İkinci dereceden bir trinomial nasıl çarpanlara ayrılır: formül. Sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılması, yöntemleri ve ayrıştırma örnekleri

Bir denklemi çarpanlarına ayırma işlemi, çarpıldığında sonuç veren terimleri veya ifadeleri bulma işlemidir. başlangıç ​​denklemi. Faktoring, temel cebir problemlerini çözmek için yararlı bir beceridir ve ikinci dereceden denklemler ve diğer polinomlarla çalışırken neredeyse gerekli hale gelir. Faktoring, cebirsel denklemleri basitleştirerek çözümlerini kolaylaştırmak için kullanılır. Faktoring, bir denklemi elle çözdüğünüzden daha hızlı bir şekilde belirli olası cevapları ortadan kaldırmanıza yardımcı olabilir.

Adımlar

Sayıları çarpanlarına ayırma ve temel cebirsel ifadeler

1. Sayıları faktoring etmek. Faktoring kavramı basittir, ancak pratikte faktoring zor olabilir (eğer karmaşık bir denklem verilirse). Bu nedenle öncelikle sayıları örnek alarak çarpanlara ayırma kavramına bakalım ve devam edelim. basit denklemler ve ardından karmaşık denklemlere geçin. Belirli bir sayının çarpanları, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları sayılardır: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünkü 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Aynı şekilde bir sayının çarpanlarını da o sayının bölenleri, yani böldüğü sayılar olarak düşünebilirsiniz. verilen numara.
   • 60 sayısının tüm çarpanlarını bulun. 60 sayısını sıklıkla kullanırız (örneğin saatte 60 dakika, dakikada 60 saniye vb.) ve bu sayının oldukça fazla sayıda çarpanı vardır.
     • 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.

2. Hatırlamak: Bir katsayı (sayı) ve bir değişken içeren bir ifadenin terimleri de çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için değişkenin katsayı faktörlerini bulun. Denklem terimlerini nasıl çarpanlara ayıracağınızı bildiğinizden, bu denklemi kolayca basitleştirebilirsiniz.

   • Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
     • Art arda birden çok kez 12x dağıtabilirsiniz. Başka bir deyişle 3(4x) veya 2(6x)'te durmamalısınız; genişletmeye devam edin: 3(2(2x)) veya 2(3(2x)) (belli ki 3(4x)=3(2(2x)) vb.)

3. Çarpmanın dağılma özelliğini çarpan cebirsel denklemlere uygulayın. Sayıları ve ifade terimlerini (değişkenli katsayılar) nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilerek, basit işlemleri basitleştirebilirsiniz. cebirsel denklemler, ifadenin sayı ve teriminin ortak çarpanını bulma. Tipik olarak bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü (GCD) bulmanız gerekir. Bu basitleştirme, çarpma işleminin dağılma özelliği nedeniyle mümkündür: a, b, c sayıları için a(b+c) = ab+ac eşitliği doğrudur.

   • Örnek. 12x + 6 denklemini çarpanlara ayırın. Öncelikle 12x ve 6'nın toplam değerini bulun. 6, hem 12x hem de 6'yı bölen en büyük sayıdır, dolayısıyla bu denklemi şu şekilde çarpanlara ayırabilirsiniz: 6(2x+1).
   • Bu süreç aynı zamanda negatif ve kesirli terimleri olan denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2+4, 1/2(x+8)'e ayrılabilir; örneğin -7x+(-21), -7(x+3) çarpanlarına ayrılabilir.

   İkinci Dereceden Denklemlerin Faktoringlenmesi

   1. Denklemin ikinci dereceden formda verildiğinden emin olun (ax 2 + bx + c = 0).İkinci dereceden denklemler şu şekildedir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0 dışındaki sayısal katsayılardır. Size tek değişkenli (x) bir denklem verilirse ve bu denklemde bir veya daha fazla terim varsa ikinci dereceden bir değişkenle denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına taşıyabilir ve sıfıra eşitleyebilirsiniz.

      • Örneğin, verilen denklem: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, ikinci dereceden bir denklem olan x 2 + 6x + 9 = 0 denklemine dönüştürülebilir.
      • Büyük dereceli x değişkenine sahip denklemler, örneğin x 3, x 4, vb. ikinci dereceden denklemler değildir. Bunlar kübik denklemler, dördüncü dereceden denklemler vb.'dir (bu tür denklemler, x değişkeninin 2'ye yükseltildiği ikinci dereceden denklemlere basitleştirilemediği sürece).

   2. a = 1 olan ikinci dereceden denklemler (x+d)(x+e) şeklinde genişletilir; burada d*e=c ve d+e=b. Size verilen ikinci dereceden denklem şu şekildeyse: x 2 + bx + c = 0 (yani, x 2'nin katsayısı 1'dir), o zaman böyle bir denklem yukarıdaki faktörlere genişletilebilir (ancak garanti edilmez). Bunu yapmak için çarpıldığında “c”, toplandığında “b” veren iki sayı bulmanız gerekir. Bu iki sayıyı (d ve e) bulduğunuzda, bunları aşağıdaki ifadeyle değiştirin: (x+d)(x+e), bu, parantezleri açtığınızda orijinal denklemi sağlar.

