gücüne kadar uzanır. Yani k faktörün çarpımının doğal derecesi n'nin özelliği şu şekilde yazılır: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

    Açıklık sağlamak için bu özelliği bir örnekle göstereceğiz. Üç faktörün 7'nin kuvvetinin çarpımı için elimizde .

    Aşağıdaki özellik ayni bir bölümün özelliği: a ve b gerçek sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n.

    Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n ·b n =a n eşitliğinden (a:b) n'nin a n'nin b n'ye bölümü olduğu sonucu çıkar.

    Örnek olarak belirli sayıları kullanarak bu özelliği yazalım: .

    Şimdi seslendirelim bir gücü bir güce yükseltme özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için, a m'nin n'ye kuvveti, m·n üssü olan a sayısının kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n.

    Örneğin, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    Dereceye göre kuvvet özelliğinin kanıtı aşağıdaki eşitlik zinciridir: .

    Dikkate alınan özellik, dereceye, dereceye, vb. genişletilebilir. Örneğin herhangi bir p, q, r ve s doğal sayısı için eşitlik . Daha fazla netlik sağlamak için burada belirli sayıların yer aldığı bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyoruz.

    Sıfır ve kuvveti doğal bir üsle karşılaştırmanın özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

    Öncelikle herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu kanıtlayalım.

    Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı üzere iki pozitif sayının çarpımı pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını göstermektedir. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif a tabanı için a n derecesinin pozitif bir sayı olduğunu belirtmemize izin verir. Kanıtlanmış özellik nedeniyle 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ve .

    a=0 olan herhangi bir n doğal sayısı için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Aslında, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0.

    Negatif derece tabanlarına geçelim.

    Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, m'nin bir doğal sayı olduğu 2·m olarak gösterelim. Daha sonra . a·a formundaki çarpımların her biri, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, yani pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla ürün de olumlu olacak ve derece a 2·m. Örnek verelim: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .

    Son olarak, a tabanı negatif bir sayı ve üssü 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman . Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif a sayısıyla çarpılması negatif bir sayıyla sonuçlanır. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Aşağıdaki formülasyona sahip olan kuvvetleri aynı doğal üslerle karşılaştırma özelliğine geçelim: aynı doğal üslere sahip iki kuvvetten, n, tabanı daha küçük olandan küçüktür ve tabanı daha büyük olan daha büyüktür. . Hadi kanıtlayalım.

    Eşitsizlik a n eşitsizliklerin özellikleri a n formunun kanıtlanabilir bir eşitsizliği de doğrudur .

    Geriye doğal üslü kuvvetlerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal üsleri ve aynı pozitif tabanları birden küçük olan iki kuvvetten üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür. Bu özelliğin ispatına geçelim.

    m>n ve 0 için bunu kanıtlayalım m>n başlangıç ​​koşulu nedeniyle 0, yani 0'da

    Geriye mülkün ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor. m>n ve a>1 a m >an için doğru olduğunu kanıtlayalım. Parantezlerden bir n çıkarıldıktan sonra a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) formunu alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç ​​koşulundan dolayı m−n>0 ve a>1 için derece a m−n birden büyüktür. Sonuç olarak, a m −a n >0 ve a m >an , ki bunun kanıtlanması gerekiyordu. Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.

Tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri

Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, önceki paragrafta sıralanan ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Tamsayı negatif üslü bir derecenin yanı sıra sıfır üslü bir dereceyi, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kalacak şekilde tanımladık. Dolayısıyla tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerli olmakla birlikte, elbette kuvvetlerin tabanları da sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfırdan farklı a ve b sayıları ile herhangi bir m ve n tamsayıları için aşağıdakiler doğrudur: tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri:

  1. a m ·a n =a m+n ;
  2. a m:a n =a m−n ;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n =a m·n;
  6. n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b−n;
  7. m ve n tam sayılarsa ve m>n ise 0'da 1 a m >an eşitsizliği geçerlidir.

a=0 olduğunda, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Dolayısıyla biraz önce yazdığımız özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birinin kanıtlanması zor değildir; bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla işlem özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, kuvvet özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, eğer p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) eşitliklerini göstermeniz gerekir. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ve (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hadi bunu yapalım.

