Расчет косвенной погрешности. Измерение погрешностей. Погрешности косвенных измерений

Рассмотрим сначала случай, когда величина у зависит только от одной переменной х , которая находится прямым измерением,

Среднее арифметическое <y > можно найти, подставив в (8) вместо х среднее арифметическое <х >.

.

Абсолютную погрешность можно рассматривать как приращение функции (8) при приращении аргумента ∆х (полная погрешность измеряемой величины х ). При малых значениях ∆х она приближенно равна дифференциалу функции

, (9)

где - производная функции, вычисленная при . Относительная погрешность будет равна

.

Пусть определяемая величина у является функцией нескольких переменных х i ,

. (10)

Предполагается, что погрешности всех величин в рабочей формуле носят случайный характер, независимы и рассчитаны с одной и той же доверительной вероятностью (например Р = 0,95). Такую же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины. В этом случае наиболее вероятное значение величины <у > определяют по формуле (10), используя для расчета наиболее вероятные значения величин х i , т. е. их средние значения:

<у > = f (<x 1 >, <x 2 >, …,<x i >, …,<x m >).

В этом случае абсолютная погрешность окончательного результата Δу определяется по формуле

, (11)

где ∂у /∂х i – частные производные функции у по аргументам х i , вычисленные для наиболее вероятных значений величин х i . Частная производная – это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу х i при условии, что все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительную погрешность величины у получим, поделив ∆у на <у>

. (12)

Принимая во внимание, что (1/у ) dy/dx представляет производную по х от натурального логарифма у относительную погрешность можно записать так

. (13)

Формулу (12) удобнее использовать в тех случаях, когда в зависимости (10) измеряемые величины х i входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (13) является удобной для расчетов тогда, когда (10) представляет собой произведения величин х i . В последнем случае предварительное логарифмирование выражения (10) существенно упрощает вид частных производных. Измеряемая величина у является величиной размерной и логарифмировать размерную величину нельзя. Чтобы устранить эту некорректность, нужно разделить у на постоянную, имеющую данную размерность. После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое не зависит от величин х i и поэтому исчезнет при взятии частных производных, так как производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому при логарифмировании наличие такого слагаемого просто подразумевается.

Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями ε у = Δу /<у >, легко по известной величине Δу вычислить ε у и наоборот.

Функциональная связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения для некоторых простых случаев приведена в табл. 3.

Рассмотрим некоторые особые случаи, возникающие при вычислении погрешностей измерений. Приведенные выше формулы для расчета погрешностей косвенных измерений справедливы только тогда, когда все х i независимые величины и измерены различными приборами и методами. На практике это условие не всегда соблюдается. Например, если какие-либо физические величины в зависимости (10) измеряются одним и тем же прибором, то приборные погрешности Δх i пр этих величин уже не будут независимыми, и приборная погрешность косвенно измеряемой величины Δу пр в этом случае будет несколько больше, чем при «квадратичном суммировании». Например, если площадь пластины длиной l и шириной b измерены одним штангенциркулем, то относительная приборная погрешность косвенного измерения будет

(ΔS/S ) пр = (Δl /l ) пр + (Δb/b ) пр,

т.е. погрешности суммируются арифметически (погрешности Δl пр и Δb пр одного знака и их величины одинаковы), вместо относительной приборной погрешности

при независимых погрешностях.

Таблица 3

Функциональная связь погрешностей прямых и косвенных измерений

Рабочая формула	Формула для расчета погрешности

При проведении измерений возможны случаи, когда величины х i имеют разные значения, специально изменяемые или задаваемые во время эксперимента, например, вязкость жидкости по методу Пуазейля определяют для разной высоты столба жидкости над капилляром, или ускорение свободного падения g определяют с помощью математического маятника для разных длин). В таких случаях следует вычислять значение косвенно измеряемой величины у в каждом из n опытов по отдельности, а в качестве наиболее вероятного значения ее брать среднее значение, т.е. . Случайная погрешность Δу сл вычисляется как погрешность при прямом измерении. Вычисление приборной погрешности Δу пр производится через частные производные по формуле (11), а окончательная полная погрешность косвенно измеряемой величины подсчитывается по формуле

Основные законы Динамики. Законы Ньютона - первый, второй, третий. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Силы упругости. Вес. Силы трения - покоя, скольжения, качения + трение в жидкостях и газах.

Кинематика. Основные понятия. Равномерное прямолинейное движение. Равноускоренное движение. Равномерное движение по окружности. Система отсчёта. Траектория, перемещение, путь, уравнение движения, скорость, ускорение, связь линейной и угловой скорости.

