Ev > Vücut > İrrasyonel ifadeleri kuvvetlerle çözme yöntemleri. Seçmeli ders “İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

İrrasyonel ifadeleri kuvvetlerle çözme yöntemleri. Seçmeli ders “İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

Kök işareti altında bilinmeyen bir miktar içeren denklemlere irrasyonel denir. Bunlar örneğin denklemlerdir.

Çoğu durumda, denklemin her iki tarafının üstel alınmasını bir kez veya tekrar tekrar uygulayarak, irrasyonel bir denklemi şu veya bu derecede bir cebirsel denkleme (orijinal denklemin bir sonucudur) indirgemek mümkündür. Bir denklemi bir kuvvete yükseltirken yabancı çözümler ortaya çıkabileceğinden, bu irrasyonel denklemi indirgediğimiz cebirsel denklemi çözdükten sonra, bulunan kökleri orijinal denklemin yerine koyarak kontrol etmeli ve yalnızca onu karşılayanları tutmalıyız. ve geri kalan gereksiz olanları atın.

İrrasyonel denklemleri çözerken kendimizi yalnızca onların gerçek kökleriyle sınırlandırırız; Denklemlerin yazımında çift dereceli tüm kökler aritmetik anlamda anlaşılır.

İrrasyonel denklemlerin bazı tipik örneklerine bakalım.

A. İşaret altında bilinmeyen içeren denklemler karekök. Belirli bir denklem, işareti altında bilinmeyenin bulunduğu yalnızca bir karekök içeriyorsa, bu kök izole edilmeli, yani denklemin bir kısmına yerleştirilmeli ve diğer tüm terimler başka bir kısma aktarılmalıdır. Denklemin her iki tarafının karesini aldıktan sonra irrasyonellikten kurtulacağız ve cebirsel bir denklem elde edeceğiz.

Örnek 1. Denklemi çözün.

Çözüm. Denklemin sol tarafındaki kökü yalnız bırakıyoruz;

Ortaya çıkan eşitliğin karesini alıyoruz:

Bu denklemin köklerini buluyoruz:

Kontrol, yalnızca orijinal denklemi karşıladığını gösterir.

Denklem x içeren iki veya daha fazla kök içeriyorsa, kare almanın birkaç kez tekrarlanması gerekir.

Örnek 2. Aşağıdaki denklemleri çözün:

Çözüm, a) Denklemin her iki tarafının karesini alırız:

Kökü izole ediyoruz:

Ortaya çıkan denklemin karesini tekrar alırız:

Dönüşümlerden sonra aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz:

hadi çözelim:

Orijinal denklemi yerine koyarak bunun bir kökü olduğuna ikna oluyoruz, ancak bu ona yabancı bir kök.

b) Örnek, örnek a) ile aynı yöntem kullanılarak çözülebilir. Ancak bu denklemin sağ tarafında bilinmeyen bir miktar bulunmadığından yararlanarak farklı davranacağız. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifadeyle çarpalım; alıyoruz

Sağda toplam ile farkın çarpımı yani kareler farkı var. Buradan

Bu denklemin sol tarafında toplam vardı karekökler; Şimdi elde edilen denklemin sol tarafında aynı köklerin farkı var. Bunu ve ortaya çıkan denklemleri yazalım:

Bu denklemlerin toplamını alırsak,

Son denklemin karesini alalım ve basitleştirmelerden sonra şunu elde edelim

Buradan buluyoruz. Kontrol ederek bu denklemin kökünün sadece sayı olduğuna ikna olduk. Örnek 3: Denklemi çözün

Burada, zaten kök işaretinin altında, kare üç terimlilerimiz var.

Çözüm. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifadeyle çarpıyoruz:

Son denklemi bundan çıkarın:

Bu denklemin karesini alalım:

Bulduğumuz son denklemden. Kontrol ederek bu denklemin kökünün yalnızca x = 1 sayısı olduğuna ikna olduk.

B. Üçüncü dereceden kökleri içeren denklemler. İrrasyonel denklem sistemleri. Kendimizi bu tür denklem ve sistemlerin bireysel örnekleriyle sınırlayalım.

Örnek 4: Denklemi çözün

Çözüm. Denklemi (70.1) çözmenin iki yolunu göstereceğiz. İlk yol. Bu denklemin her iki tarafının küpünü alalım (bkz. formül (20.8)):

(burada denklemi kullanarak küp köklerinin toplamını 4 sayısıyla değiştirdik).

Yani elimizde

yani basitleştirmelerden sonra,

dolayısıyla her iki kök de orijinal denklemi karşılar.

İkinci yol. Hadi koyalım

Denklem (70.1) şeklinde yazılacaktır. Üstelik şu da açık. Denklem (70.1)'den sisteme geçtik

Sistem terimindeki ilk denklemi terime göre ikinciye bölerek şunu buluruz:

İrrasyonel denklemlerin çözümü.

Bu yazımızda çözümlerden bahsedeceğiz. en basit irrasyonel denklemler.

İrrasyonel denklem kök işareti altında bir bilinmeyen içeren bir denklemdir.

İki türe bakalım irrasyonel denklemlerİlk bakışta birbirine çok benzeyen ama özünde birbirinden çok farklı olan.

(1)

(2)

İlk denklemde bilinmeyenin üçüncü derecenin kökü burcunda olduğunu görüyoruz. Negatif bir sayının tek kökünü alabiliriz, dolayısıyla bu denklemde ne kök işaretinin altındaki ifadede ne de denklemin sağ tarafındaki ifadede herhangi bir kısıtlama yoktur. Kökten kurtulmak için denklemin her iki tarafını da üçüncü kuvvetine yükseltebiliriz. Eşdeğer bir denklem elde ederiz:

Denklemin sağ ve sol taraflarını tek kuvvete yükseltirken, yabancı kökler almaktan korkmamalıyız.