Pozitif p ve q için (a p) q =a p·q eşitliği önceki paragrafta kanıtlanmıştır. Eğer p=0 ise, o zaman (a 0) q =1 q =1 ve a 0·q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0·q olur. Benzer şekilde, eğer q=0 ise, (a p) 0 =1 ve a p·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a p) 0 =a p·0. Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a 0) 0 =a 0·0.

Şimdi (a −p) q =a (−p)·q olduğunu kanıtlıyoruz. Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, o zaman . Sahip olduğumuz güçlere bölümün özelliği ile . 1 p =1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanımı gereği, a −(p·q) biçiminde bir kuvvettir ve çarpma kurallarına bağlı olarak (−p)·q olarak yazılabilir.

Aynı şekilde .

VE .

Aynı prensibi kullanarak, bir derecenin diğer tüm özelliklerini eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssüyle kanıtlayabilirsiniz.

Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a koşulunun karşılandığı herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için geçerli olan a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. . Koşul gereği a 0. a n · b n çarpımı aynı zamanda a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n −a n ve a n ·b n pozitif sayılarının bölümü olarak pozitiftir. Bu nedenle a −n >b −n'nin nereden geldiğinin kanıtlanması gerekiyordu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin benzer bir özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

Tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini ona genişleterek kesirli üslü bir derece tanımladık. Başka bir deyişle kesirli üslü kuvvetler, tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin kanıtı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt sunalım.

Kesirli üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği ve , o zaman . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: ve elde edilen derecenin göstergesi şu şekilde dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tamamen benzer şekilde kanıtlanır:

Geri kalan eşitlikler benzer ilkeler kullanılarak kanıtlanmıştır:

Bir sonraki özelliğin kanıtlanmasına geçelim. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. b . m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere p rasyonel sayısını m/n olarak yazalım. Koşullar<0 и p>0 bu durumda koşullar m<0 и m>buna göre 0. m>0 ve a için

Benzer şekilde m için<0 имеем a m >b m , nereden, yani ve a p >b p .

Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p>q olduğunu kanıtlayalım. 0 – eşitsizlik a p >a q . m1 ve m2'nin tam sayılar ve n'nin bir doğal sayı olduğu sıradan kesirler ve elde etsek bile, p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz. Bu durumda, p>q koşulu aşağıdaki m1>m2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra 0'daki aynı taban ve doğal üslere sahip kuvvetlerin karşılaştırılması özelliği ile 1 – eşitsizlik a m ​​1 > a m 2 . Köklerin özelliklerindeki bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve . Ve derecenin rasyonel bir üsle tanımlanması, eşitsizliklere ve buna göre ilerlememize olanak tanır. Buradan nihai sonuca varıyoruz: p>q ve 0 için 0 – eşitsizlik a p >a q .

İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin tanımlanma şeklinden, onun rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Yani herhangi bir a>0, b>0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdakiler doğrudur İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. a p:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q =a p·q;
  6. herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizliği a p bp;
  7. irrasyonel sayılar için p ve q, 0'da p>q 0 – eşitsizlik a p >a q .

Bundan, a>0 için herhangi bir p ve q reel üslü kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Referanslar.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. eğitim kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Daha önce bir sayının kuvvetinin ne olduğundan bahsetmiştik. Sorunların çözümünde yararlı olan belirli özelliklere sahiptir: Bu makalede bunları ve olası tüm üsleri analiz edeceğiz. Ayrıca bunların pratikte nasıl kanıtlanabileceğini ve doğru şekilde uygulanabileceğini örneklerle açıkça göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Daha önce formüle edilmiş doğal üslü derece kavramını hatırlayalım: bu, her biri a'ya eşit olan n'inci sayıda faktörün çarpımıdır. Reel sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını da hatırlamamız gerekecek. Bütün bunlar, bir derece için aşağıdaki özellikleri doğal bir üsle formüle etmemize yardımcı olacaktır:

Tanım 1

1. Derecenin ana özelliği: a m · a n = a m + n

Şu şekilde genelleştirilebilir: a n 1 · an n 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. Aynı tabanlara sahip dereceler için bölümün özelliği: a m: a n = a m − n

3. Çarpım derecesi özelliği: (a · b) n = a n · b n

Eşitlik şu şekilde genişletilebilir: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Doğal dereceye bölümün özelliği: (a: b) n = a n: b n

5. Kuvveti kuvvete yükseltin: (a m) n = a m n ,

Şu şekilde genelleştirilebilir: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · nk

6. Dereceyi sıfırla karşılaştırın:

  • a > 0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n sıfırdan büyük olacaktır;
  • 0'a eşit olan bir n de sıfıra eşit olacaktır;
  • bir< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
  • bir< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Eşitlik ve< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > an n eşitsizliği, m ve n'nin doğal sayılar olması, m'nin n'den büyük olması ve a'nın sıfırdan büyük ve birden küçük olması koşuluyla doğru olacaktır.