      • Örneğin, ikinci dereceden bir denklem verildiğinde x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ve 3+2=5, yani bu denklemi (x+3)(x+2) şeklinde çarpanlara ayırabilirsiniz.
      • Negatif terimler için çarpanlara ayırma sürecinde aşağıdaki küçük değişiklikleri yapın:
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx+c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x-_)(x-_).
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx-c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x+_)(x-_).
      • Not: boşluklar kesirlerle veya ondalık sayılarla değiştirilebilir. Örneğin, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 denklemi (x+10)(x+1/2) şeklinde genişletilir.

   3. Deneme yanılma yoluyla çarpanlara ayırma. karmaşık olmayan ikinci dereceden denklemler Doğru çözümü bulana kadar sayıları olası çözümlere yerleştirerek çarpanlara ayırabilirsiniz. Denklem ax 2 +bx+c biçimindeyse (a>1), olası çözümler (dx +/- _)(ex +/- _) biçiminde yazılır; burada d ve e sıfır olmayan sayısal katsayılardır. , çarpıldığında a verir. d veya e (veya her iki katsayı) 1'e eşit olabilir. Her iki katsayı da 1'e eşitse yukarıda açıklanan yöntemi kullanın.

      • Örneğin, 3x 2 - 8x + 4 denklemi verilmiştir. Burada 3'ün yalnızca iki çarpanı vardır (3 ve 1), dolayısıyla olası çözümler (3x +/- _)(x +/- _) şeklinde yazılır. Bu durumda boşluk yerine -2 koyarsanız doğru cevabı bulursunuz: -2*3x=-6x ve -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ve -2*-2=4 yani parantezleri açarken böyle bir genişleme orijinal denklemin terimlerine yol açacaktır.

Faktoring ne anlama geliyor? Bu, çarpımı orijinal sayıya eşit olan sayıları bulmak anlamına gelir.

Faktörlere ayırmanın ne anlama geldiğini anlamak için bir örneğe bakalım.

Bir sayıyı çarpanlarına ayırma örneği

8 sayısını çarpanlarına ayırın.

8 sayısı 2'ye 4'ün çarpımı olarak temsil edilebilir:

8'i 2*4'ün çarpımı olarak göstermek çarpanlara ayırma anlamına gelir.

Bunun 8'in tek çarpanlarına ayrılması olmadığını unutmayın.

Sonuçta 4 şu şekilde çarpanlara ayrılır:

Buradan 8 temsil edilebilir:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Cevabımızı kontrol edelim. Çarpanlara ayırmanın neye eşit olduğunu bulalım:

Yani orijinal numarayı aldık, cevap doğru.

24 sayısını asal çarpanlarına ayırın

24 sayısını asal çarpanlara nasıl ayırabiliriz?

Bir sayıya yalnızca bire ve kendisine bölünebiliyorsa asal sayı denir.

8 sayısı 3'ün 8'in çarpımı olarak gösterilebilir:

Burada 24 sayısı çarpanlara ayrılmıştır. Ancak ödevde "24 sayısını asal çarpanlara ayırın" diyor, yani. İhtiyaç duyulan temel faktörler bunlar. Ve açılımımızda 3 asal bir faktördür ve 8 asal bir faktör değildir.

Faktoring polinomları, bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülmesinin bir sonucu olarak bir kimlik dönüşümüdür.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.

Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve "parantezlerin dışına çıkarmaktır."

28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. 28x3 ve 35x4 elemanları için ortak bölen bulun. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.

2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.

Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerinin, üzerlerinde işlem yapılmasını kolaylaştıracak şekilde birleştirilmesini içerir (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması).

Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).

2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Malzemeyi güvence altına alalım.

a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Ne oldu çarpanlara ayırma? Bu, uygunsuz ve karmaşık bir örneği basit ve sevimli bir örnek haline getirmenin bir yoludur.) Çok güçlü bir teknik! Hem temel hem de yüksek matematiğin her adımında bulunur.

Matematik dilinde bu tür dönüşümlere ifadelerin özdeş dönüşümleri denir. Bilmeyenler için linke bir göz atın. Orada çok az şey var, basit ve kullanışlı.) Herhangi bir kimlik dönüşümünün anlamı, ifadenin kaydedilmesidir. başka bir biçimdeözünü korurken.

Anlam çarpanlara ayırma son derece basit ve net. Adından itibaren. Çarpanın ne olduğunu unutabilirsiniz (ya da bilmiyor olabilirsiniz), ancak bu kelimenin “çarpma” kelimesinden geldiğini anlayabilirsiniz.) Faktoring şu anlama gelir: bir şeyi bir şeyle çarpma biçimindeki bir ifadeyi temsil eder. Matematik ve Rus dili beni affetsin...) Bu kadar.

Örneğin 12 sayısını genişletmeniz gerekiyor. Güvenle yazabilirsiniz:

Bu yüzden 12 sayısını 3'ün 4'le çarpımı olarak sunduk. Sağdaki sayıların (3 ve 4) soldakilerden (1 ve 2) tamamen farklı olduğunu lütfen unutmayın. Ama 12 ve 3 4'ün çok iyi anlıyoruz bir ve aynı. 12 sayısının dönüşümden özü değişmedi.

12'yi farklı şekilde ayrıştırmak mümkün mü? Kolayca!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Ayrıştırma seçenekleri sonsuzdur.