Örnek 1. Denklemi çözelim

Denklemin her iki tarafını da üçüncü kuvvetine çıkaralım. Eşdeğer bir denklem elde ederiz:

Tüm terimleri bir kenara taşıyalım ve x'i parantezlerin dışına koyalım:

Her faktörü sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

Cevap: (0;1;2)

İkinci denkleme yakından bakalım: . Denklemin sol tarafında yalnızca negatif olmayan değerleri alan karekök bulunur. Bu nedenle denklemin çözümlerinin olması için sağ tarafın da negatif olmaması gerekir. Bu nedenle denklemin sağ tarafına koşul uygulanır:

Title="g(x)>=0"> - это !} köklerin varlığı koşulu.

Bu tür bir denklemi çözmek için denklemin her iki tarafının karesini almanız gerekir:

(3)

Kare alma, yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir, bu nedenle denklemlere ihtiyacımız var:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Ancak eşitsizlik (4), koşul (3)'ten kaynaklanır: eğer eşitliğin sağ tarafı bir ifadenin karesini içeriyorsa ve herhangi bir ifadenin karesi yalnızca negatif olmayan değerler alabiliyorsa, bu nedenle sol tarafın da -olmaması gerekir. negatif. Bu nedenle, koşul (4) otomatik olarak koşul (3)'ten çıkar ve bizim denklem sisteme eşdeğerdir:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Örnek 2. Denklemi çözelim:

.

Eşdeğer bir sisteme geçelim:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Sistemin ilk denklemini çözelim ve hangi köklerin eşitsizliği sağladığını kontrol edelim.

Eşitsizlik title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Cevap: x=1

Dikkat!Çözme sürecinde denklemin her iki tarafının karesini alırsak, yabancı köklerin ortaya çıkabileceğini unutmamalıyız. Bu nedenle, ya eşdeğer bir sisteme geçmeniz gerekir ya da çözümün sonunda KONTROL YAPIN: kökleri bulun ve bunları orijinal denklemde yerine koyun.

Örnek 3. Denklemi çözelim:

Bu denklemi çözmek için her iki tarafın da karesini almamız gerekiyor. Bu denklemde ODZ ve köklerin varlığı koşuluyla uğraşmayalım, çözümün sonunda bir kontrol yapalım.

Denklemin her iki tarafının karesini alalım:

Kökü içeren terimi sola, diğer tüm terimleri sağa taşıyalım:

Denklemin her iki tarafının karesini tekrar alalım:

Vieta'nın teması üzerine:

Bir kontrol yapalım. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemin yerine koyarız. Açıkçası, 'de orijinal denklemin sağ tarafı negatif, sol tarafı ise pozitiftir.

Doğru eşitliği elde ederiz.

Eşitlik kavramını, yani türlerinden biri olan sayısal eşitlikleri inceledikten sonra, başka bir önemli tür olan denklemlere geçebiliriz. Bu materyal çerçevesinde denklemin ne olduğunu ve kökünü açıklayacağız, temel tanımları formüle edeceğiz ve vereceğiz. çeşitli örnekler Denklemler ve köklerinin bulunması.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Denklem kavramı

Genellikle denklem kavramı en başta incelenir. okul kursu cebir. Daha sonra şu şekilde tanımlanır:

Tanım 1

Denklem bulunması gereken bilinmeyen bir sayı ile eşitlik denir.

Bilinmeyenleri küçük Latin harfleriyle belirtmek gelenekseldir, örneğin t, r, m, vb., ancak en sık x, y, z kullanılır. Başka bir deyişle denklem, kayıt biçimine göre belirlenir, yani eşitlik ancak belirli bir forma indirgendiğinde bir denklem olacaktır - bulunması gereken bir değer olan bir harf içermelidir.

En basit denklemlere bazı örnekler verelim. Bunlar x = 5, y = 6 vb. biçimindeki eşitliklerin yanı sıra aritmetik işlemleri içeren eşitlikler de olabilir, örneğin x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Parantez kavramı öğrenildikten sonra parantezli denklem kavramı ortaya çıkar. Bunlar arasında 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 vb. bulunur. Bulunması gereken harf birden çok kez görünebilir, ancak birkaç kez, örneğin örneğin x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 denkleminde. Ayrıca bilinmeyenler sadece solda değil aynı zamanda sağda veya her iki kısımda da bulunabilir, örneğin x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 veya 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Ayrıca öğrenciler tamsayı, reel sayı, rasyonel sayı, doğal sayı, logaritma, kök ve kuvvet kavramlarına aşina olduktan sonra tüm bu nesneleri içeren yeni denklemler ortaya çıkar. Bu tür ifadelerin örneklerine ayrı bir makale ayırdık.

Değişken kavramı ilk kez 7. sınıf müfredatında karşımıza çıkmaktadır. Bunlar alabileceğin mektuplar farklı anlamlar(daha fazla ayrıntı için sayısal makaleye bakın, gerçek ifadeler ve değişkenli ifadeler). Bu kavrama dayanarak denklemi yeniden tanımlayabiliriz:

Tanım 2

Denklem değeri hesaplanması gereken bir değişkeni içeren bir eşitliktir.

Yani örneğin x + 3 = 6 x + 7 ifadesi x değişkenli bir denklemdir ve 3 y − 1 + y = 0 ifadesi y değişkenli bir denklemdir.

