Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.

Шаги

Вероятность единичного случайного события

1. Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет.

   • Например, невозможно вычислить вероятность такого события: при одном броске кубика выпадут 5 и 6 одновременно.

2. Определите все возможные события и результаты, которые могут произойти. Предположим, необходимо определить вероятность того, что при броске игрового кубика с 6 цифрами выпадет тройка. «Выпадение тройки» является событием, и поскольку мы знаем, что может выпасть любая из 6 цифр, число возможных исходов равно шести. Таким образом, мы знаем, что в данном случае есть 6 возможных результатов и одно событие, вероятность которого мы хотим определить. Ниже приведено еще два примера.

   • Пример 1 . В данном случае событием является «выбор дня, который приходится на выходные», а число возможных исходов равно количеству дней недели, то есть семи.
   • Пример 2 . Событием является «вынуть красный шар», а число возможных исходов равно общему количеству шаров, то есть двадцати.

3. Поделите число событий на количество возможных исходов. Таким образом вы определите вероятность одиночного события. Если мы рассматриваем случай выпадения 3 при бросании кубика, число событий равно 1 (тройка находится лишь на одной грани кубика), а общее количество исходов равно 6. В результате получаем соотношение 1/6, 0,166, или 16,6 %. Вероятность события для двух приведенных выше примеров находится следующим образом:

   • Пример 1 . Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? Число событий равно 2, так как в одной неделе два выходных дня, а общее количество исходов составляет 7. Таким образом, вероятность равна 2/7. Полученный результат можно записать также как 0,285 или 28,5 %.
   • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Число событий равно 5, поскольку в коробке 5 красных шаров, а общее количество исходов составляет 20. Находим вероятность: 5/20 = 1/4. Полученный результат можно записать также как 0,25 или 25 %.

4. Сложите вероятности всех возможных событий и проверьте, получится ли в сумме 1. Суммарная вероятность всех возможных событий должна составлять 1, или 100 %. Если у вас не получится 100 %, скорее всего, вы допустили ошибку и пропустили одно или несколько возможных событий. Проверьте свои вычисления и убедитесь, что вы учли все возможные исходы.

   • Например, вероятность выпадения 3 при бросании игрового кубика составляет 1/6. При этом вероятность выпадения любой другой цифры из пяти оставшихся также равна 1/6. В результате получаем 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, то есть 100 %.
   • Если вы, например, забудете о цифре 4 на кубике, сложение вероятностей даст вам лишь 5/6, или 83 %, что не равно единице и указывает на ошибку.

5. Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0. Это означает, что данное событие не может произойти, и его вероятность равна 0. Таким образом вы сможете учесть невозможные события.

   • Например, если бы вы вычисляли вероятность того, что в 2020 году Пасха придется на понедельник, то получили бы 0, поскольку Пасха всегда празднуется в воскресенье.

   Вероятность нескольких случайных событий

   1. При рассмотрении независимых событий вычисляйте каждую вероятность отдельно. После того как вы определите, каковы вероятности событий, их можно будет рассчитать отдельно. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Мы знаем, что вероятность выпадения одной пятерки составляет 1/6, и вероятность выпадения второй пятерки также равна 1/6. Первый исход не связан со вторым.

      • Несколько выпадений пятерок называются независимыми событиями , поскольку то, что выпадет первый раз, не влияет на второе событие.

   2. Учитывайте влияние предыдущих исходов при расчете вероятности для зависимых событий. Если первое событие влияет на вероятность второго исхода, говорят о расчете вероятности зависимых событий . Например, если вы выбираете две карты из колоды, состоящей из 52 карт, после взятия первой карты состав колоды изменяется, что влияет на выбор второй карты. Чтобы рассчитать вероятность второго из двух зависимых событий, необходимо вычесть 1 из количества возможных результатов при расчете вероятности второго события.

      • Пример 1 . Рассмотрим следующее событие: Из колоды случайным образом одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность того, что первая карта будет иметь трефовую масть, составляет 13/52, или 1/4, поскольку всего в колоде 13 карт одной масти.
        • После этого вероятность того, что вторая карта окажется трефовой масти, составляет 12/51, поскольку одной трефовой карты уже нет. Это объясняется тем, что первое событие влияет на второе. Если вы вытянули тройку треф и не положили ее обратно, в колоде будет на одну карту меньше (51 вместо 52).
      • Пример 2 . В коробке 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым?
        • Вероятность того, что первый шар окажется красным, составляет 5/20, или 1/4. Вероятность того, что второй шар будет синим, равна 4/19, поскольку в коробке осталось на один шар меньше, но по прежнему 4 синих шара. Наконец, вероятность того, что третий шар окажется белым, составляет 11/18, так как мы уже вынули два шара.

   3. Перемножьте вероятности каждого отдельного события. Независимо от того, имеете ли вы дело с независимыми или зависимыми событиями, а также количества исходов (их может быть 2, 3 и даже 10), можно рассчитать общую вероятность, умножив вероятности всех рассматриваемых событий друг на друга. В результате вы получите вероятность нескольких событий, следующих одно за другим . Например, стоит задача Найти вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5 . Это два независимых события, вероятность каждого из которых равна 1/6. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 1/6 x 1/6 = 1/36, то есть 0,027, или 2,7 %.