Sayıları çarpanlarına ayırmak yararlı bir şeydir. Örneğin köklerle çalışırken çok yardımcı olur. Ancak cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak yalnızca yararlı olmakla kalmaz, aynı zamanda gerekli!Örnek olarak:

Basitleştirin:

Bir ifadeyi nasıl çarpanlara ayıracağını bilmeyenler kenarda durur. Nasıl yapılacağını bilenler - basitleştirin ve elde edin:

Etkisi muhteşem, değil mi?) Bu arada çözüm oldukça basit. Aşağıda kendiniz göreceksiniz. Veya örneğin bu görev:

Denklemi çözün:

x 5 - x 4 = 0

Bu arada, akılla karar verilir. Çarpanlara ayırmanın kullanılması. Bu örneği aşağıda çözeceğiz. Cevap: x1 = 0; x 2 = 1.

Veya aynı şey, ancak daha yaşlı olanlar için):

Denklemi çözün:

Bu örneklerde gösterdim asıl amaççarpanlara ayırma: kesirli ifadeleri basitleştirme ve bazı denklem türlerini çözme. İşte hatırlamanız gereken temel bir kural:

Eğer önümüzde korkutucu bir kesirli ifade varsa pay ve paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Çoğu zaman kesir azaltılır ve basitleştirilir.

Önümüzde sağda sıfır ve solda ne olduğunu anlamıyorum, sol tarafı çarpanlara ayırmayı deneyebiliriz. Bazen yardımcı olur).

Temel çarpanlara ayırma yöntemleri.

İşte en popüler yöntemler:

4. İkinci dereceden bir üç terimlinin genişletilmesi.

Bu yöntemlerin hatırlanması gerekir. Tam olarak bu sırayla. Karmaşık örnekler kontrol edilir her şey için olası yollar ayrışma. Ve kafanızın karışmaması için sırayla kontrol etmekte fayda var... O halde sırayla başlayalım.)

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Basit ve güvenilir bir yol. Ondan kötü bir şey gelmez! Ya iyi olur ya da hiç olmaz.) Bu yüzden önce o gelir. Hadi çözelim.

Herkes şu kuralı biliyor (inanıyorum!):

a(b+c) = ab+ac

Veya daha fazlası genel görünüm:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Tüm eşitlikler hem soldan sağa hem de sağdan sola doğru çalışır. Şunları yazabilirsiniz:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmanın asıl amacı budur.

Sol tarafta A - ortak çarpan tüm şartlar için. Var olan her şeyle çarpılır). En sağdaki A zaten yer alıyor parantezlerin dışında.

Pratik UygulamaÖrnekler kullanarak yönteme bakalım. İlk başta seçenek basit, hatta ilkel.) Ancak bu seçeneğe dikkat edeceğim ( yeşil) herhangi bir çarpanlara ayırma için çok önemli noktalar.

Çarpanlara ayırın:

ah+9x

Hangi genelçarpan her iki terimde de görünüyor mu? Tabii ki X! Bunu parantezlerin dışına çıkaracağız. Hadi bunu yapalım. Hemen parantezlerin dışına X yazıyoruz:

balta+9x=x(

Ve parantez içinde bölme sonucunu yazıyoruz her dönem tam da bu X'te. Sırayla:

İşte bu. Tabi bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bu iş akılla yapılıyor. Ancak neyin ne olduğunu anlamanız tavsiye edilir). Belleğe kaydediyoruz:

Ortak çarpanı parantezlerin dışına yazıyoruz. Tüm terimleri bu ortak faktöre bölmenin sonuçlarını parantez içinde yazıyoruz. Sırayla.

Yani ifadeyi genişlettik ah+9xçarpanlara göre. Bunu x ile çarpmaya dönüştürdüm (a+9). Orijinal ifadede ayrıca bir çarpım olduğunu, hatta iki olduğunu not ediyorum: a·x ve 9·x. Ama o çarpanlara ayrılmamıştı!Çünkü bu ifadede çarpmanın yanı sıra toplama yani “+” işareti de vardı! Ve ifadede x(a+9) Çarpmadan başka bir şey yok!

Nasıl yani!? - İnsanların öfkeli sesini duyuyorum - Ve parantez içinde!?)

Evet parantez içinde ekleme var. Ancak işin püf noktası şu ki, parantezler açılmadığı sürece onları dikkate alıyoruz bir harf gibi. Ve tüm eylemleri tamamen parantezlerle yapıyoruz, tek harfle olduğu gibi. Bu anlamda ifadede x(a+9)Çarpma dışında hiçbir şey yoktur. Çarpanlara ayırmanın asıl amacı budur.

Bu arada, her şeyi doğru yapıp yapmadığımızı bir şekilde kontrol etmek mümkün mü? Kolayca! Çıkardığınız şeyi (x) parantezlerle çarpmanız ve işe yarayıp yaramadığını görmeniz yeterlidir. orijinal ifade? Eğer işe yararsa, her şey harika!)

x(a+9)=ax+9x

İşe yaradı.)

Bu ilkel örnekte hiçbir sorun yoktur. Ancak birkaç terim varsa ve hatta farklı işaretler... Kısacası her üç öğrenciden biri berbat durumda). Öyleyse:

Gerekirse ters çarpma yoluyla çarpanlara ayırmayı kontrol edin.

Çarpanlara ayırın:

3ax+9x

Ortak bir faktör arıyoruz. Peki, X ile her şey açık, çıkarılabilir. Daha fazlası var mı genel faktör? Evet! Bu bir üç. İfadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:

3ax+3 3x

Burada ortak faktörün olacağı hemen açıktır. 3x. İşte onu çıkarıyoruz:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Yayıldık.