Bir denklemin birden fazla değişkeni olabilir, ancak iki veya daha fazlası olabilir. Bunlara sırasıyla iki, üç değişkenli vb. denklemler denir. Tanımını yazalım:

Tanım 3

İki (üç, dört veya daha fazla) değişkenli denklemler, karşılık gelen sayıda bilinmeyen içeren denklemlerdir.

Örneğin, 3, 7 x + 0, 6 = 1 biçimindeki bir eşitlik, tek değişkenli bir denklemdir ve x − z = 5, iki değişkenli x ve z'li bir denklemdir. Üç değişkenli bir denklem örneği x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 olabilir.

Denklemin kökü

Bir denklemden bahsettiğimizde hemen onun kök kavramını tanımlama ihtiyacı doğar. Ne anlama geldiğini açıklamaya çalışalım.

Örnek 1

Bize tek değişken içeren belirli bir denklem veriliyor. Bilinmeyen harfin yerine bir sayı koyarsak, denklem sayısal bir eşitliğe dönüşür - doğru veya yanlış. Yani a + 1 = 5 denkleminde harfi 2 rakamıyla değiştirirsek eşitlik yanlış olur, 4 ise doğru eşitlik 4 + 1 = 5 olur.

Değişkenin gerçek eşitliğe dönüşeceği değerlerle daha çok ilgileniyoruz. Bunlara kökler veya çözümler denir. Tanımını yazalım.

Tanım 4

Denklemin kökü Belirli bir denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir değişkenin değerini çağırırlar.

Kök aynı zamanda çözüm olarak da adlandırılabilir veya tam tersi de olabilir - bu kavramların her ikisi de aynı anlama gelir.

Örnek 2

Bu tanımı netleştirmek için bir örnek verelim. Yukarıda a + 1 = 5 denklemini verdik. Tanıma göre bu durumda kök 4 olacaktır, çünkü harf yerine değiştirildiğinde doğru sayısal eşitliği verir ve yanlış 2 + 1 = 5 eşitliğine karşılık geldiğinden iki çözüm olmayacaktır.

Bir denklemin kaç kökü olabilir? Her denklemin bir kökü var mıdır? Bu soruları cevaplayalım.

Tek kökü olmayan denklemler de mevcuttur. Bir örnek 0 x = 5 olabilir. Sonsuz sayıda yerine koyabiliriz farklı sayılar, ancak hiçbiri bunu gerçek bir eşitliğe dönüştüremez çünkü 0 ile çarpmak her zaman 0 verir.

Birkaç kökü olan denklemler de vardır. Sonlu veya sonsuz sayıda köke sahip olabilirler.

Örnek 3

Yani, x − 2 = 4 denkleminde yalnızca bir kök vardır - altı, x 2 = 9'da iki kök - üç ve eksi üç, x · (x − 1) · (x − 2) = 0'da üç kök - sıfır, bir ve iki, x=x denkleminde sonsuz sayıda kök var.

Şimdi denklemin köklerinin doğru şekilde nasıl yazılacağını açıklayalım. Eğer yoksa şunu yazarız: "Denklemin kökleri yoktur." Bu durumda boş küme ∅'un işaretini de belirtebilirsiniz. Kökler varsa, bunları virgülle ayırarak yazarız veya kümenin öğeleri olarak küme parantezleri içine alarak belirtiriz. Yani herhangi bir denklemin üç kökü varsa (2, 1 ve 5), o zaman - 2, 1, 5 veya (- 2, 1, 5) yazarız.

Köklerin basit eşitlikler şeklinde yazılmasına izin verilir. Yani denklemdeki bilinmeyen y harfiyle gösteriliyorsa ve kökleri 2 ve 7 ise y = 2 ve y = 7 yazarız. Bazen harflere alt simgeler eklenir, örneğin x 1 = 3, x 2 = 5. Bu şekilde köklerin sayısını işaret etmiş oluyoruz. Denklemin sonsuz sayıda çözümü varsa, cevabı sayısal bir aralık olarak yazarız veya genel kabul görmüş gösterimi kullanırız: doğal sayılar kümesi N, tam sayılar - Z, gerçek sayılar - R ile gösterilir. Diyelim ki denklemin çözümünün herhangi bir tam sayı olacağını yazmamız gerekiyorsa x ∈ Z, birden dokuza kadar herhangi bir reel sayı ise y ∈ 1, 9 yazıyoruz.

Bir denklemin iki, üç veya daha fazla kökü varsa, kural olarak köklerden değil, denklemin çözümlerinden bahsederiz. Çok değişkenli bir denklemin çözümünün tanımını formüle edelim.

Tanım 5

İki, üç veya daha fazla değişkenli bir denklemin çözümü, verilen denklemi doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin iki, üç veya daha fazla değerinin bulunmasıdır.

Tanımı örneklerle açıklayalım.

Örnek 4

Diyelim ki iki değişkenli bir denklem olan x + y = 7 ifadesine sahibiz. Birincinin yerine bir, ikincinin yerine iki koyalım. Yanlış bir eşitlik elde edeceğiz, bu da bu değer çiftinin bu denklemin çözümü olmayacağı anlamına gelir. 3 ve 4 çiftini alırsak eşitlik doğru olur, bu da bir çözüm bulduğumuz anlamına gelir.

Bu tür denklemlerin kökleri olmayabilir veya sonsuz sayıda kökleri olabilir. İki, üç, dört veya daha fazla değer yazmamız gerekiyorsa bunları parantez içinde virgülle ayırarak yazarız. Yani yukarıdaki örnekte cevap (3, 4) gibi görünecektir.

Pratikte çoğu zaman tek değişken içeren denklemlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Denklemlerin çözümüne ayrılan makalede bunları çözmek için kullanılan algoritmayı ayrıntılı olarak ele alacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ders özeti

"İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri"

11. sınıf fizik ve matematik profili.

Tataristan Cumhuriyeti'nin Zelenodolsk belediye bölgesi"

Valieva S.Z.

Ders konusu: İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

Dersin amacı: 1.Keşfet çeşitli yollarİrrasyonel denklemlerin çözümü.


  1. İrrasyonel denklemleri çözmek için genelleme ve doğru yöntemleri seçme yeteneğini geliştirin.

  2. Bağımsızlığı geliştirin, konuşma okuryazarlığını geliştirin

Ders türü: seminer.
Ders planı:


  1. Organizasyon anı

  2. Yeni materyal öğrenme

  3. Konsolidasyon

  4. Ev ödevi

  5. Ders özeti

Ders ilerlemesi
BEN. Organizasyon anı: dersin konusunun mesajı, dersin amacı.

Önceki derste, karekök içeren irrasyonel denklemlerin karelerini alarak çözmeye baktık. Bu durumda bazen yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olan bir sonuç denklemi elde ederiz. Ve sonra denklemi çözmenin zorunlu bir kısmı kökleri kontrol etmektir. Ayrıca karekök tanımını kullanarak denklem çözmeye de baktık. Bu durumda kontrol yapılamayabilir. Bununla birlikte, denklemleri çözerken, denklem çözme algoritmalarını her zaman "körü körüne" uygulamaya başlamamalısınız. Birleşik Devlet Sınavının görevlerinde oldukça fazla sayıda denklem vardır; bunları çözerken, denklemleri daha kolay ve daha hızlı çözmenize olanak tanıyan bir çözüm yöntemi seçmeniz gerekir. Bu nedenle irrasyonel denklemlerin çözümü için bugün tanışacağımız diğer yöntemleri bilmek gerekir. Sınıf daha önce 8'e bölünmüştü yaratıcı gruplar ve belirli bir yöntemin özünü ortaya çıkarmak için onlara özel örnekler verildi. Onlara söz veriyoruz.


II. Yeni materyal öğrenme.

Her gruptan 1 öğrenci çocuklara irrasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlatır. Bütün sınıf hikayeyi dinler ve not alır.

1 yol. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Denklemi çözün: (2x + 3) 2 - 3

4x2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Cevap: -3; 5.

Yöntem 2. DL araştırması.

Denklemi çöz

ODZ:


x = 2. Kontrol ederek x = 2'nin denklemin kökü olduğuna ikna olduk.

3 yollu. Denklemin her iki tarafının eşlenik faktörle çarpılması.

+
(her iki tarafı - ile çarpın)
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)


2=4, dolayısıyla x=1. Kontrol ederek bu denklemin kökü x = 1 olduğuna ikna olduk.


4 yollu. Bir değişken ekleyerek bir denklemi sisteme indirgemek.

Denklemi çöz

= u olsun,
=v.

Sistemi alıyoruz:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim. u = 2, v = 2 elde ederiz. Bu şu anlama gelir:

x = 1 elde ederiz.

Cevap: x = 1.

5 yollu. Tam bir kare seçme.

Denklemi çöz

Modülleri genişletelim. Çünkü -1≤сos0,5x≤1, ardından -4≤сos0,5x-3≤-2, yani . Aynı şekilde,

Sonra denklemi elde ederiz

x = 4πn, nZ.

Cevap: 4πn, nZ.

6 yollu. Değerlendirme yöntemi

Denklemi çöz

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, tanım gereği sağ taraf -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0'dır

alıyoruz
onlar. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Denklemi çarpanlara ayırarak çözersek, x = 2, x = -2 elde ederiz.

Yöntem 7: Fonksiyonların monotonluk özelliklerinin kullanılması.

Denklemi çözün. Fonksiyonlar kesinlikle artıyor. Artan fonksiyonların toplamı artmaktadır ve bu denklemin en fazla bir kökü vardır. Seçim yaparak x = 1'i buluruz.

8 yollu. Vektörlerin kullanılması.

Denklemi çözün. ODZ: -1≤х≤3.

vektör olsun
. Nokta çarpımı vektörler - bir sol taraf var. Uzunluklarının çarpımını bulalım. Bu sağ taraf. Kabul edilmiş
, yani a ve b vektörleri eşdoğrusaldır. Buradan
. Her iki tarafın karesini alalım. Denklemi çözerek x = 1 ve x = elde ederiz
.


  1. Konsolidasyon.(her öğrenciye çalışma sayfaları verilir)
Ön sözlü çalışma

Denklemleri çözmek için bir fikir bulun (1-10)

1.
(ODZ-)

2.
x = 2

3.x2 – 3x +
(yenisiyle değiştirme)

4. (tam kareyi seçme)

5.
(Bir değişken ekleyerek bir denklemin sisteme indirgenmesi.)

6.
(eşlenik ifadeyle çarpılarak)

7.
Çünkü
. O halde bu denklemin kökleri yoktur.

8. Çünkü Her terim negatif değil, onları sıfıra eşitleyip sistemi çözüyoruz.

9. 3

10. Denklemin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin çarpımını) bulun.

Yazılı bağımsız çalışma ardından doğrulama

11,13,17,19 numaralı denklemleri çöz


Denklemleri çözün:

12. (x + 6) 2 -

14.


  • Değerlendirme yöntemi

  • Fonksiyonların monotonluk özelliklerinin kullanılması.

  • Vektörlerin kullanılması.

    1. Bu yöntemlerden hangileri diğer denklem türlerini çözmek için kullanılır?

    2. Bu yöntemlerden hangisini en çok beğendiniz ve neden?

    1. Ödev: Kalan denklemleri çözün.
    Referanslar:

    1. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı: ders kitabı. 11. sınıf için genel eğitim kurumlar / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

    1. Cebir üzerine didaktik materyaller ve 11. sınıf / B.M. için analizin başlangıcı. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Eğitim, 2003.

    2. Mordkovich A. G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10 – 11. Sınıflar: Genel eğitim için problem kitabı. kurumlar. – M.: Mnemosyne, 2000.

    3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Bağımsız ve testler 10-11. Sınıflar için cebir ve temel analiz üzerine. – M.: Ilexa, 2004

    4. KIM Birleşik Devlet Sınavı 2002 – 2010
    6. Cebirsel simülatör. A.G.Merzlyak, V.B.Polonsky, M.S. Yakir. Okul çocukları ve başvuru sahipleri için bir el kitabı. Moskova: "Ilexa" 2001.
    7. Denklemler ve eşitsizlikler. Standart dışı çözüm yöntemleri. Eğitici – metodolojik el kitabı. 10 – 11 sınıflar. S.N. Potapov, P.I. Moskova. "Bustard". 2001

    Belediye eğitim kurumu

    "Kuedino Ortaokulu No. 2"

    İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

    Tamamlayan: Olga Egorova,

    Danışman:

    Öğretmen

    matematik,

    en yüksek yeterlilik

    giriiş....……………………………………………………………………………………… 3

    Bölüm 1. İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri…………………………………6

    1.1 C şıkkındaki irrasyonel denklemlerin çözümü……….….….…………………21

    Bölüm 2. Bireysel görevler…………………………………………….....………...24

    Cevaplar………………………………………………………………………………………….25

    Referans Listesi…….…………………………………………………………………….26

    giriiş

    Alınan matematik eğitimi ortaokul, öyle temel bileşen genel eğitim Ve genel kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Ve fizik, mühendislik ve bilgi teknolojisindeki son gelişmeler, gelecekte de durumun aynı kalacağı konusunda hiçbir şüpheye yer bırakmıyor. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, çözüme bağlıdır. çeşitli türlerçözmeyi öğrenmeniz gereken denklemler. Bu türlerden biri irrasyonel denklemlerdir.

    İrrasyonel denklemler

    Radikal işareti altında bilinmeyeni (veya bilinmeyen için rasyonel cebirsel ifadeyi) içeren bir denklem denir. irrasyonel denklem. İlköğretim matematikte irrasyonel denklemlerin çözümleri gerçel sayılar kümesinde bulunur.

    Herhangi bir irrasyonel denklem, temel cebirsel işlemler (çarpma, bölme, denklemin her iki tarafını da bir tamsayı kuvvetine yükseltme) kullanılarak rasyonel bir cebirsel denkleme indirgenebilir. Ortaya çıkan rasyonel cebirsel denklemin orijinal irrasyonel denklemle eşdeğer olmayabileceği, yani orijinal irrasyonel denklemin kökleri olmayacak "ekstra" kökler içerebileceği akılda tutulmalıdır. rasyonel denklem. Bu nedenle, ortaya çıkan rasyonelin köklerini bulduktan sonra cebirsel denklem için rasyonel denklemin tüm köklerinin irrasyonel denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

    İÇİNDE genel durum Herhangi bir irrasyonel denklemi çözmek için herhangi bir evrensel yöntem belirtmek zordur, çünkü orijinal irrasyonel denklemin dönüşümlerinin bir sonucu olarak, sonucun sadece kökleri arasında bir rasyonel cebirsel denklem olmaması arzu edilir. Verilen irrasyonel denklemin kökleri ancak mümkün olduğu kadar az polinomdan oluşan rasyonel bir cebirsel denklemdir. Mümkün olduğu kadar küçük dereceli polinomlardan oluşan rasyonel cebirsel denklemi elde etme arzusu oldukça doğaldır, çünkü rasyonel bir cebirsel denklemin tüm köklerini kendi içinde bulmak, yalnızca tamamen çözebileceğimiz oldukça zor bir görev haline gelebilir. çok sınırlı sayıda vakada.

    İrrasyonel denklem türleri

    Çift dereceli irrasyonel denklemleri çözmek her zaman tek dereceli irrasyonel denklemleri çözmekten daha fazla soruna neden olur. Derecesi tek olan irrasyonel denklemleri çözerken OD değişmez. Bu nedenle aşağıda derecesi çift olan irrasyonel denklemleri ele alacağız. İki tür irrasyonel denklem vardır:

    2..

    Bunlardan ilkini ele alalım.

    ODZ denklemleri: f(x)≥ 0. ODZ'de denklemin sol tarafı her zaman negatif değildir; dolayısıyla bir çözüm ancak şu durumlarda mevcut olabilir: G(X)≥ 0. Bu durumda denklemin her iki tarafı da negatif değildir ve üs alma işlemi 2 N eşdeğer bir denklem verir. Bunu anlıyoruz

    Bu durumda şuna dikkat edelim. ODZ otomatik olarak gerçekleştirilir ve bunu yazmanıza gerek yoktur, ancak koşulG(x) ≥ 0 kontrol edilmelidir.

    Not: Bu çok önemli bir denklik şartıdır. Öncelikle öğrenciyi keşfetme ihtiyacından kurtarır ve çözümler bulduktan sonra f(x) ≥ 0 – negatif olmama koşulunu kontrol eder. radikal ifade. İkinci olarak, durumun kontrol edilmesine odaklanırG(x) ≥ 0 – sağ tarafın negatif olmaması. Sonuçta, kareyi aldıktan sonra denklem çözülür yani iki denklem aynı anda çözülür (ancak sayısal eksenin farklı aralıklarında!):

    1. - nerede G(X)≥ 0 ve

    2. - burada g(x) ≤ 0.

    Bu arada, okul dışı ODZ bulma alışkanlığı olan pek çok kişi, bu tür denklemleri çözerken tam tersi davranıyor:

    a) Çözümleri bulduktan sonra f(x) ≥ 0 (otomatik olarak karşılanan) koşulunu kontrol ederek aritmetik hatalar yapıp yanlış sonuç elde ederler;

    b) koşulu göz ardı edinG(x) ≥ 0 - ve yine cevabın yanlış olduğu ortaya çıkabilir.

    Not: Eşdeğerlik koşulu, ODZ'yi bulmanın trigonometrik eşitsizlikleri çözmeyi içerdiği trigonometrik denklemleri çözerken özellikle yararlıdır; bu, trigonometrik denklemleri çözmekten çok daha zordur. Trigonometrik denklemlerde eşit koşulları kontrol etme G(X)≥ 0'ı yapmak her zaman kolay değildir.

    İkinci tür irrasyonel denklemleri ele alalım.

    . Denklem verilsin . ODZ'si:

    ODZ'de her iki taraf da negatif değildir ve karesi alma eşdeğer denklemi verir F(x) =G(X). Bu nedenle ODZ'de veya

    Bu çözüm yöntemiyle işlevlerden birinin olumsuz olmadığını kontrol etmek yeterlidir - daha basit olanı seçebilirsiniz.

    Bölüm 1. İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

    1 yöntem. Denklemin her iki tarafını sırayla karşılık gelen değere yükselterek radikallerden kurtulmak doğal derece

    İrrasyonel denklemlerin çözümünde en sık kullanılan yöntem, denklemin her iki tarafının uygun doğal kuvvete art arda yükseltilmesiyle radikallerin ortadan kaldırılması yöntemidir. Denklemin her iki tarafı da tek kuvvete yükseltildiğinde ortaya çıkan denklemin orijinal denkleme eşdeğer olduğu ve denklemin her iki tarafı da çift kuvvete yükseltildiğinde ortaya çıkan denklemin genel olarak şu şekilde olacağı unutulmamalıdır: konuşursak, orijinal denkleme eşdeğer olmamalıdır. Bu, denklemin her iki tarafının da herhangi bir çift kuvvete yükseltilmesiyle kolayca doğrulanabilir. Bu işlemin sonucu denklemdir çözüm kümesi, çözüm kümelerinin birleşimi olan: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ancak Bu dezavantaja rağmen, irrasyonel bir denklemi rasyonel bir denkleme indirgemek için en yaygın prosedür, denklemin her iki tarafını da bir miktar (çoğunlukla çift) kuvvete yükseltme prosedürüdür.

    Denklemi çözün:

    Nerede - bazı polinomlar. Gerçek sayılar kümesindeki kök çıkarma işleminin tanımı nedeniyle bilinmeyenlerin izin verilen değerleri https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height = "21">..gif " width = "243" height = "28 src = ">.

    Denklem 1'in her iki tarafının karesi alındığından, denklem 2'nin tüm köklerinin orijinal denklemin çözümü olmayacağı ortaya çıkabilir; köklerin kontrol edilmesi gereklidir.

    Denklemi çözün:

    https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

    Denklemin her iki tarafını da küplersek, şunu elde ederiz:

    Şunu göz önünde bulundurarak https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Son denklemin, genel olarak konuşursak, kökleri olmayan kökleri olabilir. denklem ).

    Bu denklemin her iki tarafının küpünü alırız: . Denklemi x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 biçiminde yeniden yazıyoruz. Kontrol ederek x1 = 0'ın denklemin yabancı bir kökü olduğunu (-2 ≠ 1) ve x2 = 1'in orijinal denklemi sağladığını tespit ediyoruz. denklem.

    Cevap: x = 1.

    Yöntem 2. Bitişik bir koşullar sisteminin değiştirilmesi

    Eşit sıralı radikaller içeren irrasyonel denklemleri çözerken, cevaplarda tanımlanması her zaman kolay olmayan yabancı kökler görünebilir. İrrasyonel denklemleri çözerken, yabancı kökleri tanımlamayı ve atmayı kolaylaştırmak için, bunun yerini hemen bitişik koşullar sistemi alır. Sistemdeki ek eşitsizlikler aslında çözülmekte olan denklemin ODZ'sini hesaba katar. ODZ'yi ayrı olarak bulabilir ve daha sonra hesaba katabilirsiniz, ancak karışık koşul sistemlerinin kullanılması tercih edilir: denklemi çözme sürecinde bir şeyi unutma veya dikkate almama tehlikesi daha azdır. Bu nedenle bazı durumlarda karma sistemlere geçiş yönteminin kullanılması daha akılcı olmaktadır.

    Denklemi çözün:

    Cevap: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

    Bu denklem sisteme eşdeğerdir

    Cevap: Denklemin çözümü yoktur.

    Yöntem 3. N'inci kök özelliklerini kullanma

    İrrasyonel denklemleri çözerken n'inci kökün özellikleri kullanılır. Aritmetik kök N- o arasından dereceler A negatif olmayan bir numarayı aramak N- gücü eşit olan ben A. Eğer N - eşit( 2n), bu durumda a ≥ 0 olur, aksi halde kök mevcut değildir. Eğer N - garip( 2 n+1), o zaman a herhangi bir olur ve = - ..gif" width="45" height="19"> Sonra:

    2.

    3.

    4.

    5.

