Теорема обратная признаку перпендикулярности плоскостей. Лекция по математике на тему "признак перпендикулярности двух плоскостей". Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a и ? - две пересекающиеся плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная плоскости ? и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых a и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Прямая а перпендикулярна плоскости ? , а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b и с перпендикулярны. Угол между прямыми а и Ь - линейный плоскостями a и ? и равен он 90°, так как прямая а перпендикулярна прямой b (подоказанному).Поопределениюплоскости a и ? перпендикулярны.

Теорема 1 . Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных плоскостей,провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - перпендикулярные плоскости и с - прямая их пересечения, А - точка лежащаявплоскостиa и не принадлежащая прямой с. Пустьперпендикуляр к плоскости ? проведенный из точки А , не лежит в плоскости a , тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в плоскости ? и не принадлежит прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр АВ напрямую с. Прямая АВ перпендикулярна плоскости (использую теорему 2). Через прямую АВ и точку С проведем плоскость ? (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в плоскости ? из одной точки А на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не может, значит прямая АС совпадает с прямой АВ, а прямая АВ в свою очередь полностью лежит в плоскости a .

Теорема 2 . Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - две перпендикулярные плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная прямой с и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых а и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Угол между прямыми а и b - линейный угол при ребре двугранного угла между плоскостями a и ? и равен он 90°, так как плоскости a и ? перпендикулярны. Прямая а перпендикулярна прямой b (по доказанному) и прямой с по условию. Значит прямая а перпендикулярна плоскости? (

Напомним, что плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. А угол этот определяется так. Берут точку О на прямой С, по которой пересекаются плоскости , и проводят через нее в плоскостях прямые (рис. 1.9а). Углом между а и b и измеряется угол между . Когда этот угол прямой, то говорят, что плоскости взаимно перпендикулярны и пишут

Вы, конечно, уже заметили, что когда , то из трех прямых а, b, с любые две взаимно перпендикулярны (рис. 2.28). В частности, . Поэтому (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Аналогично,

Итак, каждая из двух взаимно перпендикулярных плоскостей содержит перпендикуляр к другой плоскости. Более того, эти перпендикуляры заполняют взаимно перпендикулярные плоскости. (рис. 2.29).

Докажем последнее утверждение. Действительно, если через любую точку плоскости а провести прямую

То (по теореме 5 о параллельности перпендикуляров).

А для признака перпендикулярности плоскостей достаточно одного перпендикуляра к плоскости.

Теорема 7. (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Пусть плоскость а содержит прямую а, перпендикулярную плоскости Р (рис. 2.28). Тогда прямая а пересекает плоскость Р в точке О. Точка О лежит на прямой С, по которой пересекаются . Проведем в плоскости Р через точку О прямую . Так как и b лежит в плоскости Р, то Следовательно,

Данный признак имеет простой практический смысл: плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 2.1). Другое практическое применение этого признака: когда требуется проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса - веревки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если в любом ее месте отвес, располагаясь вдоль нее, не отклоняется.

При решении задач, в которых встречаются перпендикулярные плоскости, часто используются следующие три предложения.

Предложение 1. Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

Пусть плоскости взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой С. Пусть, далее, прямая а лежит в плоскости а и (рис. 2.28). Прямая а пересекает прямую С в некоторой точке О. Проведем через точку О в плоскости Р прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как то . Поскольку , то (по теореме 2).

Второе предложение обратно первому.

Предложение 2. Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.

Пусть плоскости взаимно перпендикулярны, прямая а также прямая а имеет с плоскостью а общую точку А (рис. 2.30). Через точку А в плоскости а проведем прямую перпендикулярную прямой С - линии пересечения плоскостей . Согласно предложению Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, то прямые а и совпадают. Так как лежит в плоскости а, то и а лежит в плоскости

Предложение 3. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Пусть две плоскости , пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости у (рис. 2.31). Тогда через любую точку прямой а проведем прямую, перпендикулярную плоскости у. Согласно предложению 2, эта прямая лежит и в плоскости а, и в плоскости Р, т. е. совпадает с прямой а. Итак,

Две плоскости, которые пересекаются, называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих двух плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (см. рисунок).

Любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Признак перпендикулярности плоскостей

Теорема 1. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (см. рисунок).

Теорема 2. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и ко второй плоскости (см. рисунок).

Пример применения теоремы 2
Пусть есть две перпендикулярные плоскости и , которые пересекаются по прямой a (см. рисунок). Найти расстояние от точки A , которая лежит в плоскости и не лежит в плоскости , плоскости .

В плоскости строим перпендикуляр к a через точку A . Пусть он пересекает a в точке B . AB - искомое расстояние.
Обратите внимание на такое.
1. Через точку вне плоскости можно провести множество плоскостей, перпендикулярных к этой плоскости (см. рисунок). (Но все они пройдут через перпендикулярную к этой плоскости прямую, которая проходит через данную точку.)

2. Если плоскость перпендикулярна к данной плоскости, то это не значит, что она перпендикулярна и к произвольной прямой, параллельной этой плоскости.
Например, на рисунке ниже , и пересекаются по прямой b , причем a входит в одной из плоскостей и . Следовательно, прямая a в то же время параллельная двум перпендикулярным плоскостям.

Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.

При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).

α и β, 0°< 90 °

Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .

Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .

двугранный угол между плоскостями α и β,

90º

Введем определение перпендикулярных плоскостей:

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны

Т.к. =90°

Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.

Стена и потолок.

Боковая стенка и крышка стола.

Стена и потолок

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,

Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.

Доказательство:

1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.

Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А

Доказать: αβ.

Доказательство:

1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) АТβ, A Т A Р.

ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:

СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета

То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.

Аналогично γ β

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:

Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.

Задача.

Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.

2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.

3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС: