Закон гука для относительных величин. Вывод закона гука для различных видов деформации

Закон Гука формулируется так: сила упругости, которая возникает при деформации тела, вследствие приложения сторонних сил, пропорционально его удлинению. Деформация в свою очередь это изменение межатомных или межмолекулярных расстояние вещества под действием внешних сил. Сила упругости это сила, которая стремится вернуть эти атомы или молекулы в состояние равновесия.

Формула 1 - Закон Гука.

F - Сила упругости.

k - жесткость тела (Коэффициент пропорциональности, который зависит от материала тела и его формы).

x - Деформация тела (удлинение или сжатие тела).

Этот закон был открыт Робертом Гуком в 1660г. Он провел опыт, который заключался в том что. Тонкая стальная струна была закреплена одним концом, а ко второму концу прикладывалось различное усилие. Проще говоря, струна была подвешена к потолку, и к ней прикладывался груз различной массы.

Рисунок 1 - Растяжение струны под действием силы тяжести.

В результате опыта Гук выяснил, что в небольших приделах зависимость растяжения тела линейна относительно силы упругость. То есть при приложении единицы силы, тело удлиняется, на единицу длинны.

Рисунок 2 - График зависимости силы упругости от удлинения тела.

Нуль на графике это исходная длинна тела. Все что справа это увеличение длинны тела. Сила упругости при этом имеет отрицательное значение. То есть она стремиться вернуть тело в исходное состояние. Соответственно направлена встречно деформирующей силе. Все что слева сжатие тела. Сила упругости положительна.

Растяжение струны зависти не только от внешней силы, но и от сечения струны. Тонкая струна еще как-то растянется от небольшого веса. А вот если взять струну, той же длинны, но диаметром скажем в 1 м. То сложно себе представить какой вес потребуется для ее растяжения.

Для оценки того как сила действует на тело определенного сечения вводится понятие нормальное механическое напряжение.

Формула 2 - нормальное механическое напряжение.

S-Площадь поперечного сечения.

Это напряжение, в конечном счете, пропорционально относительному удлинению тела. Относительное удлинение это отношение приращения длинны тела к его общей длине. А коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга. Модуль потому что значение удлинение тела берется по модулю, без учета знака. Не берется во внимание, укорачивается тело или удлиняется. Важно изменение его длинны.

Формула 3 - Модуль Юнга.

|e|- Относительное удлинение тела.

s- нормальное напряжение тела.

Закон пропорциональности удлинения пружины приложенной силе был открыт английским физиком Робертом Гуком (1635-1703г.)

Научные интересы Гука были столь широки, что он часто не успевал доводить свои исследования до конца. Это давало повод к острейшим спорам о приоритете в открытии тех или иных законов с крупнейшими учеными (Гюйгенс, Ньютоном и др.). Однако закон Гука был настолько убедительно обоснован многочисленными периментами, что тут приоритет Гука никогда не оспаривался.

Теория пружины Роберта Гука:

В этом и состоит закон Гука!

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Определить жесткость пружины, которая под действием силы 10 Н удлинилась на 5 см.

Дано:
g = 10 H/кг
F = 10H
X = 5см = 0,05м
Найти:
k = ?

Груз находится в равновесии.

Ответ: жесткость пружины k = 200H/м.

ЗАДАЧА НА "5"

(сдаем на листочке).

Объясните, почему безопасен прыжок акробата на сетку батута с большой высоты? (призываем на помощь Роберта Гука)
С нетерпением жду ответа!

МАЛЕНЬКИЙ ОПЫТ

Поставьте вертикально резиновую трубку, на которую предварительно туго надето металлическое кольцо, и растяните трубку. Что при этом произойдет с кольцом?

Динамика - Класс!ная физика

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

Формулировка закона

Математическое выражение закона.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

Литература.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция - изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона - сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

инормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука запишется так

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ ij - тензор напряжений, -тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: - сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

Виды деформаций

Деформацией называют изменение формы, размеров или объема тела. Деформация может быть вызвана действием на тело приложенных к нему внешних сил. Деформации, полностью исчезающие после прекращения действия на тело внешних сил, называют упругими , а деформации, сохраняющиеся и после того, как внешние силы перестали действовать на тело, - пластическими . Различают деформации растяжения или сжатия (одностороннего или всестороннего), изгиба , кручения и сдвига .

Силы упругости

При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.

Мы рассмотрим случай возникновения сил упругости при одностороннем растяжении и сжатии твердого тела.

Закон Гука

Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид:

где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м).

Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела.

Рассмотрим опыт, иллюстрирующий закон Гука. Пусть ось симметрии цилиндрической пружины совпадает с прямой Ах (рис. 20, а). Один конец пружины закреплен в опоре в точке А, а второй свободен и к нему прикреплено тело М. Когда пружина не деформирована, ее свободный конец находится в точке С. Эту точку примет за начало отсчета координаты х, определяющей положение свободного конца пружины.