    Bu formüllerden herhangi birini resmi olarak uygularken (belirtilen kısıtlamaları dikkate almadan), her birinin sol ve sağ kısımlarının VA'sının farklı olabileceği akılda tutulmalıdır. Örneğin, ifade şununla tanımlanır: f ≥ 0 Ve g ≥ 0 ve ifade sanki f ≥ 0 Ve g ≥ 0 ve ile f ≤ 0 Ve g ≤ 0.

    1-5 arasındaki formüllerin her biri için (belirtilen kısıtlamalar dikkate alınmadan), sağ tarafındaki ODZ, sol taraftaki ODZ'den daha geniş olabilir. Buradan, denklemin 1-5 numaralı formüllerin "soldan sağa" (yazıldıkları şekliyle) resmi kullanımıyla dönüşümlerinin, orijinal denklemin sonucu olan bir denkleme yol açtığı sonucu çıkar. Bu durumda, orijinal denklemin yabancı kökleri ortaya çıkabilir, bu nedenle doğrulama, orijinal denklemin çözümünde zorunlu bir adımdır.

    Denklemlerin 1-5 formüllerinin "sağdan sola" resmi kullanımıyla dönüşümleri kabul edilemez, çünkü orijinal denklemin OD'sini ve dolayısıyla kök kaybını yargılamak mümkündür.

    https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width = "247" height = "61 src = ">,

    bu orijinal olanın bir sonucudur. Bu denklemi çözmek bir dizi denklemi çözmeye indirgenir .

    Bu kümenin ilk denkleminden https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width=89" height=27"> ifadesini bulduğumuz yerden buluyoruz. bu denklem yalnızca (-1) ve (-2) sayıları olabilir. Bulunan her iki kökün de bu denklemi sağladığını kontrol edin.

    Cevap: -1,-2.

    Denklemi çözün: .

    Çözüm: kimliklere göre ilk terimi ile değiştirin. Sol tarafta negatif olmayan iki sayının toplamı olduğuna dikkat edin. Modülü “kaldırın” ve benzer terimleri getirdikten sonra denklemi çözün. O zamandan beri denklemi elde ettik. O zamandan beri , ardından https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" genişlik = "145" yükseklik = "21 src = ">

    Cevap: x = 4,25.

    Yöntem 4 Yeni değişkenlerin tanıtılması

    İrrasyonel denklemleri çözmenin bir başka örneği, daha basit bir irrasyonel denklemin veya rasyonel bir denklemin elde edildiği yeni değişkenlerin tanıtılması yöntemidir.

    İrrasyonel denklemleri, denklemi sonucuyla değiştirerek (ardından kökleri kontrol ederek) çözmek şu şekilde yapılabilir:

    1. Orijinal denklemin ODZ'sini bulun.

    2. Denklemden sonuca gidin.

    3. Ortaya çıkan denklemin köklerini bulun.

    4. Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edin.

    Çek aşağıdaki gibidir:

    A) Bulunan her kökün orijinal denkleme ait olup olmadığı kontrol edilir. ODZ'ye ait olmayan kökler orijinal denklemin dışındadır.

    B) Orijinal denklemin ODZ'sine dahil edilen her kök için, orijinal denklemin çözülmesi sürecinde ortaya çıkan ve eşit güce yükseltilen denklemlerin her birinin sol ve sağ taraflarının aynı işaretlere sahip olup olmadığı kontrol edilir. Herhangi bir denklemin parçalarının eşit güce yükseltildiği kökler farklı işaretler, orijinal denklemin dışındadır.

    C) yalnızca orijinal denklemin ODZ'sine ait olan ve orijinal denklemin çözülmesi sürecinde ortaya çıkan ve eşit bir güce yükseltilen denklemlerin her iki tarafının da aynı işaretlere sahip olduğu kökler, doğrudan ikame ile kontrol edilir. orijinal denklem.

    Belirtilen doğrulama yöntemine sahip bu çözüm yöntemi, son denklemin bulunan köklerinin her birinin doğrudan orijinal denklemle değiştirilmesi durumunda hantal hesaplamaların önlenmesine olanak tanır.

    İrrasyonel denklemi çözün:

    .

    Birçok kabul edilebilir değerler bu denklem:

    Koyduktan sonra ikameden sonra denklemi elde ederiz

    veya eşdeğer denklem

    açısından ikinci dereceden bir denklem olarak düşünülebilir. Bu denklemi çözersek şunu elde ederiz:

    .

    Dolayısıyla orijinal irrasyonel denklemin çözüm kümesi, aşağıdaki iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir:

    , .

    Bu denklemlerin her birinin her iki tarafını da küp haline getirerek iki rasyonel cebirsel denklem elde ederiz:

    , .

    Bu denklemleri çözerek, bu irrasyonel denklemin tek bir kökü x = 2 olduğunu buluruz (tüm dönüşümler eşdeğer olduğu için doğrulama gerekmez).

    Cevap: x = 2.

    İrrasyonel denklemi çözün:

    2x2 + 5x – 2 = t olsun. Daha sonra orijinal denklem şu şekli alacaktır: . Ortaya çıkan denklemin her iki tarafının karesi alınarak ve benzer terimler getirilerek bir öncekinin sonucu olan bir denklem elde edilir. Ondan buluyoruz t=16.

    Bilinmeyen x'e dönersek, orijinal denklemin bir sonucu olan 2x2 + 5x – 2 = 16 denklemini elde ederiz. Kontrol ederek x1 = 2 ve x2 = - 9/2 köklerinin orijinal denklemin kökleri olduğuna ikna olduk.

    Cevap: x1 = 2, x2 = -9/2.