çıkarsan ne olur sadece x mi?Özel bir şey yok:

3ax+9x=x(3a+9)

Bu aynı zamanda bir çarpanlara ayırma olacaktır. Ancak bu büyüleyici süreçte, fırsat varken her şeyi sınırlarına kadar ortaya koymak gelenekseldir. Burada parantez içinde üç koyma fırsatı var. Ortaya çıkacak:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Aynı şey, yalnızca ekstra bir eylemle.) Unutmayın:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken, çıkarmaya çalışıyoruz maksimum ortak faktör.

Eğlenceye devam edelim mi?)

İfadeyi çarpanlarına ayırın:

3ah+9х-8а-24

Neyi götüreceğiz? Üç, X? Hayır... Yapamazsın. Sana sadece dışarı çıkabileceğini hatırlatırım genelçarpan yani hepsinde ifadenin şartları. Bu yüzden o genel. Burada öyle bir çarpan yok... Ne yani genişletmene gerek yok!? Evet, çok mutluyduk... Tanışın:

2. Gruplandırma.

Aslında gruplamaya bağımsız bir çarpanlara ayırma yöntemi denemez. Bu daha çok dışarı çıkmanın bir yolu karmaşık örnek.) Her şeyin yolunda gitmesi için terimleri gruplandırmamız gerekiyor. Bu ancak örnek olarak gösterilebilir. Yani, şu ifadeye sahibiz:

3ah+9х-8а-24

Bazı ortak harf ve sayıların olduğu görülebilir. Ancak... Genel her açıdan olacak bir çarpan yoktur. Kalbimizi kaybetmeyelim ve ifadeyi parçalara ayırın. Gruplandırma. Yani her parçanın ortak bir faktörü var, çıkarılacak bir şey var. Nasıl kırarız? Evet, sadece parantez koyduk.

Parantezlerin istediğiniz yere ve istediğiniz şekilde yerleştirilebileceğini hatırlatmama izin verin. Sadece örneğin özü değişmedi.Örneğin şunu yapabilirsiniz:

3ah+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Lütfen ikinci parantezlere dikkat edin! Önlerinde bir eksi işareti bulunur ve 8a Ve 24 pozitif çıktı! Kontrol etmek için parantezleri tekrar açarsak işaretler değişecek ve şunu elde edeceğiz: orijinal ifade. Onlar. parantez içindeki ifadenin özü değişmedi.

Ancak işaret değişikliğini hesaba katmadan parantez eklediyseniz örneğin şu şekilde:

3ah+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

bu bir hata olurdu. Sağda - zaten diğer ifade. Parantezleri açın ve her şey görünür hale gelecektir. Daha fazla karar vermenize gerek yok, evet…)

Ama çarpanlara ayırmaya dönelim. İlk parantezlere bakalım (3ax+9x) ve çıkarabileceğimiz bir şey var mı diye düşünüyoruz? Peki bu örneği yukarıda çözdük, alabiliriz 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

İkinci parantezleri inceleyelim, oraya bir sekiz ekleyebiliriz:

(8a+24)=8(a+3)

İfademizin tamamı şu şekilde olacaktır:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktoringli mi? HAYIR. Ayrıştırmanın sonucu şu şekilde olmalıdır: sadece çarpma ama bizde eksi işareti her şeyi bozar. Ama... Her iki terimin de ortak bir çarpanı var! Bu (a+3). Tüm parantezlerin sanki tek harf olduğunu söylemem boşuna değildi. Bu, bu braketlerin braketlerin dışına çıkarılabileceği anlamına gelir. Evet, kulağa tam olarak böyle geliyor.)

Yukarıda anlatıldığı gibi yapıyoruz. Ortak çarpanı yazıyoruz (a+3), ikinci parantez içine terimleri bölmenin sonuçlarını yazıyoruz (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Tüm! Sağda çarpma dışında hiçbir şey yok! Bu, çarpanlara ayırmanın başarıyla tamamlandığı anlamına gelir!) İşte:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Grubun özünü kısaca tekrarlayalım.

Eğer ifade değilse genel için çarpan herkes ifadeyi parantezlere ayırıyoruz, böylece parantezlerin içindeki ortak faktör öyleydi. Onu çıkarıyoruz ve ne olacağını görüyoruz. Şanslıysanız ve parantez içinde tamamen aynı ifadeler kaldıysa bu parantezleri parantezlerin dışına taşıyoruz.

Gruplamanın yaratıcı bir süreç olduğunu ekleyeceğim). Her zaman ilk seferde işe yaramaz. Önemli değil. Bazen şartları değiştirip düşünmeniz gerekir farklı seçenekler Başarılı bir grup bulunana kadar gruplar. Buradaki en önemli şey cesaretinizi kaybetmemek!)

Örnekler.

Artık kendinizi bilgiyle zenginleştirdikten sonra zor örnekleri çözebilirsiniz.) Dersin başında bunlardan üçü vardı...

Basitleştirin:

Aslında bu örneği zaten çözdük. Kendimizden habersiz.) Size şunu hatırlatayım: Eğer bize çok kötü bir kesir verilirse, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Diğer basitleştirme seçenekleri sadece hayır.