Sonuç olarak birkaç eşitlik elde ettik; Yukarıda belirtilen tüm koşullar karşılanırsa aynı olacaktır. Eşitliklerin her biri için, örneğin ana özellik için, sağ ve sol kenarları değiştirebilirsiniz: a m · an n = a m + n - a m + n = a m · a n ile aynıdır. Bu formda genellikle ifadeleri basitleştirmek için kullanılır.

1. Derecenin temel özelliğiyle başlayalım: a m · an n = a m + n eşitliği herhangi bir doğal m ve n ve gerçek a için doğru olacaktır. Bu ifade nasıl kanıtlanır?

Güçlerin doğal üslü temel tanımı, eşitliği faktörlerin bir ürününe dönüştürmemize olanak sağlayacaktır. Şöyle bir kayıt elde edeceğiz:

Bu kısaltılabilir (çarpmanın temel özelliklerini hatırlayın). Sonuç olarak, a sayısının doğal üssü m + n olan kuvvetini elde ettik. Böylece a m+n derecesinin temel özelliği anlamına gelen kanıtlanmıştır.

Bunu doğrulayan belirli bir örneğe bakalım.

Örnek 1

Yani 2 tabanına sahip iki kuvvetimiz var. Doğal göstergeleri sırasıyla 2 ve 3'tür. Eşitliğimiz var: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu eşitliğin geçerliliğini kontrol etmek için değerleri hesaplayalım.

Gerekli matematik işlemlerini yapalım: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Sonuç olarak şunu elde ederiz: 2 2 · 2 3 = 2 5. Özelliği kanıtlanmıştır.

Çarpma özelliğinden dolayı, üslerin doğal sayılar ve tabanların aynı olduğu üç veya daha fazla kuvvet şeklinde formüle ederek özelliği genelleştirebiliriz. Doğal sayıların sayısını n 1, n 2 vb. k harfiyle belirtirsek, doğru eşitliği elde ederiz:

bir n 1 · bir n 2 · … · bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

Örnek 2

2. Daha sonra, bölüm özelliği olarak adlandırılan ve aynı tabanlara sahip kuvvetlerin doğasında bulunan şu özelliği kanıtlamamız gerekir: bu, herhangi bir doğal m ve n (ve m) için geçerli olan a m: a n = a m − n eşitliğidir. n))'den büyüktür ve sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a'dır.

Başlangıç ​​olarak formülasyonda bahsedilen koşulların tam olarak ne anlama geldiğini açıklayalım. Sıfıra eşit alırsak, sıfıra bölme işlemiyle karşılaşırız ki bunu yapamayız (sonuçta 0 n = 0). Doğal üslerin sınırları içinde kalabilmemiz için m sayısının n'den büyük olması koşulu gereklidir: n'yi m'den çıkararak bir doğal sayı elde ederiz. Koşul karşılanmazsa negatif bir sayı veya sıfır elde edeceğiz ve yine doğal üslerle derece çalışmasının ötesine geçeceğiz.

Artık ispata geçebiliriz. Daha önce okuduklarımızdan yola çıkarak kesirlerin temel özelliklerini hatırlayalım ve eşitliği şu şekilde formüle edelim:

bir m - n · bir n = bir (m - n) + n = bir m

Buradan şunu çıkarabiliriz: a m − n · a n = a m

Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı hatırlayalım. Bundan, a m - n'nin a m ve a n kuvvetlerinin bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu derecenin ikinci özelliğinin kanıtıdır.

Örnek 3

Açıklık sağlamak için, üslerin içine belirli sayıları koyalım ve derecenin tabanını π : π 5 olarak gösterelim: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Daha sonra bir çarpımın kuvvetinin özelliğini analiz edeceğiz: (a · b) n = a n · b n, herhangi bir gerçek a ve b ve doğal n için.

Doğal üssü olan bir kuvvetin temel tanımına göre eşitliği şu şekilde yeniden formüle edebiliriz:

Çarpmanın özelliklerini hatırlayarak şunu yazıyoruz: . Bu, a n · b n ile aynı anlama gelir.

Örnek 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Üç veya daha fazla faktörümüz varsa bu özellik bu durum için de geçerlidir. Faktör sayısı için k notasyonunu tanıtalım ve yazalım:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Örnek 5

Belirli sayılarla aşağıdaki doğru eşitliği elde ederiz: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Bundan sonra bölüm özelliğini kanıtlamaya çalışacağız: (a: b) n = a n: b n herhangi bir gerçek a ve b için, eğer b 0'a eşit değilse ve n bir doğal sayıysa.

Bunu kanıtlamak için derecenin önceki özelliğini kullanabilirsiniz. (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n ve (a: b) n · b n = a n ise, bundan (a: b) n'nin a n'yi bölme bölümü olduğu sonucu çıkar yazan: bn.

Örnek 6

Bir örnek hesaplayalım: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Örnek 7

Hemen bir örnekle başlayalım: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Şimdi eşitliğin doğruluğunu bize kanıtlayacak bir eşitlikler zinciri oluşturalım:

Örnekte derecelerimiz varsa bu özellik onlar için de geçerlidir. Eğer p, q, r, s gibi doğal sayılarımız varsa bu doğru olacaktır:

a p q y s = a p q y s

Örnek 8

Bazı özellikleri ekleyelim: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Doğal üslü kuvvetlerin kanıtlamamız gereken bir diğer özelliği de karşılaştırma özelliğidir.

Öncelikle dereceyi sıfırla karşılaştıralım. a'nın 0'dan büyük olması koşuluyla neden a n > 0 olur?

Bir pozitif sayıyı diğeriyle çarparsak yine pozitif bir sayı elde ederiz. Bu gerçeği bilerek, bunun faktör sayısına bağlı olmadığını söyleyebiliriz - herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucu pozitif bir sayıdır. Sayıların çarpılmasının sonucu değilse derece nedir? O zaman pozitif tabanı ve doğal üssü olan herhangi bir n kuvveti için bu doğru olacaktır.

Örnek 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ve 34 9 13 51 > 0

Tabanı sıfıra eşit olan bir kuvvetin kendisinin de sıfır olduğu açıktır. Sıfırı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, sıfır olarak kalacaktır.

Örnek 10

0 3 = 0 ve 0 762 = 0

Derecenin tabanı negatif bir sayı ise çift/tek üs kavramı önem kazanacağından ispat biraz daha karmaşık olur. Öncelikle üssün çift olduğu durumu ele alalım ve bunu 2 · m olarak gösterelim; burada m bir doğal sayıdır.

Negatif sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını hatırlayalım: a · a ürünü, modüllerin çarpımına eşittir ve bu nedenle pozitif bir sayı olacaktır. Daha sonra ve a 2 m derecesi de pozitiftir.

Örnek 11

Örneğin, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 ve - 2 9 6 > 0

Negatif tabanlı üs tek sayıysa ne olur? Bunu 2 · m − 1 olarak gösterelim.

Daha sonra

Çarpma özelliklerine göre tüm a · a çarpımları pozitiftir ve bunların çarpımı da pozitiftir. Ancak bunu kalan tek a sayısıyla çarparsak sonuç negatif olur.

O zaman şunu elde ederiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bu nasıl kanıtlanır?

BİR< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Örnek 12

Örneğin aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Sadece son özelliği kanıtlamamız gerekiyor: Tabanları aynı ve pozitif olan iki kuvvetimiz varsa ve üsler doğal sayılarsa, üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür.

Bu ifadeleri kanıtlayalım.

Öncelikle m olduğundan emin olmalıyız.< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Parantezlerden bir n alalım, bundan sonra farkımız a n · (a m − n − 1) formunu alacaktır. Sonucu negatif olacaktır (çünkü pozitif bir sayıyı negatif bir sayıyla çarpmanın sonucu negatiftir). Sonuçta, başlangıç ​​koşullarına göre, m − n > 0, bu durumda a m − n − 1 negatiftir ve ilk faktör, pozitif tabanlı herhangi bir doğal güç gibi pozitiftir.

a m − a n olduğu ortaya çıktı< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Geriye yukarıda formüle edilen ifadenin ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor: a m > a, m > n ve a > 1 için doğrudur. Farkı belirtelim ve parantezlerin dışına bir n koyalım: (a m − n − 1) Bir n'nin birden büyük kuvvetini verir. olumlu sonuç; ve farkın kendisi de başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak pozitif olacaktır ve a > 1 için a m − n derecesi birden büyüktür. Kanıtlamamız gereken şeyin a m − a n > 0 ve a m > an n olduğu ortaya çıktı.

Örnek 13

Belirli sayılarla örnek: 3 7 > 3 2

Tamsayı üslü derecelerin temel özellikleri

Pozitif tamsayı üslü kuvvetler için özellikler benzer olacaktır çünkü pozitif tamsayılar doğal sayılardır, bu da yukarıda kanıtlanmış tüm eşitliklerin onlar için de geçerli olduğu anlamına gelir. Ayrıca üslerin negatif veya sıfıra eşit olduğu durumlar için de uygundurlar (derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla).

Dolayısıyla, herhangi bir a ve b tabanı (bu sayıların gerçek olması ve 0'a eşit olmaması koşuluyla) ve herhangi bir m ve n üsleri (tam sayı olmaları koşuluyla) için kuvvetlerin özellikleri aynıdır. Bunları kısaca formüller halinde yazalım:

Tanım 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (bir m) n = bir m n

6. bir n< b n и a − n >b − n pozitif tam sayı n'ye tabidir, pozitif a ve b, a< b

sabah 7.00< a n , при условии целых m и n , m >n ve 0< a < 1 , при a >sabah 1 > an n .

Derecenin tabanı sıfır ise, a m ve an n girdileri yalnızca doğal ve pozitif m ve n durumunda anlamlıdır. Sonuç olarak, yukarıdaki formülasyonların, diğer tüm koşullar yerine getirildiği takdirde, sıfır bazlı kuvvete sahip durumlar için de uygun olduğunu bulduk.

Bu durumda bu özelliklerin kanıtları basittir. Doğal ve tam sayı üslü bir derecenin ne olduğunu ve ayrıca gerçek sayılarla yapılan işlemlerin özelliklerini hatırlamamız gerekecek.

Kuvvet-kuvvet özelliğine bakalım ve bunun hem pozitif hem de pozitif olmayan tamsayılar için doğru olduğunu kanıtlayalım. (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) ve (a − p) − q eşitliklerini kanıtlayarak başlayalım. = a (− p) · (− q)

Koşullar: p = 0 veya doğal sayı; q – benzer.

Eğer p ve q'nun değerleri 0'dan büyükse, o zaman (a p) q = a p · q elde ederiz. Benzer bir eşitliği daha önce zaten kanıtlamıştık. Eğer p = 0 ise:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Bu nedenle, (a 0) q = a 0 q

q = 0 için her şey tamamen aynıdır:

(bir p) 0 = 1 bir p 0 = bir 0 = 1

Sonuç: (a p) 0 = a p · 0 .

Her iki gösterge de sıfırsa, o zaman (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 · 0 = a 0 = 1, yani (a 0) 0 = a 0 · 0.

Yukarıda kanıtlanmış bir dereceye kadar bölümlerin özelliğini hatırlayalım ve yazalım:

1 a p q = 1 q a p q

Eğer 1 p = 1 1 … 1 = 1 ve a p q = a p q ise, o zaman 1 q a p q = 1 a p q

Bu gösterimi temel çarpma kuralları sayesinde a (− p) · q'ya dönüştürebiliriz.

Ayrıca: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Ve (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Derecenin geri kalan özellikleri, mevcut eşitsizliklerin dönüştürülmesiyle benzer şekilde kanıtlanabilir. Bunun üzerinde detaylı durmayacağız; sadece zor noktalara değineceğiz.

Sondan bir önceki özelliğin kanıtı: a'nın b'den küçük olması koşuluyla, a − n > b − n'nin herhangi bir negatif tamsayı değeri n ve herhangi bir pozitif a ve b için doğru olduğunu hatırlayın.