Растянем пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке D, координата которой х > 0: В этой точке пружина действует на тело М упругой силой

Сожмем теперь пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке В, координата которой х

Из рисунка видно, что проекция силы упругости пружины на ось Ах всегда имеет знак, противоположный знаку координаты х, так как сила упругости направлена всегда к положению равновесия С. На рис. 20, б изображен график закона Гука. На оси абсцисс откладывают значения удлинения х пружины, а на оси ординат - значения силы упругости. Зависимость fх от х линейная, поэтому график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Рассмотрим еще один опыт .

Пусть один конец тонкой стальной проволоки закреплен на кронштейне, а к другому концу подвешен груз, вес которого является внешней растягивающей силой F, действующей на проволоку перпендикулярно ее поперечному сечению (рис. 21).

Действие этой силы на проволоку зависит не только от модуля силы F, но и от площади поперечного сечения проволоки S.

Под действием приложенной к ней внешней силы проволока деформируется, растягивается. При не слишком большом растяжении эта деформация является упругой. В упруго деформированной проволоке возникает сила упругости f уп. Согласно третьему закону Ньютона, сила упругости равна по модулю и противоположна по направлению внешней силе, действующей на тело, т. е.

f уп = -F (2.10)

Состояние упруго деформированного тела характеризуют величиной s, называемой нормальным механическим напряжением (или, для краткости, просто нормальным напряжением ). Нормальное напряжение s равно отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения тела:

s = f уп /S (2.11)

Пусть первоначальная длина нерастянутой проволоки составляла L 0 . После приложения силы F проволока растянулась и ее длина стала равной L. Величину DL = L - L 0 называют абсолютным удлинением проволоки . Величину e = DL/L 0 (2.12) называют относительным удлинением тела . Для деформации растяжения e>0, для деформации сжатия e < 0.

Наблюдения показывают, что при небольших деформациях нормальное напряжение s пропорционально относительному удлинению e:

s = E|e|. (2.13)

Формула (2.13) является одним из видов записи закона Гука для одностороннего растяжения (сжатия). В этой формуле относительное удлинение взято по модулю, так как оно может быть и положительным и отрицательным. Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука называется модулем продольной упругости (модулем Юнга).

Установим физический смысл модуля Юнга . Как видно из формулы (2.12), e = 1 и L = 2L 0 при DL = L 0 . Из формулы (2.13) следует, что в этом случае s = Е. Следовательно, модуль Юнга численно равен такому нормальному напряжению, которое должно было бы возникнуть в теле при увеличении его длины в 2 раза. (если бы для такой большой деформации выполнялся закон Гука). Из формулы (2.13) видно также, что в СИ модуль Юнга выражают в паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.

Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.

Способность к упругим и пластическим деформациям зависит от природы вещества, из которого состоит тело, условий, в которых оно находится; способов его изготовления. Например, если взять разные сорта железа или стали, то у них можно обнаружить совершенно разные упругие и пластичные свойства. При обычных комнатных температурах железо является очень мягким, пластичным материалом; закаленная сталь, наоборот, — твердый, упругий материал. Пластичность многих материалов представляет собой условие для их обработки, для изготовления из них нужных деталей. Поэтому она считается одним из важнейших технических свойств твердого вещества.

При деформации твердого тела происходит смещение частиц (атомов, молекул или ионов) из первоначальных положений равновесия в новые положения. При этом изменяются силовые взаимодействия между отдельными частицами тела. В результате в деформированном теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Различают деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения.

Силы упругости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.

Силы упругости имеют электромагнитную природу. Они препятствуют деформациям и направлены перпендикулярно поверхности соприкосновения взаимодействующих тел, а если взаимодействуют такие тела, как пружины, нити, то силы упругости направлены вдоль их оси.

Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры, часто называют силой реакции опоры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформация растяжения (линейная деформация) – это деформация, при которой происходит изменение только одного линейного размера тела. Ее количественными характеристиками являются абсолютное и относительное удлинение.

Абсолютное удлинение:

где и длина тела в деформированном и недеформированном состоянии соответственно.

Относительное удлинение:

Закон Гука

Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:

где проекция силы на ось жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Пружина жесткостью Н/м в ненагруженном состоянии имеет длину 25 см. Какова будет длина пружины, если к ней подвесить груз массой 2 кг?
Решение	Сделаем рисунок. На груз, подвешенный на пружине, действуют и сила упругости . Спроектировав это векторное равенство на координатную ось , получим: По закону Гука сила упругости: поэтому можно записать: откуда длина деформированной пружины: Переведем в систему СИ значение длины недеформированной пружины см м. Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:
Ответ	Длина деформированной пружины составит 29 см.

ПРИМЕР 2

Задание	По горизонтальной поверхности передвигают тело массой 3 кг с помощью пружины жесткостью Н/м. На сколько удлинится пружина, если под ее действием при равноускоренном движении за 10 с скорость тела изменилась от 0 до 20 м/с? Трением пренебречь.
Решение	Сделаем рисунок. На тело действуют , сила реакции опоры и сила упругости пружины .