Yani buradaki payda genişletilmemiş ama pay... Derste zaten pay'ı genişletmiştik! Bunun gibi:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Açılımın sonucunu kesrin payına yazıyoruz:

Kesirleri azaltma kuralına göre (bir kesrin temel özelliği), payı ve paydayı (aynı anda!) aynı sayıya veya ifadeye bölebiliriz. Bundan kesir değişmez. Yani pay ve paydayı ifadeye böleriz (3x-8). Ve orada burada birer tane alacağız. Sadeleştirmenin nihai sonucu:

Özellikle vurgulamak isterim ki, bir kesri azaltmak, ifadeleri çarpmanın yanı sıra, ancak pay ve paydada ise mümkündür. bir şey yok. Toplamın (farkın) dönüştürülmesinin nedeni budur. çarpma basitleştirme açısından çok önemlidir. Tabii eğer ifadeler farklı, o zaman hiçbir şey azalmayacaktır. Bu olacak. Fakat çarpanlara ayırma şans verir. Ayrışma olmadan bu şans kesinlikle mevcut değil.

Denklemli örnek:

Denklemi çözün:

x 5 - x 4 = 0

Ortak çarpanı çıkarıyoruz x 4 parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:

x 4 (x-1)=0

Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğunu biliyoruz o zaman ve ancak o zaman, bunlardan herhangi biri sıfır olduğunda. Eğer şüpheniz varsa, bana çarpıldığında sıfır verecek birkaç sıfır olmayan sayı bulun.) O halde ilk olarak ilk çarpanı yazıyoruz:

Böyle bir eşitlik varken ikinci faktör bizi ilgilendirmiyor. Herkes olabilir, ama sonunda yine de sıfır olacaktır. Sıfırın dördüncü kuvveti kaç sayıyı verir? Sadece sıfır! Ve başkası yok... Bu nedenle:

İlk faktörü bulduk ve bir kök bulduk. İkinci faktöre bakalım. Artık ilk faktörü umursamıyoruz.):

Burada bir çözüm bulduk: x1 = 0; x 2 = 1. Bu köklerden herhangi biri denklemimize uyuyor.

Çok önemli bir not. Lütfen denklemi çözdüğümüzü unutmayın. parça parça! Her faktör sıfıra eşitti, diğer faktörlerden bağımsız olarak. Bu arada, böyle bir denklemde bizimki gibi iki değil, üç, beş, istediğiniz kadar faktör varsa çözeceğiz. tamamen aynı. Parça parça. Örneğin:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Parantezleri açıp her şeyi çarpan kişi sonsuza kadar bu denklemde takılıp kalacaktır.) Doğru bir öğrenci, solda çarpma dışında hiçbir şey olmadığını, sağda ise sıfırın olmadığını hemen görecektir. Ve (zihninde!) tüm parantezleri sıfıra eşitlemeye başlayacak. Ve (10 saniye içinde!) doğru çözümü elde edecek: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.

Harika, değil mi?) Denklemin sol tarafında ise böylesine zarif bir çözüm mümkün olabilir. çarpanlara ayrılmış.İpucunu aldın mı?)

Yaşlılar için son bir örnek):

Denklemi çözün:

Biraz öncekine benziyor değil mi?) Elbette. Yedinci sınıf cebirinde sinüslerin, logaritmaların ve diğer her şeyin harflerin altında gizlenebileceğini hatırlamanın zamanı geldi! Faktoring matematik boyunca çalışır.

Ortak çarpanı çıkarıyoruz lg4x parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:

günlük 4 x=0

Bu bir kök. İkinci faktöre bakalım.

İşte son cevap: x1 = 1; x 2 = 10.

Umarım kesirleri basitleştirmede ve denklem çözmede çarpanlara ayırmanın gücünü fark etmişsinizdir.)

Bu dersimizde ortak çarpanlara ayırma ve gruplandırmayı öğrendik. Kısaltılmış çarpma ve ikinci dereceden üç terimli formülleri anlamak için kalır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bu yazıda soruyu cevaplamak için gerekli tüm bilgileri bulacaksınız, bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayırabilirim. Öncelikle bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılmasına ilişkin genel bir fikir verilmiş ve ayrıştırma örnekleri verilmiştir. Aşağıda bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanın kanonik biçimi gösterilmektedir. Bundan sonra ayrıştırma algoritması verilir. keyfi sayılar sayıların asal çarpanlara ayrıştırılması ve bu algoritma kullanılarak sayıların ayrıştırılmasına ilişkin örnekler verilmiştir. Bölünebilme testleri ve çarpım tablolarını kullanarak küçük tam sayıları hızlı bir şekilde asal çarpanlara ayırmanıza olanak tanıyan alternatif yöntemler de dikkate alınır.

Sayfada gezinme.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Öncelikle asal faktörlerin neler olduğuna bakalım.

Bu ifadede "faktörler" kelimesi geçtiğine göre bazı sayıların çarpımı olduğu ve "basit" niteleyici kelimesinin her faktörün asal sayı olduğu anlamına geldiği açıktır. Örneğin 2·7·7·23 formundaki bir çarpımda dört asal çarpan vardır: 2, 7, 7 ve 23.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Bu, bu sayının asal çarpanların çarpımı olarak temsil edilmesi gerektiği ve bu çarpımın değerinin orijinal sayıya eşit olması gerektiği anlamına gelir. Örnek olarak 2, 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı 30'a eşittir, dolayısıyla 30 sayısının asal çarpanlara ayrıştırması 2·3·5 olur. Genellikle bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması eşitlik olarak yazılır; örneğimizde şu şekilde olacaktır: 30=2·3·5. Genişlemedeki asal faktörlerin tekrarlanabileceğini ayrı ayrı vurguluyoruz. Bu, aşağıdaki örnekte açıkça gösterilmektedir: 144=2·2·2·2·3·3. Ancak 45=3·15 formunun temsili asal çarpanlara ayrıştırma değildir, çünkü 15 sayısı bileşik bir sayıdır.