      • Пример 1 . Из колоды наугад одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность первого события составляет 13/52. Вероятность второго события равна 12/51. Находим общую вероятность: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, то есть 0,058, или 5,8 %.
      • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вытянуть из коробки три шара один за другим, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым? Вероятность первого события составляет 5/20. Вероятность второго события равна 4/19. Вероятность третьего события составляет 11/18. Таким образом, общая вероятность равна 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, или 3,2 %.

Как рассчитать вероятность события?

Понимаю, что всем хочется заранее знать, как завершится спортивное мероприятие, кто одержит победу, а кто проиграет. Обладая подобной информацией, можно без страха делать ставки на спортивные мероприятия. Но можно ли вообще и если да, то как рассчитать вероятность события?

Вероятность – это величина относительная, поэтому не может с точностью говорить о каком-либо событии. Данная величина позволяет проанализировать и оценить необходимость совершения ставки на то или иное соревнование. Определение вероятностей – это целая наука, требующая тщательного изучения и понимания.

Коэффициент вероятности в теории вероятности

В ставках на спорт есть несколько вариантов исхода соревнования:

• победа первой команды;
• победа второй команды;
• ничья;
• тотал.

У каждого исхода соревнования есть своя вероятность и частота, с которой данное событие совершится при условии сохранения начальных характеристик. Как уже говорили ранее, невозможно точно рассчитать вероятность какого-либо события – оно может совпасть, а может и не совпасть. Таким образом, ваша ставка может как выиграть, так и проиграть.

Точного 100% предугадывания результатов соревнования не может быть, так как на исход матча влияет множество факторов. Естественно, и букмекеры не знают заранее исход матча и лишь предполагают результат, принимая решение на своей системе анализа и предлагают определенные коэффициенты для ставок.

Как посчитать вероятность события?

Допустим, что коэффициент букмекера равен 2. 1/2 – получаем 50%. Получается, что коэффициент 2 равен вероятности 50%. По тому же принципу можно получить безубыточный коэффициент вероятности – 1/вероятность.

Многие игроки думают, что после нескольких повторяющихся поражений, обязательно произойдет выигрыш - это ошибочное мнение. Вероятность выигрыша ставки не зависит от количества поражений. Даже если вы выбрасываете несколько орлов подряд в игре с монеткой, вероятность выбрасывания решки останется прежней – 50%.

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.

Формула теории вероятности

В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: "Как найти вероятность какого-либо явления?", нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,..., An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А - это бросок m - выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n - это все шесть возможных вариантов.

Сама же формула расчета выглядит следующим образом:

С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1 / 36 + 1 / 36 = 1 / 18 . А как же быть тогда, когда несколько происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.

Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:

1. Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
2. Хотя бы один из них принесет приз.
3. Оба окажутся проигрышными.

Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.

Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Итак, поговорим на тему, которая интересует очень многих. В данной статье я вам отвечу на вопрос о том, как рассчитать вероятность события. Приведу формулы для такого расчета и несколько примеров, чтобы было понятнее, как это делается.

Что такое вероятность

Начнем с того, что вероятность того, что то или иное событие произойдет – некая доля уверенности в конечном наступлении какого-то результата. Для этого расчета разработана формула полной вероятности, позволяющая определить, наступит интересующее вас событие или нет, через, так называемые, условные вероятности. Эта формула выглядит так: Р = n/m, буквы могут меняться, но на саму суть это никак не влияет.

Примеры вероятности

На простейшем примере разберем эту формулу и применим ее. Допустим, у вас есть некое событие (Р), пусть это будет бросок игральной кости, то есть равносторонний кубик. И нам требуется подсчитать, какова вероятность выпадения на нем 2 очков. Для этого нужно число положительных событий (n), в нашем случае – выпадение 2 очков, на общее число событий (m). Выпадение 2 очков может быть только в одном случае, если на кубике будет по 2 очка, так как по другому, сумма будет больше, из этого следует, что n = 1. Далее подсчитываем число выпадения любых других цифр на кости, на 1 кости – это 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следовательно, благоприятных случаев 6, то есть m = 6. Теперь по формуле делаем нехитрое вычисление Р = 1/6 и получаем, что выпадение на кости 2 очков равно 1/6, то есть вероятность события очень мала.

Еще рассмотрим пример на цветных шарах, которые лежат в коробке: 50 белых, 40 черных и 30 зеленых. Нужно определить какова вероятность вытащить шар зеленого цвета. И так, так как шаров этого цвета 30, то есть, положительных событий может быть только 30 (n = 30), число всех событий 120, m = 120 (по общему количеству всех шаров), по формуле рассчитываем, что вытащить зеленый шар вероятность равна будет Р = 30/120 = 0,25, то есть 25 % из 100. Таким же образом, можно вычислить и вероятность вытащить шар другого цвета (черного она будет 33%, белого 42%).