Daha sonra eşitsizlik aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

1 a n > 1 b n

Sağ ve sol tarafları fark olarak yazalım ve gerekli dönüşümleri yapalım:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

a'nın b'den küçük olması durumunda, doğal üssü olan bir derecenin tanımına göre şunu hatırlayın: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n pozitif bir sayı olur çünkü çarpanları pozitiftir. Sonuç olarak, sonuçta pozitif sonuç veren b n - a n a n · b n fraksiyonuna sahibiz. Dolayısıyla 1 a n > 1 b n olduğundan a − n > b − n, kanıtlamamız gereken şey de buydu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin özelliğine benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin temel özellikleri

Önceki yazılarımızda rasyonel (kesirli) üslü derecenin ne olduğuna bakmıştık. Özellikleri tam sayı üslü derecelerin özellikleriyle aynıdır. Hadi yazalım:

Tanım 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 için (ürün özelliği) aynı tabanlara sahip dereceler).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, eğer a > 0 ise (bölüm özelliği).

3. a · b m n = a m n · b m n, a > 0 ve b > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, a ≥ 0 ve (veya) b ≥ 0 için (ürün özelliği kesirli derece).

4. a: b m n = a m n: a > 0 ve b > 0 için b m n ve eğer m n > 0 ise a ≥ 0 ve b > 0 için (kesirli kuvvete bölümün özelliği).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 (derece özelliği) derece olarak).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; eğer p< 0 - a p >b p (kuvvetleri eşit rasyonel üslerle karşılaştırma özelliği).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0'da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Bu hükümleri ispatlamak için kesirli üslü derecenin ne olduğunu, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerinin neler olduğunu, tamsayı üslü derecenin özelliklerinin neler olduğunu hatırlamamız gerekir. Her bir özelliğe bakalım.

Kesirli üslü bir derecenin ne olduğuna göre şunu elde ederiz:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 ve a m 2 n 2 = a m 2 n 2, dolayısıyla a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Kökün özellikleri eşitlikleri elde etmemizi sağlayacaktır:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan şunu elde ederiz: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Hadi dönüştürelim:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Üs şu şekilde yazılabilir:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu da kanıtı. İkinci özellik de tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır. Bir eşitlik zinciri yazalım:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Kalan eşitliklerin kanıtları:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 n 1 m 2 n 2

Sonraki özellik: a ve b'nin 0'dan büyük herhangi bir değeri için, eğer a, b'den küçükse, a p'nin sağlanacağını kanıtlayalım.< b p , а для p больше 0 - a p >b p

p rasyonel sayısını mn olarak gösterelim. Bu durumda m bir tam sayı, n ise bir doğal sayıdır. O zaman koşullar p< 0 и p >0 m'ye kadar uzanacak< 0 и m >0. m > 0 ve a için< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Köklerin ve çıktının özelliğini kullanıyoruz: a m n< b m n

a ve b'nin pozitif değerlerini dikkate alarak eşitsizliği a m n olarak yeniden yazıyoruz< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Aynı şekilde m için< 0 имеем a a m >b m, a m n > b m n elde ederiz, bu da a m n > b m n ve a p > b p anlamına gelir.

Geriye son mülkün kanıtını sunmak kalıyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p > q olduğunu kanıtlayalım.< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olacaktır a p > a q.

Rasyonel sayılar p ve q ortak bir paydaya indirgenebilir ve m 1 n ve m 2 n kesirleri elde edilebilir

Burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n bir doğal sayıdır. Eğer p > q ise m 1 > m 2 (kesirleri karşılaştırma kuralını dikkate alarak). Daha sonra 0'da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – eşitsizlik a 1 m > a 2 m.

Aşağıdaki gibi yeniden yazılabilirler:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Daha sonra dönüşümler yapabilir ve şunu elde edebilirsiniz:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Özetlemek gerekirse: p > q ve 0 için< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q.

İrrasyonel üslü kuvvetlerin temel özellikleri

Yukarıda açıklanan, rasyonel üslü bir derecenin sahip olduğu tüm özellikler böyle bir dereceye kadar genişletilebilir. Bu, önceki makalelerden birinde verdiğimiz tanımından kaynaklanmaktadır. Bu özellikleri kısaca formüle edelim (koşullar: a > 0, b > 0, p ve q üsleri irrasyonel sayılardır):

Tanım 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 ise a p > a q olur.

Dolayısıyla, p ve q üsleri gerçel sayı olan tüm kuvvetler, a > 0 olması koşuluyla aynı özelliklere sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.


Biz de tavsiye ediyoruz