Şu soru ortaya çıkıyor: "Hangi sayılar asal çarpanlara ayrılabilir?"

Bunun cevabını bulmak için aşağıdaki gerekçeyi sunuyoruz. Asal sayılar tanım gereği birden büyük sayılar arasındadır. Bu gerçek göz önüne alındığında ve birkaç asal faktörün çarpımının birden büyük pozitif bir tam sayı olduğu ileri sürülebilir. Bu nedenle çarpanlara ayırma yalnızca 1'den büyük pozitif tam sayılar için yapılır.

Ancak birden büyük tüm tam sayılar asal çarpanlara ayrılabilir mi?

Basit tam sayıları asal çarpanlara ayırmanın mümkün olmadığı açıktır. Bu, asal sayıların yalnızca iki pozitif böleni (bir ve kendisi) olmasıyla açıklanır, dolayısıyla bunlar iki veya daha fazla sayının çarpımı olarak temsil edilemez. Daha asal sayılar. Eğer z tam sayısı, a ve b asal sayılarının çarpımı olarak temsil edilebilseydi, bölünebilirlik kavramı, z'nin hem a hem de b'ye bölünebildiği sonucuna varmamızı sağlardı ki bu, z sayısının basitliğinden dolayı imkansızdır. Ancak herhangi bir asal sayının kendisinin bir ayrışma olduğuna inanıyorlar.

Bileşik sayılar ne olacak? Bileşik sayılar asal çarpanlara ayrıştırılıyor mu ve tüm bileşik sayılar bu tür bir ayrıştırmaya tabi mi? Aritmetiğin temel teoremi bu soruların birçoğuna olumlu yanıt verir. Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir a tam sayısının p 1, p 2, ..., p n asal çarpanlarının çarpımına ayrıştırılabileceğini ve ayrıştırmanın a = p 1 · p 2 · biçiminde olduğunu belirtir. … · p n ve bu genişleme benzersizdir, eğer faktörlerin sırasını dikkate almazsanız

Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlara ayrılması

Bir sayının açılımında asal çarpanlar tekrarlanabilir. Tekrarlanan asal faktörler kullanılarak daha kompakt bir şekilde yazılabilir. Bir sayının ayrıştırılmasında p 1 asal çarpanının s 1 kere, p 2 – s asal çarpanının 2 kere ve bu şekilde p n – s n kere meydana geldiğini varsayalım. O zaman a sayısının asal çarpanlarına ayrılması şu şekilde yazılabilir: a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bu kayıt şekline sözde Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlarına ayrılması.

Bir sayının asal çarpanlara kanonik olarak ayrıştırılmasına bir örnek verelim. Ayrışmayı bize bildirin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, kanonik gösterimi şu şekildedir: 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, sayının tüm bölenlerini ve bölenlerin sayısını bulmanızı sağlar.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma algoritması

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma göreviyle başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için asal ve bileşik sayılar makalesindeki bilgiler hakkında çok iyi bilgiye sahip olmanız gerekir.

Bir'i aşan pozitif bir tam sayı a'yı ayrıştırma sürecinin özü, aritmetiğin temel teoreminin kanıtından açıktır. Önemli olan a, a 1, a 2, ..., a n-1 sayılarının en küçük asal bölenlerini (p 1, p 2, ..., p n) sırayla bulmaktır, bu da bir dizi eşitlik elde etmemizi sağlar. a=p 1 ·a 1, burada a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , burada a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·an , burada a n =a n-1:p n . Bir n =1 ortaya çıktığında, a=p 1 · p 2 ·…·p n eşitliği bize a sayısının asal çarpanlara istenen ayrıştırılmasını verecektir. Burada şunu da belirtmek gerekir ki p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Her adımda en küçük asal çarpanların nasıl bulunacağını bulmaya devam ediyoruz ve bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak için bir algoritmamız olacak. Asal sayılar tablosu asal çarpanları bulmamıza yardımcı olacaktır. Z sayısının en küçük asal bölenini elde etmek için bunu nasıl kullanacağımızı gösterelim.

Asal sayılar tablosundan (2, 3, 5, 7, 11 vb.) sırayla asal sayıları alıyoruz ve verilen z sayısını bunlara bölüyoruz. Z'nin eşit olarak bölündüğü ilk asal sayı, onun en küçük asal böleni olacaktır. Z sayısı asalsa, bu sayının en küçük asal böleni z sayısının kendisi olacaktır. Burada şunu da hatırlamak gerekir ki eğer z değilse asal sayı, bu durumda en küçük asal böleni z'den olan sayıyı aşmaz. Dolayısıyla, aşmayan asal sayılar arasında z sayısının tek bir böleni yoksa, z'nin bir asal sayı olduğu sonucuna varabiliriz (bununla ilgili daha fazla bilgi teori bölümünde Bu sayı asal veya bileşiktir başlığı altında yazılmıştır). ).

Örnek olarak 87 sayısının en küçük asal böleninin nasıl bulunacağını göstereceğiz. 2 sayısını ele alalım. 87'yi 2'ye bölersek 87:2=43 elde ederiz (kalan 1) (gerekirse makaleye bakın). Yani 87'yi 2'ye böldüğümüzde kalan 1 oluyor yani 2, 87 sayısının böleni değil. Asal sayılar tablosundan bir sonraki asal sayıyı alıyoruz, bu 3 sayısıdır. 87'yi 3'e bölersek 87:3=29 sonucunu buluruz. Dolayısıyla 87, 3'e bölünebilir, dolayısıyla 3 sayısı, 87 sayısının en küçük asal böleni olur.

şunu unutmayın genel durum A sayısını asal çarpanlara ayırmak için, 'den az olmayan bir sayıya kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacımız var. Her adımda bu tabloya başvurmamız gerekecek, bu yüzden onu elimizde bulundurmamız gerekiyor. Örneğin, 95 sayısını asal çarpanlara ayırmak için yalnızca 10'a kadar asal sayıların yer aldığı bir tabloya ihtiyacımız olacak (çünkü 10, 'den büyüktür). Ve 846.653 sayısını ayrıştırmak için zaten 1.000'e kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacınız olacak (çünkü 1.000, 'den büyük).

Artık yazacak kadar bilgimiz var Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritması. A sayısını ayrıştırma algoritması aşağıdaki gibidir:

• Asal sayılar tablosundaki sayıları sırayla sıralayarak, a sayısının en küçük asal bölenini p 1 buluruz ve ardından 1 =a:p 1'i hesaplarız. Eğer a 1 =1 ise, o zaman a sayısı asaldır ve kendisi de onun asal faktörlere ayrıştırılmasıdır. Eğer a 1, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·a 1 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a 1 sayısının en küçük asal bölenini p 2 buluruz, bunu yapmak için p 1'den başlayarak asal sayılar tablosundaki sayıları sırayla sıralarız ve ardından a 2 =a 1:p 2'yi hesaplarız. Eğer a 2 =1 ise, a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması a=p 1 · p 2 biçiminde olur. Eğer a 2, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·a 2 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• Asal sayılar tablosundaki sayıları p 2'den başlayarak inceleyerek a 2 sayısının en küçük asal bölenini p 3 buluyoruz ve ardından a 3 =a 2:p 3'ü hesaplıyoruz. Eğer a 3 =1 ise, o zaman a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması a=p 1 · p 2 · p 3 biçiminde olur. Eğer a 3, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a n-1 sayısının en küçük asal böleni p n'yi, p n-1'in yanı sıra a n =a n-1:p n ve a n eşittir 1'den başlayarak asal sayıları sıralayarak buluruz. Bu adım, algoritmanın son adımıdır; burada a sayısının asal çarpanlara istenen ayrıştırmasını elde ederiz: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Açıklık sağlamak için, bir sayıyı asal faktörlere ayırma algoritmasının her adımında elde edilen tüm sonuçlar, a, a 1, a 2, ..., n sayılarının sırayla yazıldığı aşağıdaki tablo biçiminde sunulmaktadır. dikey çizginin solundaki ve çizginin sağındaki bir sütunda - karşılık gelen en küçük asal bölenler p 1, p 2, ..., p n.

Geriye kalan tek şey, sayıları asal çarpanlara ayırmak için elde edilen algoritmanın uygulanmasına ilişkin birkaç örneği ele almaktır.

Asal çarpanlara ayırma örnekleri

Şimdi detaylı olarak bakacağız sayıları asal çarpanlarına ayırma örnekleri. Ayrıştırma sırasında önceki paragraftaki algoritmayı kullanacağız. Sayıları asal çarpanlara ayırırken ortaya çıkabilecek tüm olası nüanslarla karşılaşmak için basit durumlarla başlayalım ve bunları yavaş yavaş karmaşıklaştıralım.

Örnek.

78 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm.

a=78 sayısının ilk en küçük asal bölenini (p1) aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için asal sayılar tablosundan asal sayıları sırayla sıralamaya başlıyoruz. 2 sayısını alıp 78'i buna bölersek 78:2=39 sonucunu elde ederiz. 78 sayısı 2'ye kalansız olarak bölündüğünden p 1 =2, 78 sayısının ilk bulunan asal böleni olur. Bu durumda a 1 =a:p 1 =78:2=39. Böylece 78=2·39 formundaki a=p 1 ·a 1 eşitliğine ulaşıyoruz. Açıkçası, 1 =39 1'den farklıdır, dolayısıyla algoritmanın ikinci adımına geçiyoruz.

Şimdi a 1 =39 sayısının en küçük asal bölenini p 2 arıyoruz. Sayıları asal sayılar tablosundan p 1 =2 ile başlayarak numaralandırmaya başlıyoruz. 39'u 2'ye bölersek 39:2=19 (kalan 1) sonucunu elde ederiz. 39, 2'ye tam olarak bölünemediğinden, 2 onun böleni değildir. Daha sonra asal sayılar tablosundan bir sonraki sayıyı (3 sayısı) alıp 39'u buna bölersek 39:3=13 elde ederiz. Dolayısıyla p 2 =3, 39 sayısının en küçük asal böleni olurken, a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 olur. 78=2·3·13 formunda a=p 1 ·p 2 ·a 2 eşitliğine sahibiz. 2 =13, 1'den farklı olduğundan algoritmanın bir sonraki adımına geçiyoruz.