    5 yöntem. Denklemin özdeş dönüşümü

    İrrasyonel denklemleri çözerken, denklemin her iki tarafını da doğal kuvvete yükselterek, irrasyonel denklemin çözümünü rasyonel bir cebirsel denklemin çözümüne indirgemeye çalışarak denklemi çözmeye başlamamalısınız. Öncelikle denklemin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilecek özdeş bir dönüşüm yapmanın mümkün olup olmadığını görmemiz gerekiyor.

    Denklemi çözün:

    Bu denklem için kabul edilebilir değerler kümesi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Bu denklemi 'ye bölelim.

    .

    Şunu elde ederiz:

    a =0 olduğunda denklemin hiçbir çözümü olmayacaktır; denklem şu şekilde yazılabilir:

    çünkü bu denklemin çözümü yok X Denklemin kabul edilebilir değerleri kümesine ait, denklemin sol tarafındaki ifade pozitiftir;

    Denklemin bir çözümü olduğunda

    Denklemin kabul edilebilir çözüm kümesinin koşulu tarafından belirlendiğini hesaba katarsak, sonunda şunu elde ederiz:

    Bu irrasyonel denklemi çözerken https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> denklemin çözümü şu şekilde olacaktır. Diğer tüm değerler için X Denklemin çözümü yoktur.

    ÖRNEK 10:

    İrrasyonel denklemi çözün: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width = "381" yükseklik = "51">

    Çözüm ikinci dereceden denklem sistem iki kök verir: x1 = 1 ve x2 = 4. Ortaya çıkan köklerden ilki sistemin eşitsizliğini sağlamaz, dolayısıyla x = 4 olur.

    Notlar

    1) Aynı dönüşümleri gerçekleştirmek, kontrol etmeden yapmanıza olanak sağlar.

    2) x – 3 ≥0 eşitsizliği denklemin tanım bölgesini değil, özdeş dönüşümleri ifade eder.

    3) Denklemin sol tarafında azalan fonksiyon, sağ tarafında ise artan fonksiyon bulunmaktadır. Azalan ve artan fonksiyonların tanım alanlarının kesişimindeki grafikleri birden fazla olamaz. ortak nokta. Açıkçası bizim durumumuzda x = 4 grafiklerin kesişme noktasının apsisidir.

    Cevap: x = 4.

    6 yöntemi. Denklemleri Çözmek İçin Fonksiyonlar Tanım Kümesini Kullanmak

    Bu yöntem, https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> işlevlerini içeren denklemleri çözerken ve alan tanımlarını bulurken en etkilidir. (F)..gif" genişlik = "53" yükseklik = "21"> .gif" width = "88" height = "21 src = ">, ardından aralığın sonlarında denklemin doğru olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir;< 0, а b >0 ise aralıklarla kontrol edilmesi gerekir (bir;0) Ve . E(y)'deki en küçük tam sayı 3'tür.

    Cevap: x = 3.

    8 yöntemi. İrrasyonel denklemlerin çözümünde türevin uygulanması

    Türev yöntemini kullanarak denklemleri çözmek için kullanılan en yaygın yöntem tahmin yöntemidir.

    ÖRNEK 15:

    Denklemi çözün: (1)

    Çözüm: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> veya (2)'den bu yana. İşlevi düşünün. ..gif" width = "400" height = "23 src = ">.gif" width = "215" height = "49"> ve dolayısıyla artar. Bu nedenle denklem orijinal denklemin kökü olan bir kökü olan bir denkleme eşdeğerdir.

    Cevap:

    ÖRNEK 16:

    İrrasyonel denklemi çözün:

    Bir fonksiyonun alanı bir segmenttir. En büyüğünü bulalım ve en küçük değer bu fonksiyonun aralıktaki değerleri. Bunu yapmak için fonksiyonun türevini buluyoruz F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Fonksiyonun değerlerini bulalım F(X) segmentin uçlarında ve noktada: Yani, Ama ve dolayısıyla eşitlik ancak https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= ise mümkündür. "19 src=" > kontrol edildiğinde 3 sayısının bu denklemin kökü olduğu görülür.

    Cevap: x = 3.

    9 yöntemi. Fonksiyonel

    Sınavlarda bazen fonksiyon şeklinde yazılabilen denklemleri çözmeniz istenir.

    Örneğin bazı denklemler: 1) 2) . Aslında ilk durumda , ikinci durumda . Bu nedenle irrasyonel denklemleri aşağıdaki ifadeyi kullanarak çözün: eğer bir fonksiyon kümede tam olarak artıyorsa X ve herhangi biri için denklemler vb. kümede eşdeğerdir X .

    İrrasyonel denklemi çözün: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> sette kesinlikle artar R, ve https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width = "45" height = "24 src = ">..gif" width = "104" height = "24 src = " > tek köklüdür. Dolayısıyla ona eşdeğer denklem (1)'in de tek kökü vardır.

    Cevap: x = 3.

    ÖRNEK 18:

    İrrasyonel denklemi çözün: (1)

    Karekök tanımı sayesinde, eğer denklem (1)'in kökleri varsa, o zaman bunların https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" kümesine ait olduğunu elde ederiz. 163" yükseklik = "47" >.(2)

    https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> fonksiyonunun herhangi bir ..gif" width="100" için bu sette kesinlikle arttığını düşünün height ="41"> tek bir köke sahiptir Bu nedenle ve kümedeki eşdeğeri X denklem (1) tek bir köke sahiptir

    Cevap: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width = "145" height = "27 src = ">

    Çözüm: Bu denklem karma bir sisteme eşdeğerdir


    Biz de tavsiye ediyoruz