Простые механизмы. Рычаг (рычаг первого рода и рычаг второго рода). Блок (неподвижный блок и подвижный блок). Наклонная плоскость. Гидравлический пресс. Золотое правило механики

Законы сохранения в механике. Механическая работа, мощность, энергия, закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, равновесие твердых тел

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости

Механические колебания. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Упругие колебания. Математический маятник. Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механические волны. Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция. интерференция...)

Гидромеханика и аэромеханика. Давление, гидростатическое давление. Закон Паскаля. Основное уравнение гидростатики. Сообщающиеся сосуды. Закон Архимеда. Условия плавания тел. Течение жидкости. Закон Бернулли. Формула Торричели

Молекулярная физика. Основные положения МКТ. Основные понятия и формулы. Свойства идеального газа. Основное уравнение МКТ. Температура. Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клайперона. Газовые законы - изотерма, изобара, изохора

Волновая оптика. Корпускулярно-волновая теория света. Волновые свойства света. Дисперсия света. Интерференция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света. Поляризация света

Термодинамика. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Уравнение теплового балланса. Второй закон термодинамики. Тепловые двигатели

Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор.

Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для полной цепи. Закон электролиза Фарадея. Электрические цепи - последовательное и параллельное соединение. Правила Кирхгофа.

Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Конденсатор в цепи переменного тока. Катушка индуктивности ("соленоид") в цепи переменного тока.

Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Относительность одновременности, расстояний, промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Основной закон релятивистский динамики...

Вы сейчас здесь: Погрешности прямых и косвенных измерений. Абсолютная, относительная погрешность. Систематические и случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (ошибка). Таблица определения погрешностей косвенных измерений различных функций.

Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.

Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х ,
Y = f(x).

Величина х имеет погрешность Dх . Именно эта погрешность Dх - неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y , являющейся функцией f (x ).

Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции .

Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх - погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно
измеряемых величин , то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi , получим:

Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать
погрешность результата косвенных измерений .
(Эта формула доказывается в теории ошибок .)
В реальных измерениях относительная точность различных величин х i может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство , где i =1,…, m -1, m +1,…, n , то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dxm :

Пример.
При измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V =360lN / j есть результат косвенных измерений, где l - расстояние между дисками, , N - число оборотов в единицу времени, известное с точностью , j - угол поворота измеренный в градусах , следовательно, для углов поворота j £ 70о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.

Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину и, если , считать , пренебрегая погрешностями остальных х i i ¹ m .

Рассмотрим наиболее распространенные случаи взаимосвязи физических величин.

В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность .

Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок имеет вид: .

Переходя от дифференциалов к конечным приращениям, имеем:
.
В этом случае абсолютная погрешность DY пропорциональна относительной погрешности непосредственно измеряемой величины x . Если Dx = const , то с ростом х DY будет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей как правило отличаются неравновеликими погрешностями DY ).
Пример.

При определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.

Рис 1.
Итак, для логарифмических функций вида Y = A logax проще сразу вычислять абсолютную погрешность, которая пропорциональна относительной погрешности переменной x:

В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X 1 , X 2 ,... , X n – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m , d , и h .

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X 1 , X 2 , ... , X n всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX 1 ñ, áX 2 ñ, …, áX n ñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áY ñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX 1 , DX 2 , ..., DX n , воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

где ¶Y¤¶X 1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X 1 , X 2 , …, X n (когда берется частная производная, например по X 1 , то все остальные величины X i в формуле считаются постоянными), DX i – абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y , получим

Но так как , то можно записать

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h ,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Y i . Далее, принимая каждое из значений Y i (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áY ñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y .

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U , которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

Y =f (Х 1 , Х 2 , … , Х n ), (1.4)

где Х j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1. Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

где частные производные функции Y =f (Х 1 , Х 2 , … , Х n ) по аргументу Х j ,

Общая погрешность прямых измерений величины Х j .

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y . Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X j .

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n= 10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р= 0,68;

При Р= 0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d V равна:

Или d V = 19%.

V =(47±9) мм 3 , d V = 19%, Р= 0,68.

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d , и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - определение погрешности при измерении объёма цилиндра

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм , ; при Р= 0,68;

; при Р=0,68.

Погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1 :

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

D V =0,19 · 47=9,4 мм 3 , P =0,68.

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм 3 , d V = 19%, P =0,68.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Х ср - s до Х ср + s ?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s , то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?