Burada a 2 =13 sayısının en küçük asal bölenini bulmamız gerekiyor. 13 sayısının en küçük asal bölenini bulmak için p 2 =3'ten başlayarak asal sayılar tablosundaki sayıları sıralı olarak sıralayacağız. 13 sayısı 3'e bölünmez çünkü 13:3=4 (geri kalan 1) ve 13 sayısı da 5, 7 ve 11'e bölünmez, çünkü 13:5=2 (geri kalan 3), 13:7=1 (geri kalan 6) ve 13:11=1 (geri kalan 2). Bir sonraki asal sayı 13'tür ve 13 ona kalansız bölünebilir, dolayısıyla 13'ün en küçük asal böleni p 3 13 sayısının kendisidir ve a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 olduğundan, algoritmanın bu adımı son adımdır ve 78 sayısının asal çarpanlara istenen ayrıştırması 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) biçimindedir.

Cevap:

78=2·3·13.

Örnek.

83.006 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak ifade edin.

Çözüm.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının ilk adımında, p 1 =2 ve a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503'ü buluruz, buradan 83,006=2·41,503 olur.

İkinci adımda a 1 =41,503 sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 5 değil, 41,503:7=5,929 olduğundan 7 sayısının asal bölenleri olduğunu görüyoruz. p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929'a sahibiz. Böylece, 83.006=2 7 5 929 olur.

a 2 =5 929 sayısının en küçük asal böleni 5 929:7 = 847 olduğundan 7 sayısıdır. Böylece, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, buradan 83 006 = 2·7·7·847.

Daha sonra a3 =847 sayısının en küçük asal böleni p4'ün 7'ye eşit olduğunu buluyoruz. O halde a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, yani 83 006=2·7·7·7·121.

Şimdi a 4 =121 sayısının en küçük asal bölenini buluyoruz, bu sayı p 5 =11'dir (121, 11'e bölünebildiği ve 7'ye bölünemediği için). O halde a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ve 83 006=2·7·7·7·11·11.

Son olarak a 5 =11 sayısının en küçük asal böleni p 6 =11 sayısıdır. O zaman a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 olduğundan, bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının bu adımı son adımdır ve istenen ayrıştırma 83 006 = 2·7·7·7·11·11 biçimine sahiptir.

Elde edilen sonuç, sayının 83 006 = 2·7 3 ·11 2 asal çarpanlarına kanonik ayrıştırılması olarak yazılabilir.

Cevap:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 bir asal sayıdır. Aslında (991 olduğu açık olduğundan kabaca olarak tahmin edilebilir) değerini aşmayan tek bir asal böleni yoktur.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Cevap:

897 924 289 = 937 967 991 .

Asal çarpanlara ayırma için bölünebilirlik testlerini kullanma

Basit durumlarda, bu makalenin ilk paragrafındaki ayrıştırma algoritmasını kullanmadan bir sayıyı asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Sayılar büyük değilse, onları asal çarpanlara ayırmak için genellikle bölünebilme işaretlerini bilmek yeterlidir. Açıklığa kavuşturmak için örnekler verelim.

Örneğin 10 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Çarpım tablosundan 2·5=10 olduğunu biliyoruz ve 2 ile 5 sayıları açıkça asaldır, dolayısıyla 10 sayısının asal çarpanlarına ayrılması 10=2·5 gibi görünür.

Başka bir örnek. Çarpım tablosunu kullanarak 48 sayısını asal çarpanlarına ayıracağız. Altının sekiz - kırk sekiz olduğunu, yani 48 = 6.8 olduğunu biliyoruz. Ancak ne 6 ne de 8 asal sayı değildir. Ama iki kere üçün altı, iki kere dördün sekiz ettiğini biliyoruz, yani 6=2·3 ve 8=2·4. O halde 48=6·8=2·3·2·4. Geriye iki kere ikinin dört ettiğini hatırlamamız kalıyor, o zaman 48 = 2·3·2·2·2 asal çarpanlarına istenen ayrıştırmayı elde ederiz. Bu açılımı kanonik biçimde yazalım: 48=2 4 ·3.

Ancak 3.400 sayısını asal çarpanlara ayırırken bölünebilme kriterini kullanabilirsiniz. 10'a bölünebilme işaretleri, 100'e göre 3.400'ün 100'e bölünebileceğini, 3.400=34·100, 100'ün ise 10'a bölünebileceğini, 100=10·10 yani 3.400=34·10·10 olduğunu ifade etmemizi sağlar. Ve 2'ye bölünebilirlik testine dayanarak 34, 10 ve 10 çarpanlarının her birinin 2'ye bölünebilir olduğunu söyleyebiliriz. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ortaya çıkan genişlemedeki tüm faktörler basittir, dolayısıyla bu genişleme istenen genişlemedir. Geriye kalan tek şey, faktörleri artan sırada olacak şekilde yeniden düzenlemek: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Bu sayının asal çarpanlarına kanonik ayrıştırmasını da yazalım: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Belirli bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken sırasıyla hem bölünebilirlik işaretlerini hem de çarpım tablosunu kullanabilirsiniz. 75 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak düşünelim. 5'e bölünebilirlik testi, 75'in 5'e bölünebilir olduğunu belirtmemizi sağlar ve 75 = 5·15 sonucunu elde ederiz. Çarpım tablosundan da 15=3·5 olduğunu biliyoruz, dolayısıyla 75=5·3·5 olur. Bu, 75 sayısının asal çarpanlarına gerekli ayrıştırılmasıdır.

Referanslar.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri. Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: Fizik ve matematik öğrencileri için ders kitabı. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.